Własności trójkątów

Maria Małycha

Zadania na plusy

Własności trójkątów oraz funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 1

D = (−12, 0), E = (−6, −8), F = (0, 0),

Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego wie-c) A = (−2, 1), B = (2, 3), C = (4, −1), dząc, że wysokość opuszczona na podstawę trójkąta D = (10, −1), E = (−2, −7), F = (−8, 5).

ma długość równą połowie długości podstawy.

Zadanie 10

Zadanie 2

Wyznacz długości boków i kąty w trójkącie prosto-Wierzchołek P trójkąta równobocznego AP B jest kątnym ABC (kąt C jest prosty), mając dane:

punktem wewnętrznym kwadratu ABCD. Oblicz

a) a = 3 cm,

b = 7 cm

miary kątów: ^BP C, ^CP D i ^DP A.

b) a = 6, 3 cm, b = 12 cm

Zadanie 3

c) a = 4 cm, b = 8 cm

Wyznacz miary kątów ostrych trójkąta prostokąt-d) a = 12 cm, b = 0, 25 m

nego, jeśli odcinek dwusiecznej kąta prostego zawarty e) a = 7 cm, b = 0, 21 m

w trójkącie, ma tę samą długość co jedna z przypro-f ) a = 8 cm, α = 32◦100

stokątnych.

g) a = 17 cm, β = 43◦

Zadanie 4

h) b = 0, 24 m, α = 69◦

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma i) c = 18 cm, α = 37◦240

miarę α. Z wierzchołka kąta prostego poprowadzono j) a = 62 cm, β = 62◦310

dwusieczną i wysokość. Wyznacz miarę kąta zawar-k) a = 30 cm, α = 30◦

tego między nimi.

l) a = 10 cm, β = 30◦

Zadanie 5

m) a = 6 cm, c = 12 cm

Dwa boki trójkąta mają długość 7 cm i 9 cm. Uza-n) c = 28 cm, α = 30◦

sadnij, że kąt leżący naprzeciw boku o długości 7 cm o) a = 16 cm, β = 60◦

√

nie może być rozwarty.

p) c = 2 cm, b =

3 cm

Zadanie 6

Zadanie 11

Trójkąt ma boki o długości 4 cm, 5 cm i 6 cm. Czy Czy istnieje trójkąt, którego wysokości są równe 3

kąt leżący naprzciw boku o długości 4 cm może mieć cm, 3 cm, 1 cm.

2

miarę 60◦? Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 12

Zadanie 7

Długości boków trójkąta ABC są równe odpowiednio Trójkąty ABC i A0B0C0 są podobne w skali k = 2,

|AB| = 8, |BC| = 6 i |AC| = 7. Wyznacz stosunek przy czym |AB| = 14 cm, |BC| = 2 dm, |AC| = 17 wysokości ha : hb : hc.

cm. Oblicz długości boków trójkąta A0B0C0.

Zadanie 13

Zadanie 8

Stosunek wysokości trójkąta ABC jest równy

Trójkąty ABC i A0B0C0 są podobne. Długości boków ha : hb : hc = 5 : 4 : 6. Wyznacz stosunek a : b : c trójkąta ABC są następujące: |AB| = 2, 34 dm,

boków tego trójkąta.

|BC| = 12, 4 cm, |AC| = 17, 2 cm. Oblicz długości Zadanie 14

boków trójkąta A0B0C0 wiedząc, że jego obwód wy-W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = 5 cm,

nosi 26, 5 dm.

|BC| = 8 cm i |^ACB| = 60◦. Oblicz długość od-

Zadanie 9

cinka dwusiecznej kata ACB zawartego w trójkącie.

Sprawdź, czy trójkąty ABC i DEF są podobne, jeśli: Zadanie 15

a) A = (2, 3), B = (8, 3), C = (5, 7), D = (1, −8), W trójkącie ABC mamy dane: |AB| = 10 cm, E = (−11, −8), F = (−5, −16),

|^ABC| = 60◦ i |^ACB| = 45◦. Oblicz |AC|.

b) A = (5, 4), B = (17, 4), C = (11, 12),

Własności trójkątów

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 16

h)

1

− cosα = sinα · tgα

cosα

W trójkącie ABC mamy dane: |^BAC| = 45◦,

√

i) cos4α − sin4α = cos2α − sin2α

|^ACB| = 15◦ i |BC| = 4 6 cm. Oblicz |AC|.

j) 1 + ctgα = sinα+cosα

Zadanie 17

sinα

Kąt przy podstawie AB trójkąta równoramiennego k) cos4α + sin4α = 1 − 2sin2αcos2α

ABC ma miarę 40◦. Ramię trójkąta ma długość 10.

l) (tgα + ctgα)2 =

1

sin2αcos2α

Oblicz długości odcinków dwusiecznych kątów zawar- m) tgα − ctgα = (tgα − 1)(ctgα + 1) tych w trójkącie. Przyjmij, że sin40◦ ≈ 0, 64.

n) ctgα + sinα =

1

Zadanie 18

1+cosα

sinα

Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10, a jego pole o) (1 + sinα)

1

− tgα = cosα

√

cosα

równa się 15 3. Oblicz długość trzeciego boku tego Zadanie 25

trójkąta.

