FIZYKA
Prąd – zadania
ciesiolek
FIZYKA
Prąd – zadania
ciesiolek
Zadanie 1
Treść:
Ile wynosi natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący na pierwszej
orbicie atomu wodoru z częstotliwością 6.5
.
10
15
Hz?
Dane:
f = 6.5
.
10
15
Hz
Szukane:
I = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu
2. Okres i częstotliwość
Rozwiązanie:
Aby wyliczyć natężenie korzystając z pierwszego wzoru potrzebna nam będzie wartość
ładunku elektronu. Wartość ta jest zawsze stała i wynosi (znajdziesz ją w każdych
porządnych tablicach fizycznych)
Potrzebujemy czas, w jakim elektron okrąża orbitę atomu wodoru, a znajdujemy go
korzystając z tego, że czas ten (tak zwany okres) jest odwrotnością częstotliwości
Zbierając wszystkie powyższe dane, wyliczamy szukane natężenie
Sprawdzamy jednostkę, pamiętając o tym, że herc to odwrotność sekundy
Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron wynosi 1.0413
.
10
-3
A.
Zadanie 2
Treść:
Przy napięciu 24V przez przewodnik w ciągu 2 minut przepływa ładunek 12C. Ile
wynosi opór tego przewodnika?
Dane:
U = 24 V
t = 2 min = 120 s
Q = 12 C
Szukane:
R = ?
Wzory:
1. Prawo Ohma
2. Natężenie prądu
Rozwiązanie:
Szukając oporu przewodnika R skorzystamy ze wzoru na opór elektryczny, czyli inaczej
mówiąc z prawa Ohma. Otóż to prawo mówi, że opór jest liczbowo równy stosunkowi
napięcia U, do którego podłączony jest przewodnik przez natężenie prądu I, które płynie
przez nasz przewodnik.
W zadaniu nie mamy danego natężenia I. Ale wiemy (np. z poprzedniego zadania), że
natężenie to stosunek ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepływa, czyli
Możemy zatem połączyć dwa powyższe wzory i wyliczyć szukany opór
Opór przewodnika wynosi 240 omów.
Zadanie 3
Treść:
Drut o oporze 8Ω rozciągnięto do długości dwukrotnie większej niż początkowa.
Ile wyniesie opór rozciągniętego drutu, jeżeli podczas rozciągania nie zmieniają
się ani opór właściwy ani gęstość materiału?
Dane:
R = 8 Ω
ρ = const (opór
właściwy)
G = const (gęstość)
l' = 2l
Szukane:
R' = ?
Wzory:
1. Opór przewodnika (z uwzględnieniem
oporu właściwego)
2. Gęstość
Rozwiązanie:
Zadanie nie jest takie trudne, jednak łatwo w nim się pomylić.
Na pewno skorzystamy ze wzoru, w którym zarówno występuje opór elektryczny i opór
właściwy
gdzie:
R - opór elektryczny,
ρ - opór właściwy,
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju przewodnika.
Nie mamy danego pola przekroju, a jak wiadomo, skoro przewodnik się wydłuża, to jego
pole przekroju musi się zmniejszyć. A jak liczbowo prezentują się te zmiany?
Sprawdzimy to, korzystając z tego, że pole przekroju przewodnika S razy jego długość l
to nic innego, jak objętość V
Przekształcamy ten wzór...
...i podstawiamy go do wzoru na opór
Powinniśmy się jeszcze zastanowić, czy zmienia się objętość przewodnika. Intuicyjnie
wydaje się, że nie - ale we fizyce wszystko musi być udowodnione. Jak to zrobić? Ano
wiemy jeszcze, że gęstość G materiału (czyli ilorazu masy przez objętość), z którego
wykonany jest przewodnik nie zmienia się. Ze wzoru na gęstość...
...wyprowadzamy objętość...
...i wstawiamy to wszystko do wzoru na opór:
A przecież po rozciągnięciu masa drutu na pewno się nie zmieni!
Liczymy więc opór drutu przed rozciąganiem...
i szukany opór po rozciągnięciu:
Wykorzystujemy oczywiście to, że stałe są wartości charakteryzujące przewodnik: opór
właściwy ρ, gęstość G oraz masa m.
Sprawdzimy jeszcze tylko, czy wzór generuje poprawną jednostkę, a co za tym idzie czy
jest poprawny
Opór rozciągniętego drutu wynosi 32 omów.
Zadanie 4
Treść:
Przy gęstości prądu 10
6
A/m
2
między końcami przewodnika o długości 2m
utrzymuje się różnica potencjałów 2V. Ile wynosi opór właściwy przewodnika?
Dane:
j = 10
6
A/m
2
l = 2 m
U = 2 V
Szukane:
ρ = ?
Wzory:
1. Gęstość prądu
2. Opór właściwy
3. Opór elektryczny
Rozwiązanie:
Mamy znaleźć opór właściwy rozpatrywanego przewodnika. Cóż począć? Ano trzeba
skorzystać ze wzoru na opór, w skład którego wchodzi opór właściwy ρ
Przekształcamy nasz wzór do postaci, w której wyliczymy szukaną
Oczywiście nie mamy danego oporu R, który możemy zastąpić stosując wzór trzeci
Nie mamy jednak danego natężenia prądu I oraz przekroju poprzecznego przewodnika S.
Ale przecież za pomocą tych wartości wyrażamy gęstość prądu j (wzór pierwszy)
Otrzymany wzór posłużył nam do wyliczenia wartości gęstości prądu (pamiętajmy, że
różnica potencjałów to inaczej napięcie), sprawdźmy jeszcze na wszelki wypadek
jednostkę:
Trzeba wiedzieć, że jednostką oporu właściwego jest omometr (Ωm) - i tak nam wyszło.
Opór właściwy rozpatrywanego przewodnika wynosi 10
-6
Ωm.
Zadanie 5
Treść:
Jakie natężenie wskazuje amperomierz A
na schemacie przedstawionym obok?
Przyjąć R
1
=12Ω, R
2
=4Ω, I
2
=3A.
Dane:
R
1
= 12Ω
R
2
= 4Ω
I
2
= 3A
Szukane:
I = ?
Wzory:
1. Prawo Ohma
2. Równoległe łączenie
oporników
Rysunek:
Rozwiązanie:
Przyjmujemy oznaczenia tak, jak na rysunku powyżej.
Mamy tu do czynienia z równoległym łączeniem oporów. W takim razie możemy
wywnioskować, że:
Z prawa Ohma wiemy, że
Przekształcając ten wzór otrzymujemy
Zatem dla równoległego połączenia oporów prawdziwym jest
gdzie R jest oporem zastępczym oporów R
1
i R
2
.
Z powyższej zależności wynika między innymi
Wzór na szukane natężenie I przyjmie postać
Znajdziemy najpierw opór zastępczy R dla równoległego połączenia kondensatorów
Wyliczamy na koniec szukane natężenie:
Amperomierz powinien wskazać natężenie równe 4 amperom.
Zadanie 6
Treść:
W przedstawionym obwodzie napięcie między
końcami opornika R
1
wynosi 4V. Jaką wartość ma
napięcie między końcami opornika R
2
? Przyjąć
R
1
=2Ω, R
2
=3Ω, R
3
=3Ω.
Dane:
R
1
= 2 Ω
R
2
= 3 Ω
R
3
= 3 Ω
U
1
= 4 V
Szukane:
U
2
= ?
Wzory:
1. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma
Rysunek:
Rozwiązanie:
Żeby rozwiązać powyższe zadanie, należy zapoznać się z zasadami równoległego i
szeregowego łączenia oporników.
Najpierw rozpatrzymy natężenie prądu. Ze źródła prądu wypływa prąd o natężeniu I.
