Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha
Zadania na plusy
Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha
Zadania na plusy
Zadanie 1
Zadanie 6
Dla jakich wartości α ∈ h0◦, 360◦i prawdziwe są na- Sprawdź parzystość funkcji: stępujące warunki:
a) f (x) = xtgx
a) sinα · cosα > 0
b) f (x) = xctgx
b) sinα · cosα = 0
c) f (x) = tgx
c) tgα · ctgα > 0
x
d) tgα · ctgα = 0
d) f (x) = ctgx
x
e) tgα > 1
e) f (x) = tgx + ctgx
√
f ) ctgα <
3
f ) f (x) = tgxctgx
g) tgα > ctgα
g) f (x) = tg3x
Zadanie 2
h) f (x) = cosx
Wyznacz kąt α ∈ h0◦, 360◦i, dla którego: tgx
a) tgα = 1 i cosα < 0
i) f (x) =
cosx
1+4tg2x
b) ctgα = −1 i cosα > 0
Zadanie 7
√
c) sinα =
2
i cosα < 0
Podaj zbiór wartości funkcji:
2
√
a) y = sinx + 1
d) cosα =
2
i sinα < 0
2
b) y = sinx − 3
e) sinα = 1 i tgα < 0
2 √
c) y = cosx − 1
f )
2
sinα = − 3 i ctgα > 0
2
d) y = −cosx
Zadanie 3
e) y = 3 − cosx
Ramię początkowe kąta α pokrywa się z dodatnią pół-
f ) y = −1 − sinx
osią OX. Podaj równanie prostej, w której zawiera się g) y = 2 − cos x + π
2
ramię końcowe kąta α, jeśli:
h) y = sin2x + 1
a) tgα = − 73
i) y = 1 − cos2x
b) ctgα = −3
Zadanie 8
c) sinα = 3 i cosα < 0
5
Zbadaj, które z określonych niżej funkcji są parzy-d) cosα = − 4 i sinα < 0
5
stymi, a które nieparzystymi:
Zadanie 4
a) y = sin2x
Dla danego równania oblicz sumę pierwiastków nale-b) y = tg x2
żących do przedziału h0, 6πi.
c) y = sin3x
a) sinx = 12
d) y = sinx + cosx
b) cosx = 12
e) y = xsinx
c) sinx = − 12
f ) y = xcosx
d) cosx = − 12
g) y = x2tgx
e) sinx = 0, 7
h) y = |1 + cosx|
f ) cosx = −0, 7
i) y = ctgx
Zadanie 5
x
j) y = tgx + ctgx
Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji f i g w k) y = tgxctgx
przedziale h0, 2πi?
l) y = tg3x
a) f (x) = sinx, g(x) = cosx
m) y = cosx
b)
tgx
f (x) = sinx,
g(x) = −sinx
n) y =
cosx
c) f (x) = sinx, g(x) = 2 − sinx 1+4tg2x
Zadanie 9
d) f (x) = cosx,
g(x) = 1 − sinx
Sporządź wykres funkcji dla x ∈ h−2π, 2πi.
Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha
Zadania na plusy
a) y = −cos2x
k) cos22x + 4cos2x = 2
b) y = 2sin π
l) 2cos2x = sin2xtgx
3 − 2x
c) y = sinx + |sinx|
m) 2cos2x + 3 = 4cosx
d) y = |cosx|
n)
2
+ 1−tg2x = 2
cosx
1−tg2x
2
e) y = 2sinx · |cosx|
o) sin4x − cos4x = 1
f )
2
y = |sinx| + |cosx|
p) sin4x + cos4x = 1
Zadanie 10
r) 5sinx − 3 = 2
sinx
Naszkicuj wykres funkcji:
s) sin3x = 12sin2x
a) y = 1 − tg x − π
3
t) 2sin3x − sinxcosx − 3sinx = 0
b) y = tg x + π
6
− 1
u) 4sin3x − 4sin2x + 3sinx = 3
c) y = −ctg x + π
3
− 1
w) 2sin5x = 3sin3x − sinx
d) y = ctg π
v) cos4x + 2cos2x = 1
6 − x + 1
Zadanie 11
x) sin3x − sinx = sin2x
Rozwiąż równanie:
y) cos2x − cos6x = sin3x + sin5x a) sin2x = cosx
z) cos5x − cosx = sin3x
b) sinx + sin2x = 0
ź) cos2x + cos6x = sin3x − sin5x c) tg3x = 3tgx
ż) cos3x + sin3x = cosx + sinx
d) 4sinxcos2x = sinx
Wskazówka do punktu d) Skorzystaj ze wzoru: e) sinxcosx − sinx = cosx − 1
cosx = sin π2 − x .
