p
1. Zbadać monotoniczność ciągów
(k) lim n( 2 n 2 + 3 −
2 n 2 − 5)
n→∞
n + 3
√
√
(a) a
n + 4 −
n + 1
n = 2 n + 1
(l) lim √
√
n→∞
n + 7 −
n − 1
n
(b) bn = n 2 + 25
n 2 + 3
(m) lim
( − 1) n
n→∞ 1 + 2 + 3 + · · · + n (c) c
n =
2
n + 3
1 + 3 + 5 + · · · + (2 n − 1) (n) lim
(2 n)!
n→∞
n 4 + 5
(d) p
n = ( n!)2
(o) lim
log
n→∞
2(4 n + 1) − log2( n + 5) 2. Obliczyć granice ciągów
( n + 1)! + ( n + 2)!
(p) lim
n 3 + 4 n + 7
n→∞
n 2 · n!
(a) lim
3 n + 5 n
n→∞ n 3 + n 2 + 2
(q) lim
n→∞ 4 n + 6 n
n 5 + 2 n 3 + 6
(b) lim
2 · 3 n + 3 · 5 n+1
n→∞ 2 n 5 − 5 n 4 + n 3 + 3
(r) lim
n→∞
4 n+2 + 5 n+2
2 n 3 + 3 n + 2
(c) lim
5. Obliczyć granice ciągów
n→∞
n 2 + n + 1
√
4 n 3 + 5 n 2 − 2
(a) lim
n 3 n + 5 n + 7 n (d) lim
n→∞
n→∞ n 4 − 2 n 3 + 2 n
√
p
p
(b) lim
2 n 3 n + 6 n + 9 n (e) lim
n 2 + 1 −
n 2 − 1
n→∞
n→∞ p
p
3 + sin n
(c) lim
(f) lim
2 n 2 + n −
2 n 2 − n
n→∞
n 3 + 1
n→∞ p
cos( n!)
(g) lim
n 2 + 2 n − n
(d) lim √
n→∞
n→∞
n + 4
p
p
(h) lim n
1 + 2 n 2 −
3 + 2 n 2
( − 1) n + cos n 2 + 3
n→∞
(e) lim
√
n→∞
n 2 + 3 + 3
3. Obliczyć granice ciągów
p
(f) lim
n 3 + sin(5 n)
√
n→∞
(a) lim
n 2 n + 3 n + 4 n 1
n→∞
+ 1 + · · · + 1
p
(g) lim 2
4
2 n
(b) lim
2 n 33 n + 43 n + 53 n n→∞
n 2
n→∞
1
1
1
cos n
(h) lim
√
+ √
+ · · · + √
(c) lim
n→∞
4 n 2 + 1
4 n 2 + 2
4 n 2 + n
n→∞ n 5 + 4
sin n 5
n
n
n
√
√
√
(d) lim
(i) lim
+
+ · · · +
n→∞
n 4 + 1
n 4 + 2
n 4 + n
n→∞ n 3 + 7
n
( − 1) n + sin n
n + 7
(e) lim
√
(j) lim
n→∞
n + 1 + 1
n→∞
n + 3
3 n+10
4. Obliczyć granice ciągów
4 n + 5
(k) lim
n→∞
4 n + 4
n 4 − 3 n 2 + 2
(a) lim
n+1
7 n − 3
2
n→∞ n 4 − n 3 + 2 n (l) lim
4 n 6 + 3 n 5 − 4
n→∞
7 n + 2
(b) lim
15 n
n→∞ 2 n 6 + 3 n 3 − n 2 + 3 n 5 n + 2
(m) lim
5 n 3 − 4 n 2 + 2 n n→∞
5 n + 1
(c) lim
n→∞
−n 2 + 4 n + 7
3 n − 1 2 n− 1
− 3 n 4 + 6 n 3 − 2 n + 1
(n) lim
(d) lim
n→∞
3 n + 8
n→∞ 2 n 5 − 3 n 4 + 2 n 2 + 3
2 n− 3
√
3 n − 3
3
n 3 − 1
(o) lim
(e) lim
n→∞
3 n + 4
n→∞
n + 6
√
1
n
3 n 2 + n + 5
(p) lim
1 −
(f) lim √
n→∞
n 2
n→∞ 5 n 4 + 3 n 3 − n + 1
√
√
2 n 2 − 3
n 2 + 1 +
n 2 + 7
n 2 − 1
(g) lim √
√
(q) lim
n→∞
n 2
n→∞
4 n 2 + 3 +
4 n 2 + 5
p
p
2 n
(h) lim
9 n 2 + 11 n −
9 n 2 − 7 n
2 n 2 + 3 n + 2
(r) lim
