Transport ciepła i masy
�Ryszard A. Białecki
ustalone przewodzenie
ustalone przewodzenie
ciepła, rozwiązania analityczne
ciepła, rozwiązania analityczne
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
Redukcja wymiarowości zagadnienia przewodzenia ciepła
Redukcja wymiarowości zagadnienia przewodzenia ciepła
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku dominuje
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku dominuje
nad przepływem energii w innych kierunkach. Pozwala to
nad przepływem energii w innych kierunkach. Pozwala to
zredukować wymiar geometryczny zagadnienia, przez pominięcie
zredukować wymiar geometryczny zagadnienia, przez pominięcie
składnika strumienia ciepła w nieistotnych kierunkach.
składnika strumienia ciepła w nieistotnych kierunkach.
Najczęściej uproszczeń takich mo\
na dokonać w obszarach o
Najczęściej uproszczeń takich mo\
na dokonać w obszarach o
kształtach wydłu\
onych w jednym lub kierunkach. Zadanie
kształtach wydłu\
onych w jednym lub kierunkach. Zadanie
trójwymiarowe sprowadza się wtedy odpowiednio do dwu lub
trójwymiarowe sprowadza się wtedy odpowiednio do dwu lub
jednowymiarowego.
jednowymiarowego.
Aby zastosować takie uproszczenie, warunki brzegowe wzdłu\

Aby zastosować takie uproszczenie, warunki brzegowe wzdłu\

kierunków wydłu\
onych muszą być stałe. Zadania chętnie
kierunków wydłu\
onych muszą być stałe. Zadania chętnie
upraszcza się do 1D, bowiem dla takich przypadków znane są proste
upraszcza się do 1D, bowiem dla takich przypadków znane są proste
rozwiązania analityczne.
rozwiązania analityczne.
1
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
przykład zadania dwuwymiarowego
pole temperatury w ka\
dym przekroju x y jest
identyczne (nie zale\
y od z).
q = 0
izolacja
z
q = qu
y
x
q = ąl (T -T" )
q = ąr (T -T" )
T = Tb
izolacja q = 0
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłu\
ka\
dej linii równoległej do osi y jest
identyczne (nie zale\
y ani od z ani od x ).
q = 0
izolacja
z
y
x
q = qu
q = 0
q = 0
izolacja
izolacja
T = Tb
izolacja q = 0
2
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłu\
ka\
dego promienia r jest
identyczne (nie zale\
y ani od z ani od kąta Ć ).
izolacja
z
Ć
e
q = ąe(T -T" )
r
i
q = ąi (T -T" )
izolacja q = 0
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
ściśle rzecz biorąc, redukcja zadania 3D do 2D
wymaga aby na powierzchniach prostopadłych do
wynikowego pola 2D, panowały warunki adiabatyczne.
W praktyce, jeśli warunki w tych przekrojach nie ró\
nią się
znacznie, zadanie mo\
na i tak traktować jak 2 wymiarowe,
bowiem zakłócenia pola 2D koncentrują się tylko w okolicach
tych powierzchni.
Podobnie rzecz się ma przy redukcji zadań 2D do 1D.
3
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
przykład redukcji wymiarowości zagadnienia
q = 50(T -300)W / m2
q =1200W / m2
q =50(T -300)W /m2
T = 400K
warunki brzegowe na czołowych (kwadratowych)
powierzchniach zmieniają się od izolacji do
intensywnej wymiany konwekcyjnej
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe zaizolowane. Zadanie 2D
4
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe słabo wymieniające ciepło przez
konwekcję ą=20 W/m2K temperatura płynu 300K.
ą
ą
ą
Wpływ wnikania z tych powierzchni ogranicza się do
bardzo małego obszaru w ich sąsiedztwie
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe wymieniające ciepło przez konwekcję
ze średnią intensywnością ą=50 W/m2K temperatura płynu 300K.
ą
ą
ą
Wpływ wnikania z tych powierzchni nadal w niewielkim obszarze
w sąsiedztwie powierzchni czołowych
5
Transport ciepła i masy
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
�Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe wymieniające ciepło przez konwekcję
z du\
ą intensywnością ą=100 W/m2K,temperatura płynu 300K.
ą
ą
ą
Wpływ wnikania z tych powierzchni jest jeszcze większy ni\

