Przestrzenie Metryczne

Definicja

Niech X - zbór, X

≠∅

Metryką

(odległością) w zbiorze X nazywamy funkcję d :

(M0)

d : X

× X [ 0, ∞

(nieujemność)

o własnościach:
(M1)

∀ x , y∈ X :

d

 x , y=0 ⇔ x= y

(M2)

∀ x , y∈ X :

d

 x , y=d  y , x

(symetria)

(M3)

∀ x , y , z∈ X : d  x , y≤d  x , zd  z , y

(warunek trójkąta)

Parę

 X , d 

nazywamy

przestrzenią metryczną

.

Uwaga

(M1)

⇔[∀ x∈ X d  x , x=0 ∧∀ x , y∈ X d  x , y=0 ⇒ x= y]

Przykłady

przestrzeni metrycznych

1)

Przestrzeń dyskretna

 X , d

01



d

01

 x , y≔

{

0, gdy x

= y

1, gdy x

≠ y

d

01

-

metryka dyskretna

(zero-jedynkowa)

Sprawdzamy, że funkcja d

01

jest metryką, tzn. jest dobrze określona i spełnia warunki

(M0)-(M3).

Dowód

(M0)-(M2) wynikają z definicji d

01

(M3)
1. x

= y

L

=d  x , y=0

P

≥0

}

⇒ L≤P

2. x

≠ y L=d

01

 x , y=1

x

=z≠ y

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=0 1 =1

y

=z≠x

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=1 0 =1

y

≠z≠x

P

=d

01

 x , zd

01

 z , y=1 1 =2

}

⇒ P≥1

⇒ L≤P

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 1 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

x

z

y

d(z,y)

d(x,z)

d(x,y)

}

2) Jednowymiarowa

przestrzeń euklidesowa

ℝ , d

E



X

=ℝ

d

E

 x , y≔∣x− y∣

dla x , y

∈ℝ

Funkcja d

E

jest metryką.

Dowód

(M0)-(M2) wynikają z definicji wartości bezwzględnej
(M3) d

E

 x , y=∣x− y∣=∣x−zz− y∣≤∣x−z∣∣z− y∣=d

E

 x , zd

E

z , y

3) n – wymiarowa

przestrzeń euklidesowa

ℝ

n

, d

E



Niech x , y

∈ℝ

n

x

= x

1

, x

2

,... , x

n



y

= y

1

, y

2

,... , y

n



d

E

 x , y≔



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

dla x , y

∈ℝ

n

d

E

-

metryka euklidesowa

Sprawdzamy, że funkcja d

E

jest metryką.

Dowód

(M0) d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

≥0, bo



≥0

(M1) d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

=0 ⇔

∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

=0 ⇔∀ i=1,2 ,, n : x

i

− y

i



2

=0 ⇔

⇔∀ i=1,2 ,, n: x

i

= y

i

⇔ x= y

(M2) d

E

 x , y=



∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

=



∑

i

=1

n

 y

i

−x

i



2

=d

E

 y , x

(M3)

d

E

2

 x , y=

∑

i

=1

n

 x

i

− y

i



2

=

∑

i

=1

n

[ x

i

−z

i

 z

i

− y

i

]

2

=

=

∑

i

=1

n

[ x

i

−z

i



2

2 x

i

−z

i

 z

i

− y

i

 z

i

− y

i



2

]=

=

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2

2

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i

 z

i

− y

i



Korzystając z nierówności Cauchy'ego:

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i

 z

i

− y

i

≤



∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2

otrzymujemy

d

E

2

 x , y≤

∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2

2



∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2



∑

i

=1

n

 z

i

− y

i



2

=





∑

i

=1

n

 x

i

−z

i



2





∑

i

=1

n

z

i

− y

i



2



2

=d

E

 x , zd

E

 z , y

2

zatem
d

E

 x , y≤d

E

 x , zd

E

 z , y

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 2 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

4) Przestrzeń ℝ

n

z

metryką taksówkową

ℝ

n

, d

T



X

=ℝ

n

d

T

 x , y≔

∑

i

=1

n

∣x

i

− y

i

∣ dla x , y∈ℝ

n

d

T

-

metryka taksówkowa

Sprawdzamy, że funkcja d

T

jest metryką.

Dowód

(M0) d

T

 x , y=

∑

i

=1

n

∣x

i

− y

i

∣≥0 (z własności wartości bezwzględnej)

(M1) d

T

 x , y=

∑

i

=1

n

∣x

i

− y

i

∣=0 ⇔∀ i : ∣x

i

− y

i

∣=0 ⇔∀ i : x

i

= y

i

⇔ x= y

(M2) d

T

 x , y=

∑

i

=1

n

∣x

i

− y

i

∣=

∑

i

=1

n

∣y

i

−x

i

∣=d

T

 y , x

(M3)

d

T

 x , y=

∑

i

=1

n

∣x

i

− y

i

∣=

∑

i

=1

n

∣x

i

−z

i

z

i

− y

i

∣≤

∑

i

=1

n

∣x

i

−z

i

∣∣z

i

− y

i

∣=

=

∑

i

=1

n

∣x

i

−z

i

∣

∑

i

=1

n

∣z

i

− y

i

∣=d

T

 x , zd

T

 z , y

Zatem
d

T

 x , y≤d

T

 x , zd

T

z , y

5)

ℝ

n

z metryką d

T

(

uogólnienie metryki taksówkowej

)

ℝ

n

, d

T



X

=ℝ

n

c

i

=const , c

i

∈ℝ ,i=1, 2 ,... , n

d

T

 x , y≔

∑

i

=1

n

c

i

∣x

i

− y

i

∣ dla x , y∈ℝ

n

6)

ℝ

n

z

metryką maksimum

d

max

ℝ

n

, d

max



X

=ℝ

n

d

max

 x , y≔ max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣} dla x , y∈ℝ

n

d

max

-

metryka maksimum

Sprawdzamy, że funkcja d

max

jest metryką.

