PRĄD STAŁY

1. Na czym polega przepływ prądu elektrycznego

2. Natężenie prądu i opór; źródła oporu 
elektrycznego

3. Prawo Ohma; temperaturowa zależność oporu 
elektrycznego

4. Siła elektromotoryczna

5. Prawa Kirchoffa

6. Prąd zmienny: układ 
RC 

 

 

ŁADUNKI W MATERIALE

Cząstki obdarzone ładunkiem mogą występować w pustej 
przestrzeni, ale mogą też znajdować się w materiale. W zależności 
od tego czy materiał pozwala na ruch ładunków dzielimy 
materiały na: 

-izolatory: ładunki nie mają możliwości ruchu

(szkło, papier, ebonit, polietylen)

-przewodniki: ładunki swobodnie mogą się poruszać

(metale, polimery przewodzące)

-półprzewodniki: ładunki się poruszają, ale ich ruch nie 
jest w pełni swobodny, a ich ilość zależy od temperatury 
materiału

(krzem, german)

 

 

RUCH ŁADUNKÓW W PRZEWODNIKU

Prąd elektryczny to ruch ładunków pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego. 

Na ładunki działa 
siła F=qE, 

Jeśli E jest stałe, to i siła 
jest stała ; F=qE=qU/d 

Ładunek porusza się 
ze stałym 
przyśpieszeniem 

ŁADUNEK SWOBODNY: 
tylko siła zewnętrzna??



+

napięcie U

Elektrony poruszają się swobodnie (pod 

działaniem pola) tak długo aż nie zostaną 

rozproszone na niedoskonałościach struktury. 

Między zderzeniami elektron jest rzeczywiście 

przyśpieszany i przebywa odległość L w czasie  

(średnia droga swobodna). Po zderzeniu traci 

pamięć kierunku ruchu i przyśpieszanie 

rozpoczyna się na nowo. Średnia prędkość 

ładunków (prędkość unoszenia) jest stała



średnia droga swobodna L

+

 

 

PRĄD ELEKTRYCZNY W PRZEWODNIKACH:

PRZEPŁYW ŁADUNKÓW NA KTÓRE DZIAŁA SIŁA 

ELEKTRYCZNA I SIŁA TŁUMIĄCA

•Wynika z wytworzenia różnicy potencjałów na końcach 
przewodnika (dzięki podłączeniu do baterii)

•Zazwyczaj uważamy, że jest to jednorodne pole elektryczne:E 
=U/d

SIŁA ELEKTRYCZNA

SIŁA TŁUMIĄCA

Po średnim czasie ruchu  (czas relaksacji)  ładunki zderzają się 

z ułożonymi nieregularnie jonami (rozpraszanie ładunków  na 
defektach, lub drganiach sieci krystalicznej: fononach)

ŁADUNKI

Zwykle są to elektrony

puste 
miejsca

obce atomy

drgania sieci: 
fonony

zaburzenie doskonałego porządku                    
tłumienie

 

 

        1 C ładunku przechodzi

1 amper (A)=    w czasie 1 s

          przez poprzeczny przekrój
         przewodnika

OPÓR:

I

U

R 

         prąd o natężeniu 1 A płynie 

1 om ()=         przez przewód do którego 

przyłożono

         napięcie o wartości 1 V

PRAWO OHMA:

Zazwyczaj w stałej temperaturze opór 
przewodnika jest stały, tj. nie zależny od 
natężenia prądu i napięcia 

R=const (I,U)

UMOWA: Mimo, że prąd to zwykle przepływ elektronów, to jednak przyjęło się 
oznaczać kierunek prądu jako kierunek dodatnich ładunków

t

Q

I







NATĘŻENIE PRĄDU

napięcie U

natężenie I

Q

NATĘŻENIE PRĄDU I OPÓR

 

 

PRZYKŁAD: Jaka jest średnia prędkość ładunków tworzących prąd o natężeniu 1A 
płynący w przewodzie miedzianym o przekroju 1mm

2

?