Sprawdź prawdziwość następujących równości:

Zadanie 19

a) sinα + 1+cosα =

2

1+cosα

sinα

sinα

a) W trójkącie ostrokątnym poprowadzono prostą b) tgα+tgβ = tgαtgβ

równoległą do jednego z boków. Utworzyła ona z po-ctgα+ctgβ

zostałymi bokami trójkąta kąty rozwarte 110◦ i 130◦.

c)

1

+ 1

(sinα + cosα) = 2 +

1

sinα

cosα

sinαcosα

Wyznacz miary kątów tego trójkąta.

d)

1

− 1 (sinα + cosα) = ctgα − tgα

sinα

cosα

b) Kąty między bokiem trójkąta ostrokątnego a wysokościami poprowadzonymi z wierzchołków należą-

e) 1 − 2sin2α = 1−tg2α

1+tg2 α

cych do tego boku mają miary 40◦ i 20◦. Wyznacz f ) sinα = 1+cosα

1−cosα

sinα

miary wszystkich kątów trójkąta.

g)

1

= sinα · cosα

Zadanie 20

tgα+ctgα

Trójkąt ABC, w którym |AB| = c, |BC| = a i h) 1 + tg2α =

1

cos2α

|AC| = b, podzielono prostą równoległą do boku AB i) sinα = 1

1

sinα

na dwie części o równych polach. Oblicz długości bo-

−cos2α

ków każdej z tych części.

j) sin2α−cos2α = tgα − ctgα

sinαcosα

Zadanie 21

k) 1−cosα = sinα

sinα

1+cosα

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długo-l) (1 + tgα)2 + (1 − tgα)2 =

2

ści 8 cm i 15 cm. Boki trójkąta są średnicami pół-

cos2α

Zadanie 26

okręgów. Oblicz sumę pól półksiężyców i porównaj Korzystając z zależności między funkcjami trygono-ją z polem trójkąta.

metrycznymi kąta α i kąta 90◦

Zadanie 22

− α, oblicz:

a) sin40◦

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego, wiedząc, że:

− cos50◦

a) iloczyn sinusa jednego kąta ostrego i cosinusa dru-b) sin29◦

cos61◦

giego kąta wynosi 1 ,

c) (sin20◦ + cos20◦)(sin20◦

4

− cos20◦) + 2sin270◦

b) kwadrat odwrotności tangensa kąta ostrego wy-d) sin255◦ + sin235◦

nosi 3.

e) tg44◦tg45◦tg46◦

Zadanie 23

Zadanie 27

W czworościanie foremnym z wierzchołka S opusz-Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycz-czono wysokość SO do podstawy ABC. Podaj war-

nych kąta wiedząc, że α ∈ (0◦, 90◦), jeżeli:

tości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trój-kąta AOS.

a) sinα = 1 , sinα = 4 , sinα = 2 ,

sinα = 0, 12

3

5

3

Zadanie 24

b) cosα = 3 , cosα = 1 , cosα = 2 ,

cosα = 0, 54

Sprawdź, czy poniższe równości zachodzą dla dowol-4

4

5

nego kąta ostrego α:

c) tgα = 2,

tgα = 5 ,

tgα = 1 ,

tgα = 1, 25

6

3

a) (1 − cosα)(1 + cosα) = sin2α

d) ctgα = 3, ctgα = 3 ,

ctgα = 1, 52, ctgα = 0, 15

b) (

7

sinα + cosα)2 + (sinα − cosα)2 = 2

√

e) sinα = a, cosα = 2 b , tgα = c,

ctgα = d

c) tgα(1+ctg2α) = ctgα

b+1

1+tg2α

Zadanie 28

d) (tg2α − sin2α) · ctg2α = sin2α

Oblicz bez użycia tablic:

e) (sinα + cosα)2 + (sinα − cosα)2 = 2

a) sin262◦ + sin228◦

f ) (1 + cosα)(1 − cosα) = sin2α

b) tg44◦tg45◦tg46◦

g) cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α

c) (sin35◦ + cos35◦)(sin35◦ − cos35◦) + 2sin255◦

Własności trójkątów

Maria Małycha

Zadania na plusy

Zadanie 29

Oblicz wartość liczbową wyrażeń:

a) 5sin30◦ + 4cos60◦ + tg45◦

b) 3sin60◦ − 5cos45◦ + 2tg30◦

c) sin230◦ + cos260◦ + ctg245◦

d)

3sin60◦

sin245◦+cos245◦

e) ctg260◦+cos230◦

3−2ctg45◦

f )

2−tg260◦

sin30◦cos60◦