poprzednio. W środku obszaru pole jest nadal dwuwymiarowe
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
Ustalone zadania jednowymiarowe
Ustalone zadania jednowymiarowe
Płaska nieskończona płyta
Płaska nieskończona płyta
obiekt 3D model 1D
obiekt 3D model 1D
wektor strumienia ciepła
normalny do powierzchni
q=q
q q
y
x
z
x=0 x=�
q=q
x
2
�ł łł
"2T "2T "2T
d T
 + + + qv = 0
�ł
 + qv = 0
"x2 "y2 "z2 śł
�ł �ł
dx2
6
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
Stały współczynnik przewodzenia ciepła.
Stały współczynnik przewodzenia ciepła.
Płaska nieskończona płyta, pole bezz
ródłowe
Płaska nieskończona płyta, pole bezz
ródłowe
2
d T
= 0 qv = 0
pole bezz
ródłowe
dx2
rozwiązanie (całka ogólna)
T (x) = C1x + C2 stałe C1 i C2 wyznacza się z warunków brzegowych
notka o kierunku strumienia ciepła
nL nR
dT dT dT dT
q = - = + qR = - = -
L
dnL dx dnR dx
x
qx=� + qx=0 = 0
strumienie na skrajnych powierzchniach maja przeciwne znaki.
W praktyce u\
ywa się jednego ze strumieni (zwykle dodatniego)
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
znane obie temperatury skrajne rozwiązanie
T = C1x + C2
T (0) = TL
A
T (�) = TR
TR -TL
C1 =
TL
TR
�
C2 = TL

przebieg temperatury
�
0 x
TR -TL
T
T = x + TL
�
TL
TR
dT TL -TR
q(x) = - = 
x
0 � dx �
dT TL -TR
Q = qA = -A = A
dx �
7
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
znana temperatura i strumień ciepła rozwiązanie
T = C1x + C2
dT
 = qL
A
dx
x=0
qL
C1 =
T (�) = TR

qL
TR
qL

C2 = TR - �

0 � x
przebieg temperatury
T
qL
T = TR - (� - x)

TR
dT
x
�
0 q(x) = - = -qL
dx
dT
Q = qA = -A = -qL A
dx
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
konwekcyjna wymiana ciepła na obu powierzchniach rozwiązanie
T = C1x + C2
dT
+  = ąL (T -TfL )
dx
A
x=0
TfR
1 -TfL
C1 =
dT 1 � 1

+ +
- = ąR (T -TfR )
ąL  ąR
dx
x=�
ąL,TfL
ąR,TfR
TfR
� 1
TfL ( + ) +

 ąR ąL
C2 =
przebieg temperatury
1 � 1
0 � x
+ +
TfL
ąL  ąR
T
płyn płyn
ciepły chłodny �łTfR
�ł �ł
1 -TfL 1 � 1 łł
T = x+�ł + + TfRśł
�ł �łT
1 � 1
 ąR łł fL ąL �ł
TfR
�ł
�ł
+ +
ąL  ąR
0 �
x
TfL
dT -TfR
q = - =
1 � 1
dx
+ +
ąL  ąR
8
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 1
znany strumień ciepła i temperatura na brzegu. Idealny styk warstw
rozwiązanie w ka\
dej z warstw
T1 = C1x1 + C2 T2 = C3x2 + C4
1
TL 2
qR
nieznane stałe wyznacza się
z warunków brzegowych
T1(x1 = 0) = TL
0 x1
brzegi
dT2
x2
0
-2 = qR zewnętrzne
dx2 x2 =�2
�1 �2
T1(x1 = �1) = T2(x2 = 0)
dT1 dT2 styk
-1 = -2
dx1 x1 =�1 dx2 x2 =0
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 2
qR qR 1TL - �1qR
C1 = ; C2 = TL; C3 = - ; C4 =
1 2 2
qR qR 1TL - �1qR
T1 = x1 + TL; T2 = - x2 +
1 2 1
podejście uniwersalne, wymaga dość \
mudnych rachunków
mo\
e być stosowane do zadań o
" dowolnej liczbie warstw,
" dowolnych liniowych warunków brzegowych
" zale\
nych od współrzędnej z
ródeł ciepła
lub
" zale\
nych od temperatury współczynnikach przewodzenia ciepła
9
Transport ciepła i masy
płaska płyta
płaska płyta
�Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 3
przebieg temperatury
1 1
2 2
TL TL
1 > 2 1 < 2
bardziej strome przebiegi w gorszych przewodnikach ciepła
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
analogia elektryczna.
Szybka metoda rozwiązywania zadań
" jednowymiarowych
" ustalonych
" bezz
ródłowych
" o stałym współczynniku przewodzenia ciepła
Rachunki mo\
na znacznie uprościć, jeśli zamiast wyznaczania
rozkładu temperatury, określa się wpierw strumień ciepła.
Wykorzystuje się stałość strumienia ciepła w czasie (stan
ustalony i pole bezz
ródłowe). Związek między temperaturami
na powierzchni płyty a gęstością strumienia ciepła
(niezale\
nie od zadanych warunków brzegowych)
TL 
TR