1 mol Cu=63.5g
obj. 1 mola=(63.5g/mol)/
(9g/mol)=7cm

3

/mol

ilość el. przew. w 1 molu: 2*6*10

23

el/mol

ilość el. przew. w 1 mm

3

 : 2*6*10

23

/7000= 

          1.7* 10

20

el/mm

3

27 związanych 
e

-

29p

+

2 słabo związane e

-

Cu:

29 protonów, 
masa atomowa 63.5
 gęstość: 9g/cm

3

ilość ładunku w 1 mm

3

: 1.7* 10

20

el/mm

3

*1.6*10

-19

C/el=27 

Coulombów/mm

3

1A=1C/s:

prędkość uporządkowanego ruchu (prędkość unoszenia): 1/27 
mm/s

NATĘŻENIE PRĄDU: PRZYKŁAD

Prędkość unoszenia, to średni przyrost prędkości ładunków w czasie między 

zderzeniami w kierunku zewnętrznego pola elektrycznego

 

 

PRAWO OHMA

w przewodnikach metalicznych natężenie prądu I jest proporcjonalne do U.

U=RI

neS

V

t

neS

t

V

t

Q

I

u

u















DOWÓD

Q

V

u 

t

n-gęstość ładunków
V

u

-prędkość 

unoszenia

eE

t

u

m



















m

eE

t

m

eE

V

u

u

prędkość unoszenia jest 
wynikiem działania 
zewnętrznego pola E przez 
czas swobodnego ruchu 
ładunku  (czas relaksacji)

+

średnia droga swobodna 

L=u

prędkość unoszenia V

u

E

pole el. E



chwilowa 

prędkość 

elektronu u

L

u

u

L











E

mu

eL

V

u



 

 

PRAWO OHMA

S

x

Ln

e

mu

S

x

n

e

m

S

x

R

2

2















R

U

I 

-oporność właściwa

obwód

E

mu

eL

V

u



E

+



odległość x, napięcie 

U=xE

Ale: napięcie 

U=xE

mux

eLU

V

u



U

I

1/R jest 
współczynnikiem 
kierunkowym I(U)

U

x

S

mu

L

ne

x

S

mu

LU

ne

neS

mux

eLU

I

2

2







Ponieważ 
udowodniliśmy, że I= 
V

u

neS, to:

 

 

 

TEMPERATUROWA ZALEŻNOŚĆ OPORU

T

R nadprzewodnik

PÓŁPRZEWODNIKI

Czym wyższa temperatura, 
tym więcej elektronów może 
uczestniczyć w 
przewodnictwie: opór maleje 
ze wzrostem temperatury

R

T

METALE  :Metal  o  doskonałej  sieci  krystalicznej  przewodzi  prąd  bez  oporu:  każde 
odstępstwo  od  doskonałego  ułożenia  powoduje  rozpraszanie  elektronów:  opór 
elektryczny.

Źródła  niedoskonałości  struktury  (czyli  źródła 
oporu):

•domieszki, wakansje
        opór w niskich T nie
        schodzi do 0

•drgania jonów (fonony)
 

Czym wyższa T, tym większy jest opór:

T

R

)

T

1

(

0











 

 

 

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA

Umowne nośniki prądu: ładunki dodatnie płynące od potencjału wyższego do 
niższego. 

Urządzenie, które przenosi ładunki od 
niższego do wyższego potencjału nazywa 
się źródłem siły elektromotorycznej, 
Siła elektromotoryczna (SEM) : napięcie 

na otwartym źródle i wyraża się w 
woltach.

1

2

3

4

5

V

konwencja: 
przewód ma opór 
0

potencjał 
stopniowo maleje 
na oporniku

potencjał 
rośnie 
skokowo w 
źródle SEM

Aby w przewodniku utrzymać stały prąd 
“zużyte” ładunki muszą z powrotem trafić 
do wyższego potencjału. Trzeba więc 
wykonać pracę W=Uq nad ładunkiem q, a 
źródłem tej energii, jest albo energia 
chemiczna (akumulatory, baterie), albo 
energia mechaniczna (prądnice). 

maszyna dźwigająca zużyte 
ładunki: źródło siły 
elektromotorycznej

+

-

1

2

3

4

5

+

+

+

+

+

U

 

 

BILANS ENERGII W PRZEPŁYWIE PRĄDU

-

Średnia prędkość nośników prądu jest stała  średnia energia elektronów jest stała

+

napięcie U

Praca pola elektrycznego o napięciu U 
nad transportem ładunku Q wzdłuż 

przewodu

W=Q·U

R

U

R

I

U

I

U

t

Q

t

W

P

2

2





















Moc źródła napięcia

Taka sama musi też być strata energii 

ładunku Q wzdłuż przewodu

E=Q·U

 

 

 

PRAWA KIRCHOFFA

Algebraiczna suma spadków napięć i sił elektromotorycznych w każdym 
zamkniętym obwodzie =0