Dowód

(M0) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}≥0 (z własności wartości bezwzględnej)

(M1) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}=0 ⇔∀ i : ∣x

i

− y

i

∣⇔ x= y

(M2) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣y

i

−x

i

∣}=d

max

 y , x

(M3) d

max

 x , y= max

i

=1, 2 ,... , n

{∣x

i

− y

i

∣}

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

− y

k

∣=∣x

k

−z

k

z

k

− y

k

∣≤∣x

k

−z

k

∣∣z

k

− y

k

∣

oraz

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

−z

k

∣≤max {∣x

i

−z

i

∣}=d

max

 x , z

i

∣z

k

− y

k

∣≤max {∣z

i

− y

i

∣}=d

max

z , y

Stąd

∀ k=1, 2 ,, n

∣x

k

− y

k

∣≤d

max

 x , zd

max

 z , y

Zatem d

max

 x , y≤d

max

 x , zd

max

z , y

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 3 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

7) Przestrzeń odwzorowań ciągłych z

metryką Czebyszewa

C [a , b] ,d

C



Niech

C

[a ,b]

- zbiór funkcji ciągłych w przedziale

[a ,b]

d

C

 f , g≔ max

x

∈[a ,b]

∣ f  x−g  x∣ dla f , g ∈C [a ,b]

d

C

-

metryka Czebyszewa

8) Przestrzeń odwzorowań ograniczonych z

metryką supremum

 B X  , d

sup



Niech

B

 X ≔{ f ∣ f : X ℝ∧ f −ograniczona w zb. X }

d

sup

 f , g≔sup

x

∈X

∣ f  x−g  x∣

dla f , g

∈B X 

d

sup

-

metryka supremum

Sprawdzamy, że funkcja d

sup

jest metryką.

Dowód

(M0) d

sup

 f , g=sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣≥0 (z własności wartości bezwzględnej)

(M1) d

sup

 f , g =sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣=0 ⇔∀ x∈ X ∣ f  x−g  x∣=0 ⇔

⇔∀ x∈ X

f

 x=g  x⇔ f =g

(M2) d

sup

 f , g =sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣=sup

x

∈X

∣g  x− f  x∣=d

sup

 g , f 

(M3) f , g , h

∈B X 

∀ x∈ X ∣ f  x−g  x∣=

=∣ f  x−h xh x−g  x∣≤∣ f  x−h x∣∣h x−g  x∣≤

≤sup

x

∈ X

∣ f  x−h x∣sup

x

∈ X

∣h x−g  x∣ ⇒

⇒ sup

x

∈ X

∣ f  x−g  x∣≤sup

x

∈ X

∣ f  x−h x∣sup

x

∈ X

∣h x−g  x∣

Zatem
d

sup

 f , g≤d

sup

 f , hd

sup

h , g 

Definicja

Niech będzie dana przestrzeń metryczna

 X , d 

,

x

0

∈ X ∧r0

K

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

r} -

kula otwarta

o środku w x

0

i promieniu r

K

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

≤r} -

kula domknięta

o środku w x

0

i promieniu r

S

 x

0

, r

≔{x∈ X : d  x , x

0

=r} -

sfera

o środku w x

0

i promieniu r

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 4 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Przykłady

1. Niech dana będzie metryka euklidesowa w

ℝ , d

E

 x , y=∣x− y∣ dla x , y∈ℝ .

Szukamy kuli otwartej w tej przestrzeni:

d

E

 x , x

0

r ⇔∣x−x

0

∣r ⇔−rx−x

0

r ⇔ x

0

−rxx

0

r

K

 x

0

, r

= x

0

−r , x

0

r

Podobnie kula domknięta:

d

E

 x , x

0

≤r ⇔∣x−x

0

∣≤r ⇔−r≤x−x

0

≤r ⇔ x

0

−r≤x≤x

0

r

K

 x

0

, r

=[ x

0

−r , x

0

r ]

2. Niech

 X , d

01

 - przestrzeń dyskretna

d

01

 x , x

0

r ⇔ x=x

0

dla r

≤1 lub x jest dowolnym elementem zbioru X dla r1

Stąd

K

 x

0

, r

=

{

{x

0

}

dla r

≤1,

X

dla r

1.

Podobnie

K

 x

0

, r

=

{

{x

0

}

dla r

1,

X

dla r

≥1 .

Definicja

Niech

 X , d 

- przestrzeń metryczna.

Zbiór A

⊂ X nazywamy

zbiorem otwartym

⇔∀ a∈ A ∃r0: K a , r⊂ A

Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej

 X , d 

nazywamy

topologią generowaną

(indukowaną) w zbiorze X przez metrykę d i oznaczamy

Top

d

X lub krótko Top

d

.

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 5 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Dowód

Wykażemy, że K

 x

0

, r

 jest zb. otwartym (tzn. ∈Top

d

X ).

Niech y

∈K  x

0

, r

 .

Pytamy czy

∃0 : K  y , ⊂K  x

0

, r

 , to znaczy

by spełniona była implikacja z

∈K  y ,⇒ z∈K  x

0

, r



czyli implikacja d

z , y⇒ d z , x

0

r .

