Przestrzenie Metryczne

Definicja

Niech  X - zbór, X

≠∅

Metryką

 (odległością) w zbiorze X nazywamy funkcję  d :

(M0) 

d : X

× X [ 0, ∞

(nieujemność)

o własnościach:
(M1) 

∀ x , y∈ X :

d

 x , y=0  ⇔ x= y

(M2) 

∀ x , y∈ X :

d

 x , y=d  y , x

(symetria)

(M3) 

∀ x , y , z∈ X : d  x , y≤d  x , zd  z , y

(warunek trójkąta)

Parę 

 X , d 

nazywamy 

przestrzenią metryczną

.

Uwaga

  (M1)

⇔[∀ x∈ X d  x , x=0 ∧∀ x , y∈ X d  x , y=0 ⇒ x= y]

Przykłady

 przestrzeni metrycznych

1)

 Przestrzeń dyskretna

 

 X , d

01



d

01

 x , y≔

{

0,  gdy x

= y

1,  gdy x

≠ y

d

01

- 

metryka dyskretna

 (zero-jedynkowa)

Sprawdzamy, że funkcja  d

01

jest metryką, tzn. jest dobrze określona i spełnia warunki

(M0)-(M3).

Dowód

(M0)-(M2) wynikają z definicji d

01

(M3) 
1.  x

= y

    

L

=d  x , y=0 

P

≥0 

}

⇒ L≤P

2.  x

≠ y L=d

01

 x , y=1

    

x

=z≠ y

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=0 1 =1 

y

=z≠x

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=1 0 =1 

y

≠z≠x

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=1 1 =2

}

⇒ P≥1 

⇒ L≤P

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 1 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

x

z

y

d(z,y)

d(x,z)

d(x,y)

}

2) Jednowymiarowa 

przestrzeń euklidesowa

 

ℝ , d

E



X

=ℝ

d

E

 x , y≔∣x− y∣

dla x , y

∈ℝ

Funkcja  d

E

 jest metryką.

Dowód

(M0)-(M2) wynikają z definicji wartości bezwzględnej
(M3)  d

E

 x , y=∣x− y∣=∣x−zz− y∣≤∣x−z∣∣z− y∣=d

E

 x , zd

E

z , y

3) n – wymiarowa 

przestrzeń euklidesowa

 

ℝ

n

, d

E



Niech x , y

∈ℝ

n

x

= x

1

, x

2

,... , x

n



y

= y

1

, y

2

,... , y

n



d

E

 x , y≔



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2 

dla x , y

∈ℝ

n

d

E

- 

metryka euklidesowa

Sprawdzamy, że funkcja  d

E

jest metryką.

Dowód

(M0)  d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2  

≥0,  bo



≥0

(M1)  d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2  

=0 ⇔

∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2 

=0  ⇔∀ i=1,2 ,, n  : x

i

− y

i



2 

=0  ⇔

⇔∀ i=1,2 ,, n: x

i

= y

i

⇔ x= y

(M2)  d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2  

=



∑

i

=1

n

 y

i

−x

i



2  

=d

E

 y , x

(M3) 

d

E

2

 x , y=

∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2  

=

∑

i

=1

n

[ x

i

−z

i

 z

i

− y

i

]

2  

=

=

∑

i

=1

n

[ x

i

−z

i



2 

2 x

i

−z

i

 z

i

− y

i

 z

i

− y

i



2 

]=

=

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2 



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2 

2 

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i

 z

i

− y

i



Korzystając z nierówności Cauchy'ego:

        

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i

 z

i

− y

i

≤



∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2  



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2  

otrzymujemy

        

d

E

2

 x , y≤

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2 



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2 

2 



∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2  



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2  

=





∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2  





∑

i

=1

n

z

i

− y

i



2  



2 

=d

E

 x , zd

E

 z , y

2 

zatem
         d

E

 x , y≤d

E

 x , zd

E

 z , y

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 2 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

4) Przestrzeń  ℝ

n

z 

metryką taksówkową

 

ℝ

n

, d

T



X

=ℝ

n

d

T

 x , y≔

∑

i

=1 

n

∣x

i

− y

i

∣ dla x , y∈ℝ

n

d

T

- 

metryka taksówkowa

Sprawdzamy, że funkcja  d

T

jest metryką.

Dowód

(M0)  d

T

 x , y=

∑

i

=1 

n

∣x

i

− y

i

∣≥0  (z własności wartości bezwzględnej)

(M1)  d

T

 x , y=

∑

i

=1 

n

∣x

i

− y

i

∣=0 ⇔∀ i : ∣x

i

− y

i

∣=0 ⇔∀ i : x

i

= y

i

⇔ x= y

(M2)  d

T

 x , y=

∑

i

=1 

n

∣x

i

− y

i

∣=

∑

i

=1 

n

∣y

i

−x

i

∣=d

T

 y , x

(M3) 

d

T

 x , y=

∑

i

=1 

n

∣x

i

− y

i

∣=

∑

i

=1 

n

∣x

i

−z

i

z

i

− y

i

∣≤

∑

i

=1 

n

∣x

i

−z

i

∣∣z

i

− y

i

∣=

=

∑

i

=1 

n

∣x

i

−z

i

∣

∑

i

=1 

n

∣z

i

− y

i

∣=d

T

 x , zd

T

 z , y

Zatem
          d

T

 x , y≤d

T

 x , zd

T

z , y

5) 

ℝ

n

z metryką d

T

(

uogólnienie metryki taksówkowej

) 

ℝ

n

, d

T



X

=ℝ

n

c

i

=const , c

i

∈ℝ ,i=1, 2 ,... , n

d

T

 x , y≔

∑

i

=1 

n

c

i

∣x

i

− y

i

∣ dla x , y∈ℝ

n

6) 

ℝ

n

z 

metryką maksimum

  d

max

ℝ

n

, d

max



X

=ℝ

n

d

max

 x , y≔ max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣} dla  x , y∈ℝ

n

d

max

- 

metryka maksimum

Sprawdzamy, że funkcja  d

max

jest metryką.