ładunek jest zachowany:
Algebraiczna suma natężeń prądów przepływających przez dowolny punkt równa 
jest 0

I PRAWO

r

A

B A

V

R



W zamkniętym obwodzie ładunek dq przechodzi od 
potencjału wyższego (punkt A) do niższego (punkt 
B) wytracając energię dW  uzyskaną od pola 
elektrycznego

• na oporze wewnętrznym źródła r

• na oporze użytecznym R:

dW= dq*U

1

+dq*U

2

U

1

U

2

R

r

+  A

-  B

II PRAWO



Bateria, transportując ładunek dq z B do A przeciw 
polu wykonuje pracę dq, która jest równa energii 

traconej przez ładunek:

dq*U

1

+dq*U

2

= dq* , czyli:   - +U

1

+U

2

=0

 

 

 

PRAWA KIRCHOFFA: ZASTOSOWANIE

1. Narysować układ, zaznaczyć wszystkie oporniki 
(pamiętać, że SEM ma opór). Zaznaczyć kierunek prądu 
w każdej pętli (oczku sieci) i jego wartości

R

1

R

2

r

+

I

I

1

I

2

3. Ostatnim etapem jest „obejść” każdą pętlę i napisać sumę wzrostów (lub 
spadków) potencjałów, przyrównując ją do zera (II prawo Kirchoffa):      

dla 1: E-Ir- I

1

 R

1

=0

dla 2: E-Ir- I

2

 R

2

=0,

oraz uwzględniając zasadę zachowania ładunku (I prawo Kirchoffa) dla każdego 
węzła:

I=I

1

+I

2

4. Rozwiązanie otrzymanego układu równań  

E-Ir- 

I

1

 R

1

=0

E-Ir- I

2

 R

2

=0,

I=I

1

+I

2

2. Zaznaczyć wszystkie wzrosty potencjału w obwodzie 
jakie napotyka się „obchodząc” dowolną pętlę obwodu; 
jeśli „przechodzi” się przez opornik zgodnie z 
kierunkiem prądu, to mamy spadek V, czyli odwróconą 
strzałkę



V

r

=-Ir



V

r

=-Ir

V

2

=-I

2

 R

2

V

1

=-I

1

 R

1

1

2

Obliczyć prądy płynące w każdej gałęzi układu 
elektrycznego

 

 

 

ROZWIĄZANIE OBWODU: POŁĄCZENIE 

SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE OPORÓW

E-Ir- I

1

 R

1

=0

E-Ir- I

2

 R

2

=0,

I=I

1

+I

2

równania obwodu:
      

2

1

2

2

1

1

I

I

I

R

Ir

I

R

Ir

I

















2

1

R

Ir

R

Ir

I













)

Ir

(

R

)

Ir

(

R

R

IR

1

2

2

1













R

1

R

2

r

+

I

I

1

I

2

R

1

R

2

r

opory połączone 
równolegle

R

2

r

2

1

z

R

1

R

1

R

1





R

opory połączone 
szeregowo

R=R

z

+r

R

I

)

r

R

(

I

r

R

R

R

R

I

z

1

2

2

1

































R

z

 

 

 

OBWÓD RC

Wyłącznik 
otwarty

Napięcie na kondensatorze V=0

Prąd I=0

Ładunek na kondensatorze Q=0

V

 = V

B

C

R

 

 

 

OBWÓD RC

Chwilę po zamknięciu 
wyłącznika

Napięcie na kondensatorze 
V=Q/C

 Płynie prąd I ładujący 
kondensator

Ładunek na kondensatorze Q0

V

 

 

 

OBWÓD RC

RC

Długi czas po 
zamknięciu wyłącznika

Napięcie na kondensatorze 
V==Q/C

Prąd I =0: kondensator 
naładowany 

Ładunek na kondensatorze 
Q=Q

F

 

 

 

OBWÓD RC: ANALIZA

 

 -IR

 -V

C

=Q/C

I prawo Kirchoffa

 -IR-Q/C=0

po zróżniczkowaniu

dt

dQ

C

1

dt

dI

R

0





I

C

1

dt

dI

R

0





dt

RC

1

I

dI



po scałkowaniu

const

RC

t

I

ln







)

RC

t

exp(

I

)

const

RC

t

exp(

I

0











))

RC

t

exp(

1

)(

RC

(

I

dt

)

RC

t

exp(

I

Idt

)

t

(

Q

0

t

0

0

t

0

















Q()=C

I

0

=/R

)

RC

t

exp(

R

I