f ) 2sin2x + 2sinx = 2cosx + 1
Zadanie 13
g) 2sinxcos2x + sinx = 3sinxcosx Rozwiąż równanie:
h) 2sin2xcosx − sinxcosx = cosx
a) sinx + cosx = 1
i) sin2x = 1
b) 3cosx + 4sinx = 5
√
j) cos3x = − 1
c)
3cosx + sinx = 7
2
4
√
√
k) tg x =
2
−1
d)
3cosx + sinx − 2 = 0
l) ctg x = 0
3
e) 3sinx − 5cosx = 0
m) sin(2x − 1) = 1
f ) sinx + cosx + 2sinxcosx = 1
n) cos 2x + π =
3
− 12
g) sinx + cosx = cos2x
1−sin2x
o) 1 sin 2x
=
h) 2cosx = 1 + sinx
3
− π5
− 16
p) cosx = 0
Zadanie 14
1+tgx
r) sinx = 0
Wyznacz rozwiązanie zawarte w przedziale h0; 2πi 1−cosx
s)
tgx
= 0
każdej z podanych niżej nierówności:
tgx+ctgx
a) sin2x < 1
t) 5tg 1 x
=
4
− π5
−5
b) cos2x < 1
u) 2cos x + π =
6
5
−1
c) tg2x > 1
w) tg(x2) = 0
d) ctg2x > 3
v) cos(x2) = 12
e) |sinx| > |cosx|
x) sin3x + cos3x = cosx
f ) ctgx < 2 − sinx
y) tgx + tg2x = tg3x
1+cosx
g) sinx+cosx > 0
z) sinx − cos2x + sin3x = 1
cos2x
h) sin3xcosx
Zadanie 12
− cos3xsinx 6 14
i) cos4x + 2cos2x > 1
Rozwiąż równanie:
j) 1 < 2 + sinx
a)
− cosx < 7
ctgx + sinx = 2
2
2
1+cosx
k) cosxctg2x 6 0
b) sinx + cosx =
1
sinx
l) sin3x − 4sin2x − sinx + 4 6 0
c) cos2x + sinxcosx = 0
m) cos2x + cos3x + cos4x + ...+ < 1 + cosx d) sin3x = cos2x
Zadanie 15
e) sin4x = 2cosxcos2x
Podaj rozwiązania nierówności należące do prze-f ) 1 + sin2x = cos2x
działu h0, 2πi.
g) tg3x = tgx
a) tg2x >
h)
−1
tg2x − 2tgx + 1 = 0
√
i) tg3x + tg2x − 3tgx = 3
b)
3tg2x 6 1
j) sin2x + 3sinx + 2 = 0
c) tg x > 1
2
d) tg2x − 1 > 0
Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Maria Małycha
Zadania na plusy
√
e) ctg4x >
3
d) tgα − ctgα = (tgα − 1)(ctgα + 1) f ) |ctg2x| > 1
e) ctgα + sinα =
1
1+cosα
sinα
Zadanie 16
f ) (1 + sinα)
1
− tgα = cosα
Podaj rozwiązania nierówności należące do prze-cosα
działu h0, 2πi.
g) tgα(1+ctg2α) = ctgα
1+tg2α
a) sin x − π < 1
6
2
Zadanie 23
b) 2sin x + π > 1
3
√
Sprawdź następujące tożsamości:
c) 2cos π
3
3 − x 6 −
a) sinα + 1+cosα =
2
1+cosα
sinα
sinα
Zadanie 17
Korzystając z zależności między funkcjami trygono-b) tgα+tgβ = tgαtgβ
ctgα+ctgβ
metrycznymi kąta α i kąta 90◦ − α, oblicz: c)
1
+ 1 (sinα + cosα) = 2 +
1
sinα
cosα
sinαcosα
a) sin40◦ − cos50◦
d)
1
− 1 (sinα + cosα) = ctgα − tgα
sinα
cosα
b) sin29◦
cos61◦
e) 1 − 2sin2α = 1−tg2α
c) (sin20◦ + cos20◦)(sin20◦ − cos20◦) + 2sin270◦
1+tg2 α
Zadanie 24
d) sin255◦ + sin235◦
Sprawdź prawdziwość następujących równości: e) tg44◦tg45◦tg46◦
a) sinα = 1+cosα
Zadanie 18
1−cosα
sinα
Oblicz bez użycia tablic:
b)
1
= sinα · cosα
tgα+ctgα
a) sin262◦ + sin228◦
c) 1 + tg2α =
1
cos2α
b) tg44◦tg45◦tg46◦
d)
sinα
=
1
c) (sin35◦ + cos35◦)(sin35◦ − cos35◦) + 2sin255◦
1−cos2α
sinα
Zadanie 19
e) sin2α−cos2α = tgα − ctgα
sinαcosα
Oblicz bez użycia tablic wartość wyrażeń: f ) 1−cosα = sinα
sinα
1+cosα
a) sin2120◦·cos(−180◦)
tg(−135◦)ctg405◦
g) (1 + tgα)2 + (1 − tgα)2 =
2
cos2α
b) 9sin2150◦−4cos240◦+12sin600◦
3sin(−45◦)−2cos(−420◦)
c) tg10◦tg20◦tg30◦tg40◦tg50◦tg60◦tg70◦tg80◦
Zadanie 20
Oblicz wartość liczbową wyrażeń:
a) 5sin30◦ + 4cos60◦ + tg45◦
b) 3sin60◦ − 5cos45◦ + 2tg30◦
c) sin230◦ + cos260◦ + ctg245◦
d)
3sin60◦
sin245◦+cos245◦
e) ctg260◦+cos230◦
3−2ctg45◦
f )
2−tg260◦
sin30◦cos60◦
Zadanie 21
Sprawdź następujące tożsamości:
a) (tg2α − sin2α) · ctg2α = sin2α
b) (sinα + cosα)2 + (sinα − cosα)2 = 2
c) (1 + cosα)(1 − cosα) = sin2α
d) cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α
e)
1
− cosα = sinα · tgα
cosα
f ) cos4α − sin4α = cos2α − sin2α
Zadanie 22
Sprawdź następujące tożsamości:
a) 1 + ctgα = sinα+cosα
sinα
b) cos4α + sin4α = 1 − 2sin2αcos2α
c) (tgα + ctgα)2 =
1
sin2αcos2α