Dowód

(M0) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}≥0  (z własności wartości bezwzględnej)

(M1) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}=0 ⇔∀ i : ∣x

i

− y

i

∣⇔ x= y

(M2) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣y

i

−x

i

∣}=d

max

 y , x

(M3) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}

         

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

− y

k

∣=∣x

k

−z

k

z

k

− y

k

∣≤∣x

k

−z

k

∣∣z

k

− y

k

∣

         oraz

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

−z

k

∣≤max {∣x

i

−z

i

∣}=d

max

 x , z  

   i   

∣z

k

− y

k

∣≤max {∣z

i

− y

i

∣}=d

max

z , y   

         Stąd 

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

− y

k

∣≤d

max

 x , zd

max

 z , y

         Zatem   d

max

 x , y≤d

max

 x , zd

max

z , y  

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 3 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

7) Przestrzeń odwzorowań ciągłych z 

metryką Czebyszewa

C [a , b] ,d

C



Niech

C

[a ,b]

- zbiór funkcji ciągłych w przedziale 

[a ,b]

d

C

 f , g≔ max

x

∈[a ,b]

∣ f  x−g  x∣ dla f , g ∈C [a ,b]

d

C

- 

metryka Czebyszewa

8) Przestrzeń odwzorowań ograniczonych z 

metryką supremum

 

 B X  , d

sup



Niech

B

 X ≔{ f ∣ f : X ℝ∧ f −ograniczona w zb. X }

d

sup

 f , g≔sup

x

∈X

∣ f  x−g  x∣

dla f , g

∈B X 

d

sup

- 

metryka supremum 

Sprawdzamy, że funkcja  d

sup

 jest metryką.

Dowód

(M0) d

sup

 f , g=sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣≥0  (z własności wartości bezwzględnej)

(M1) d

sup

 f , g =sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣=0 ⇔∀ x∈ X ∣ f  x−g  x∣=0 ⇔

⇔∀ x∈ X

f

 x=g  x⇔ f =g

(M2) d

sup

 f , g =sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣=sup

x

∈X

∣g  x− f  x∣=d

sup

 g , f 

(M3) f , g , h

∈B X 

       

∀ x∈ X ∣ f  x−g  x∣=

=∣ f  x−h xh x−g  x∣≤∣ f  x−h x∣∣h x−g  x∣≤

≤sup

x

∈ X

∣ f  x−h x∣sup

x

∈ X

∣h x−g  x∣ ⇒

⇒ sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣≤sup

x

∈ X

∣ f  x−h x∣sup

x

∈ X

∣h x−g  x∣

        
Zatem
        d

sup

 f , g≤d

sup

 f , hd

sup

h , g 

Definicja

Niech będzie dana przestrzeń metryczna

 X , d 

,

x

0 

∈ X ∧r0

K

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

r} - 

kula otwarta

 o środku w  x

0

i promieniu  r

K

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

≤r} - 

kula domknięta

 o środku w  x

0

i promieniu  r

S

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

=r} - 

sfera

 o środku w  x

0

i promieniu  r

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 4 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Przykłady

1. Niech dana będzie metryka euklidesowa w 

ℝ , d

E

 x , y=∣x− y∣ dla x , y∈ℝ .

Szukamy kuli otwartej w tej przestrzeni:

d

E

 x , x

0

r ⇔∣x−x

0 

∣r ⇔−rx−x

0

r ⇔ x

0 

−rxx

0

r

K

 x

0

, r

= x

0 

−r , x

0 

r

Podobnie kula domknięta: 

d

E

 x , x

0

≤r ⇔∣x−x

0 

∣≤r ⇔−r≤x−x

0 

≤r ⇔ x

0 

−r≤x≤x

0

r

K

 x

0

, r

=[ x

0 

−r , x

0 

r ]

2. Niech 

 X , d

01

 - przestrzeń dyskretna

d

01

 x , x

0

r ⇔ x=x

0 

dla r

≤1  lub x jest dowolnym elementem zbioru X dla r1

  Stąd 

   K

 x

0

, r

=

{

{x

0

}

dla r

≤1, 

X

dla r

1.

  Podobnie 

   K

 x

0

, r

=

{

{x

0

}

dla r

1, 

X

dla r

≥1 .

Definicja

Niech 

 X , d 

- przestrzeń metryczna.

Zbiór  A

⊂ X nazywamy 

zbiorem otwartym

⇔∀ a∈ A ∃r0: K a , r⊂ A

Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej 

 X , d 

 nazywamy

topologią generowaną

 (indukowaną) w zbiorze X przez metrykę  d i oznaczamy

Top

d

X lub krótko  Top

d

.

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 5 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Dowód

Wykażemy, że K

 x

0

, r

 jest zb. otwartym (tzn. ∈Top

d

X ).

Niech y

∈K  x

0

, r

 .

Pytamy czy

∃0 : K  y , ⊂K  x

0

, r

 , to znaczy

by spełniona była implikacja  z

∈K  y ,⇒ z∈K  x

0

, r



czyli implikacja  d

z , y⇒ d z , x

0

r .

Jeżeli d

 z , y , to

d

z , x

0

≤d z , yd  y , x

0

d  y , x

0

 .

