Podstawowe wiadomości o funkcjach

Maria Małycha

Zadania na plusy

Podstawowe wiadomości o funkcjach

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 1

c) f (x) = 2x,

x ∈ N

Określ dziedzinę każdej z podanych funkcji: d) f (x) = x + 1, x ∈ N

a) y =

1

(x−1)(x+2)

e) f (x) = x − 1, x ∈ C \ N

√

b) y =

3x − 1

f ) f (x) = 1 ,

x ∈ R

x

+

q

c) y =

1

g) f (x) = 1 ,

x ∈ h1; +∞)

x

x

√

√

h) f (x) = x2 + 1, x ∈ R

d) y =

x +

x + 1

i) f (x) = 1 − x2, x ∈ R

e) y = 2x+1 + 1

x−1

x+1

√

j) f (x) = 1 ,

x ∈ R \ {0}

x2

f ) y =

x2

Zadanie 5

g) y =

1

Naszkicuj wykres funkcji określonej następująco: 3x+1



1, gdy x ∈ R

h) y = x2

+



2x−1

a) y = sgnx =

0, gdy x = 0

i) y = x+1



x2−9

−1, gdy x ∈ R−

j) y =

3x



−x, gdy x 6 −2

x2+2x+1



b) f (x) =

2, gdy − 2 < x < 2

k) y = x2−1

x2+1



x,

gdy x > 2

l) y = x2−2x+1



x2−1

x + 1,

gdy x < −1





m) y =

1





1, gdy x = −1

|x+3|



c) g(x) =

0, gdy − 1 < x < 1

n) y =

1

|x|+3





−1, gdy x = 1





o) y =

x+1

√



−x − 1, gdy x > 1

|x|+1

Zadanie 6

Zadanie 2

Naszkicuj wykres funkcji:

Podaj dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: a) f (x) = |x| + |x − 1|

a) y = x2−16

|x|+4

b) g(x) = |x + 4| + 2|x|

b) y = x2−16

Zadanie 7

|x|−4

Symbol [x] oznacza największą z liczb całkowitych, c) y = x2−9

|x|−9

które są: mniejsze lub równe x, np. 1 = 0, 2

Zadanie 3

− 3 =

4

−1, [2] = 2. Naszkicuj wykresy funkcji:

Dla każdej z podanych funkcji sprawdź, czy podane a) f (x) = [x],

x ∈ h−1; 1i

obok liczby należą do zbioru jej wartości: b) g(x) = [x],

x ∈ R

a) f (x) = x + 5, x ∈ R; 2, 1 , 3

;

2

− 25

c) h(x) = x − [x], x ∈ R

b) f (x) = 1 ,

x ∈ R; 0, −1, 5, 1 ;

Zadanie 8

x

2

c) f (x) = x,

x ∈ N; −3, 0, 6, 2 .

Naszkicuj wykresy funkcji:

5

a) y =

Zadanie 4

−[x]

b) y = [x + 3]

Wyznacz zbiór wartości: x → y = f(x), gdy: c) y = [x] + 3

a) f (x) = 1 ,

x ∈ (0; 1)

x

d) y = [−x]

b) f (x) = x + 3, x ∈ h−3, +∞)

e) y = [x + 2]

Podstawowe wiadomości o funkcjach

Maria Małycha

Zadania na plusy



Zadanie 9

x + 6

dla x ∈ (−∞, −2)



Naszkicuj na jednym rysunku pary wykresów funkcji: f (x) =

x2

dla x ∈ h−2, 2i



x + 2

dla x

a)

∈ (2, ∞)

y = x

i

y = |x|

Dla jakich wartości m równanie f (x) = m ma: b) y = x + 1 i

y = |x + 1|

a) jedno rozwiązanie

c) y = x3

i

y = |x3|

b) dwa rozwiązania

c) trzy rozwiązania

d) y = 1

i

y = 1

x

x

Zadanie 16

Jak z wykresu funkcji y = f (x) można otrzymać wy-Sprawdź, które z punktów A = 1 , 0 , B = (

kres funkcji y = |f(x)|?

