MACIERZE

Macierzą nazywamy funkcję A, która każdej uporządkowanej parze zmiennych naturalnych (i, j) spełniających nierówność 1 ≤ i ≤ m, oraz ≤ j ≤n, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, którą określa się symbolem a_ij:

W ogólnym przypadku macierz o elementach a_ij (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n) zapisuje się w prostokątnej tablicy o m wierszach i n kolumnach:

Liczby określające ilość wierszy m oraz ilość kolumn n nazywa się wymiarami macierzy i zapisuje się jako
. Macierze oznacza się dużymi, pogrubionymi literami alfabetu, np. A, B, ... X, Y.

Macierz można zapisać w krótszej postaci:

W zbiorze macierzy
wyróżnia się pewne typy macierzy, bądź ze względu na ich wymiary, lub wartości elementów a_ij macierzy.

Wymiary macierzy są podstawą do wyróżnienia macierzy prostokątnych, kwadratowych i wektorów.

1. Macierz
nazywa się macierzą prostokątną gdy m ≠ n.

2. Macierz
nazywa się macierzą kwadratową gdy m = n. Macierz kwadratową oznacza się symbolem
. Liczbę n nazywa się stopniem macierzy kwadratowej.

3. Elementy:
macierzy kwadratowej
nazywa się przekątną główną macierzy A.

4. Elementy
macierzy kwadratowej
nazywa się przekątną boczną macierzy A.

Przekątna główna macierzy:

I przekątna boczna macierzy:

II przekątna boczna macierzy:

Działania na macierzach.

Dane są macierze: A = [a_ij], B = [b_ij], C = [c_ij].

Macierze: A_mxn i B_mxn są równe (A = B), jeśli a_ij = b_ij, dla każdej pary (i, j)
M₁
N₁.

Sumą macierzy A_mxn i B_mxn nazywa się taką macierz C_mxn (C = A + B), że dla każdej pary wskaźników (i, j) zachodzi równość: c_ij = a_ij + b_ij.

Przykład:

Oblicz sumę A + B, dla:

a)

b)

Rozwiązanie:

a).

b).Suma A + B nie istnieje, ponieważ macierze A i B maja różne wymiary.

Suma macierzy ma następujące własności:

1. Dodawanie macierzy jest przemienne, czyli

Dodawanie macierzy jest łączne, czyli

Jeżeli A + B = A, to B = 0

Macierz B nazywa się macierzą przeciwną do macierzy A, co zapisuje się:

B = -A, jeśli A + B = 0

Iloczynem liczby
i macierzy
, nazywa się taką macierz
, (co zapisuje się:
, w której
dla każdej pary (i, j)

Przykład:

Obliczyć A+(-3)B, jeśli:

i

Rozwiązanie:

Macierz
jest macierzą przeciwna do macierzy A, wtedy i tylko wtedy, gdy: B = (-1)A.

Różnicą macierzy
nazywa się sumę macierzy A i macierzy przeciwnej do B:

Iloczynem macierzy
przez macierz
nazywa się taką macierz
(co zapisuje się

Przykład:

Wyznaczyć iloczyn
jeśli:

a).

b).

Rozwiązanie:

a).

b). Mnożenie macierzy
przez macierz

nie jest wykonalne, ponieważ liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.

Dla dowolnej macierzy
zachodzą równości:

Zachodzą następujące równości:

Mnożenie macierzy przez macierz jest łączne, czyli:

oraz

Potęgą całkowitą o wykładniku p
macierzy kwadratowej
nazywa się macierz
spełniającą warunek:

dla

oraz:

Przykład:

Wyznaczyć A³ jeśli

Z definicji otrzymujemy:

Ponieważ:

to:

Macierz
, nazywa się macierzą idempotentną, jeśli spełnia ona warunek:

Przykład:

Jest dana macierz:

Obliczając iloczyn

stwierdzić można, że macierz A spełnia relację
, co oznacza, że jest ona macierzą idempotentną. Ten warunek zachodzi dla każdej macierzy jednostkowej, zatem macierze jednostkowe są idempotentne. Podobną własność posiadają kwadratowe macierze zerowe.

Macierz
nazywa się macierzą inwolutywną, jeśli spełnia ona warunek:

Przykład:

Macierz
jest macierzą inwolutywną, ponieważ:

Warunek zachodzi także dl każdej macierzy jednostkowej, zatem macierz jednostkowa jest macierzą inwolutywną.

Jeżeli macierz
jest macierzą idempotentną, to macierz
jest macierzą inwolutywną.

Macierz
nazywa się transpozycją macierzy
(lub macierzą transponowaną do macierzy
), jeśli dla każdej pary (i, j)
zachodzi równość:

Macierz transponowaną B oznacza się symbolem
lub
.

Przykład:

Macierz
jest macierzą transponowaną do macierzy:

Należy zauważyć, że kolejne kolumny (wiersze) macierzy B odpowiadają kolejnym wierszom (kolumnom) macierzy A.

Transponowanie macierzy posiada następujące własności:

Jeżeli macierz
spełnia warunek
, to A jest macierzą symetryczną.

Macierz kwadratową
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
, jeśli spełniony jest warunek:

Macierz odwrotną, jeśli istnieje, oznacza się symbolem
, a proces wyznaczania (poszukiwania) jej elementów nazywa się odwracaniem macierzy.

Przykład:

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

i
, ponieważ:

oraz:

Można zatem napisać:

Łatwo sprawdzić, że np. macierze:

,

nie są macierzami odwrotnymi do macierzy A, bo:

Macierz kwadratową A, która nie posiada macierzy odwrotnej nazywa się macierzą osobliwą.

Przykład:

Pokazać można np. macierz
jest macierzą osobliwą.

Załóżmy, ze istnieje macierz
taka, ze

Wykonując mnożenie macierzy
otrzymuje się równanie:

Równanie to jest sprzeczne, ponieważ zarówno: x+2y, jak i y+2t nie mogą być jednocześnie równe zero i jeden. Zatem nie istnieje macierz B spełniająca relacje
, czyli macierz A nie posiada macierzy odwrotnej.

Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą to:

oraz:

Jeżeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to:

Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą i
, to:

Macierz kwadratową A spełniającą warunek:

nazywa się macierzą ortogonalną.

Jeżeli macierz kwadratowa A spełnia warunek:

to jest ona macierzą ortogonalną.

Zadanie. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A.

Należy policzyć

Obliczamy najpierw wyznacznik macierzy

Ponieważ wyznacznik
to oznacza, że istnieje macierz

Następnie obliczamy macierz dopełnień algebraicznych

Zatem macierz dopełnień algebraicznych
wygląda tak:

Zatem macierz dopełnień algebraicznych
wygląda tak:

a macierz

10