WYKŁAD6 nieustalone przewodzenie ciepła przez płytę płaską


WYKAAD 6
Egzaminy:
15 czerwiec godz. 815 I termin s.301 D  1
26 czerwiec godz. 815 II termin s.301 D  1
NIEUSTALONE PRZEWODZEENIE CIEPAA PRZEZ PAYT PAASK
ł t
, , c
ł0 = ł
ł ł
ł ł(0)
ł ł
ł1 = ł 
ł ł(1) QAK
ł ł 
ł ł 
Qx Qx+dx
 
 
 
ł2 = ł 
ł ł 
ł ł(2)
ł ł 
ł = ( ") tot
ł  "
ł ="
ł  "
-/2 0 x dx /2 x
Temperatura w płycie jest funkcją położenia  x I czasu   .(jest dwuwymiarowe)
ł(x,)
* * * *
"ł
Qx + Q = Qx+dx Q = -V "  " c " - cieplo akumulacji
AK AK
"
*
* *
"d Qx
Qx+dx = Qx + " dx V = A"dx
"x
2
"ł " ł
- A " dx "  " c " = -A "  " " dx
" "x2
"ł "2ł
 " c " =  "
" "x2
2
"ł  " ł
= "
- równanie różniczkowe opisujące pole temperatury w płycie
"  " c "x2
32

gdzie: = a - współczynnik wyrównania temperatury (współ. dyfuzji temperatury)
 " c
Warunki graniczne:
I. Warunek początkowy dla zmiennej czasowej   :
 = 0 ; ł = ł0
Warunki brzegowe:
"ł
1). x = 0; = 0
"x
*
"ł
Q = -A "  "
"x
"ł
ł ą ł
2). x = /2; + " ł = 0
ł ł
"ł
"x 
ł łł
- A "  " = A "ą " (ł - tOT )

 x-
"x
x=
2
2
Przyjmujemy, że tOT = 0 i  ł traktujemy jako nadwyższkę temperatury nad temperaturę
otoczenia.
Rozwiązanie równania różniczkowego pola temperatur płyty płaskiej z warunkami
granicznymi I, 1), 2).
Metoda Fouriera (rozdzielania zmiennych). Zakładamy, że funkcja będąca rozwiązaniem da
się przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji:
ł (x, ) = X (x) "T(x)
"ł "2ł
= X '"T ; = X ''"T
"x "x2
"ł
= X "T '
"
Podstawiając pochodne cząstkowe do równania różniczkowego otrzymamy:
X "T '= a " X ''"T (X "T )
T ' X ''
= a " - równanie zachodzi gdy obie strony są stale
T X
{ {
funkcja funkcja
czasu ( ) polożoloż ( x)
Rozbijamy następnie na dwa równania:
1 T ' X ''
2 2
" = - ; = - gdzie: - określona stała
a T X
33
Równania równowagi:
T ' X ''
2 2
= -a " ; = -
T X
2 2
lnT = -a " " + c ; X ''+ X = 0
2
T = C " e-a" " ; X = A'"cos(x) + B'"sin(x)
czyli:
2
A = A'"C
ł (x) = e-a" " (-A" cos(x) + B " sin(x)) gdzie:
B = B'"c
Należy wyznaczyć A, B oraz za pomocą warunków granicznych:
1)
2
"ł
= e-a" " (-A " " sin(x) + B " " cos(x))
"x
Dla x = 0 całość ma równać się zeru:
2
e-a" " (-A " " 0 + B " "1) = 0
B = 0
2)

x =
2
2 2
 ą 
- A " e-a" " " sin + " A " e-a" " " cos = 0 A
2  2
 ą   
łcos ł
" sin = " cos ( )
ł ł
2  2 2 2
ł łł

ą "
 
2
" " tg " =
2 2 
{ {
13
2
p p
LICZBA
BIOTA
Bi
p " tgp = Bi ! tgp =
p
p
=

2
34
tg p
Ą/2 3/2Ą 5/2Ą
Punkty przecięcia to rozwiązania równania:
p " tgp = Bi
Wynika z tego, że jest wiele rozwiązań, a za tym idzie wiele .
2
1
ł
ł = A1 " e-a" " " cos 1x
1
ł "
2 2
ł
2 i
ł = A2 " e-a" " " cos 2 xżł ł = Ai " cos i " x " e-a" "
2 "
i=1
2
ł
3
ł = A3 " e-a" " " cos 3x
3 ł
ł
Do wyznaczenia mamy Ai:
Aby wyznaczyć Ai wykorzystujemy:  = 0; ł = ło; e0 = 1
"
ł = Ai " cos i " x "1" cos k " x
0 "
i=1
k  ustalony wyraz szeregu sumy
Następnie całkujemy:
 
2 2
"
ł k " x = Ai i " x " cos k " x " dx
0 "
+"cos +"cos
i=1
0 0
obliczamy całki:


2
2
1 1 
+"cos k " x " dx = sin k " x " = " sin k "
k 0 k 2
0
35

2
1 1  
2

gdy i = k to ! k " x " dx = " sin 2k " +
+"cos
2
2k 2 2 2
0
+"cos i " x " cos k " x " dx = 

0
2
2
ktgk " x
cos i " x " cos k " x ł ł
ł ł
gdy i `" k to ! i " x " cos k " x " dx =
+"cos
k 2 - i 2 ł- itgi " xł
ł łł
0
0
Końcowy wynik:
1   1 
ł = sin k = Ak ( + sin k " )
0
k 2 2 4k 2
36


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
TCiM sem 3, wykład 3 Ustalone przewodzenie ciepła, rozwiązania analityczne
Przewodzenie ciepla
Przewodzenie ciepla
wykład 5 Choroby przewodu pokarmowego, wątroby i trzustki
anestezjo wyklad1 znieczulenie przewodowe
Przewodzenie ciepla
Wykład 25 Przewód pokarmowy patofizjologiczne podstawy symptomatologii

więcej podobnych podstron