2

−3, 0),

C = (1, 1), D = (2, 3) należą do wykresu funkcji: Zadanie 10

a) f (x) = x2,

x

Naszkicuj na jednym rysunku pary wykresów funkcji:

∈ R

√

√

b) g(x) = x2,

x ∈ R+

a) y =

x

i

y = − x

c) h(x) = 2x − 1, x ∈ C

b) y = 3x − 1 i

y = −(3x − 1)

Zadanie 17

Wyznacz brakujące współrzędne punktów:

c) y = x2

i

y = −x2

A = (4, y), B = (x, 0), C = (x, −3), D = (2, y), d) y = 3

i

y = −3

√

E = (x, 2 3), F = (x, b) tak, aby każdy z nich nale-Jak z wykresu funkcji y = f (x) można otrzymać wy-

żał do wykresu funkcji:

kres funkcji y = −f(x)?

a) y = 5 − x

Zadanie 11

b) y = x2

Naszkicuj na jednym rysunku pary wykresów funkcji:

√

c) y =

x

a) y = 2x

i

y = 2(−x)

d) y = 1 x

2

e) y =

b) y = |x|

i

y = | − x|

|x|

f ) y = 2x + 3

c) y = x3

i

y = |(−x)3|

Czy w każdym przypadku zadanie ma rozwiązanie?

d) y = sgnx i

y = sgn(−x).

Zadanie 18

Jak z wykresu funkcji y = f (x) można otrzymać wy-Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie dwucyfro-kres funkcji y = f (−x)?

wej iloczyn jej cyfr, np f (23) = 6.

Zadanie 12

a) Jaka jest najmniejsza, a jaka największa wartość Naszkicuj wykres funkcji y = 3x, a następnie prze-tej funkcji?

kształcając go odpowiednio naszkicuj wykresy funk-b) Dla ilu argumentów funkcja przyjmuje wartość 12, cji:

a dla ilu 16?

a) y = 3x − 3

c) Dla ilu argumentów funkcja przyjmuje wartości b) y = 3x + 2

parzyste, a dla ilu nieparzyste?

c) y = −3x

Zadanie 19

d) y = |3x|

Zależność między temperaturą podaną w stopniach Zadanie 13

Kelvina [K] i stopniach Celsjusza [◦C] opisuje wzór: Naszkicuj na jednym rysunku pary wykresów funkcji: x[◦C] = T [K] − 273, 15

a) y = x + 1

i

y = |x| + 1

Jaka jest zależność między temperaturą w stopniach b) y = 2x − 1

i

y = 2|x| − 1

Kelvina a tą samą temperaturą w stopniach Fahren-c) y = −3x + 2

i

y = −3|x| + 2

heita?

d) y = −2x − 3

i

y = −2|x| − 3

Zadanie 20

Jak z wykresu funkcji y = ax + b otrzymać wykres Podaj wzór funkcji f (x) opisującej długość przekąt-funkcji y = a|x| + b?

nej sześcianu o objętości x. Oblicz wartość tej funkcji Zadanie 14

dla:

Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem:

a) x = 8

b) x = 64

c) x = 1000

2

dla x ∈ (−∞, 2i

Zadanie 21

f (x) =

|x| dla x ∈ (−2, ∞)

Funkcja V (x) opisuje objętość sześcianu o krawędzi Odczytaj z wykresu liczbę rozwiązań równania x i przekątnej mniejszej od 12. Dziedziną tej funkcji f (x) = m w zależności od parametru m.

jest zbiór:

Zadanie 15

A. (0, 12i

√

Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem:

B. (0, 4 3i

Podstawowe wiadomości o funkcjach

Maria Małycha

Zadania na plusy

√

√

√

C. (0, 6 2i

taj z wykresu rozwiązanie nierówności

x < 3 x.