Jeżeli d

 z , y , to

d

z , x

0

≤d z , yd  y , x

0

d  y , x

0

 .

Zatem jeżeli

 spełnia warunek 0 r−d  y , x

0

 (np. ≔

1
2

r−d  y , x

0

 ),

to d

 z , x

0

r .

Twierdzenie

(własności zbiorów otwartych)

Niech

 X , d  - przestrzeń metryczna.

Wtedy
1)

∅ , X - zbiory otwarte

2)

∀ i∈I  A

i

⊂ X ∧A

i

−zb. otwarty⇒ ∪

i

∈I

A

i

−zb. otwarty

3) ∀i=1,2 ,...,n A

i

⊂ X ∧A

i

−zb. otwarty⇒ ∩

i

=1

n

A

i

−zb. otwarty

Uwaga

Przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym.

Przykład

Niech w przestrzeni euklidesowej

ℝ , d

E

 będzie dana rodzina zbiorów {A

n

}

n

∈ℕ

, gdzie

A

n

=



0, 1



1

n



dla n

∈ℕ

Każdy z tych zbiorów jest otwarty, tzn.

∀ n∈ℕ: A

n

∈Topℝ .

Jednak przecięcie tej rodziny nie jest zbiorem otwartym, bo

∩

n

∈ℕ

A

n

= ∩

n

∈ℕ

0,1 

1

n

=1,0 ]∉Top ℝ

Przykład

 X , d

01



K

d

01

 x

0

,1

={x

0

}⇒

tw.

{x

0

}∈Top

d

01

Stąd

∀ x

0

∈ X {x

0

}∈Top

d

01

.

Zatem

Top

d

01

=2

X

, gdzie 2

X

≔ P  X  .

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 6 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

y

x

d(y,x )

0

0

r

z



Przestrzenie topologiczne

Definicja

Niech X

≠∅

Topologią

zbioru X nazywamy rodzinę

T

czytaj :tau

podzbiorów zbioru X

spełniającą warunki :

( T

1

)

∅∈T , X ∈T

( T

2

)

{

A

i

}

i

∈I

⊂T ⇒ ∪

i

∈I

A

i

∈T

( T

3

)

{

A

i

}

i

=1,2 ,... , n

⊂T ⇒ ∩

i

=1

n

A

i

∈T

Parę

 X ,Top

nazywamy

przestrzenią topologiczną

, a każdy element topologii T

nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej

 X ,Top

i oznaczamy

symbolem Top X .

Przykłady

1. Topologia trywialna w zbiorze X

T

0

=

{

∅ , X

}

2. Topologia dyskretna w X

T =2

X

3. Topologia naturalna prostej rzeczywistej

ℝ

{

U :U

⊂ℝ , ∀ x∈U ∃r0 : x−r , xr⊂U

}

- topologia.

Uwaga

Rodzina

{

a ,b ,−∞ab∞

}

nie jest topologią w

ℝ

Definicja

Przestrzeń topologiczną

 X ,Top

nazywamy

przestrzenią Hausdorffa

⇔∀ x , y∈ X  x≠ y ⇒∃U

x

,U

y

∈Top: x∈U

x

,

y

∈U

y

, U

x

∩U

y

=∅

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 7 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

x

y

U

U

x

y

Twierdzenie

Każda przestrzeń topologiczna indukowana przez metrykę jest przestrzenią Hausdorffa.

Dowód

Niech

 X , d 

- przestrzeń metryczna i x , y

∈ X .

Załóżmy, że x

≠ y .

Wtedy

d

 x , y0

.

Definiujemy U

x

≔ K

d

 x ,

1
2

d

 x , y , U

y

≔ K

d

 y ,

1

2

d

 y , x .

Zbiory U

x

,U

y

są zbiorami otwartymi, x

∈U

x

, y

∈U

y

i zbiory te rozdzielają punkty

x , y

bo U

x

∩U

y

=∅ .

Definicja

Niech

 X ,Top

- przestrzeń topologiczna

oraz niech A

⊂ X

•

Int A

−wnętrze zbioru A

Wnętrze

zbioru A to największy zbiór otwarty zawarty w A .

•

Ex A

−zewnetrze zbioru A

Zewnętrze

zbioru A to wnętrze dopełnienia zbioru A , tzn.

Ex A

=Int  X − A=Int A'

•

Fr A

−brzeg zbioru A

Brzeg

zbioru A to zbiór tych punktów, które nie należą ani do wnętrza, ani do

zewnętrza zbioru, tzn.

Fr A

= Int A∪Ex A'

Definicja

Niech

 X ,Top

- przestrzeń topologiczna A

⊂ X

Zbiór A nazywamy

domkniętym

, gdy jego dopełnienie do zbioru X jest zbiorem

otwartym, tzn.

A

−domknięty ⇔ A' ∈Top

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 8 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej kula domknięta jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie

W każdej przestrzeni metrycznej dowolny zbiór jednoelementowy

{

x

0

}

jest zbiorem

domkniętym.

Twierdzenie

(własności zbiorów domkniętych)

Niech

 X ,Top - przestrzeń topologiczna.

Wtedy

1)

∅ , X −są zbiorami domkniętymi

2)

∀ i∈I B

i

−zb. domknięty∧B

i

⊂ X ⇒ ∩

i

∈I

B

i

−zb. domknięty

3)

∀ i=1,2 ,... , nB

i

−zb. domknięty∧B

i

⊂ X ⇒ ∪

i

=1

n

B

i

−zb. domknięty

Uwaga

Zbiór pusty oraz cały zbiór X są jednocześnie otwarte i domknięte w przestrzeni
topologicznej.