Natężenie to przechodzi przez pierwszy opornik, a na połączeniu równoległym rozdziela
się ono na dwa natężenia:
- przy oporniku drugim natężenie I
2
- przy oporniku trzecim natężenie I
3
(patrz rysunek).
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:
A co dzieje się z napięciem? Zgodnie z zasadą szeregowego łączenia oporników napięcie
całkowite dzieli się pomiędzy opornik pierwszy (U
1
) oraz opornik drugi i trzeci. A
ponieważ te dwa ostatnie są połączone równolegle, to oznacza to, że napięcia na nich są
identyczne
Z prawa Ohma wiemy, że opór to stosunek napięcia U do natężenia I. Przekształcając ten
wzór otrzymujemy:
Powyższy wzór zastosujemy do naszego równania przedstawiającego rozkład natężenia
prądu:
A ponieważ napięcia na drugim i trzecim oporniku są identyczne, to:
Pozostaje nam teraz wyprowadzić wzór na szukane napięcie U
2
i je wyliczyć
Napięcie między końcami opornika R
2
ma wartość 3 V.
Zadanie 7
Treść:
Policzyć opory zastępcze dla przedstawionych układów oporników o oporze R
każdy.
Dane:
R
Szukane:
R
Z
= ?
Wzory:
1. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
Rozwiązanie:
a)
Najpierw policzymy opory zastępcze szeregowego połączenia oporników 1 i 2 oraz 3 i 4:
Te opory zastępcze tworzą układ równoległy, którego opór zastępczy wynosi:
Pozostaje nam wyliczenie oporu zastępczego całego układu oporników (teraz mamy
układ szeregowy)
b)
Jeśli ktoś powie, że powyższy układ sprawia wrażenie trudnego, to ma rację -
rzeczywiście tylko sprawia takie wrażenie. W rzeczywistości zadanie jest banalne,
wystarczy zauważyć, że poniższy układ jest identyczny z powyższym:
Tak więc liczymy opór zastępczy układów równoległych złożonych z oporników 1, 2 i 3
oraz 4 i 5:
Powstaje nam układ szeregowy, którego opór zastępczy wynosi:
c)
Najpierw policzymy opór układu równoległego kondensatorów 6 i 7:
Teraz mamy szeregowe układy kondensatorów: 1-2-3, 4-5, 67-8. Liczymy ich opory:
Z powyższych układów utworzył nam się układ równoległy, po wyliczeniu jego oporu
otrzymamy opór zastępczy:
d)
Zastanówmy się jak zachowuje się prąd elektryczny. Skoro mamy jednakowe oporniki o
oporze R każdy, to prąd będzie chciał przepływać przez jak najmniejszą liczbę
oporników. W naszym przypadku prąd może przepływać przez jeden z oporników na trzy
różne sposoby:
Spróbujmy narysować nasz układ w nieco inny sposób
I w ten sposób zadanie stało się... proste. :) Liczymy opór zastępczy:
Zadanie 8
Treść:
W układzie przedstawionym na rysunku galwanometr G
nie wskazuje przepływu prądu. Ile wynosi opór R
4
, jeżeli
R
1
=1Ω, R
2
=4Ω i R
3
=3Ω?
Dane:
R
1
= 1 Ω
R
2
= 4 Ω
R
3
= 3 Ω
Szukane:
R
4
= ?
Wzory:
1. Opór elektryczny (prawo
Ohma):
Rysunek:
Rozwiązanie:
Na początek definicja:
Galwanometr - elektryczny przyrząd pomiarowy, służący do pomiaru małych natężeń
prądu, napięcia oraz ładunku elektrycznego; urządzenie stosowane jest także jako
wskaźnik zaniku prądu, tzw. wskaźnik zera.
Jeśli galwanometr nie wskazuje przepływu prądu, to znaczy, że napięcie pomiędzy
punktami C i D jest równe zeru. Zatem
Niech potencjał punktu A będzie wyższy niż punktu B. Wtedy rozpływ prądów pokazuje
powyższy rysunek. Napięcia na opornikach są równe:
A wobec faktu, że V
C
= V
D
, to
Policzmy, korzystając ze wzoru na opór, jak możemy wyrazić każde napięcie za pomocą
oporu i natężenia prądu:
Z powyższych wzorów możemy zapisać dwie zależności (przyrównujemy te same
natężenia):
Czas skorzystać z tego, że U
1
= U
2
i U
3
= U
4
. Wobec tego powyższe dwie równości
można zapisać jako jedną
Szukany opór wynosi:
Aby galwanometr nie wskazywał przepływu prądu, opornik R
4
musi mieć opór 12 omów.
Uwaga wniosek!
Jeżeli warunek
jest spełniony, to prąd nie płynie przez opór (w tym zadaniu galwanometr) łączący punkty
C i D.
Zadanie 9
Treść:
Trzyżyłową linkę o oporze 10Ω rozpleciono i otrzymane przewody połączono w
jeden szereg. Ile wynosi opór uzyskanego przewodnika?
Dane:
R
1
= 10 Ω
S
1
= 3S
l
1
= l
S
2
= S
l
2
= 3l
Szukane:
R
2
= ?
Wzory:
1. Opór przewodnika:
Rysunek:
Rozwiązanie:
Opór drutu zmieni się wskutek zmiany długości oraz pola powierzchni przekroju
poprzecznego przewodnika. Dlatego skorzystamy z poniższego wzoru
gdzie:
l - długość przewodnika,
S - pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika,
ρ - opór właściwy.
Ponieważ opór właściwy zależy od materiału, z którego wykonany jest przewodnik, to
będzie to wartość, która u nas nie będzie się zmieniać.
Przed rozkręceniem nasz przewodnik miał następujący opór:
Po rozkręceniu przewodów i połączeniu ich szeregowo otrzymamy przewodnik o
trzykrotnie mniejszym przekroju poprzecznym, ale o trzykrotnie większej długości.
Zatem:
Opór uzyskanego przewodu wynosi 90 omów.
Zadanie 10
Treść:
Z drutu oporowego zbudowano szkielet kwadratu wraz z jedną
przekątną (patrz rysunek). Ile wynosi stosunek wypadkowego
oporu R
AC
do R
BD
?
Dane:
Szukane:
R
AC
/ R
BD
= ?
Wzory:
1. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
2. Zadanie 8 z tego działu
3. Opór elektryczny:
Rysunek:
Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że opór każdego boku kwadratu jest równy R. Znajdźmy najpierw opór
przekątnej kwadratu R'.
Spójrzmy na wzór:
gdzie:
R - opór elektryczny przewodnika,
ρ - opór właściwy przewodnika (zależy od materiału, z którego przewodnik jest
wykonany),
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju poprzecznego przewodnika.
Oczywistym jest, że wartości ρ i S są identyczne zarówno na bokach, jak i na przekątnej
kwadratu. Ze wzoru widzimy, że opór wtedy jest proporcjonalny do długości
przewodnika. W takim razie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy opór
przekątnej R':
Opory R
AC
i R
BD
policzymy posługując się schematem pokazanym na rysunku. Warto
zauważyć, że opór R
AC
jest oporem zastępczym trzech przewodników połączonych
równolegle: R-R, R', R-R. R-R to dwa przewody połączone szeregowo, tak więc ich opór
wynosi 2R. Stąd:
Obliczając R
BD
należy zauważyć, że
Zatem na podstawie zadania 8 z tego działu stwierdzamy, że przez przekątną prąd nie
płynie! I to jest właśnie najtrudniejsza część zadania.
Opór R
BD
jest więc zastępczym oporem dwóch przewodników R-R i R-R połączonych
równolegle, zatem
Szukany stosunek oporów wynosi:
Zadanie 11
Treść:
Jaki opór należy dołączyć równolegle do oporu 24Ω, aby przez taki układ pod
napięciem 12V płynął prąd o natężeniu 2A?