q
q = (TL -TR )
�
�
10
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
ścianka płaska, wielowarstwowa, idealny kontakt cieplny
konwekcyjna wymiana ciepła z obu stron ścianki
przenikanie ciepła
Dane:
grubości warstw
�i,i = 1, 2,...n
współczynniki przewodzenia ciepła warstw
i,i = 1, 2,...n
ąL,ąR
współczynniki wnikania ciepła
TfL,TfR
temperatury płynów omywających ściankę
temperatury granic warstw są nieznane
TL T1,2 T2,3 Ti-1,i Ti,i+1 Tn-2,n-1 Tn-1,n TR
1 i n-1 n
2
ąL ąR
q
TfL �1 �2 & �i �n-1 �n TfR
&
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
TL T1,2 T2,3 Ti-1,iTi,i+1 Tn-2,n-1 Tn-1,n TR
1 i n-1 n
2
ąL ąR
TfL �1 �2
& �i �n-1 �n TfR
&
q = ąL(TfL -TL )
wnikanie do lewej powierzchni
1
przewodzenie w 1. warstwie
q = (TL -T1,2)
�1
2
q = (T1,2 -T2,3) przewodzenie w 2. warstwie
�2
i
q = (Ti-1,i -Ti,i+1) przewodzenie w i-tej warstwie
�i
n-1
przewodzenie w n-1-szej warstwie
q = (Tn-2,n-1 -Tn-1,n )
�n-1
n
przewodzenie w n-tej warstwie
q = (Tn-1,n -TR )
�n
q = ąR (TR -TfR ) wnikanie do prawej powierzchni
11
&
&
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
dodawanie stronami eliminuje wszystkie (nieznane)
z ka\
dego z równań wyznacza się
pośrednie temperatury
ró\
nicę temperatur
1
q = TfL -TL
�ł łł
1 n �i 1
ąL
q + + = TfL -TfR
�łą "
i=1
�1
i ąR śł
�ł L �ł
q = TL -T1,2

ostatecznie gęstość strumienia ciepła wyznaczyć mo\
na ze wzoru
�21
q = T1,2 -T2,3
TfL -TfR
2
q =
�i �ł łł
1 n �i 1
q = Ti-1,i -Ti,i+1
"
�łą + i=1 i + ąR śł
i
�ł L �ł
�n-1
q = Tn-2,n-1 -Tn-1,n
znając gęstość strumienia ciepła, temperatury na stykach
n-1
(jeśli są potrzebne) wyznacza się kolejno
�n
1
q = Tn-1,n -TR
TL = q + TfL
n
ąL
1
�1
q = TR -TfR
T1,2 = q + TL
ąR
1
�2 itd
T2,3 = q + T1,2
2
poniewa\
temperatury w warstwach zmieniają się liniowo, wystarcza
to do jednoznacznego wyznaczenia pełnego pola temperatury w przegrodzie
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
pojęcie oporu cieplnego
analogia między ustalonym przepływem prądu stałego
a ustalonym, jednowymiarowym przewodzeniem ciepła.
"T
"U
Q =
i =
RQ
R
Q gęstość strumienia ciepła
i natę\
enie prądu
"T ró\
nica temperatur
"
"
"
"U ró\
nica potencjałów
"
"
"
RQ opór cieplny
R opór elektryczny
12
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
1
�
opór przewodzenia
Rą = opór wnikania
R = A
Aą