n→∞ p
p
n→∞
2 n 2 − 5 n + 1
(i) lim
4 n 2 + 5 −
4 n 2 − 3
3 n+1
n→∞
4 n 2 − n + 1
p
(s) lim
(j) lim
16 n 2 + 20 n − 4 n n→∞
4 n 2 + 6 n + 2
n→∞
√
6. Obliczyć granice funkcji
3 x + 1 − 3 1 − x (j) lim
x→ 0
x
x 2 − 16
√
√
(a) lim
3 x + 7 − 3 3 x + 5
x→ 4
x − 4
(k) lim
x→ 1
x − 1
x 2 − 6 x + 9
√
(b) lim
5 − 3 x 2 + 125
x→ 3
x 2 − 9
(l) lim
x→ 0
x 3 + 2 x 2
x 2 + 3 x − 4
(c) lim
− 2 x 3 + 3 x 2
x→ 1 x 2 − 7 x + 6
(m) lim √
x→ 0
3 x 2 + 216 − 6
x 2 − 9 x + 20
√
(d) lim
3 2 x − 3 − 1
x→ 4
x 2 − x − 12
(n) lim √
x→ 2
x + 2 − 2
2 x 2 + x − 3
(e) lim
√x + 6 − 3
x→ 1 3 x 2 − x − 2
(o) lim √
3
4 x 2 + 3 x − 7
x→ 3
x + 5 − 2
(f) lim
x→ 1 5 x 2 − 4 x − 1
8. Obliczyć granice funkcji
−x 2 + 5 x − 6
√
(g) lim
x 2 + 3
x→ 2
x 2 − 6 x + 8
(a)
lim
x→−∞
2 x
x 3 − 9 x 2 + 20 x (h) lim
x
(b)
lim
√
x→ 4
x 2 − 16
x→−∞
4 x 2 + 10
x 3 + 1
(i) lim
4 x
(c)
lim
√
x→− 1 x 4 − 1
x→−∞
9 x 2 + 1
x 4 − 13 x 2 + 36
p
(j) lim
(d)
lim
x 2 + 8 x + x
x→− 3
x 2 + 5 x + 6
x→−∞ p
x 3 − 27
(k) lim
(e)
lim
4 x 2 + 3 x + 2 x
x→−∞
x→ 3 x 3 + x 2 − 36
p
x 3 − x 2 + x − 1
(f)
lim
9 x 2 + 11 x + 3 x
(l) lim
x→−∞
x→ 1 x 3 + x 2 − x − 1
√
√
(g)
lim
x
5 − x −
1 − x
x 4 − 16
x→−∞
(m) lim
√
√
√
x→ 2 x 3 − 2 x 2 − x + 2
(h)
lim
4 − x ·
6 − x −
2 − x
x→−∞
x 3 − 4 x 2 + 4 x − 1
(n) lim
9. Obliczyć granice funkcji
x→ 1 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1
x 5 − 32
sin 3 x
(o) lim
(a) lim
x→ 2 x 3 + x 2 + x − 14
x→ 0
5 x
x 3 + x 2 − x − 1
2 x
(p) lim
(b) lim
x→ 1 x 3 + x 2 + x − 3
x→ 0 tan 5 x
sin 4 x
7. Obliczyć granice funkcji
(c) lim
x→ 0 sin 7 x
√x + 6 − 3
sin23 x
(a) lim
(d) lim
x→ 3
x − 3
x→ 0 sin 3 x 2
√ 2 x + 5 − 1
x tan 2 x
(b) lim
(e) lim
x→− 2
x + 2
x→ 0
sin2 3 x
√
1 − cos 2 x
x + 3 − 2
(f) lim
(c) lim
x→ 0
x 2
x→ 1
x 2 − 1
√
1
x 2 + 3 x + 6 − 4
(g) lim x sin
(d) lim
x→ 0
x
x→ 2
x 2 − 6 x + 8
√
sin x − cos x
x + 5 − 3
(h) lim
(e) lim √
x→ π
x − π
4
4
x→ 4
x − 3 − 1
cos x
√
(i) lim
x + 7 − 3
x→ π x − π
(f) lim √
2
2
x→ 2
2 x + 5 − 3
sin x − 1
√
(j) lim
2
x + 12 + x
x→ π
x − π
(g) lim
6
6
x→− 3
x 2 + x − 6
cos 2 x − cos x
x − 1
(k) lim
(h) lim √
x→ 0
x 2
x→ 1
3 x 2 + 7 − 2
√
3 x + 25 − 3
(i) lim
x→ 2
x 2 − 4