Dane:
U = 12 V
I = 2 A
R
1
= 24 Ω
Szukane:
R
2
= ?
Wzory:
1. Równoległe łączenie
oporników
2. Opór elektryczny (prawo
Ohma):
Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z prostym obwodem elektrycznym. Spójrzmy na wzór wyrażający
prawo Ohma:
Mówi on, że całkowity opór układu, to iloraz napięcia do natężenia prądu.
Musimy więc znaleźć całkowity (zastępczy) opór układu. Zgodnie z zasadami
równoległego łączenia oporników:
Opór zastępczy R
Z
jest równy zgodnie z powyższym ilorazowi napięcia i natężenia prądu:
Pozostaje nam wyliczyć wartość szukanego oporu. Można od razu podstawiać dane, ale
my to zrobimy w ładniejszy sposób - najpierw wyprowadzimy wzór:
Do danego oporu należy dołączyć równolegle opornik o oporze 8 Ω, aby otrzymać prąd o
zadanych parametrach.
Zadanie 12
Treść:
Oblicz wartość oporu R
2
, jeżeli R
1
=4Ω. Woltomierz U
1
wskazał napięcie 8V, a U
2
napięcie 2V.
Dane:
R
1
= 4 Ω
U
1
= 8 V
U
2
= 2 V
Szukane:
R
2
= ?
Wzory:
1. Szeregowe łączenie
oporników
2. Opór elektryczny (prawo
Ohma):
Rozwiązanie:
Mamy szeregowe połączenie oporników. Zatem:
Korzystamy z (***), czyli z tego że natężenie prądu jest wszędzie takie samo.
Przekształcając wzór wynikający z prawa Ohma, otrzymujemy:
Nie przypadkiem tak zrobiliśmy. Możemy teraz wyliczyć opór zastępczy całego układu.
Ponieważ
to...
...a korzystając z (**):
Szukany opór możemy wyliczyć teraz na dwa równoważne sposoby.
Pierwszy sposób:
Wykorzystujemy po prostu równanie (*):
Drugi sposób:
Korzystamy z równania wynikającego z (***):
Szukany opornik ma wartość 1 Ω.
Uwaga!
Ktoś może słusznie zauważyć taką rzecz. Dlaczego natężenie prądu jest wszędzie takie
samo, skoro część natężenia idzie do oporników, a część do woltomierzów?
W zadaniu zakładamy, że mamy woltomierz idealny, czyli taki, który ma nieskończenie
duży opór. A taki opór spowodowałby, że natężenie prądu byłoby nieskończenie małe
(więcej znajdziesz w teorii - punkt 19.6).
Zadanie 13
Treść:
Ile musi być równy opór R
2
, aby napięcia
między punktami AB i BC obwodu były
jednakowe? Przyjąć, że R
1
=11Ω, R
3
=1Ω.
Dane:
R
1
= 11 Ω
R
3
= 1 Ω
Szukane:
R
2
= ?
Wzory:
1. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
2. Opór elektryczny (prawo Ohma):
Rozwiązanie:
Jak Jamnik zazwyczaj rozwiązuje takie zadania? Najpierw z tabelki o szeregowym i
równoległym łączeniu oporników (lub z głowy) wypisuje potrzebne wartości:
Skąd on wie, że akurat te są potrzebne? Z doświadczenia. Jeśli go nie masz, po prostu
wypisz wszystkie wzory. :)
Wzór (*) oznacza, że napięcia na układzie równoległym oporników 1 i 2 oraz na oporniku
3 są równe - to akurat wynika z treści zadania.
Wzór (**) mówi, że natężenie prądu się nie zmienia (szeregowe połączenie oporników).
Natomiast wzór (***) to nic innego, jak opór zastępczy układu równoległego oporników
1 i 2.
Indeks "12" przy oznaczeniach oznaczać będzie, że wartość ta odnosi się do układu
zastępczego równoległego połączenia oporników R
1
i R
2
. Policzmy opór zastępczy tych
oporników zgodnie z (***):
Korzystamy z danych zadania. Mamy dane, zgodnie z (*), że:
Korzystamy ze wzoru na prawo Ohma i przekształcając go odpowiednio, otrzymujemy,
że:
A ponieważ natężenia prądu są sobie równe (**), to:
Zatem:
Aby napięcia między punktami AB i BC były równe, opór R
2
musi być równy 1.1 Ω.
Zadanie 14
Treść:
Znajdź opór R
2
, jeżeli w obwodzie napięcie między
punktami A i B jest równe 2V. Przyjąć U=6V, R
1
=2Ω.
Dane:
U = 6 V
U
AB
= 2 V
R
1
= 2 Ω
Szukane:
R
2
= ?
Wzory:
1. Szeregowe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma:
Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z szeregowym łączeniem oporników. W takim przypadku
natężenie prądu w każdym punkcie obwodu jest stałe (I = const), a zatem:
Przekształcając wzór na prawo Ohma, otrzymujemy wyrażenie opisujące wartość
natężenia prądu:
Możemy zapisać więc nasze równanie jako:
gdzie:
R
Z
- opór zastępczy szeregowego układu oporników,
U
2
- to inaczej natężenie prądu pomiędzy punktami U
AB
.
Oczywiście opór zastępczy oporników wynosi:
Obliczamy więc nasz szukany opór R
2
(środkowa część równania nie będzie nam
potrzebna):
Wartość szukanego opornika wynosi 1 Ω.
Zadanie 15
Treść:
Do jakiego napięcia naładuje się kondensator w
obwodzie elektrycznym na rysunku obok? Jaki będzie
ładunek na kondensatorze? Przyjąć U=10V, R
1
=2Ω,
R
2
=3Ω, C=1µF.
Dane:
U = 10 V
R
1
= 2 Ω
R
2
= 3 Ω
C = 1 µF
Szukane:
U
C
= ?
Q
C
= ?
Wzory:
1. Szeregowe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma
3. Pojemność kondensatora
Rysunek:
Rozwiązanie:
Powyższy rysunek przedstawia ten sam obwód elektryczny - jeśli tego nie widać od razu,
należy się dokładniej przypatrzeć. :)
Mamy więc układ równoległy kondensatora i opornika 2, a układ ten jest połączony
szeregowo z opornikiem pierwszym.
I teraz potrzebne są nam podstawowe wiadomości o kondensatorach.
Wiemy, że kondensator gromadzi ładunek - nie przepływa więc przez niego prąd. Dlatego
przebieg natężenia prądu I w układzie zaznaczono niebieskimi strzałkami - widzimy, że
dla natężenia prądu oporniki są połączone szeregowo. Dlatego opór zastępczy układu
wynosi:
Ponieważ natężenie prądu w układzie szeregowym oporników jest stałe, to możemy
zapisać, że:
Przekształcając wzór na prawo Ohma (wyprowadzamy z niego natężenie I) otrzymujemy:
Naszym zadaniem jest znaleźć napięcie U
BC
. Ponieważ pod tym napięciem znajduje się
układ równoległy kondensatora i opornika drugiego, to napięcia na tych podzespołach
będą identyczne:
gdzie:
U
C
- napięcie, do którego naładuje się kondensator (szukana),
U
2
- napięcie na drugim oporniku.
Korzystamy więc z naszego równania (środkowy człon nie będzie nam potrzebny) do
wyliczenia szukanego napięcia:
Wyliczenie drugiej szukanej, czyli ładunku kondensatora, nie powinno sprawić trudności.
Liczymy to ze wzoru na pojemność kondensatora, który przekształcamy do postaci:
Zatem kondensator naładował się do napięcia 6 woltów, a jego ładunek to 6
mikrokulombów.
Zadanie 16
Treść:
Amperomierz o oporze wewnętrznym 1Ω posiada zakres do 3A. Jaki należy
podłączyć równolegle do amperomierza opór, aby jego zakres rozszerzyć do 15A?