Definicja

Niech

 X ,Top

, A

⊂ X

•

A

−domknięcie zbioru A

Domknięcie

zbioru A to najmniejszy zbiór domknięty zawierający A .

Definicja

Niech

 X , d 

- przestrzeń metryczna

oraz niech A

⊂ X .

Zbiór A nazywamy

ograniczonym

, jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli otwartej, tzn.

A

−ograniczony ⇔∃ x

0

∈ X ,∃r0: A⊂K  x

0

, r



Wykład dr Joanny Górskiej

strona 9 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Metryki równoważne

Definicja

Metryki d i

 określone w zbiorze X nazywamy metrykami równoważnymi ⇔

topologie Top

d

i Top



indukowane w zbiorze X przez te metryki są równe,

Top

d

=Top



, to znaczy:

d

~⇔

[

∀ U U ∈Top

d

⇔U ∈Top





]

Uwaga

Równoważność metryk jest relacją równoważności.

Definicja

Metryki taksówkową, euklidesową i maksimum w

ℝ

n

nazywamy metrykami

standardowymi.

Twierdzenie

Metryki standardowe określają tę samą topologię.

Przykład

K

d

T

0,0,1=

{

 x

1

, x

2

: d

T

 x

1

, x

2

 ,0,01

}

∣

x

1

∣



∣

x

2

∣

1

∣

x

2

∣

=1−

∣

x

1

∣

x

2

=1−

∣

x

1

∣

∨−x

2

=1−

∣

x

1

∣

K

T

0,0,1={ x

1

, x

2

:∣x

1

∣∣x

2

∣1 }

Rozważmy teraz

ℝ

2

, d

E



wtedy łatwo sprawdzić, że

K

d

T

0,0,1∈Top

d

E

Definicja

Rozważamy przestrzeń metryczną

 X , d 

oraz x

0

∈ X .

Otoczeniem

punktu x

0

nazywamy dowolny zbiór otwarty do którego należy x

0

.

Rodzinę wszystkich otoczeń punktu x

0

oznaczamy Top

d

 x

0

 lub ot  x

0

 .

Sąsiedztwem

punktu x

0

nazywamy dowolny zbiór U

∗

:

=U ∖

{

x

0

}

, gdzie U

∈Top

d

 x

0

 .

Top

d

∗

 x

0

 - rodzina wszystkich sąsiedztw punktu x

0

.

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 10 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

1

1

-1

-1

0

x

1

x

2

x

2

=1−∣x

1

∣

x

2

=∣x

1

∣−1

Definicja

Punkt x

0

nazywamy

izolowanym

, gdy zbiór jednoelementowy

{

x

0

}

jest zbiorem

otwartym, tzn.

x

0

−punkt izolowany⇔

{

x

0

}

−zbiór otwarty

Przykład

W przestrzeni dyskretnej

 X , d

01

 zbiór

{

x

0

}

jest otwarty jako kula otwarta. Zatem

każdy punkt zbioru X jest punktem izolowanym w tej przestrzeni.

Definicja

Niech

 X ,Top ,

A

⊂ X ,

x

0

∈ X

Punkt x

0

nazywamy

punktem skupienia

zbioru A , gdy w każdym sąsiedztwie

punktu x

0

znajduje się element zbioru A , tzn

∀ U

∗

∈Top

d

∗

 x

0

: U

∗

∩A≠∅

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A nazywamy

pochodną zbioru

A i

oznaczamy ' A .

Przykłady

1. W dowolnej przestrzeni metrycznej

 X , d  spełnione jest:

'

∅=∅

∀ x∈ X '

{

x

}

=∅

2. W przestrzeni dyskretnej

 X , d

01

 :

∀ A∈ X ' A=∅

3. W przestrzeni euklidesowej

ℝ , d

E



'

a ,b='

[

a , b

]

=

[

a , b

]

'

ℕ=∅ w ℝ , natomiast ' ℕ={∞}w ℝ , gdzie ℝ=ℝ∪{∞ ,−∞}

'

ℚ=ℝ w ℝ

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej punkt x

0

należy do domknięcia zbioru A wtedy i

tylko wtedy, gdy w dowolnym otoczniu punktu x

0

istnieje element zbioru A ,

x

0

∈A⇔∀ U ∈Top

d

 x

0

: U ∩A≠∅

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 11 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Normy

Definicja

Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K .

K

=ℝ lub K =ℂ

Normą

w przestrzeni wektorowej

X nazywamy funkcję

( N0 )

∥ . ∥: X [ 0 , ∞

,

spełniającą następujące własności :
( N1 ) x=0 wektor zerowy∈ X ⇔∥x∥=0 skalar ∈ℝ
( N2 ) ∥ x∥=

∣



∣

∥x∥

∈K , x∈ X

( N3 )

∥x y∥≤∥x∥∥y∥

x , y

∈ X

Parę

 X ,∥ . ∥

nazywamy

przestrzenią unormowaną

Przykłady

1.

X

=K - przestrzeń wektorowa nad ciałem K .

Funkcja

∣ . ∣

moduł jest normą.

2.

F

 X ={ f : X ℝ ; f  x=0 poza skończoną liczbą punktów x∈ X } .

Ćwiczenie:

wykazać, że

F

 X 

jest przestrzenią wektorową.

Niech

f

∈F  X 

∥ f ∥

∞

≔ sup {∣ f  x∣: x∈ X }=max {∣ f  x∣: x∈ X } .