Zatem jeżeli 

 spełnia warunek 0 r−d  y , x

0

 (np. ≔

1
2

r−d  y , x

0

 ),

to  d

 z , x

0

r .

Twierdzenie 

(własności zbiorów otwartych)

Niech

 X , d  - przestrzeń metryczna.

Wtedy
1)

∅ , X - zbiory otwarte

2)

∀ i∈I  A

i

⊂ X ∧A

i

−zb. otwarty⇒ ∪

i

∈I

A

i

−zb. otwarty

3)  ∀i=1,2 ,...,n A

i

⊂ X ∧A

i

−zb. otwarty⇒ ∩

i

=1 

n

A

i

−zb. otwarty

Uwaga

Przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym.

Przykład

Niech w przestrzeni euklidesowej

ℝ , d

E

 będzie dana rodzina zbiorów  {A

n

}

n

∈ℕ

, gdzie

A

n

=



0, 1 



1 

n



dla n

∈ℕ

  Każdy z tych zbiorów jest otwarty, tzn.

∀ n∈ℕ: A

n

∈Topℝ .

  Jednak przecięcie tej rodziny nie jest zbiorem otwartym, bo

∩

n

∈ℕ

A

n

= ∩

n

∈ℕ

0,1 

1 

n

=1,0 ]∉Top ℝ

Przykład

 X , d

01



K

d

01

 x

0

,1

={x

0 

}⇒

tw.

{x

0 

}∈Top

d

01

Stąd

∀ x

0 

∈ X {x

0

}∈Top

d

01

.

Zatem 

Top

d

01

=2 

X

, gdzie  2 

X

≔ P  X  .

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 6 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

y

x

d(y,x )

0

0

r

z



Przestrzenie topologiczne

Definicja

Niech X

≠∅

Topologią

 zbioru X nazywamy rodzinę 

T

czytaj :tau

podzbiorów zbioru  X

spełniającą warunki :

( T

1

)               

∅∈T , X ∈T

( T

2

)               

{

A

i

}

i

∈I

⊂T ⇒ ∪

i

∈I

A

i

∈T

( T

3

)                

{

A

i

}

i

=1,2 ,... , n

⊂T ⇒ ∩

i

=1

n

A

i

∈T

Parę 

 X ,Top

nazywamy 

przestrzenią topologiczną

, a każdy element topologii  T

nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej 

 X ,Top

i oznaczamy

symbolem   Top X . 

Przykłady

1. Topologia trywialna w zbiorze X

                   T

0

=

{

∅ , X

}

2. Topologia dyskretna w X

                  T =2

X

3. Topologia naturalna prostej rzeczywistej

ℝ

 

{

U :U

⊂ℝ , ∀ x∈U ∃r0   : x−r , xr⊂U

}

- topologia.

Uwaga

Rodzina

{

a ,b ,−∞ab∞

}

nie jest topologią w

ℝ

Definicja

Przestrzeń topologiczną 

 X ,Top

nazywamy 

przestrzenią Hausdorffa 

 

    

⇔∀ x , y∈ X  x≠ y ⇒∃U

x

,U

y

∈Top: x∈U

x

,

y

∈U

y

, U

x

∩U

y

=∅

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 7 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

x

y

U

U

x

y

Twierdzenie

Każda przestrzeń topologiczna indukowana przez metrykę jest przestrzenią Hausdorffa.

Dowód

Niech 

 X , d 

- przestrzeń metryczna i  x , y

∈ X . 

Załóżmy, że  x

≠ y .

Wtedy 

d

 x , y0

.

Definiujemy  U

x

≔ K

d

 x ,

1
2

d

 x , y , U

y

≔ K

d

 y ,

1

2

d

 y , x .

Zbiory  U

x

,U

y

są zbiorami otwartymi,  x

∈U

x

, y

∈U

y

i zbiory te rozdzielają punkty

x , y

bo  U

x

∩U

y

=∅ .

Definicja

Niech 

 X ,Top

- przestrzeń topologiczna

oraz niech A

⊂ X

•

 

Int A

−wnętrze  zbioru A

Wnętrze 

zbioru A  to największy zbiór otwarty zawarty w A .

•

 

Ex A

−zewnetrze zbioru A

Zewnętrze

 zbioru  A  to wnętrze dopełnienia zbioru  A , tzn.

Ex A

=Int  X − A=Int A'

•

 

Fr A

−brzeg zbioru A

Brzeg 

zbioru  A to zbiór tych punktów, które nie należą ani do wnętrza, ani do

zewnętrza zbioru, tzn.  

Fr A

= Int A∪Ex A'

Definicja

Niech 

 X ,Top

- przestrzeń topologiczna  A

⊂ X

Zbiór  A nazywamy 

domkniętym

, gdy jego dopełnienie do zbioru  X jest zbiorem

otwartym, tzn.

A

−domknięty ⇔ A' ∈Top

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 8 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej dowolny zbiór jednoelementowy 

{

x

0

}

 jest zbiorem

domkniętym.

Twierdzenie 

(własności zbiorów domkniętych)

Niech

 X ,Top  - przestrzeń topologiczna.

Wtedy 

 

1) 

∅ , X −są zbiorami domkniętymi

2) 

∀ i∈I B

i

−zb. domknięty∧B

i

⊂ X ⇒ ∩

i

∈I

B

i

−zb. domknięty

3) 

∀ i=1,2 ,... , nB

i

−zb. domknięty∧B

i

⊂ X ⇒ ∪

i

=1

n

B

i

−zb. domknięty

Uwaga

Zbiór pusty oraz cały zbiór  X są jednocześnie otwarte i domknięte w przestrzeni
topologicznej.