Zadanie 22

Zadanie 32

Wykaż na podstawie definicji, że funkcja

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów f (x) = 1 jest malejąca w przedziale (0, ∞).

(x, y), dla których:

x2

a) |x| + |y| = 4

Zadanie 23

b) |x| + |y| 6 4

Korzystając z definicji, udowodnij, że funkcja f (x) Zadanie 33

jest malejąca.

Znajdź wzór funkcji symetrycznej do danej wzglę-

a) f (x) = 1 + 2, D

x

f = (0, ∞)

dem osi OX, osi OY , początku układu współrzęd-b) f (x) = 1 + 2, D

x

f = (−∞, 0)

nych oraz sporządź jej wykres przed i po przekształ-

Zadanie 24

√

ceniu:

Jaki jest zbiór wartości funkcji y = 3 x o dziedzinie: a) y = −3x + 1

a) Df = h64, 125i

b) D

b) y = 2x − 3

f = (−27, 1000)

√

c) D

x

f = (−∞, − 1

c) y =

8 i

Zadanie 25

d) y = 1x

a) Wykaż, że długość okręgu ograniczającego koło o

√

√

e) y = x2

polu x opisuje funkcja f (x) = 2 π · x.

b) Jaka jest dziedzina i zbiór wartości tej funkcji, je-f ) y = |x|

śli rozpatrujemy koła o promieniu mniejszym od 6?

Zadanie 34

Zadanie 26

Podaj wzór funkcji po przesunięciu o wektor oraz spo-Naszkicuj wykres dowolnej funkcji f : h−6, 6i → R rządź jej wykres przed i po przekształceniu: spełniającej warunki:

a) y = −3x + 1,

−

→

v = [0, −1]

– najmniejsza wartość funkcji jest równa −3, a naj- b) y = 2x − 3,

−

→

v = [−2, 0]

większa 4;

c) y = 1 ,

−

→

v = [0, 4]

– funkcja rośnie w przedziałach (−6, −3) i (2, 6), jest x

stała w przedziale (−3, 0) i maleje w przedziale (0, 2); d) y = 1 ,

−

→

v = [1, 3]

x−2

– f (x) < 0 dla x ∈ (1, 3).

e) y = 3

x+2 − 1,

−

→

v = [−2, 1]

Zadanie 27

f ) y = x2,

−

→

v = [3, 2]

Korzystając z wykresu funkcji y = 12|x|, naszkicuj wykres funkcji:

g) y = |x| + 1,

−

→

v = [−2, −1]

a) y = 1

Zadanie 35

2 |x − 3|

Sprawdź która z funkcji jest parzysta, która niepa-b) y = 12|x + 2|

rzysta, a która ani pzrzysta ani nieparzysta: c) y = 12|x + 3|

a) y = |x|

Zadanie 28

b) y = |x + 4|

Oblicz pole trójkąta ograniczonego wykresami funkcji:

c) y = |x| − 1

a) y = |2(x − 3)| i y = x

d) y = x2

b) y = |x + 5|

i y = − 1x + 1

e) y = (x + 1)2 − 2

3

c) y = |2x| − 2 i y = |x − 1| + 1

f ) y = x

d) y = |x − 2| + 1 i y = | 1 x

g) y = x + 4

2

− 1| + 3

h) y = 1

Zadanie 29

x

Dla jakiej wartości a pole trójkąta ograniczonego osią i) y = x3

OX i wykresem funkcji y = |x| + a jest równe 36?

Która z funkcji jest różnowartościowa?

Zadanie 30

Oblicz długości wektorów: −

→

u + −

→

v i −

→

u − −

→

v , jeśli:

a) −

→

u = [5, 5], −

→

v = [−2, −1]

b) −

→

u = [3, 4], −

→

v = [−3, −4]

Zadanie 31

Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy

√

√

funkcji: y =

x oraz y = 3 x dla x ∈ h0, ∞). Odczy-