Ćwiczenie:

wykazać, że

∥ . ∥

∞

jest normą w

F

 X 

.

∥ . ∥

∞

-

norma supremum

Twierdzenie

(o indukowaniu metryki przez normę)

Jeśli

 X ,∥ . ∥

jest przestrzenią unormowaną, to funkcja

d : X

× X [ 0 , ∞ taka, że

d

 x , y≔∥x− y∥ dla x , y∈ X

jest metryką w X .

Metrykę tę nazywamy

metryką indukowaną

(zadaną)

przez normę

.

Dowód

( M0 )

d

 x , y≥0

( M1 ) d x , y=0 ⇔∥x− y∥=0 ⇔

N1

x

= y

( M2 ) d x , y=∥x− y∥=∥−1x− y∥ =

N2

∣−1∣∥y−x∥=∥y−x∥=d  y , x

( M3 ) d

 x , y=∥x−zz− y∥ ≤

N3

∥x−z∥∥z− y∥=d  x , zd  z , y

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 12 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Iloczyn Skalarny

Definicja

Niech

 X , K ,,⋅

- przestrzeń wektorowa nad ciałem K .

Iloczynem skalarnym

nazywamy odwzorowanie

〈 ,〉: X × X  K

spełniające

następujące własności :

( IS 1 )

〈 x , y〉=〈 y , x〉

dla x , y

∈ X

( IS 2 )

〈axby , z 〉=a 〈 x , z 〉b 〈 y , z 〉

dla a , b

∈K ; x , y , z∈ X

( IS 3 )

〈

x , x

〉

≥0

dla x

∈ X

( IS 4 )

〈

x , x

〉

=0 ⇔ x=0

gdzie symbol

oznacza sprzężenie liczby

Parę

 X ,

〈

,

〉

 nazywamy

przestrzenią unitarną

Uwaga

(IS1), (IS2)

⇒

(IS2')

〈

x , ay

bz

〉

=a

〈

x , y

〉

b 〈 x , z 〉

dla a , b

∈K ; x , y , z∈ X

Przykład

Rozważmy dwa wektory w przestrzeni K

n

: x , y∈K

n

x

= x

1

, x

2

,

, x

n



y

= y

1

, y

2

,

, y

n



gdzie

x

i

, y

i

∈K

Zdefiniujmy

∗

〈

x , y

〉

≔ x

1

y

1

x

2

y

2

x

n

y

n

Wykażemy, że

∗

definiuje iloczyn skalarny.

Dowód

( IS1 )

〈

x , y

〉

= x

1

y

1

x

2

y

2

x

n

y

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

=

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

= y

1

x

1

 y

2

x

2

 y

n

x

n

=

〈

y , x

〉

( IS 2 )

ćwiczenie

( IS 3 )

〈

x , x

〉

=x

1

x

1

x

2

x

2

x

n

x

n

=∣x

1

∣

2

∣x

n

∣

2

≥0

( IS 4 )

〈

x , x

〉

=0 ⇔

∣

x

1

∣

==

∣

x

n

∣

=0 ⇔ x

1

==x

n

=0 ⇔ x=0

Iloczyn

∗

nazywamy

standardowym iloczynem skalarnym w

K

n

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 13 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

Niech

 X ,

〈

,

〉

 - przestrzeń unitarna.

Wtedy prawdziwa jest następująca

nierówność Cauchy' ego - Bunianowskiego -

Schwarza

∣〈 x , y〉∣

2

≤〈 x , x〉⋅

〈

y , y

〉

dla x , y

∈ X

Dowód

Dla x , y

∈ X definiujemy

a

≔

{

∣〈 x , y〉∣

〈 x , y 〉

, gdy

〈 x , y〉≠0

1

, gdy

〈 x , y〉=0

Stąd a

∈K i

∣a∣=1

.

Niech r

∈ℝ .

Wtedy

〈

rax

 y , rax y

〉

≥

IS3

0 .

Z drugiej strony

〈

rax

 y , rax y

〉

=

IS2

ra

〈

x , rax

 y

〉



〈

y , rax

 y

〉

=

IS2

'

ra

⋅ra

〈

x , x

〉

ra

〈

x , y

〉

ra

〈

y , x

〉



〈

y , y

〉

=

= r

2

∣a∣

2

〈 x , x〉ra

〈

x , y

〉

r a

〈

x , y

〉



〈

y , y

〉

=r

2

〈

x , x

〉

2 r∣

〈

x , y

〉

∣

〈

y , y

〉

Zatem

∀ r∈ℝ r

2

〈

x , x

〉

2 r∣

〈

x , y

〉

∣

〈

y , y

〉

≥0

Jeśli

〈

x , x

〉

=0 ,to powyższa nierówność jest spełniona ∀ r∈ℝ⇔∣〈 x , y〉∣=0

Jeśli

〈

x , x

〉

0 ,to powyższa nierówność jest spełniona ∀ r∈ℝ⇔≤0 .

Zatem

=4 ∣

〈

x , y

〉

∣

2

−4

〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

≤0

czyli

∣

〈

x , y

〉

∣

2

≤

〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

.

Wniosek

Dla standardowego iloczynu skalarnego w ℝ

n

nierówność Schwarza przyjmuje postać

klasycznej

nierówności Cauchy 'ego

:

∣

∑

i

=1

n

x

i

⋅y

i

∣

2

≤



∑

i

=1

n

∣x

i

∣

2



⋅



∑

i

=1

n

∣y

i

∣

2



dla x , y∈ℝ

n

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 14 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

( o indukowaniu normy przez iloczyn skalarny )

Jeśli przestrzeń



X ,

〈

,

〉



jest przestrzenią unitarną, to funkcja

∥ . ∥: X [ 0 , ∞

dana wzorem

∥x∥≔



〈

x , x

〉

dla x

∈ X

jest normą w X .

