Zadanie 1

Oblicz sumę i różnicę podanych wektorów: , .

Zadanie 2

Dane są wektory , , .

Wyznacz wektor .

Długość wektora obliczamy korzystając z następującego wzoru: . Oczywiście dla wektorów z przestrzeni wzór jest analogiczny, czyli jeśli , to .

Iloczynem skalarnym pary wektorów niezerowych nazywamy liczbę rzeczywistą równą , gdzie jest kątem zawartym między tymi wektorami. Jeśli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy, to przyjmujemy, że iloczyn skalarny tych wektorów jest równy . Innym sposobem na obliczenie iloczynu skalarnego jest następujący wzór:

Jeśli , to ;

Jeśli , to .

Zadanie 3.

Oblicz długości następujących wektorów:

2. ;

Zadanie 4.

Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne?

1. ,

2. ,

Zadanie 4.

Sprawdź, czy wektory są liniowo niezależne?

1. ,

2. , ,

Zadanie 5

Dla podanych macierzy: , , oblicz

1. , b) .

Zadanie 6.

Dla podanych macierzy , , oblicz:

1. , b) c) d)

Zadanie 7.

Oblicz wyznaczniki macierzy:

1. b)

Zadanie 8.

Oblicz: ; ;

Zadanie 9

Wykonać wskazane działania na macierzach A, B, C i D w celu wyznaczenia elementów macierzy X lub uzasadnić, że macierz X nie istnieje, jeśli:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & - 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \\ \end{bmatrix},\ \ \ B = \begin{bmatrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & - 1 \\ \end{bmatrix},\ \ \ C = \begin{bmatrix} - 3 & 2 & 1 \\ 1 & - 2 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix},\ \ \ D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 12 \\ - 4 & 6 & - 8 \\ \end{bmatrix}$$

oraz

a) X = AA^T + C c) X = B^TC + 2DA e) X = B^TB − DD^T

b) $X = \left( \frac{1}{2}BD - 4C \right)A$ d) $X = B^{T}C(\frac{1}{4}D^{T})$ f) X = A^TC + CA

Zadanie 10

Oblicz rząd macierzy .

1. b) c)

Zadanie 11

Dla każdego z poniższych układów równań liniowych podać jego macierzowy zapis, tj. Ax = b, gdzie A jest macierzą o wymiarach m × n, x ∈ Rⁿ,  b ∈ R^m.

a) $\left\{ \begin{matrix} 3x_{1} & + 7x_{2} & \ & - 4x_{4} & = & 2 \\ - x_{1} & \ & + 8x_{3} & + 9x_{4} & = & 12 \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} x_{1} & - 6x_{2} & = & - 2 \\ - x_{1} & + 8x_{2} & = & 4 \\ 3x_{1} & - 10x_{2} & = & 2 \\ 5x_{1} & - 22x_{2} & = & - 2 \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} \ 4x_{1} & \ & - 12x_{3} & = & 0 \\ \ & - 5x_{2} & + 7x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & + x_{2} & + 6x_{3} & = & 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Zadanie 12

Rozwiąż układy równań:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;