Definicja

Niech 

 X ,Top

, A

⊂ X

•

 

A

−domknięcie zbioru A

Domknięcie

 zbioru  A to najmniejszy zbiór domknięty zawierający  A .

Definicja

Niech 

 X , d 

- przestrzeń metryczna

oraz niech  A

⊂ X .

Zbiór  A nazywamy 

ograniczonym

, jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli otwartej, tzn.

A

−ograniczony ⇔∃ x

0

∈ X ,∃r0: A⊂K  x

0

, r



Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 9 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Metryki równoważne

Definicja

Metryki  d i 

 określone w zbiorze  X nazywamy metrykami równoważnymi  ⇔

topologie  Top

d

i  Top



indukowane w zbiorze  X przez te metryki są równe,

Top

d

=Top



, to znaczy:

d

~⇔

[

∀ U U ∈Top

d

⇔U ∈Top





]

Uwaga

Równoważność metryk jest relacją równoważności.

Definicja

Metryki taksówkową, euklidesową i maksimum w 

ℝ

n

 nazywamy metrykami

standardowymi.

Twierdzenie

Metryki standardowe określają tę samą topologię.

Przykład

K

d

T

0,0,1=

{

 x

1

, x

2

: d

T

 x

1

, x

2

 ,0,01 

}

∣

x

1

∣



∣

x

2

∣

1 

∣

x

2

∣

=1−

∣

x

1

∣

x

2

=1−

∣

x

1

∣

∨−x

2

=1−

∣

x

1

∣

K

T

0,0,1={ x

1

, x

2

:∣x

1  

∣∣x

2  

∣1 }

                             

Rozważmy teraz

ℝ

2

, d

E



wtedy łatwo sprawdzić, że

K

d

T

0,0,1∈Top

d

E

Definicja 

Rozważamy przestrzeń metryczną 

 X , d 

 oraz x

0

∈ X .

Otoczeniem

 punktu  x

0

 nazywamy dowolny zbiór otwarty do którego należy  x

0

.

Rodzinę wszystkich otoczeń punktu  x

0

 oznaczamy  Top

d

 x

0

 lub ot  x

0

 .

Sąsiedztwem

 punktu  x

0

 nazywamy dowolny zbiór U

∗

:

=U ∖

{

x

0

}

, gdzie U

∈Top

d

 x

0

 .

Top

d

∗

 x

0

 - rodzina wszystkich sąsiedztw punktu  x

0

.

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 10 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

1

1

-1

-1

0

x

1

x

2

x

2 

=1−∣x

1 

∣

x

2 

=∣x

1 

∣−1

Definicja

Punkt  x

0

 nazywamy 

izolowanym

, gdy zbiór jednoelementowy 

{

x

0

}

jest zbiorem

otwartym, tzn.

x

0

−punkt  izolowany⇔

{

x

0

}

−zbiór otwarty

Przykład

W przestrzeni dyskretnej

 X , d

01

 zbiór 

{

x

0

}

jest otwarty jako kula otwarta. Zatem

każdy  punkt zbioru X jest punktem izolowanym w tej przestrzeni.

Definicja

Niech 

 X ,Top ,

A

⊂ X ,

x

0

∈ X

Punkt  x

0

 nazywamy 

punktem skupienia

 zbioru  A , gdy w każdym sąsiedztwie

punktu  x

0

 znajduje się element zbioru   A , tzn

∀ U

∗

∈Top

d

∗

 x

0

: U

∗

∩A≠∅

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru  A  nazywamy 

pochodną zbioru

  A  i

oznaczamy   ' A .

Przykłady

1. W dowolnej przestrzeni metrycznej 

 X , d  spełnione jest: 

'

∅=∅

∀ x∈ X '

{

x

}

=∅

2. W przestrzeni dyskretnej 

 X , d

01

 :

∀ A∈ X ' A=∅

3. W przestrzeni euklidesowej 

ℝ , d

E



'

a ,b='

[

a , b

]

=

[

a , b

]

'

ℕ=∅ w ℝ , natomiast   ' ℕ={∞}w ℝ , gdzie  ℝ=ℝ∪{∞ ,−∞}

'

ℚ=ℝ w ℝ

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej punkt  x

0

należy do domknięcia zbioru A wtedy i

tylko wtedy, gdy w dowolnym otoczniu punktu  x

0

istnieje element zbioru A , 

x

0 

∈A⇔∀ U ∈Top

d

 x

0

: U ∩A≠∅

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 11 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Normy

Definicja

Niech  X  będzie przestrzenią wektorową nad ciałem  K .

K

=ℝ lub K =ℂ

Normą 

w przestrzeni wektorowej

 

X  nazywamy funkcję

( N0 )  

∥ . ∥: X [ 0 ,  ∞

,

spełniającą następujące własności :
( N1 )   x=0 wektor  zerowy∈ X ⇔∥x∥=0  skalar ∈ℝ
( N2 )   ∥ x∥=

∣



∣

∥x∥

∈K , x∈ X

( N3 )  

∥x y∥≤∥x∥∥y∥

x , y

∈ X

Parę 

 X ,∥ . ∥

nazywamy 

przestrzenią unormowaną

Przykłady

1.

X

=K - przestrzeń wektorowa nad ciałem  K .

Funkcja 

∣ . ∣

moduł jest normą.

2.

F

 X ={ f : X ℝ ; f  x=0   poza skończoną liczbą punktów x∈ X } .

Ćwiczenie:

 wykazać, że 

F

 X 

jest przestrzenią wektorową.

Niech 

f

∈F  X 

∥ f ∥

∞

≔ sup {∣ f  x∣: x∈ X }=max {∣ f  x∣: x∈ X } .