Dane:
I
1
= 3 A
I
2
= 15 A
R
A
= 1 Ω
Szukane:
R = ?
Wzory:
1. Równoległe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma
Rozwiązanie:
Skoro amperomierz pozwala nam mierzyć natężenie prądu do zakresu I
1
, to napięcie na
amperomierzu wynosi (przekształciłem wzór na prawo Ohma):
Teraz pod to samo napięcie przykładamy zmodyfikowany amperomierz. Dołączyliśmy do
niego równolegle opornik R. Wobec tego opór zastępczy naszego układu wynosi:
Natężenie prądu na zmodyfikowanym amperomierzu ma wynosić I
2
, napięcie jest równe
więc:
Przyrównujemy nasze wzory na napięcia i otrzymujemy szukaną wartość oporu:
Aby uzyskać zakres pomiaru do 15 A, należy dołączyć równolegle do amperomierza
opornik o wartości 0.25 Ω.
Zadanie 17
Treść:
Ile wynosi moc wydzielana na oporniku R
3
? Przyjąć:
U=120V, I=3A, R
1
=20Ω, R
2
=60Ω.
Dane:
U = 120 V
I = 3 A
R
1
= 20 Ω
R
2
= 60 Ω
Szukane:
P
3
= ?
Wzory:
1. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma
3. Moc prądu stałego
Rysunek:
Rozwiązanie:
Skoro dotarłeś/aś już do tego zadania, bez problemu zauważysz, że obwód na powyższym
rysunku jest identyczny z obwodem na rysunku z treści zadania.
Aby policzyć moc wydzieloną na oporniku R
3
, należy znaleźć napięcie U
3
i natężenie I
3
dla tego opornika.
Przystępujemy do dzieła.
Źródło prądu daje napięcie U. Zgodnie z zasadami szeregowego łączenia oporników,
zostaje one podzielone na napięcia U
1
i U
23
. Jednocześnie natężenie prądu nie zmieni się:
Możemy zatem wyliczyć napięcie na oporniku pierwszym:
Zatem napięcie U
23
(czyli na układzie oporników połączonych równolegle) wynosi:
Przechodzimy teraz do równoległego układu oporników.
Wiemy, że w takim przypadku napięcie nie zmieni się, jednak podzieli się natężenie.
Zatem słuszne są wzory:
Pamiętamy oczywiście, że:
Liczymy natężenie prądu dla opornika drugiego:
Zatem przez opornik trzeci przepływa prąd o natężeniu:
Szukana moc wydzielona na oporniku R
3
wynosi więc:
Zadanie 18
Treść:
Grzejnik elektryczny o oporze 12Ω pobierał prąd o natężeniu 10A. Po jakim
czasie grzejnik zużył 10kWh energii?
Dane:
R = 12 Ω
I = 10 A
E = 10 kWh
Szukane:
t = ?
Wzory:
1. Kilowatogodzina
2. Moc prądu stałego:
3. Praca i moc:
Rozwiązanie:
Co to jest kilowatogodzina (kWh)?
Jest to oczywiście alternatywna jednostka energii. Otóż my przyzwyczailiśmy się do
podawania wartości energii wyrażonej w dżulach (J). Spróbujmy przeliczyć
kilowatogodziny na dżule:
Skorzystaliśmy z tego, że moc razy czas daje nam energię (pracę)
Nasz grzejnik ma opór R i pobiera prąd o natężeniu I. Znajdźmy jego moc P. W tym celu
korzystamy z odpowiedniego wzoru na moc:
Teraz szukamy czasu t. Grzejnik zużył W = 10 kWh energii. Przekształcając wzór na moc
otrzymujemy:
W ten sposób możemy wyliczyć szukany czas
Sprawdzimy jeszcze jednostkę:
W ciągu 500 minut grzejnik zużyje 10 kilowatogodzin energii.
Zadanie 19
Treść:
Na końcach drutu oporowego panuje napięcie 3V. Jak należy zmienić pole
przekroju poprzecznego drutu, aby po zmianie napięcia na 15V ilość ciepła
wydzielającego się w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy
niezmienionej długości drutu)?
Dane:
U
1
= 3 V
U
2
= 15 V
Q = const
l = const (długość drutu)
t = const
Szukane:
S
1
/ S
2
= ?
Wzory:
1. Opór elektryczny
2. Praca prądu (ciepło):
Rozwiązanie:
Zmieniając przekrój poprzeczny drutu, zmienimy jego opór R zgodnie ze wzorem:
gdzie:
l - długość drutu (const),
S - pole przekroju poprzecznego drutu,
ρ - opór właściwy (też const, bo ta wielkość charakteryzuje materiał, z którego wykonany
jest drut).
Spróbujmy jeszcze wyrazić ciepło (pracę) prądu stałego przepływającego przez nasz drut.
Korzystając z prawa Ohma, możemy je wyrazić na trzy równoważne sposoby:
Nam najbardziej przyda się wzór, w którym jest natężenie U oraz opór R, czyli
Korzystając z naszych rozważań o oporze, wzór na ciepło przyjmie postać:
Przed zmniejszeniem przekroju poprzecznego, gdy panowało napięcie U
1
mieliśmy
sytuację (korzystamy od razu z tego, że W, t, l, ρ = const):
Po zwiększeniu napięcia:
Przyrównujemy oba wzory...
...upraszczamy co się da i otrzymujemy zależność:
Aby ilość ciepła w jednostce czasu nie uległa zmianie, należy zmniejszyć przekrój
poprzeczny drutu 25 razy.
Zadanie 20
Treść:
Żarówka o mocy 20W przystosowana do napięcia 200V została włączona do
napięcia 100V. Jaką posiada ona moc przy niezmienionej oporności włókna?
Dane:
P
1
= 20 W
U
1
= 200 V
U
2
= 100 V
R = const
Szukane:
P
2
= ?
Wzory:
1. Moc prądu stałego
Rozwiązanie:
Indeksem "1" będziemy zaznaczać wielkości charakteryzujące żarówkę, do których jest
przystosowana, a "2" wielkości, w których żarówka pracuje.
Należy znaleźć wzór na moc żarówki, w którym zarówno występuje napięcie U, jak i
opór R. Znając jeden wzór na moc prądu stałego, możemy wyprowadzić dwa pozostałe
wzory (korzystając z prawa Ohma). Mamy zatem:
My oczywiście korzystamy z tego trzeciego.
Dla warunków "normalnych" dla żarówki mamy:
Dla żarówki z zadania:
W obu przypadkach korzystamy z tego, że opór R nie zmienia się. Po prawo
wyprowadzamy wzory na opór, które teraz przyrównamy:
Możemy więc już znaleźć wartość szukanej mocy
Żarówka przy napięciu 100 woltów posiada moc 5 watów.
Zadanie 21
Treść:
Na którym z oporników w obwodzie prądu stałego
wydzieli się najwięcej ciepła? Przyjąć R
1
=1Ω, R
2
=1Ω,
R
3
=2Ω, R
4
=1Ω.
Dane:
R
1
= 1 Ω
R
2
= 1 Ω
R
3
= 2 Ω
R
4
= 1 Ω
Szukane:
W
MAX
= ?
Wzory:
1. Praca prądu stałego
(ciepło)
Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na ciepło (pracę), możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory,
korzystając z prawa Ohma:
Będziemy korzystać ze wzoru, w którym występuje zarówno opór R, jaki i napięcie U. A
dlaczego?
Dlatego, że stworzymy sobie teraz układ równoległy oporników 1-2-3 i 4. Wtedy napięcia
na takich opornikach będą identyczne (czas również jest stały - liczymy ciepło w tych
samych jednostkach czasu). Należy więc policzyć opór zastępczy układu oporników 1-2-
3:
Liczymy ciepło (pracę) dla układu oporników 1-2-3 i opornika 4:
Czyli widzimy, że na opornikach 1-2-3 wydziela się mniej ciepła niż, na oporniku
czwartym.
Najwięcej ciepła wydzieli się na oporniku czwartym.
Zadanie 22
Treść:
Na którym oporniku podczas przepływu prądu wydzieli
się największa moc? Przyjąć R
1
=1Ω, R
2
=2Ω, R
3
=3Ω,
R
4
=1Ω.
Dane:
R
1
= 1 Ω
R
2
= 2 Ω
R
3
= 3 Ω
R
4
= 1 Ω
Szukane:
P
MAX
= ?
Wzory:
1. Moc prądu stałego:
2. Prawo Ohma:
Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na moc prądu, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając
z prawa Ohma:
Rozważmy układ szeregowy oporników 1-2 i 3-4. Policzymy ich opory:
W układzie szeregowym mamy stałe natężenie prądu I, więc przekształcając wzór na
prawo Ohma zauważymy, że:
Będziemy mieli teraz do rozważenia dwa równoległe układy oporników, w których
napięcie prądu jest stałe. Mamy więc:
Czyli w grę tylko wchodzą oporniki nr 1 i 4. Ale:
Dlatego też największa moc wydzieli się na oporniku czwartym.
Zadanie 23
Treść:
Winda o ciężarze 5000N wznosiła się przez 10 sekund. Na jaką wysokość
wzniosła się winda, jeżeli natężenie prądu w silniku windy wynosiło 10A, a
napięcie 500V?
Dane:
Q = 5000 N
t = 10 s
I = 10 A
U = 500 V
Szukane:
s = ?
Wzory:
1. Praca prądu stałego:
2. Praca:
Rozwiązanie:
Jak już się domyślacie, w zadaniu trzeba porównać powyższe dwa wzory na pracę.
Jednocześnie przypomnimy sobie parę informacji z dynamiki. :)
Pierwszy wzór na pracę to iloczyn wektora siły, wektora przesunięcia i kąta między nimi.
Winda porusza się w górę, wektory siły działającej i przesunięcia mają te same zwroty
oraz kierunki, więc
Zatem wzór na pracę przyjmie postać:
Zakładamy, że siłą działającą jest siła równoważna sile ciężkości, a wtedy zgodnie z I
zasadą dynamiki winda będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Wzór na pracę prądu stałego ma postać:
Należy więc porównać oba wzory na pracę i wyliczyć szukane przesunięcie (droga) s:
Sprawdzimy jeszcze jednostkę:
Zatem winda wzniosła się na wysokość 10 metrów.
Zadanie 24
Treść:
Do obwodu prądu stałego o napięciu 220V włączono silnik elektryczny. Oporność
uzwojeń silnika wynosi 20Ω, a natężenie prądu płynącego przez silnik wynosi 1A.
Ile wynosi moc użytkowa oraz sprawność silnika?
Dane:
U = 220 V
R
S
= 20 Ω
I = 1 A
Szukane:
P
UŻ
= ?
η = ?
Wzory:
1. Moc prądu stałego:
2. Sprawność:
3. Prawo Ohma:
Rozwiązanie:
Moc silnika można wyliczyć z trzech alternatywnych wzorów. Mając jeden z nich i
stosując prawo Ohma, otrzymamy dwa pozostałe, tak więc
Mamy obwód elektryczny, do którego podłączony jest silnik. Parametry prądu
elektrycznego określają wartości napięcia U i natężenia I. Korzystając z prawa Ohma,
możemy obliczyć opór:
Ale zaraz, my przecież już mamy dany jakiś opór. Owszem, ale to jest tylko opór
uzwojenia silnika i wchodzi on w skład oporu całkowitego R.
No właśnie. Korzystając z oporu całkowitego R, możemy obliczyć moc całego układu:
Mogliśmy skorzystać z innego wzoru na moc, to bez różnicy - zawsze wyjdzie to samo.
A jak obliczyć moc użytkową? Tak samo, tylko że zmieni nam się wartość oporu. Od
całkowitego oporu odejmujemy opór uzwojenia silnika i w ten sposób otrzymamy opór
"użytkowy":
Liczymy więc moc użytkową:
Teraz bez problemu możemy wyliczyć sprawność silnika:
Moc użytkowa silnika wynosi 200 watów, a jego sprawność około 91%.
Zadanie 25
Treść:
Mierząc sprawność grzałki elektrycznej podczas ogrzewania wody, otrzymano
wynik: η=80%. Ile ciepła w ciągu 5 minut woda pobrała od grzałki, jeżeli moc
prądu płynącego przez grzałkę wynosiła 500W?
Dane:
P = 500 W
η = 80%
t = 5 min = 300 s
Szukane:
W = ?
Wzory:
1. Sprawność:
2. Praca (ciepło):
Rozwiązanie:
Uwaga! Przed rozwiązaniem tego zadania, przyda się zapoznanie z zadaniem
poprzednim.
Aby obliczyć ilość ciepła, jakie woda pobrała od grzałki, musimy znaleźć moc użytkową
grzałki. Gdyby sprawność grzałki wynosiła 100%, to moglibyśmy skorzystać już z danej
mocy P, jednak tak nie jest. Zatem korzystamy ze wzoru na sprawność i liczymy moc
użytkową P
UŻ
:
Ilość ciepła znajdujemy korzystając ze wzoru na pracę prądu stałego:
A zatem:
Woda pobrała od grzałki 120 kilodżuli ciepła.
Zadanie 26
Treść:
Ile wynosi natężenie prądu w obwodzie
przedstawionym na rysunku? ε
1
=2V, ε
2
=9V,
R
1
=2Ω, R
2
=10Ω, r
W
=1Ω
Dane:
ε
1
= 2 V
ε
2
= 9 V
R
1
= 2 Ω
R
2
= 10 Ω
r
W
= 1 Ω
Szukane:
I = ?
Wzory:
1. II prawo Kirchhoffa
Rysunek:
Rozwiązanie:
W obwodzie przedstawionym na rysunku siły elektromotoryczne ε
1
i ε
2
są połączone
przeciwnie. O kierunku płynięcia prądu I w obwodzie zewnętrznym decyduje więc źródło
o większej sile elektromotorycznej. Ponieważ ε
2
> ε
1
, więc w obwodzie zewnętrznym
prąd płynie od bieguna dodatniego (+) do bieguna ujemnego (-) przez opór R
1
, źródło ε
1
i
opór R
2
.
Aby wyliczyć szukane natężenie prądu, skorzystamy z II prawa Kirchhoffa.
Wystartujemy z dowolnego punktu obwodu (np. z A) i przejdziemy cały obwód zgodnie z
kierunkiem prądu, aż do chwili, gdy znów znajdziemy się w punkcie wyjścia. Po drodze
będziemy notować skoki napięcia na poszczególnych elementach obwodu (oporniki
zmniejszają napięcie, podobnie jak siły elektromotoryczne "przeciwnie zwrócone" do
kierunku prądu).
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa suma tych skoków napięcia jest równa zeru.
Oczywiście dwa powyższe zapisy są równoznaczne, drugi jest bardziej elegancki. ;-)
Z tego wzoru możemy wyliczyć teraz szukane natężenie prądu:
Natężenie prądu wynosi 0.5 A.
Zadanie 27
Treść:
Pięć jednakowych ogniw, każde o SEM ε=6V i
oporze wewnętrznym r=3Ω podłączono do oporu
R=5Ω, według schematu obok. Ile wynosi
natężenie prądu I płynącego przez opór zewnętrzny
R?
Dane:
ε = 6 V
r = 3 Ω
R = 5 Ω
Szukane:
I = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu:
2. Szeregowe i równoległe łączenie
ogniw.
Rozwiązanie:
Najpierw rozpatrzymy równoległy układ identycznych ogniw 3 4 5. Zgodnie z zasadami
łączenia siła elektromotoryczna wszystkich ogniw równa jest sile elektromotorycznej
jednego ogniwa, natomiast całkowity opór wewnętrzny to iloraz oporu wewnętrznego
jednego ogniwa przez ilość ogniw:
Teraz rozpatrujemy układ szeregowy ogniw 1 2 345. Wtedy całkowita SEM równa jest
sumie poszczególnych SEM, a całkowity opór wewnętrzny równy sumie poszczególnych
oporów wewnętrznych, zatem:
Ponieważ mamy tylko jeden opór zewnętrzny R, możemy bez problemu zastosować
najprostszy wzór na natężenie prądu I.
Szukane natężenie wynosi:
Natężenie prądu wynosi 1.5 A.
Zadanie 28
Treść:
Ile wynosi natężenie prądu,
płynącego przez opornik R
1
(patrz
rysunek)? Przyjąć ε
1
=10V, ε
2
=5V,
r
1
=1Ω, r
2
=3Ω, R
1
=4Ω, R
2
=3Ω,
R
3
=6Ω, R
4
=1Ω, R
5
=2Ω, R
6
=3Ω,
R
7
=4Ω.
Dane:
ε
1
= 10 V
ε
2
= 5 V
r
1
= 1 Ω
r
2
= 3 Ω
R
1
= 4 Ω
R
2
= 3 Ω
R
3
= 6 Ω
R
4
= 1 Ω
R
5
= 2 Ω
R
6
= 3 Ω
R
7
= 4 Ω
Szukane:
I = ?
Wzory:
1. Drugie prawo Kirchhoffa
2. Równoległe łączenie
oporników
Rysunek:
Rozwiązanie:
Aby obliczyć prąd całkowity I płynący w obwodzie wykorzystamy II prawo Kirchhoffa.
Należy zaznaczyć, że układ oporów R
4
, R
5
, R
6
, R
7
nie wpływa na wielkość natężenia
prądu I. Dzieje się tak dlatego, że połączenie przewodnikiem bezoporowym punktów A i
B (patrz rysunek powyżej) spowodowało równość potencjałów elektrycznych na końcach
oporników R
4
+R
5
i R
6
+R
7
.
Inaczej mówiąc, nie ma napięcia elektrycznego na tych oporach. Prąd przez nie nie
płynie, lecz płynie przez przewód łączący punkty AB.
Ponieważ ε
1
> ε
2
, więc kierunek prądu I jest taki jak na rysunku. Zgodnie z II prawem
Kirchhoffa suma przyrostów (spadków) potencjałów w całym obwodzie zamkniętym jest
równa zeru.
"Obchodząc" obwód należy pamiętać, że poruszając się zgodnie z prądem przesuwamy
się w kierunku niższego potencjału (przyrosty potencjału są ujemne), natomiast
poruszając się "pod prąd" przesuwamy się w kierunku wyższego potencjału (przyrosty
potencjału są dodatnie).
Zaczynając obchodzić obwód w punkcie np. X, zgodnie z kierunkiem prądu mamy:
gdzie
jest oczywiście oporem zastępczym dwóch oporników R
2
i R
3
połączonych równolegle.
Tak więc szukane natężenie prądu wynosi:
Natężenie prądu płynącego przez opornik R
1
wynosi 0.5 A.
Zadanie 29
Treść:
Ile wynoszą natężenia prądów płynących przez oporniki R
2
i R
3
? Układ jak na
rysunku w zadaniu 3, przyjmujemy te same dane.
Dane:
ε
1
= 10 V
ε
2
= 5 V
r
1
= 1 Ω
r
2
= 3 Ω
R
1
= 4 Ω
R
2
= 3 Ω
R
3
= 6 Ω
R
4
= 1 Ω
R
5
= 2 Ω
R
6
= 3 Ω
R
7
= 4 Ω
Szukane:
I
2
= ?
I
3
= ?
Wzory:
1. Równoległe łączenie
oporników
2. I prawo Kirchhoffa
3. Prawo Ohma:
Rysunek:
Rozwiązanie:
Ponieważ opory R
2
i R
3
połączone są równolegle, to zgodnie z zasadami łączenia
oporników napięcia na nich są identyczne:
a co za tym idzie (korzystamy z prawa Ohma):
gdzie I
2
i I
3
oznaczają natężenia prądów płynących przez opory R
2
i R
3
.
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa
Przypominam, że natężenie prądu I wyliczyliśmy w poprzednim zadaniu i wynosiło ono:
Teraz już możemy wyliczyć szukane wartości. Z (1) i (2) wyprowadzamy np I
2
:
Przyrównujemy te wzory i otrzymujemy wartość I
3
:
Wyliczenie I
2
nie powinno sprawić trudności:
Natężenie prądu płynącego przez drugi opornik wynosi 1/3 A, a przez trzeci opornik 1/6
A.
Zadanie 30
Treść:
Ile wynosi różnica potencjałów między punktem X a punktem Y? Rysunek i dane
jak w zadaniu 3.
Dane:
ε
1
= 10 V
ε
2
= 5 V
r
1
= 1 Ω
r
2
= 3 Ω
R
1
= 4 Ω
R
2
= 3 Ω
R
3
= 6 Ω
R
4
= 1 Ω
R
5
= 2 Ω
R
6
= 3 Ω
R
7
= 4 Ω
Szukane:
ΔV = V
X
- V
Y
= ?
Wzory:
1. Równoległe łączenie
oporników
2. Prawo Ohma
Rysunek:
Rozwiązanie:
Przed rozpoczęciem rozwiązywania tego zadania warto zapoznać się z zadaniem 3 i
zadaniem 4.
I sposób
"Przechodzimy" od punktu Y do punktu X zgodnie z kierunkiem prądu. Pamiętamy o
tym, że prąd płynie od potencjału wyższego do potencjału niższego. W punkcie Y jest
jakiś potencjał V
Y
i notujemy przyrosty potencjałów aż "dojdziemy" do punktu X:
Uwaga!
Ponieważ układ oporników R
2
i R
3
jest równoległy, to zgodnie z zasadami łączenia
oporników napięcie jest tam identyczne:
co pociąga za sobą (korzystamy z prawa Ohma):
Tak więc do wyliczenia różnicy potencjałów możemy wykorzystać którąkolwiek część
równości. Zatem prawdziwe są wzory:
Wartości I, I
2
, I
3
znaleźliśmy w zadaniach 3 i 4.
II sposób
Drugi sposób jest bardzo podobny do pierwszego, jednak z punktu X do punktu Y
będziemy przechodzić "pod prąd". Wtedy przyrosty (spadki lub wzrosty) potencjałów
będą wynosić:
Różnica potencjałów między punktem X a Y wynosi 8.5 V.
Zadanie 31
Treść:
Jakie ciepło wydzieli się w całym obwodzie w ciągu czasu t=400s? Rysunek i
dane jak w zadaniu 3.
Dane:
ε
1
= 10 V
ε
2
= 5 V
r
1
= 1 Ω
r
2
= 3 Ω
R
1
= 4 Ω
R
2
= 3 Ω
R
3
= 6 Ω
R
4
= 1 Ω
R
5
= 2 Ω
R
6
= 3 Ω
R
7
= 4 Ω
t = 400 s
Szukane:
W = ?
Wzory:
1. Praca prądu stałego (ciepło Joule'a-
Lenza):
2. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
Rysunek:
Rozwiązanie:
Przed rozpoczęciem rozwiązywania tego zadania warto zapoznać się z zadaniem 3, w
którym znaleźliśmy wartość natężenia prądu I:
Aby znaleźć ciepło W (czasami oznaczane przez Q), musimy znać opór wypadkowy
(zastępczy), przez który przepływa prąd I. Oczywiście ważne jest, żeby prąd ten płynął
przez wszystkie opory, które w naszym obwodzie odgrywają jakąś rolę (pamiętamy, że
przez oporniki 4, 5, 6 i 7 prąd nie płynie - patrz zadanie 3).
Szukamy więc oporu zastępczego R, który wynosi:
Skorzystaliśmy z zasad łączenia szeregowego i równoległego oporników.
Mając opór R, natężenie I oraz czas t, skorzystamy z alternatywnego wzoru na pracę:
Szukane ciepło (wydzielone zgodnie z prawem Joule'a-Lenza) jest równe:
W całym obwodzie w czasie t wydzieli się ciepło w ilości równej 1000 J.
Zadanie 32
Treść:
Do źródła o sile elektromotorycznej ε=28V i
oporze wewnętrznym r=0.5Ω dołączono
odbiorniki o oporach: R
1
=3Ω, R
2
=5Ω R
3
=8Ω,
R
4
=2.5Ω. Na którym oporniku wydzieli się
największa moc?
Dane:
R
1
= 3 Ω
R
2
= 5 Ω
R
3
= 8 Ω
R
4
= 2.5 Ω
ε = 28 V
r = 0.5 Ω
Szukane:
P
1
= ?
P
2
= ?
P
3
= ?
P
4
= ?
Wzory:
1. Natężenie prądu:
2. Moc prądu:
3. Prawo Ohma:
4. I prawo Kirchhoffa
5. Szeregowe i równoległe łączenie
oporników
Rozwiązanie:
Natężenie prądu w naszym układzie wynosi:
Mamy znaleźć moce wydzielane na poszczególnych opornikach (odbiornikach). Suma
tych mocy, da nam tzw. moc użyteczną, którą wyliczamy również ze wzoru:
W obu tych wzorach R oznacza opór zastępczy całego układu. Nie pozostaje nam nic
innego, jak go wyliczyć:
Stąd natężenie oraz moc użyteczna wynoszą:
Moc na oporze czwartym jest równa
Aby znaleźć pozostałe moce, musimy rozważyć równoległy układ oporników 12 i 3, czyli
znaleźć natężenia prądu I
12
oraz I
3
przepływającego przez te oporniki.
W takim układzie mamy stałe napięcie
co pociąga za sobą fakt, że (korzystamy z prawa Ohma):
a z I prawa Kirchhoffa:
Z dwóch powyższych wzorów wyprowadzamy np. I
12
:
I przyrównując te wzory otrzymamy I
3
:
Wyliczenie I
12
nie powinno sprawić problemu
Mając natężenie I
3
, możemy znaleźć moc na oporniku trzecim:
Zauważmy, że na opornikach 1 i 2 wydzielona moc ma wartość
Czyli widzimy już, że największa moc wydzieli się na oporniku czwartym.
Jeżeli jesteśmy uparci i chcemy wyliczyć wartości P
1
i P
2
, to:
Największa moc wydzieli się na oporniku czwartym i wynosi ona 40 watów.
Zadanie 33
Treść:
Do ogniwa o SEM 6V i oporze wewnętrznym 2Ω podłączono żarówkę o oporze
4Ω. Ile wynosi różnica potencjałów na biegunach tego ogniwa?
Dane:
ε = 6 V
r = 2 Ω
R = 4 Ω
Szukane:
ΔV = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu
2. Prawo Ohma
Rysunek:
Rozwiązanie:
Spójrzmy na dwa powyższe rysunki. One tak naprawdę przedstawiają to samo. Drugi
rysunek stosowaliśmy, dopóki nie dowiedzieliśmy się, że jest coś takiego jak siła
elektromotoryczna ogniwa (SEM). Czym to się jednak różni?
Siła elektromotoryczna uwzględnia opór wewnętrzny ogniwa lub układu. Jeśli mi nie
wierzycie, to przypomnijcie sobie wzór na natężenie prądu
Czyli wychodzi, że napięcie to nic innego jak SEM minus opór wewnętrzny. Dlatego to w
pierwszym dziale pomijaliśmy opór wewnętrzny, uznając za źródło prądu napięcie
panujące w obwodzie. Ale teraz jesteśmy mądrzejsi. I to wykorzystamy!
Mamy jakiś obwód. Naszym opornikiem zewnętrznym R jest żarówka, dodatkowo mamy
opór wewnętrzny r. Szukamy różnicy potencjałów, czyli napięcia na biegunach baterii. To
napięcie nazywamy też napięciem użytecznym.
Jak je znaleźć? No właśnie:
Nie mamy natężenia I, więc je znajdujemy:
Tak więc szukane napięcie (czyli różnica potencjałów):
Różnica potencjałów na biegunach ogniwa wynosi 4 V.
Zadanie 34
Treść:
Do ogniwa o sile elektromotorycznej ε=12V i oporze
wewnętrznym r podłączono odbiornik o oporze R=5Ω.
Woltomierz włączony do obwodu tak, jak na rysunku
wskazuje napięcie 10V. Ile wynosi opór wewnętrzny r?
Dane:
ε = 12 V
R = 5 Ω
U = 10 V
Szukane:
r = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu
2. Prawo Ohma
3. Napięcie użyteczne
Rozwiązanie:
To zadanie jest podobne do zadania poprzedniego (ósmego). Mamy baterię o SEM ε i
oporze wewnętrznym r (opór wewnętrzny teraz ma bateria, a nie obwód). Mamy też
napięcie użyteczne panujące w obwodzie, czyli te, które wykrywa woltomierz podłączony
do opornika (odbiornika).
Zatem podobnie jak poprzednio:
Stąd wyliczymy nasz szukany opór wewnętrzny
Potrzebujemy jeszcze znaleźć natężenie prądu I płynącego w obwodzie. W tym celu
możemy skorzystać z jednego ze dwóch wzorów:
Pierwszy wzór, to wzór na natężenie z uwzględnieniem SEM, a drugi z uwzględnieniem
napięcia użytecznego. Tak naprawdę te wzory przedstawiają nam to samo, my jednak
skorzystamy z tego drugiego, bo nie ma w nim niewiadomej r - ułatwi to nam liczenie.
Tak więc:
Opór wewnętrzny ogniwa wynosi 1 Ω.
Zadanie 35
Treść:
Ile wynosi napięcie na zaciskach ogniwa, jeżeli opór zewnętrzny obwodu o sile
elektromotorycznej ε jest dwa razy większy od oporu wewnętrznego ogniwa?
Dane:
R = 2 r
ε
Szukane:
U = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu
2. Napięcie użyteczne
Rozwiązanie:
W zadaniu daną mamy siłę elektromotoryczną (SEM) oraz zależność pomiędzy oporem
wewnętrznym a oporem zewnętrznym. Zanim poszukamy szukanej wartości napięcia
użytecznego, spróbujemy określić wartość siły elektromotorycznej przekształcając wzór
Tak więc
Z poprzednich zadań wiemy, że napięcie użyteczne w obwodzie wynosi
Wykorzystajmy powyższe:
Hm... nie mamy wartości natężenia I. Ale właśnie, korzystając z (1) zauważymy, że
A przecież wartość SEM mamy daną. :)
Napięcie na zaciskach ogniwa wynosi 2/3 ε.
Zadanie 36
Treść:
Trzy oporniki (R=1Ω) połączono ze źródłem prądu
o sile elektromotorycznej ε=12V i oporze
wewnętrznym r=2Ω. Jakie natężenie prądu wskaże
amperomierz A? Ile wyniosą wskazania
woltomierzy? Ile wynosi spadek napięcia na
oporze wewnętrznym r?
Dane:
R = 1 Ω
r = 2 Ω
ε = 12 V
Szukane:
I = ?
U
1
= ?
U
2
= ?
Ir = ?
Wzory:
1. Natężenie prądu
2. Prawo Ohma
3. Szeregowe łączenie
oporników
4. Napięcie użyteczne
Rozwiązanie:
Zaczynamy!
Wyliczenie natężenia prądu I na tym etapie nie powinno już sprawiać trudności,
nieprawdaż? Wystarczy tylko podstawić dane do wzoru. Zauważ, że wzór ten mówi o
oporze zewnętrznym całkowitym (zastępczym), tak więc najpierw korzystając z zasad
szeregowego łączenia oporników wyliczamy opór zastępczy:
Natężenie prądu wynosi
Teraz zajmiemy się woltomierzami. Najpierw tym drugim.
Wskazuje on wartość napięcia użytecznego, ponieważ obejmuje kawałek obwodu, w
którym jest bateria (SEM) oraz jej opór wewnętrzny, który powoduje spadek napięcia.
Zatem woltomierz drugi wskazuje napięcie
Zauważmy, że wartość I r charakteryzuje nam spadek napięcia na oporze wewnętrznym, a
więc:
Pozostaje nam znaleźć wartość napięcia wskazywaną przez woltomierz pierwszy. Nie jest
to trudne. Mamy bowiem układ szeregowy oporników, a więc przez każdy z nich
przepływa ten sam prąd o natężeniu I. Mając opór 2R tego opornika i korzystając z prawa
Ohma możemy wyliczyć szukane napięcie
Amperomierz wskazuje natężenie prądu równe 1.2 A, woltomierz pierwszy wskazuje
napięcie 2.4 V, drugi 9.6 V, natomiast spadek napięcia na oporze wewnętrznym wynosi
2.4 V.
Zadanie 37
Treść:
Woltomierz V wskazuje 4V. Opór R wynosi 2Ω,
siła elektromotoryczna jednego ogniwa 9V, a opór
wewnętrzny jednego ogniwa 4Ω. Ile wynosi liczba
ogniw połączonych szeregowo? Ile wynosi
napięcie na zaciskach baterii?
Dane:
U = 4 V
R = 2 Ω
ε = 9 V
r = 4 Ω
Szukane:
n = ?
U
UŻ
= ?
Wzory:
1. Szeregowe łączenie ogniw
2. Napięcie użyteczne
3. Natężenie prądu
4. Prawo Ohma
5. Szeregowe łączenie
oporników
Rozwiązanie:
W tym dziale nie można zapomnieć o wzorze na natężenie prądu. Spójrzmy na niego:
R to w naszym przypadku opór zastępczy wszystkich oporników zewnętrznych, a
ponieważ są one połączone szeregowo, to możemy śmiało stwierdzić, że opór zewnętrzny
wynosi 3R. Mamy tu jednak do czynienia jeszcze z układem n ogniw. Gdy zapoznamy się
z zasadami łączenia ogniw stwierdzimy, że wzór na natężenie powinien wyglądać w
sposób następujący:
Ale mamy dwie niewiadome - szukane n oraz natężenie prądu I. Skąd wziąć tę drugą
wartość? Ano zauważmy, że mamy daną przez woltomierz wartość napięcia przy jednym
z oporników oraz wartość tego oporu. A korzystając z prawa Ohma, możemy wtedy
otrzymać natężenie
Przyrównujemy dwa powyższe wzory i znajdujemy wartość n:
Sprawdzenie jednostki pozostawiam jako proste ćwiczenie. :)
Potrzebujemy jeszcze znaleźć napięcie na zaciskach baterii ogniw. Jest to tzw. napięcie
użyteczne, które niejednokrotnie liczyliśmy ze wzoru:
A ponieważ mamy układ n ogniw, to wzór przyjmie postać:
Natężenie prądu I zastępujemy którymś z powyższych wzorów i otrzymujemy:
W układzie jest 12 ogniw połączonych szeregowo, a napięcie na zaciskach układu ogniw
wynosi 12 V.
Zadanie 38
Treść:
W obwodzie SEM ogniw mają wartości ε
1
=2V,
ε
2
=5V, opory wewnętrzne tych ogniw są równe
zeru. Ile wynosi natężenie prądu w obwodzie i
w którą stronę jest skierowane? Ile wynoszą
potencjały w punktach A, B, C i D? Przyjąć
R
1
=2Ω, R
2
=1Ω.
Dane:
R
1
= 2 Ω
R
2
= 1 Ω
ε
1
= 2 V
ε
2
= 5 V
Szukane:
I = ?
V
A
= ?
V
B
= ?
V
C
= ?
V
D
= ?
Wzory:
1. II prawo Kirchhoffa
Rozwiązanie:
Na początku określimy, w którą stronę płynie prąd. Zauważmy, że
Tak więc kierunek prądu jest odwrotny do ruchu wskazówek zegara.
I teraz możemy skorzystać z drugiego prawa Kirchhoffa, które mówi, że jak okrążymy
cały obwód to suma przyrostów (spadków lub wzrostów) napięć jest równa zeru.
Wybieramy sobie dowolny punkt obwodu (ja biorę punkt A) i okrążamy go zgodnie lub
niezgodnie z kierunkiem przepływu prądu. Ja tym razem okrążę obwód w kierunku
przeciwnym do kierunku prądu, a więc będę szedł od punktu A do punktu A zgodnie z
kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Wtedy oporniki powodują przyrost napięcia, a
więc:
Zauważ, że bateria pierwsza powoduje wzrost napięcia, a druga jego spadek. Liczymy
dalej szukane natężenie I:
Teraz będziemy znajdować potencjały w punktach A, B, C i D.
Co oznacza ta "choinka" przy punkcie A? Uziemienie. Obwód w punkcie A jest
uziemiony, czyli potencjał w nim wynosi zero. I to trzeba zapamiętać. I właśnie
korzystając z wartości potencjału w tym punkcie, będziemy wyliczać potencjał w
pozostałych.
W punkcie B mamy potencjał (idziemy przeciwnie do kierunku prądu)
...w punkcie D (zgodnie z kierunkiem prądu)...
...a w punkcie C (zgodnie z kierunkiem prądu, zaczynamy z punktu D):
Natężenie prądu w obwodzie wynosi 1 A, a potencjały w oznaczonych punktach wynoszą:
Zadanie 39
Treść:
Po zamknięciu klucza K na kondensatorze o
pojemności 10mF zgromadził się ładunek
10mC. Oblicz natężenie prądu płynącego w tym
obwodzie i siłę elektromotoryczną, jeżeli R=1Ω
i r=3Ω?
Dane:
C = 10 mF = 0.01 F
Q = 10 mC = 0.01 C
R = 1 Ω
r = 3 Ω
Szukane:
I = ?
ε = ?
Wzory:
1. Pojemność elektryczna
2. Natężenie prądu
3. Prawo Ohma
4. Szeregowe łączenie
oporników
Rozwiązanie:
Po zamknięciu klucza K kondensator o pojemności C naładuje się ładunkiem Q.
Przekształcając wzór na pojemność elektryczną otrzymamy napięcie panujące na
oporniku R:
A teraz mając napięcie U i wartość oporu R, możemy korzystając z prawa Ohma wyliczyć
natężenie prądu płynącego przez ten opornik. Pamiętajmy, że przez kondensator prąd nie
płynie, więc pozostaje nam szeregowy układ oporników, w którym wszędzie natężenie
prądu jest identyczne
Wartość siły elektromotorycznej znajdziemy przekształcając wzór na natężenie. Będzie
więc to iloczyn natężenia prądu I przez sumę oporu wewnętrznego i oporu zewnętrznego
(całkowitego). Ponieważ jest to układ szeregowy, to opór zastępczy będzie równy:
Obliczamy SEM:
Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi 1 A, zaś siła elektromotoryczna (SEM)
ma wartość 6 V.