C:\Documents and Settings\M_Burzała\Moje dokumenty\Moje

dokumenty\Wyklady_2007\Ekonometria\DODATEK_MACIERZE.doc

1

MACIERZE, WYZNACZNIKI

Macierze - działania

Transpozycja - przestawienie wierszy i kolumn bez zmiany ich kolejności

A= [a

ij

]

mxn

A

T

=A’= [a

ji

]

nxm

Dodawanie dotyczy tylko macierzy tego samego wymiaru

[a

ij

]+[b

ij

]=[a

ij

+b

ij

]

Mnożenie a) przez liczbę

α[a

ij

]=[αa

ij

]

b) przez macierz - wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa

liczbie wierszy drugiej macierzy

A = −





















2

3

1 4

5

1

B =

3

1 2

0

2

3 1

4

−

−

−













A

[3x2]

x B

[2x3]

= AB

[3x3]

3 -1 2 0
-2 -3 1 4
2 3 0 -11 7 12
-1 4 -11 -11 2 16
5 1 13 -8 11 4

schemat Falka mnoż. AB

iloczyny i-tego wiersza i k-tej kolumny

[

]





















=





















10

8

4

15

12

6

5

4

2

5

4

2

2

3

1

[

]

2

4 5

1

3

2





















= 24

7

2

3

5

1

2

11

13











 ⋅











 =













Własności - nie jest przemienne AB ≠ BA

jest łączne = (AB)C = A(BC)

jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania

(A+-B)C = AC+-BC, C(A+-B)=CA+-CB

Minor (podwyznacznik) macierzy - powstaje przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn

(M

ik

- skreślony i-ty wiersz i k-ta kolumna).

Dopełnienie algebraiczne D

ik

= (-1)

i+k

M

ik

Rząd macierzy największy stopień wyjętego z niej różnego od zera minora

Macierz odwrotna – istnieje, jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa tzn. | A | ≠ 0

C:\Documents and Settings\M_Burzała\Moje dokumenty\Moje

dokumenty\Wyklady_2007\Ekonometria\DODATEK_MACIERZE.doc

2

A

A

A

D

−

=

⋅

1

1

A

D

- transponowana macierz dopełnień algebraicznych macierzy A

A =

=

2

7

3

3

9

4

1

5

3

54+45+28-27-40-63= 127-130 = -3

2 7 3 Metoda Sarrusa
3 9 4

[M

ik

] =

9

4

5

3

3 4

1

3

3

9

1

5

7

3

5

3

2

3

1

3

2

7

1

5

7

3

9

4

2

3

3 4

2

7

3

9

=

7

5

6

6

3

3

1

1

3

−

−





















Macierz dopełnień otrzymujemy mnożąc wszystkie minory przez (-1)

i+k

[D

ik

] =

7

5

6

6

3

3

1

1

3

−

−

−

−





















A

D

= [D

ik

]’=

7

6

1

5

3

1

6

3

3

−

−

−

−





















A

-1

=

1

3

−

7

6

1

5

3

1

6

3

3

−

−

−

−





















Wyznacznik liczony wg definicji - suma iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny)

przez ich dopełnienia algebraiczne.

wg 2 kolumny

W =

−

−

−

−

= ⋅ −

−

−

−

+ ⋅ −

−

−

−

+

+

5

3

1

2

2

0

4

3

3 6

2

0

4

0

5

2

3

1

2

4

3

3

2

0

4

5

2

6

1

5

1

2

2

4

3

4

5

2

1 2

3 2

(

)

(

)

Przykład na rząd macierzy M =

1

3

4

3

2

1

1

4

7

−

−

−

= 0 M

33

=

1

3

3 2

= -7 ≠ 0 rz(M) =2

Macierz nieosobliwa W(A) ≠ 0

C:\Documents and Settings\M_Burzała\Moje dokumenty\Moje

dokumenty\Wyklady_2007\Ekonometria\DODATEK_MACIERZE.doc

3

Pochodne

(a

x

)’ = a

x

ln a

(log

a

x)’ =

1

x

a

ln

(x

n

)’ = nx

n-1

(k)’ - stała = 0

pochodna funkcji złożonej

dy

dx

dy

du

du

dx

=

⋅

y =(2x + 3)

6

y = u

6

y’ = 6(2x+3)

5

*2

Korelacja

Siłę liniowego związku między dwoma zmiennymi X i Y mierzy współczynnik korelacji liniowej

(Pearsona):

y

X

T

t

t

T

t

t

T

t

t

t

s

s

Y

X

y

y

x

x

T

y

y

x

x

T

)

,

cov(

)

(

)

(

1

)

)(

(

1

1

2

1

2

1

=

−

−

−

−

=

∑

∑

∑

=

=

=

ρ

T – liczba obserwacji,

cov(X,Y)

– kowariancja między zmiennymi X i Y,

s

x

, s

y

- odchylenie standardowe wartości zmiennych X i Y.