Definicja

Normę tę nazywamy

normą euklidesową

, a metrykę d zadaną przez normę

euklidesową

d

 x , y=∥x− y∥=



〈

x

− y , x− y

〉

dla x , y

∈ X

nazywamy

metryką euklidesową

.

Dowód twierdzenia

( N0 ) Norma jako pierwiastek jest nieujemna

( N1 ) ∥x∥=0 ⇔



〈

x , x

〉

=0 ⇔

〈

x , x

〉

=0 ⇔

IS 4

x

=0

( N2 ) ∥⋅x∥=



〈

⋅x ,⋅x

〉

=



⋅

〈

x , x

〉

=



∣∣

2

〈

x , x

〉

=∣∣⋅



〈

x , x

〉

=∣∣⋅∥x∥

( N3 ) Aby udowodnić nierówność

∥x y∥≤∥x∥∥y∥

wystarczy sprawdzić prawdziwośc

nierówności



〈

x

 y , x y

〉

≤

?



〈

x , x

〉





〈

y , y

〉

,

którą sprawdzimy podnosząc obie strony nierówności do kwadratu

〈

x

 y , x y

〉

≤

?

〈

x , x

〉



〈

y , y

〉

2 ⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

i korzystając z własności (IS2) i (IS2')

〈

x , x

〉



〈

x , y

〉



〈

y , x

〉



〈

y , y

〉

≤

?

〈

x , x

〉



〈

y , y

〉

2 ⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

〈

x , y

〉



〈

y , x

〉

≤

?

2

⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

.

Ponieważ

〈

y , x

〉

=

〈

x , y

〉

, więc

〈

x , y

〉



〈

y , x

〉

=2 ⋅ℜ

〈

x , y

〉

, gdzie

ℜ oznacza część rzeczywistą

liczy zespolonej. Zatem wystarczy udowodnić, że 2 ⋅ℜ

〈

x , y

〉

≤

?

2

⋅



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

,

a ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ ℜ

〈

x , y

〉

≤∣

〈

x , y

〉

∣≤



〈

x , x

〉

⋅

〈

y , y

〉

na

podstawie nierówności Schwarza.

Przykład

Standardowe normy w K

n

x

∈K

n

x

= x

1

, x

2

,

, x

n



∥x∥

T

≔

∑

i

=1

n

∣

x

i

∣

- norma taksówkowa

∥x∥

E

≔



∑

i

=1

n

∣x

i

∣

2

- norma euklidesowa

∥x∥

∞

≔ max

{

∣x

i

∣;i=1 , 2 ,, n

}

- norma maksimum

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 15 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Pojęcia topologiczne

Granica funkcji i ciagu w przestrzeniach topologicznych i metrycznych

Niech X ,Y - przestrzenie topologiczne,

f : X

Y

x

0

∈' D

f

( x

0

- punkt skupienia dziedziny funkcji f )

Mówimy, że funkcja f ma w punkie x

0

granicę

g

∈Y ,

jeśli

∀ U ∈Top g ∃V

∗

∈Top

∗

 x

0

: f [V

∗

]⊂U

i piszemy lim

x

 x

0

f

 x=g

Niech

a

n



n

∈N

będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej Y ,

a

n



n

∈N

⊂Y .

Ciąg jest funkcją a :

ℕ∋n  an=a

n

∈Y o dziedzinie D

a

=ℕ .

Jedynym punktem skupienia zbioru

ℕ w ℝ jest ∞ , ' D

a

=

{

∞

}

w 

ℝ .

Zatem

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ U ∈Top g  ∃V

∗

∈Top

∗

∞ : a[V

∗

]⊂U

Stąd

lim

n

∞

a

n

=g ⇔ ∀ U ∈Top g ∃ n

0

∈ℕ∀ nn

0

a

n

∈U

Jeśli

Y , d 

- przestrzeń metryczna, to powyższa definicja przyjmuje posta

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ 0 ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

: a

n

∈K  g ,

Stąd

lim

n

∞

a

n

⇔∀ 0 ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

: d

a

n

, g



Uwaga

Jeżeli Y

=K , d =d

E

, to otrzymujemy znaną def. Cauchy'ego granicy ciągu

lim

n

∞

a

n

=g ⇔∀ 0 ∃n

0

∈ℕ ∀ nn

0

:

∣

a

n

−g

∣



Uwaga

Pojęcie granicy ciągów liczbowych można przenieść na pojęcie granicy ciągu w dowolnej
przestrzeni metrycznej, mianowicie

lim

n

∞

a

n

=g ⇔lim

n

∞

d

a

n

, g

=0

Uwaga

Ponieważ w przestrzeni K

n

metryki standardowe są równoważne (wyznaczają te same

topologie), zatem mówiąc o zbieżności ciągu do punktu nie musimy precyzować o którą
metrykę chodzi, gdyż zbieżność w jednej metryce implikuje zbieżność w pozostałych
metrykach.

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 16 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Punkty skupienia ciągu

Definicja

Ciąg b

k



k

∈ℕ

nazywamy podciągiem ciągu a

n



n

∈ℕ

, jeżeli istnieje taka silnie rosnąca

funkcja g :

ℕℕ , że b

k

=a

g

k 

dla k

∈ℕ i oznaczamy

b

k

=a

n

k 

=a

n

k

.