Ćwiczenie:

  wykazać, że 

∥ . ∥

∞

jest normą w 

F

 X 

.

∥ . ∥

∞

- 

norma supremum

Twierdzenie

 (o indukowaniu metryki przez normę)

Jeśli 

 X ,∥ . ∥

jest przestrzenią unormowaną, to funkcja

d : X

× X [ 0 , ∞ taka, że

d

 x , y≔∥x− y∥ dla x , y∈ X

jest metryką w   X .

Metrykę tę nazywamy 

metryką indukowaną

 (zadaną) 

przez normę

.

Dowód

( M0 )

d

 x , y≥0

( M1 ) d x , y=0  ⇔∥x− y∥=0   ⇔

N1

x

= y

( M2 ) d x , y=∥x− y∥=∥−1x− y∥ =

N2

∣−1∣∥y−x∥=∥y−x∥=d  y , x

( M3 ) d

 x , y=∥x−zz− y∥ ≤

N3

∥x−z∥∥z− y∥=d  x , zd  z , y

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 12 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Iloczyn Skalarny

Definicja

Niech

 X , K ,,⋅

 - przestrzeń wektorowa nad ciałem  K .

Iloczynem skalarnym

 nazywamy odwzorowanie 

〈 ,〉: X × X  K

spełniające

następujące własności :

(  IS 1 )

〈 x , y〉=〈 y , x〉

   dla x , y

∈ X

(  IS 2 )

〈axby , z 〉=a 〈 x , z 〉b 〈 y , z 〉

   dla a , b

∈K ; x , y , z∈ X

(  IS 3 )

〈

x , x

〉

≥0 

   dla x

∈ X

(  IS 4 )

〈

x , x

〉

=0  ⇔ x=0

gdzie symbol

oznacza sprzężenie liczby

Parę

 X ,

〈

,

〉

 nazywamy 

przestrzenią unitarną

Uwaga

(IS1), (IS2) 

⇒

(IS2')

〈

x , ay

bz

〉

=a

〈

x , y

〉

b 〈 x , z 〉

   dla a , b

∈K ; x , y , z∈ X

Przykład

Rozważmy dwa wektory w przestrzeni  K

n

: x , y∈K

n

x

= x

1

, x

2

,

, x

n



y

= y

1

, y

2

,

, y

n



 gdzie

x

i

, y

i

∈K

Zdefiniujmy

∗

〈

x , y

〉

≔ x

1

y

1

x

2

y

2

x

n

y

n

Wykażemy, że 

∗

definiuje iloczyn skalarny.

Dowód

( IS1 )

〈

x , y

〉

= x

1

y

1

x

2

y

2

x

n

y

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

 = 

 =  y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

=

〈

y , x

〉

( IS 2 ) 

ćwiczenie

( IS 3 ) 

〈

x , x

〉

=x

1

x

1

x

2

x

2

x

n

x

n

=∣x

1

∣

2

∣x

n

∣

2

≥0

( IS 4 ) 

〈

x , x

〉

=0  ⇔

∣

x

1

∣

==

∣

x

n

∣

=0  ⇔ x

1 

==x

n

=0 ⇔ x=0

Iloczyn 

∗

nazywamy 

standardowym iloczynem skalarnym w

  K

n

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 13 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie 

Niech

 X ,

〈

,

〉

 - przestrzeń unitarna.

Wtedy prawdziwa jest następująca 

nierówność Cauchy' ego - Bunianowskiego -

Schwarza

∣〈 x , y〉∣

2 

≤〈 x , x〉⋅

〈

y , y

〉

dla  x , y

∈ X  

Dowód

Dla  x , y

∈ X definiujemy

a

≔

{

∣〈 x , y〉∣

〈 x , y 〉

, gdy

〈 x , y〉≠0

1

, gdy

〈 x , y〉=0

 

  

Stąd  a

∈K i 

∣a∣=1

.

Niech  r

∈ℝ .

Wtedy

〈

rax

 y , rax y

〉

≥

IS3

0  .

Z drugiej strony

〈

rax

 y , rax y

〉

=

IS2

ra

〈

x , rax

 y

〉



〈

y , rax

 y

〉

=

IS2

'

ra

⋅ra

〈

x , x

〉

ra

〈

x , y

〉

ra

〈

y , x

〉



〈

y , y

〉

 = 

 =  r

2

∣a∣

2

〈 x , x〉ra

〈

x , y

〉

r a

〈

x , y

〉



〈

y , y

〉

=r

2

〈

x , x

〉

2 r∣

〈

x , y

〉

∣

〈

y , y

〉

Zatem

∀ r∈ℝ r

2

〈

x , x

〉

2 r∣

〈

x , y

〉

∣

〈

y , y

〉

≥0

Jeśli 

〈

x , x

〉

=0 ,to powyższa nierówność jest spełniona  ∀ r∈ℝ⇔∣〈 x , y〉∣=0

Jeśli 

〈

x , x

〉

0 ,to powyższa nierówność jest spełniona  ∀ r∈ℝ⇔≤0 .

Zatem

=4 ∣

〈

x , y

〉

∣

2

−4 

〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

≤0 

czyli

∣

〈

x , y

〉

∣

2

≤

〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

.

Wniosek 

Dla standardowego iloczynu skalarnego w ℝ

n

nierówność Schwarza przyjmuje postać

klasycznej

 nierówności Cauchy 'ego

:

∣

∑

i

=1

n

x

i

⋅y

i

∣

2

≤



∑

i

=1 

n

∣x

i

∣

2



⋅



∑

i

=1 

n

∣y

i

∣

2 



dla  x , y∈ℝ

n

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 14 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie  

( o indukowaniu normy przez iloczyn skalarny )

Jeśli przestrzeń 



X ,

〈

,

〉



 jest przestrzenią unitarną, to funkcja 

∥ . ∥: X [ 0 , ∞

dana wzorem 

∥x∥≔



〈

x , x

〉

dla x

∈ X

jest normą w   X .

