Materiały pomocnicze 1.

Robert Pietrzykowski

Macierzą nazywamy prostokątną tablicę liczb. Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy

A

m×n

= [a

ij

]

i=1,...,m

j=1,...,n

=





a

11

. . .

a

1n

· · ·

· · ·

· · ·

a

m1

. . . a

mn



 .

Macierz o jednej kolumnie (tzn. n = 1) nazywamy wektorem. Tam gdzie nie prowadzi to do nieporozumień
opuszcza się rozmiary macierzy pisząc po prostu macierz A.

Jeżeli m = n, to macierz nazywamy kwadratową stopnia n. Macierz kwadratową o wymiarach n × n

oznaczamy przez A

n

. Jeżeli ponadto a

ij

= a

ji

dla wszystkich i, j, to macierz nazywamy symetryczną.

Jeżeli a

ij

= 0 dla i 6= j, to taką macierz nazywamy diagonalną.

Macierz m × n złożoną z samych zer nazywamy zerową i oznaczamy przez O

m×n

. Macierz kwadratową

[a

ij

] stopnia n taką, że a

ii

= 1 dla wszystkich i oraz a

ij

= 0 dla i 6= j nazywamy jednostkową i oznaczamy

przez I

n

.

Niech A

m

a

×n

a

= [a

ij

] oraz B

m

b

×n

b

= [b

ij

] będą dwiema macierzami.

Transpozycją macierzy A

m

a

×n

a

nazywamy macierz A

0

n

a

×m

a

= [a

0

ij

] taką, że a

0

ij

= a

ji

, dla wszystkich

i, j.

Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Iloczynem macierzy A przez liczbę a nazywamy macierz aA = [aa

ij

].

Niech m

a

= m

b

= m oraz n

a

= n

b

= n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy taką macierz

C

m×n

= [c

ij

], że c

ij

= a

ij

± b

ij

dla wszystkich i, j. Piszemy C = A ± B.

Niech n

a

= m

b

. Iloczynem macierzy A i B nazywamy taką macierz C

m

a

×n

b

= [c

ij

], że c

ij

=

P

n

a

k=1

a

ik

b

kj

dla wszystkich i, j. Piszemy C = AB. Iloczyn macierzy ma następujące ważne własności.

1. Niech macierz A ma rozmiary m

a

× n

a

. Zachodzi AI

n

a

= I

m

a

A = A.

2. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
3. (AB)

0

= B

0

A

0

.

Niech A będzie macierzą kwadratową, tzn. m

a

= n

a

= n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy

liczbę |A| określoną w następujący rekurencyjny sposób:

|[a

11

]| = a

11

, |A| =

n

X

i=1

(−1)

i+1

a

i1

A

i1

,

gdzie A

i1

jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza oraz pierwszej

kolumny.

Wyznacznik A

ij

macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza oraz j–tej kolumny

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a

ij

macierzy A. Wyznacznik macierzy można ob-

liczać także z następującego wzoru |A| =

P

n
i=1

(−1)

i+j

a

ij

A

ij

, dla dowolnego 1 ≤ j ≤ n lub |A| =

P

n
j=1

(−1)

i+j

a

ij

A

ij

, dla dowolnego 1 ≤ i ≤ n. W szczególności











a

11

a

12

a

21

a

22







 = a

11

a

22

− a

12

a

21

,

Niech A będzie taką macierzą kwadratową, że |A| 6= 0 lub równoważnie, macierz A jest pełnego rzędu.

Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy taką macierz A

−1

, że AA

−1

= A

−1

A = I.

Jeżeli |A| 6= 0, to A

−1

= [(−1)

i+j

A

0

ij

/|A|]

i,j=1,...,n

. W szczególności



a

11

a

12

a

21

a

22



−1

=



a

22

−a

12

−a

21

a

11



/|A| .