Przykład

a

n



n

∈ℕ

:

a

n

=

1

n

b

k



k

∈ℕ

:

b

k

=

1

k

2

b

k



k

∈ℕ

jest podciągiem a

n



n

∈ℕ

, bo funkcja wybierająca

g

k =k

2

jest silnie

rosnąca.

Definicja

Niech Y – przestrzeń topologiczna lub metryczna

a

n



n

∈ℕ

⊂Y

Punkt s

∈Y nazywamy

punktem skupienia ciągu

a

n



n

∈ℕ

, jeśli istnieje taki podciąg

a

n

k



k

∈ℕ

ciągu a

n



n

∈ℕ

, że s

=lim

k

∞

a

n

k

.

'

a

n



n

∈ℕ

- zbiór punktów skupienia ciągu a

n



n

∈ℕ

Uwaga

Zbiór punktów skupienia ciągu a

n



n

∈ℕ

jest różny od zbioru punktów skupienia zbioru

wartości ciągu,

'

a

n

≠'

{

a

n

, n

∈ℕ

}

Przykład

Niech

a

n

=−1 

n

, n

∈ℕ

Wtedy

dla b

k

=a

2 k

=1

lim

k

∞

b

k

=1

oraz dla c

k

=a

2 k

−1

=−1 lim

k

∞

c

k

=−1 .

Zatem '

a

n

=

{

−1 , 1

}

.

Jednak

'

{

a

n

, n

∈ℕ

}

='

{

−1 , 1

}

=∅ w ℝ

.

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 17 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Twierdzenie

( Bolzano – Weierstrassa )

Niech a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ

a

n



n

∈ℕ

- ograniczony ⇒' a

n



n

∈ℕ

jest niepustym podzbiorem zbioru

ℝ .

Definicja

Niech a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ oraz

niech ' a

n



n

∈ℕ

- zbiór punktów skupienia ciągu a

n



n

∈ℕ

w zbiorze ℝ .

Granicą górną ciągu

a

n



n

∈ℕ

nazywamy kres górny zbioru punktów skupienia ciągu

a

n



n

∈ℕ

w ℝ i oznaczamy:

lim

n

∞

a

n

=lim sup

n

∞

a

n

≔ sup' a

n



(czytaj : limes superior).

Granicą dolną ciągu

a

n



n

∈ℕ

nazywamy kres dolny zbioru punktów skupienia ciągu

a

n



n

∈ℕ

w ℝ i oznaczamy:

lim

n

∞

a

n

=lim inf

n

∞

a

n

≔ inf ' a

n



(czytaj : limes inferior)

Przykład

a

n

=sin 


2

n



'

a

n



n

∈ℕ

=

{

−1 , 0 , 1

}

Zatem
lim sup

n

∞

a

n

=1

lim inf

n

∞

a

n

=−1

Uwaga

1) ∀ a

n



n

∈ℕ

⊂ℝ ∃lim inf

n

∞

a

n

∈ ℝ ,oraz ∃lim sup

n

∞

a

n

∈ ℝ

2) a

n

 jest ograniczony w ℝ ⇒ ∃lim inf

n

∞

a

n

∈ℝ oraz ∃lim sup

n

∞

a

n

∈ℝ

3) a

n

 jest ciągiem zbieżnym do g ⇒ lim inf

n

∞

a

n

= lim sup

n

∞

a

n

= g

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 18 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Zupełność przestrzeni metrycznej

Niech

 X , d 

- przestrzeń metryczna

a

n



n

∈ℕ

⊂ X

Twierdzenie

lim

n

∞

a

n

=g ⇒ lim

min

{

n , m

}

∞

d

a

n

, a

m

=0

Dowód

0

≤d a

n

, a

m

≤d a

n

, g

d  g , a

m



n

∞

m

∞

⇒ min{n , m}∞ ⇒ d a

n

, a

m

 0 na podstawie twierdzenia o 3 ciągach.

Uwaga

lim

min

{

n , m

}

∞

d

a

n

, a

m

=0 ⇔

∀ 0 ∃n

0

∈ℕ ∀ n , mn

0

: d

a

n

, a

m



C 

Warunek

C 

nazywamy

warunkiem Cauchy'ego

zbieżności ciągu a

n



n

∈ℕ

w

przestrzeni metrycznej.
Ciag elementów przestrzeni metrycznej spełniający warunek Cauchy'ego nazywamy

ciągiem Cauchy'ego

.

Wniosek

Warunek Cauchy'ego jest warunkiem koniecznym zbieżności ciągu Cauchy' ego w
przestrzeni metrycznej, tzn.

∃

n

∞

lim a

n

⇒a

n



n

∈ℕ

- jest ciągiem Cauchy'ego

Uwaga

Warunek Cauchy'ego nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu w przestrzeni
metrycznej.

Przykład

Niech

Y

=0 , 1]

.

Wtedy

Y , d

E

 - przestrzeń metryczna.

Niech

a

n



n

∈ℕ

a

n

=

1

n

.

W przestrzeni metrycznej

ℝ , d

E

 ciąg a

n



n

∈ℕ

jest zbieżny, bo

d

E

a

n

, 0

=

∣

a

n

∣

=

1

n

 0 , gdy n ∞ ;

⇒ a

n



n

∈ℕ

- ciąg Cauchy'ego w

ℝ , d

E

 , ale też w Y , d

E

 .

Jednakże, a

n



n

∈ℕ

nie jest zbieżny w Y , bo 0

∉Y .