Definicja

Normę tę nazywamy 

normą euklidesową

, a metrykę d  zadaną przez normę

euklidesową  

d

 x , y=∥x− y∥=



〈

x

− y , x− y

〉

dla  x , y

∈ X

nazywamy 

metryką euklidesową

.     

Dowód twierdzenia

( N0 ) Norma jako pierwiastek  jest nieujemna

( N1 ) ∥x∥=0  ⇔



〈

x , x

〉

=0   ⇔

〈

x , x

〉

=0    ⇔

IS 4

x

=0

( N2 ) ∥⋅x∥=



〈

⋅x ,⋅x

〉

=



⋅

〈

x , x

〉

=



∣∣

2

〈

x , x

〉

=∣∣⋅



〈

x , x

〉

=∣∣⋅∥x∥

( N3 ) Aby udowodnić nierówność 

∥x y∥≤∥x∥∥y∥

 wystarczy sprawdzić prawdziwośc

nierówności  



〈

x

 y , x y

〉

≤

?



〈

x , x

〉





〈

y , y

〉

,

którą sprawdzimy podnosząc obie strony nierówności do kwadratu

〈

x

 y , x y

〉

≤

?

〈

x , x

〉



〈

y , y

〉

2 ⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

i korzystając z własności (IS2) i (IS2')

〈

x , x

〉



〈

x , y

〉



〈

y , x

〉



〈

y , y

〉

≤

?

〈

x , x

〉



〈

y , y

〉

2 ⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

〈

x , y

〉



〈

y , x

〉

≤

?

2 

⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

.

Ponieważ

〈

y , x

〉

=

〈

x , y

〉

, więc  

〈

x , y

〉



〈

y , x

〉

=2 ⋅ℜ

〈

x , y

〉

, gdzie 

ℜ oznacza część rzeczywistą

liczy zespolonej. Zatem wystarczy udowodnić, że 2 ⋅ℜ

〈

x , y

〉

≤

?

2 

⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

,

a ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ  ℜ

〈

x , y

〉

≤∣

〈

x , y

〉

∣≤



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

na

podstawie nierówności Schwarza.

Przykład

Standardowe normy w  K

n

x

∈K

n

                x

= x

1

, x

2

,

, x

n



∥x∥

T

≔

∑

i

=1

n

∣

x

i

∣

- norma taksówkowa

∥x∥

E

≔



∑

i

=1

n

∣x

i

∣

2

- norma euklidesowa

∥x∥

∞

≔ max

{

∣x

i

∣;i=1 , 2  ,, n

}

- norma maksimum

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 15 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Pojęcia topologiczne

Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych

Niech   X ,Y - przestrzenie topologiczne,

f : X

Y

x

0

∈' D

f

 (  x

0

- punkt skupienia dziedziny funkcji f )

Mówimy, że funkcja  f  ma w punkie   x

0

granicę

  g

∈Y ,

jeśli

∀ U ∈Top g ∃V

∗

∈Top

∗

 x

0

: f [V

∗

]⊂U  

 i piszemy lim

x

 x

0

f

 x=g

Niech 

a

n



n

∈N

będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej Y ,

a

n



n

∈N

⊂Y .

Ciąg jest funkcją a :

ℕ∋n  an=a

n

∈Y o dziedzinie  D

a

=ℕ . 

Jedynym punktem skupienia zbioru 

ℕ w   ℝ jest  ∞ , ' D

a

=

{

∞

}

w 

ℝ .

Zatem 

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ U ∈Top g  ∃V

∗

∈Top

∗

∞ : a[V

∗

]⊂U

Stąd

lim

n

∞

a

n

=g ⇔ ∀ U ∈Top g ∃ n

0

∈ℕ∀ nn

0

a

n

∈U

Jeśli 

Y , d 

- przestrzeń metryczna, to powyższa definicja przyjmuje posta

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ 0  ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

: a

n

∈K  g ,

Stąd 

lim

n

∞

a

n

⇔∀ 0  ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

: d

a

n

, g



Uwaga

Jeżeli  Y

=K , d =d

E

, to otrzymujemy znaną def. Cauchy'ego granicy ciągu

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ 0  ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

:

∣

a

n

−g

∣



Uwaga

Pojęcie granicy ciągów liczbowych można przenieść na pojęcie granicy ciągu w dowolnej
przestrzeni metrycznej, mianowicie

lim

n

∞

a

n

=g ⇔lim

n

∞

d

a

n

, g

=0

Uwaga

Ponieważ w przestrzeni K

n

 metryki standardowe są równoważne (wyznaczają te same

topologie), zatem mówiąc o zbieżności ciągu do punktu nie  musimy precyzować o którą
metrykę chodzi, gdyż zbieżność w jednej metryce implikuje zbieżność w pozostałych
metrykach.

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 16 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Punkty skupienia ciągu

Definicja

Ciąg  b

k



k

∈ℕ

 nazywamy podciągiem ciągu a

n



n

∈ℕ

, jeżeli istnieje taka silnie rosnąca

funkcja  g :

ℕℕ , że  b

k

=a

g

k 

dla   k

∈ℕ i oznaczamy  

b

k

=a

n

k 

=a

n

k

.