tak zdefiniowane opory cieplne mo\
na łączyć tylko szeregowo
TfL -TfR
TfL -TfR
Q =
Q =
�ł łł
1 n �i 1
�łRąL + n Ri + RąR łł
+ Ai + "
i=1
�ł "
�ł �ł
ALąL i=1 i ARąR śł
�ł �ł
jednak\
e dla pól zbli\
onych do jednowymiarowych, łączenie
równoległe i szeregowe oporów jest dopuszczalne, gdy\

prowadzi do niewielkich błędów
Transport ciepła i masy
opór cieplny
opór cieplny
�Ryszard A. Białecki
A4 �a
R3 = A3
1 ąR 4 RąL = ąL
A1
3
ąL ąR
TfL A2 2
A4 TfR �a �b
R1 = A1 R4 = A4
1 4
A3 3
�a A4
R2 = A2 RąR =
� �
2 ąR
a b
TfL -TfR
Q =
1
RąL + + R4 + RąR
1 1 1
+ +
R1 R2 R3
współczynniki przewodzenia ciepła powinny być do siebie
zbli\
one. W przeciwnym wypadku, zało\
enie o
jednowymiarowości pola temperatury jest obarczone du\
ym
błędem
13
Transport ciepła i masy
cylinder
cylinder
�Ryszard A. Białecki
przewodzenie ciepła w układzie cylindrycznym.
Powłoka walcowa, pole bezz
ródłowe, jednowymiarowe.
Stały współczynnik przewodzenia ciepła
1 �ł d dT łł
�ł �ł
�ł �ł
�łdr �ł r dr łłśł = 0
r
�ł �ł
jednokrotne całkowanie daje
dT
r
r = C1
dr
powtórne całkowanie
T = C1 ln r + C2
stałe wyznacza się z warunków brzegowych na wewnętrznej
i zewnętrznej powierzchni powłoki.
Transport ciepła i masy
cylinder
cylinder
�Ryszard A. Białecki
zadane temperatury na obu powierzchniach
T (rw) = Tw
T (rz ) = Tz
rozwiązanie
ln(r / rw)
T(r) =Tw + (Tz -Tw) Tw
ln(rz / rw)
Tz
krzywoliniowy przebieg temperatury!
dT 1 Tz -Tw rw
q(r) =  = 
r
dr r ln(rz / rw)
rz
gęstość strumienia ciepła zale\
y od promienia
dT Tz -Tw strumień jednostkowy
ql (r) =  2Ąr = 2Ą
odniesiony do jednostki
dr ln(rz / rw)
długości walca [W/m]
strumień jednostkowy jest stały (nie zale\
y od promienia)
14
Transport ciepła i masy
cylinder
cylinder
�Ryszard A. Białecki
konwekcyjna wymiana ciepła na obu powierzchniach
ql = 2Ąrwąw(Tfw -Tw) qlz = 2Ąrząz (Tfz -Tz )
rozwiązanie metodą oporu cieplnego
Tfw - Tw w 1
ql = ; Rąl =
w
Tfw
Rąl 2Ąrwąw
Tw - Tz ln(rz / rw)
ql = ; Rl =
Rl 2Ą
Tfz
Tz - Tfz z 1
ql = ; Rąl =
rw
z
Rąl 2Ąrząz
r
eliminując pośrednie temperatury
rz
Tfw -Tfz Tfw -Tfz
ql = =
w z
Rąl + Rl + Rąl 1 + ln(rz / rw) + 1
Ądwąw 2Ą Ądząz
Transport ciepła i masy
cylinder
cylinder
�Ryszard A. Białecki
strumień ciepła z rury o długości L
(Tfw -Tfz)L
Q = qlL =
1 ln(dz / dw) 1
+ +
Ądwąw 2Ą Ądząz
wielowarstwowa przegroda cylindryczna
(Tfw -Tfz)L
Q = qlL =
i i
1 n ln(dz / dw) 1
+ +
"
Ądwąw i=1 2Ąi Ądząz
i i
dw,dz wewnętrzna i zewnętrzna średnica i-tej warstwy
dw,dz wewnętrzna i zewnętrzna średnica przegrody
15