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 19 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Definicja

Przestrzeń metryczną

 X , d 

nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg elementów tej

przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny ( do elementu tej przestrzeni ).

Twierdzenie

Przestrzeń unormowana K

n

jest przestrzenią metryczną zupełną ( z metryką

standardową zawartą normą standardową) .

Uwaga

Pojęcie zupełności przestrzeni jest pojęciem metrycznym, to znaczy zależnym od wyboru
metryki.

Przykład

ℝ , d

E

 - przestrzeń metryczna zupełna

ℝ , d  - przestrzeń metryczna, gdzie d  x , y=∣arctg x - arctg y∣ dla x , y∈ℝ

Niech a

n



n

∈ℕ

a

n

=n ∀ n∈ℕ .

Ciąg a

n



n

∈ℕ

jest ciągiem Cauchy'ego w

ℝ , d  , bo warunek

∀ 0 ∃n

0

∀ n , mn

0

∣arctg n - arctg m ∣

jest spełniony, jeśli

arctg n

0

≥


2

−

zatem, np. gdy

n

0

=

[

tg




2

−

]

.

Jednakże

lim

n

∞

a

n

=lim

n

∞

n

=∞ ∉ℝ

⇒a

n



n

∈ℕ

nie jest zbieżny w

ℝ , d  ⇒ ℝ , d  nie jest przestrzenią zupełną

( nie przeczy to zupełności przestrzeni eulkidesowej

ℝ , d

E

 , ponieważ ciąg a

n



n

∈ℕ

nie jest ciągiem Cauchey' ego w tej przestrzeni ).

Definicja

Przestrzeń unormowaną zupełną, to znaczy zupełną w metryce zadanej normą,
nazywamy

przestrzenią Banacha

.

Definicja

Przestrzeń unitarną zupełną, to znaczy zupełną w metryce danej normą wyznaczoną
przez iloczyn skalarny, nazywamy

przestrzenią Hilberta

.

Wniosek

1) Przestrzeń K

n

z normą standardową jest przestrzenią Banacha.

2) Przestrzeń K

n

ze standardowym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta.

Wniosek

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha ( z normą daną iloczynem
skalarnym).

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 20 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Granica funkcji (c.d.)

Def. Cauchy'ego

Niech

 X , d  , Y , – przestrzenie metryczne

f : X

Y

x

0

∈' D

f

, g

∈Y

wtedy

lim

x

 x

0

f

 x=g :⇔∀ 0 ∃ 0 ∀ x∈D

f

: 0

d  x , x

0

 ⇒  f  x , g

Def. Heinego

Niech

 X , d  - przestrzeń metryczna

Y – przestrzeń topologiczna

f : X

Y

x

0

∈' D

f

, g

∈Y

Wtedy

lim

x

 x

0

f

 x=g :⇔∀ x

n



n

∈ℕ

:

{

x

n

∈D

f

x

n

≠x

0

∀ n∈ℕ

lim

n

∞

x

n

=x

0

lim

n

∞

f

 x

n

=g

Twierdzenie

Definicje Cauchy'ego i Heinego są równoważne.

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych

Niech X ,Y – przestrzenie topologiczne

f : X

Y

x

0

∈D

f

Definicja

Funkcja jest

ciągła

w punkcie x

0

f

∈C  x

0

:⇔[ x

0

∈ ' D

f

∧ lim

x

 x

0

f

 x= f  x

0

 ∨ x

0

∉ ' D

f

]

Funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie z dziedziny D

f

.

Przykład

f

 x=

x

∣x∣

D

f

=ℝ∖

{

0

}

, więc f jest ciągła.

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 21 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski

Przestrzenie spójne

Przestrzeń topologiczną X nazywamy

spójną

, jeśli

~

∃ A , B∈Top : X =A∪B , A≠∅≠B , A∩B=∅

gdzie symbol ~ oznacza negację

Niech

E

⊂ X

E nazywamy

zbiorem spójnym

, jeśli

~

∃ A , B∈Top : E⊂A∪B , A∩E≠∅≠B∩E , A∩B∩E=∅

Twierdzenie

Jedynymi podzbiorami spójnymi przestrzeni unormowanej

ℝ ,∣.∣ są przedziały

Twierdzenie

( o zachowaniu spójności )

X ,Y

– przestrzenie topologiczne

oraz niech przestrzeń X jest spójna.
Wtedy

F

∈C  X ⇒ f [ X ]

jest spójny

( obraz ciągły zbioru spójnego jest spójny )

Dowód

Hipoteza –

f

[ X ]

nie jest spójny, tzn.

∃ A , B∈T  f [ X ] : A≠∅≠B f [ X ]=A∪B ∧ A∩B=∅

Wtedy

X

= f

−1

[ A]∪ f

−1

[ B]

Ponadto

f

−1

[ A]≠∅≠ f

−1

[ B]

f

−1

[ A]∩ f

−1

[ B]= f

−1

[ A∩B]= f

−1

[∅]=∅

oraz

f

−1

[ A] , f

−1

[ B]∈Top X 

Zatem X nie jest spójny – a to jest sprzeczne z hipotezą.
Czyli hipoteza jest fałszywa.

Niech X – przestrzeń topologiczna
f : X

ℝ

f -

ma własność Darboux

na X , gdy

f

[ X ]

jest przedziałem.

X - zbiór spójny

f

∈C  X 

}

f

[ X ]

- jest przedziałem

( funkcja ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux )

Wykład dr Joanny Górskiej

strona 22 z 22

Opracowali: Robert Pałka, Michał Pawłowski