Przykład

a

n



n

∈ℕ

:

a

n

=

1 

n

b

k



k

∈ℕ

:

b

k

=

1 

k

2

                               

b

k



k

∈ℕ

jest podciągiem  a

n



n

∈ℕ

, bo funkcja wybierająca 

g

k =k

2

jest silnie

rosnąca.

Definicja

Niech   Y – przestrzeń topologiczna lub metryczna

a

n



n

∈ℕ

⊂Y

Punkt  s

∈Y nazywamy 

punktem skupienia ciągu

  a

n



n

∈ℕ

, jeśli istnieje  taki podciąg

a

n

k



k

∈ℕ

  ciągu  a

n



n

∈ℕ

, że  s

=lim

k

∞

a

n

k

.

'

a

n



n

∈ℕ

- zbiór punktów skupienia ciągu  a

n



n

∈ℕ

Uwaga

Zbiór punktów skupienia ciągu  a

n



n

∈ℕ

jest różny od zbioru punktów skupienia zbioru

wartości ciągu,

'

a

n

≠'

{

a

n

, n

∈ℕ

}

Przykład

Niech    

a

n

=−1 

n

, n

∈ℕ

Wtedy 

             

dla b

k

=a

2 k

=1  

lim

k

∞

b

k

=1 

oraz dla c

k

=a

2 k

−1

=−1  lim

k

∞

c

k

=−1 .

Zatem    '

a

n

=

{

−1 , 1  

}

.

Jednak  

 

'

{

a

n

, n

∈ℕ

}

='

{

−1 , 1  

}

=∅ w ℝ

.

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 17 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

 ( Bolzano – Weierstrassa )

Niech a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ

a

n



n

∈ℕ

- ograniczony  ⇒' a

n



n

∈ℕ

jest niepustym podzbiorem zbioru 

ℝ .

Definicja

Niech a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ oraz 

niech  ' a

n



n

∈ℕ

- zbiór punktów skupienia ciągu a

n



n

∈ℕ

 w zbiorze ℝ .

Granicą górną ciągu 

a

n



n

∈ℕ

nazywamy kres górny zbioru punktów skupienia ciągu

a

n



n

∈ℕ

w  ℝ i oznaczamy:

lim

n

∞

a

n

=lim sup

n

∞

a

n

≔ sup' a

n



(czytaj : limes superior).

Granicą dolną ciągu 

a

n



n

∈ℕ

nazywamy kres dolny  zbioru punktów skupienia ciągu

a

n



n

∈ℕ

w  ℝ i oznaczamy:

lim

n

∞

a

n

=lim inf

n

∞

a

n

≔ inf ' a

n



(czytaj : limes inferior)

Przykład

a

n

=sin 


2 

n



'

a

n



n

∈ℕ

=

{

−1 , 0 , 1 

}

Zatem
lim sup

n

∞

a

n

=1 

lim inf

n

∞

a

n

=−1 

Uwaga

1) ∀ a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ ∃lim  inf

n

∞

a

n

∈ ℝ ,oraz ∃lim sup

n

∞

a

n

∈ ℝ

2) a

n

 jest ograniczony w ℝ ⇒ ∃lim inf

n

∞

a

n

∈ℝ oraz ∃lim sup

n

∞

a

n

∈ℝ

3) a

n

 jest ciągiem zbieżnym do g ⇒ lim inf 

n

∞

a

n

= lim sup

n

∞

a

n

= g

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 18 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Zupełność przestrzeni metrycznej

Niech 

 X , d 

- przestrzeń metryczna

a

n



n

∈ℕ

⊂ X

Twierdzenie

lim

n

∞

a

n

=g ⇒ lim

min

{

n , m

}

∞

d

a

n

, a

m

=0 

Dowód

0 

≤d a

n

, a

m

≤d a

n

, g

d  g , a

m



n

∞

m

∞

⇒ min{n , m}∞ ⇒ d a

n

, a

m

 0  na podstawie twierdzenia o 3 ciągach.

Uwaga

lim

min

{

n , m

}

∞

d

a

n

, a

m

=0  ⇔

∀ 0 ∃n

0

∈ℕ ∀ n , mn

0

: d

a

n

, a

m



C 

Warunek 

C 

 nazywamy 

warunkiem Cauchy'ego 

zbieżności ciągu  a

n



n

∈ℕ

w

przestrzeni metrycznej.
Ciag elementów przestrzeni metrycznej spełniający warunek Cauchy'ego nazywamy

ciągiem Cauchy'ego

.

Wniosek

Warunek Cauchy'ego jest warunkiem koniecznym zbieżności ciągu Cauchy' ego w
przestrzeni metrycznej, tzn.

∃

n

∞

lim a

n

⇒a

n



n

∈ℕ

-  jest ciągiem Cauchy'ego

Uwaga

Warunek Cauchy'ego nie jest warunkiem wystarczającym  zbieżności ciągu w przestrzeni
metrycznej.

Przykład

Niech  

Y

=0 , 1]

.

Wtedy 

Y , d

E

 - przestrzeń metryczna.

Niech  

a

n



n

∈ℕ

a

n

=

1 

n

.

W przestrzeni metrycznej 

ℝ , d

E

 ciąg  a

n



n

∈ℕ

jest zbieżny, bo

  d

E

a

n

, 0 

=

∣

a

n

∣

=

1 

n

 0  ,  gdy n ∞ ;

⇒ a

n



n

∈ℕ

- ciąg Cauchy'ego  w

ℝ , d

E

 , ale też w  Y , d

E

 .

Jednakże,  a

n



n

∈ℕ

 nie jest zbieżny w  Y ,  bo  0   

∉Y .

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 19 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Definicja

Przestrzeń metryczną 

 X , d 

nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg elementów tej

przestrzeni  spełniający warunek Cauchy'ego  jest zbieżny ( do elementu tej przestrzeni ).

Twierdzenie

Przestrzeń unormowana  K

n

jest przestrzenią metryczną zupełną ( z metryką

standardową zawartą normą standardową) .

Uwaga

Pojęcie zupełności przestrzeni jest pojęciem metrycznym, to znaczy zależnym od wyboru
metryki.

Przykład

ℝ , d

E

 - przestrzeń metryczna zupełna

ℝ , d  - przestrzeń metryczna, gdzie  d  x , y=∣arctg x - arctg y∣ dla   x , y∈ℝ

Niech a

n



n

∈ℕ

a

n

=n ∀ n∈ℕ .

Ciąg  a

n



n

∈ℕ

jest ciągiem Cauchy'ego w 

ℝ , d  , bo warunek

∀ 0 ∃n

0

∀ n , mn

0

∣arctg n - arctg m ∣

jest spełniony, jeśli 

 arctg  n

0

≥


2 

−

zatem, np. gdy 

n

0 

=

[

  tg




2 

−

]

.

Jednakże
 

lim

n

∞

a

n

=lim

n

∞

n

=∞ ∉ℝ

                    ⇒a

n



n

∈ℕ

nie jest zbieżny w 

ℝ , d  ⇒ ℝ , d   nie jest przestrzenią zupełną

( nie przeczy to zupełności przestrzeni eulkidesowej 

ℝ , d

E

 , ponieważ ciąg  a

n



n

∈ℕ

nie jest ciągiem Cauchey' ego w tej przestrzeni ).

Definicja

Przestrzeń unormowaną zupełną, to znaczy zupełną w metryce zadanej normą,
nazywamy 

przestrzenią Banacha

.

Definicja

Przestrzeń unitarną zupełną, to znaczy zupełną w metryce danej normą wyznaczoną
przez iloczyn skalarny, nazywamy 

przestrzenią Hilberta

.

Wniosek

1) Przestrzeń  K

n

 z normą standardową jest  przestrzenią Banacha.

2) Przestrzeń  K

n

 ze standardowym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta.

Wniosek

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha ( z normą daną iloczynem
skalarnym).

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 20 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Granica funkcji (c.d.)

Def. Cauchy'ego

Niech 

 X , d  ,  Y , – przestrzenie metryczne

f : X

Y

x

0

∈' D

f

, g

∈Y

wtedy

lim

x

 x

0

f

 x=g :⇔∀ 0  ∃ 0  ∀ x∈D

f

: 0

d  x , x

0

 ⇒  f  x , g

Def. Heinego

Niech

 X , d  - przestrzeń metryczna

Y – przestrzeń topologiczna

f : X

Y

x

0

∈' D

f

, g

∈Y

Wtedy

    

lim

x

 x

0

f

 x=g :⇔∀ x

n



n

∈ℕ

:

{

x

n

∈D

f

x

n

≠x

0

∀ n∈ℕ

lim

n

∞

x

n

=x

0

         lim

n

∞

f

 x

n

=g

Twierdzenie

Definicje Cauchy'ego i Heinego są równoważne.

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych

Niech  X ,Y  – przestrzenie topologiczne

f : X

Y

x

0

∈D

f

Definicja

Funkcja jest 

ciągła

 w punkcie  x

0

f

∈C  x

0

:⇔[ x

0

∈ ' D

f

∧ lim

x

 x

0

f

 x= f  x

0

 ∨ x

0

∉ ' D

f

]

Funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie z dziedziny  D

f

.

Przykład 

f

 x=

x

∣x∣

D

f

=ℝ∖

{

0 

}

, więc f  jest ciągła.

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 21 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Przestrzenie spójne

Przestrzeń topologiczną  X nazywamy 

spójną

, jeśli

~

∃ A , B∈Top : X =A∪B , A≠∅≠B , A∩B=∅

gdzie symbol ~ oznacza negację

Niech

 

E

⊂ X

E nazywamy 

zbiorem spójnym

 , jeśli

~

∃ A , B∈Top : E⊂A∪B , A∩E≠∅≠B∩E , A∩B∩E=∅

Twierdzenie

Jedynymi podzbiorami spójnymi przestrzeni unormowanej 

ℝ ,∣.∣  są przedziały

Twierdzenie

 

( o zachowaniu spójności )

X ,Y

 – przestrzenie topologiczne

oraz niech przestrzeń X  jest spójna.
Wtedy

F

∈C  X ⇒ f [ X ]

jest spójny

( obraz ciągły  zbioru spójnego jest spójny )

Dowód

Hipoteza –

f

[ X ]

 nie jest spójny, tzn. 

∃ A , B∈T  f [ X ] : A≠∅≠B f [ X ]=A∪B ∧ A∩B=∅

Wtedy

X

= f

−1

[ A]∪ f

−1

[ B]

Ponadto

f

−1

[ A]≠∅≠ f

−1

[ B]

f

−1

[ A]∩ f

−1

[ B]= f

−1

[ A∩B]= f

−1

[∅]=∅

oraz

f

−1

[ A] , f

−1

[ B]∈Top X 

Zatem  X nie jest spójny – a to jest sprzeczne z hipotezą.
Czyli hipoteza jest fałszywa.

Niech X  – przestrzeń topologiczna
          f : X

ℝ

f -

 

ma własność Darboux 

 na  X , gdy 

f

[ X ]

jest przedziałem.

X - zbiór spójny

f

∈C  X 

}

f

[ X ]

- jest przedziałem

( funkcja ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux )

Wykład dr Joanny Górskiej 

strona 22 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski