Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 1, 7 X 2005
1. Udowodnić rachunkowe własności prawdopodobieństwa W1 W7, podane
na wykładzie.
2. F jest Ã-ciaÅ‚em, A, B "F. Wykazać, że A )" B "F.
3. Opisać najmniejsze Ã-ciaÅ‚o, do którego:
a) należy zbiór A;
b) należą zbiory A i B.
Zbadać, ile elementów może mieć Ã-ciaÅ‚o skoÅ„czone.
4. A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach zdarzenia
 zachodzi dokładnie k spośród wymienionych zdarzeń i  zachodzi co najmniej
k spośród wymienionych zdarzeń , gdzie k =0, 1, 2, 3.
1 1 2
5. Wiadomo, że P (A ) = , P (A )" B) = i P (A *" B) = . Obliczyć P (B )
3 4 3
i P (A )" B ).
6. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a) bez
zwracania; b) ze zwracaniem. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie kul
tego samego koloru, czy różnych kolorów?
7. W grupie ćwiczeniowej jest 23 studentów. Jaka jest szansa, że w tej grupie:
a) jest ktoÅ› obchodzÄ…cy urodziny 22 maja;
b) sÄ… osoby obchodzÄ…ce urodziny tego samego dnia?
8. 10 osób wsiada do (pustego) pociągu. Każdy wybiera jeden z 4 wagonów
losowo. Jaka jest szansa, że wszystkie wagony będą zajęte?
9. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a)
4; b) 6; c) 7 kart jednego koloru?
Uwaga. W niektórych z powyższych zadań prawdopodobnie należy zastoso-
wać klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Warto zbadać, czy zawsze jest to
uzasadnione.
Przydatne będą podstawowe schematy kombinatoryczne, znane pod hasłami:
permutacje, kombinacje, wariacje i wariacje z powtórzeniami.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 2, 14 X 2005
A. Kombinatoryka.
1. W zadaniu z wykładu o listach obliczyć
a) prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafi, gdzie trzeba.
b) średnią liczbę listów, trafiających do właściwej koperty.
2. Są 44 skarbonki zamykane na kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładnie do
jednej skarbonki. Po zamknięciu skarbonek wymieszane losowo klucze powrzu-
cano po jednym do każdej skarbonki. Jaka jest szansa, że po rozbiciu dowolnie
wybranej skarbonki uda się otworzyć wszystkie?
3. Do n komórek wrzucono losowo n kul. Jaka jest szansa, że a) wszystkie
komórki będą zajęte; b) dokładnie jedna komórka pozostanie pusta?
4. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że otrzymamy układ a) 5-4-3-1;
b) 5-3-3-2 (co oznacza: pięć kart w jednym kolorze, trzy w innym, etc.)
B. Prawdopodobieństwo geometryczne.
1. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo punkty A, B i C. Jaka jest szansa, że
A2. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na
trzy odcinki. Jaka jest szansa, że uda się z nich zbudować trójkąt?
3. Jak gruba powinna być moneta, żeby upadała na kant z prawdopodobień-
1
stwem ?
3
4. Igła Buffona. Na podłogę z desek o szerokości d rzucamy igłę o długości
l. Jaka jest szansa, że igła nie przetnie krawędzi deski?
C. Zadanie z okazji wyborów.
1. W drugiej turze wyborów prezydenckich w pewnym obwodzie na jednego
kandydata padło 271 głosów, a na drugiego  314. Głosy wyciągano z urny
po jednym i zapisywano bieżący wynik. Jaka jest szansa, że kandydat, który
wygrał, cały czas prowadził?
Uwaga. Zadanie jest dość trudne, za rozwiązanie  premia specjalna.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 3, 21 X 2005
A. Kombinatoryka.
1. W koszyczku jest 8 jabłek i 4 gruszki. Wybrano losowo próbkę złożoną z
3 owoców. Jaki jest najbardziej prawdopodobny skład próbki?
2. Z jeziora wyłowiono 120 ryb, oznakowano i wpuszczono z powrotem do
wody. Po pewnym czasie wyłowiono 80 ryb, w tym 12 oznakowanych. Oszacować
liczbÄ™ ryb w jeziorze.
3. Ile jest konfiguracji n nierozróżnialnych kul w k komórkach?
4. Gospodyni rozdzieliła losowo 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa,
że a) ktoś nie dostanie pączka; b) że każdy dostanie co najmniej dwa?
B. Prawdopodobieństwo warunkowe.
1. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Po wylosowaniu kuli zwracamy
ją do urny i dokładamy d kul tego samego koloru. Jaka jest szansa otrzymania
kolejno kuli białej, czarnej i białej? A czarnej, białej i białej? Jakie jest ogólne
twierdzenie?
2. Spośród rodzin z dwojgiem dzieci wylosowano jedną i okazało się, że a)
starsze dziecko jest chłopcem; b) co najmniej jedno dziecko jest chłopcem. Jaka
jest w obu przypadkach szansa na to, by rodzina miała dwóch synów? Czy
w b) przypadkiem uzyskana informacja, że jedno z dzieci ma na drugie imię
Kazimierz, zmieni ocenÄ™ szans?
3. Brydżysta dostał 13 kart z 52, obejrzał jedną i stwierdził, że nie ma asa.
Obejrzał kolejne 5 i znów nie trafił na asa. Obejrzał jeszcze 4 i nie zobaczywszy
asa stwierdził, że prawie na pewno wśród pozostałych kart nie ma asa. Odtwo-
rzyć rozumowanie brydżysty.
4. Ola i Jola umówiły się między 12 a 13 w centrum miasta; ta, która przyj-
dzie pierwsza, czeka 15 minut. Jola już wie, że przed 12:30 na pewno nie przyj-
dzie. Jaka jest szansa, że dojdzie do spotkania?
C. Zadania  z gwiazdkÄ… .
1*. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z dziesięciu pięter. Jaka
jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2, i na dwóch piętrach
po jednej (w skrócie: 3-2-1-1-0-0-0-0-0-0)? Ile jest takich konfiguracji?
2*. Przypuśćmy, że w zadaniu o igle Buffona szerokość desek jest równa 1, a
zamiast igłą rzucamy wielokątem wypukłym o średnicy nie większej niż 1 (średnica
zbioru to kres górny wzajemnych odległości jego punktów). Jaka jest szansa, że przetnie
on krawędz
deski?
Wskazówka. Na początek można rzucać trójkątem.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207 i 209
Ćwiczenia 4, 28 X 2004
Komunikat. Wbrew plotkom, krążącym już po WNE, 28 XI w grupach 202,
207 i 209 odbędzie się kolokwium (czas: 90 minut). Zakres materiału: elemen-
tarny rachunek prawdopodobieństwa, bez zmiennych losowych. Zadania nie zro-
bione na ćwiczeniach należy potraktować jako przygotowawcze.
A. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na pr. całkowite, wzór Bayesa.
1. Udowodnić, że prawdopodobieństwo warunkowe spełnia aksjomaty Koł-
mogorowa (A1 A3).
2. W 2004 roku w Bolkowicach włamano się do 30% mieszkań w blokach i
do 10% domków, a w Nowych Bolkowicach  do 40% mieszkań w blokach i do
20% domków. Czy wynika stąd, że w Bolkowicach jest bezpieczniej (mniejsza
szansa włamania)?
3. Wykonano dwie serie po n rzutów symetryczną monetą. Jaka jest szansa,
że w obu seriach wypadło tyle samo orłów? Everybody knows that
the dice are loaded
4. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada
(L. Cohen).
z prawdopodobieństwem 1/10, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano
losowo kostkę i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że kostka jest obciążona.
5. Rzucamy monetą do chwili uzyskania dwóch orłów z rzędu. Jaka jest
szansa, że gra zakończy się w parzystej liczbie rzutów?
B. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
1. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy niezależne są pary zdarzeń:
a) A  wylosowano asa, B  wylosowano kartÄ™ czerwonÄ…; b) A  wylo-
sowano asa pik, B  wylosowano dwójkę karo. Czy odpowiedz
zmieni siÄ™, gdy
będziemy losować dwie karty? A więcej?
2. a) Rozwiązać niesymetryczne zadanie o ruinie gracza.
b) Zastanowić się nad wyborem taktyki w następującej sytuacji: jesteśmy w
kasynie, mamy ostatnie 20 zł, taksówka do domu kosztuje 40 zł. Czy postawić
wszystko na czerwone-czarne, licząc na wygranie 40 zł, na co jest szansa 18/37,
czy może ostrożnie stawiać po złotówce, dopóki nie uzbieramy 40 zł?
3. Asesor, Rejent i x. Robak strzelili jednocześnie do niedz
wiedzia, który
padł, trafiony jedną kulą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił Asesor, jeśli
w podobnych warunkach uzyskuje 80% celnych strzałów, podczas gdy x. Robak
95%, zaÅ› Rejent tylko 70%.
4. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę
sukcesów? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 5, 4 XI 2005
A. Niezależność.
1. Wykazać twierdzenie z wykładu, charakteryzujące niezależność n zdarzeń
(stw. 11, s. 61 z podręcznika [JJ RS]).
2. Jest 95% kierowców ostrożnych, którzy powodują w ciągu roku wypadek
z prawdopodobieństwem 1% i 5% piratów, u których szansa na wypadek wynosi
20%. Zakładamy niezależność wypadków u tego samego kierowcy w kolejnych
latach. Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w roku 2004. Jaka
jest szansa, że spowoduje wypadek w roku 2005? jak zmieni się odpowiedz
, jeśli
wiadomo, że kierowca nie miał wypadku w latach 2003 2004?
3. Dwie osoby przeprowadzają korektę książki. Pierwsza znalazła 122 błędy,
druga 163, przy czym było 67 błędów wykrytych przez obie. Obydwie osoby
zostały też zwolnione z pracy. Dlaczego?
4. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać a) z mi-
strzem, potem z kolegą klubowym i znów z mistrzem, albo b) z kolegą, z mi-
strzem, z kolegą. Którą możliwość powinien wybrać, jeśli wyniki kolejnych me-
czów są niezależne, szansa wygrania meczu z mistrzem jest równa p, z kolegą 
r >p?
B. Schemat Bernoulliego.
1. Jaka jest szansa, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek suma oczek
8 pojawi siÄ™ przed sumÄ… oczek 7?
2. Rozgrywający partię brydża ma wraz z tzw. dziadkiem 8 pików, zatem
u przeciwników jest ich razem 5. Rozgrywający uważa, że prawdopodobień-
stwo, iż przeciwnik po lewej ma k pików, jest równe prawdopodobieństwu k
sukcesów w schemacie Bernoulliego n niezależnych doświadczeń, gdzie n =5 i
k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Czy ma racjÄ™?
3. Rzucono monetą (niekoniecznie symetryczną) 10 razy. Zbadać niezależ-
ność zdarzeń: A   jeden lub więcej orłów w pierwszych 5 rzutach ; B 
 jedna lub więcej reszek w ostatnich 5 rzutach . podać inne przykłady zdarzeń
zależnych i niezależnych w tym doświadczeniu.
4. Agnieszka i Bartek grają w ping-ponga i kończą seta grą na przewagę przy
stanie 20:20. Jaką szansę wygrania seta ma Agnieszka, jeśli wygrywa dwie piłki
na trzy?
5. Gracze z poprzedniego zadania umówili się, że grają do chwili, gdy ktoś
wygra dwie kolejne piłki. Jakie są teraz szanse wygranej? Jakie jest prawdopo-
dobieństwo, że rozgrywka zakończy się w parzystej liczbie piłek?
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 6, 18 XI 2005
Na ćwiczeniach zrobimy zaległe zadania z poprzednich serii. Poniższe za-
dania (z odpowiedziami  jeśli ktoś wykryje błędy, niech poinformuje autora)
służą do przygotowania się do kolokwium (piątek, 25 XI). Są one identyczne
z zeszłoroczną serią zadań. Wystawianie ocen połączone z krótką rozmową na
temat pracy odbędzie się w sobotę, 26 XI.
Materiał obowiązujący na kolokwium to elementarny rachunek prawdopo-
dobieństwa (np. rozdz. 1 3 podręcznika JJ i RS) oraz twierdzenie Poissona.
Zmienne losowe mogą zostać użyte tylko do zwięzłego zapisu pewnych zdarzeń,
jak np. w zad. 13.
Zadania przygotowawcze do kolokwium.
1. Z talii 24-kartowej wybrano 9 kart. Jaka jest szansa, że wśród wybranych
kart będą reprezentowane wszystkie kolory?
2. W urnie są 4 kule białe i 4 czarne. Wylosowano po kolei (bez zwracania)
trzy kule. Niech B1 oznacza zdarzenie  pierwsza kula biała , C2   druga kula
czarna , C3   trzecia kula czarna , itd.
a) obliczyć P (B1 )" C2 )" B3);
b) obliczyć P (B1 )" B2 )" C3);
c) czy zdarzenia B1, C2 i B3 są niezależne?
d) czy zdarzenia B1, C2 i B3 są niezależne parami?
e) obliczyć P (B2|C1).
3. Jaka jest szansa, że spotkam na przyjęciu osobę, obchodzącą urodziny
tego samego dnia, co ja? Ile powinno być osób, żeby ta szansa przekroczyła
20%?
4. Trzy urny zawierają po dwie kule: jedna dwie białe, druga  dwie czarne,
trzecia  czarną i białą. Wylosowano urnę, a z niej kulę, która okazała się biała.
Jaka jest szansa, że kula, która pozostała w urnie, jest też biała?
5. W populacji jest 1% osób z wersją alfa genu AQQ. Test daje wynik dodatni
u 80% takich osób, a wynik ujemny u 90% osób pozbawionych tej osobliwości.
a) Jeśli ktoś uzyskał trzy razy wynik dodatni, jaka jest szansa, że ma wersję
alfa?
b) A jeśli uzyskał trzy razy wynik ujemny?
6. Rzucamy monetą (niekoniecznie symetryczną, szansa pojawienia się orła
jest liczbą z przedziału (0, 1)) aż do chwili wyrzucenia orła. Czy szansa zakoń-
czenia gry w parzystej liczbie rzutów może być taka sama jak w nieparzystej?
7. Czy z niezależności parami zdarzeń A, B i C wynika niezależność zdarzeń
A *" B i C?
1
8. Dane są niezależne zdarzenia A, B, C o znanych dodatnich prawdopodo-
bieństwach a, b, c. Obliczyć
a) P (A|B );
b) P (A|B )" C);
c) prawdopodobieństwo zajścia nieparzystej liczby zdarzeń.
9. Z odcinka [0, 1] wybrano losowo dwa punkty x i y. Skonstruować model
dla tego doświadczenia i obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) x =2y,
1
b) xy < ?
3
2
c) Jakie są szanse poprzedniego zdarzenia, jeśli ponadto wiadomo, że x< ?
3
W kolejnych zadaniach należy obliczać prawdopodobieństwa w sposób przybli-
żony, stosując tw. Poissona. Warto umieć uzasadnić, dlaczego można korzystać
z takiego przybliżenia i podać na przykład oszacowanie błędu.
10. Do ciasta wrzucono 1000 rodzynków, starannie wymieszano, a następnie
upieczono z niego 500 bułek. Jaka jest szansa trafienia na bułkę bez rodzynków?
A z dwoma lub większą liczbą? Podać, jeśli to możliwe, oszacowanie błędu.
11. Do sklepu przychodzi w sobotę między godziną 16 a 20 średnio 480 osób.
Jaka jest szansa, że nikt nie przyjdzie pomiędzy 18:00 a 18:02?
Uwaga. Jest sobota, należy założyć, że natężenie ruchu  cokolwiek to ozna-
cza  jest stałe w rozpatrywanym okresie.
12. W lesie o powierzchni 100 ha jest milion mrówek, które poruszają się
chaotycznie po całym dostępnym terenie. Jaka jest szansa znalezienia trzech lub
większej liczby mrówek na kocu o powierzchni 2 m2 ?
13. Przy założeniach poprzedniego zadania mamy dwa oddalone od siebie
koce o powierzchniach 2 m2 i 3 m2. Niech X i Y oznaczają liczbę mrówek
odpowiednio na pierwszym i drugim kocu. Obliczyć
a) P (X = 2, Y = 4); b) P (X = k|X + Y = 7) dla k = 0, 1, . . . 7. Czy
otrzymane wyrażenie kojarzy się z jakimś znanym wzorem?
2
Odpowiedzi
18 24 12 24
1. 1 - 4a +6b, gdzie a = / , b = / .
9 9 9 9
2. a, b) 1/7; c, d) nie; e) 4/7.
1
3. 1 - (1 - )n, gdzie n jest liczbą osób; szansę przekraczającą 20% otrzy-
365
mujemy dla 82 osób, z nierówności:
log(8/10)
n> .
log(364/365)
4. 2/3.
5. a) 512/611; b) 8/72179.
6. Nie.
7. Nie.
8. a, b) a. c) a(1 - b)(1 - c) +(1- a)b(1 - c) +(1- a)(1 - b)c + abc.
1+ln 3 1+ln 2
9. a) 0; b) ; c) .
3 2
10. Bez rodzynka: e-2, z dwoma lub większą liczbą: 1 - 3e-2. Błąd nie
przekracza 1/250.
11. e-4.
12. 1 - 5e-2.
7
13. a) (22/2!)e-2 · (34/4!)e-3; b) (2/5)k(3/5)7-k.
k
3
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 8, 2 XII 2005
A. Zmienne losowe, rozkłady, parametry rozkładów.
1. Niech X oznacza liczbę prób, potrzebną do uzyskania k sukcesów w sche-
macie Bernoulliego. Wyznaczyć rozkład X.
2. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem .
Jaki rozkład ma część całkowita T , a jaki część ułamkowa?
Uwaga. Część całkowita liczby x to największa liczba całkowita nie prze-
kraczającą x. Część ułamkową liczby x otrzymujemy odejmując od niej część
całkowitą.
3. Czas rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 (co
oznacza, że rozmowa trwa średnio minutę). Tak zwane impulsy naliczane są co
minutę. Ile zapłacimy średnio za rozmowę? A za minutę rozmowy? Jak zmieni
siÄ™ odpowiedz
, gdy impulsy będzie się naliczać co 30 sekund?
4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [-1, 1]. Jaki
1
rozkład ma a) - ln |X|; b) ctg ĄX?
2
5. Rozkład Laplace a. Zmienna losowa X ma gęstość postaci
g(x) =Ce-|x-a|.
Wyznaczyć stałą C w zależności od parametrów  i a. Obliczyć P (|X - a| > 1).
6. Koincydencje. n osób wychodząc z baru zakłada losowo na głowę n
kapeluszy. Niech X oznacza liczbę kapeluszy, które trafiły na głowy właścicieli.
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X.
7. Wyznaczyć wartości oczekiwane, entropie, wariancje, momenty, funkcje
tworzące i funkcje tworzące momenty dla znanych rozkładów prawdopodobień-
stwa (w tym  dla zmiennych losowych występujących w tej serii zadań).
8. Zmienna losowa Z przyjmuje wyłącznie wartości 0,1,2,. . . Wykazać, że
" "

EZ = P (Z n) = P (Z>n).
n=1 n=0
9. Który wzór na wartość średnią nieujemnej zmiennej losowej X jest praw-
dziwy:

" "
EX = P (X t)dt, czy EX = P (X>t)dt.
0 0
10*. Czas życia w siedemnastowiecznym Londynie ma z dobrym przybliże-
niem rozkład wykładniczy. Oznaczmy odpowiednią zmienną losową przez T .
a) Obliczyć
P (T " [t, t + h])
lim , t 0.
h0 P (T > t)
1
b) Załóżmy, że ET = 30 (lat). Jakie jest średnie dalsze trwanie życia osoby,
która przeżyła r lat?
c) W roku 1632 stwierdzono w Londynie ok. 9600 zgonów. Czy da się na tej
podstawie oszacować liczbę mieszkańców Londynu?
B. Entropia.
1. 8 dziewczÄ…t w klasie ma na imiÄ™ Anna, 4  Joanna, po dwie  Katarzyna
i Magdalena. Ile średnio pytań (na które odpowiada się  tak lub  nie ) należy
zadać, by ustalić imię losowo wybranej dziewczyny?
Uwaga. Należy opisać strategię zadawania pytań. Najlepiej uogólnić ją na
dowolnÄ… tego typu sytuacjÄ™.
2. Alfabet rosyjski składa się z 32 liter, które według instrukcji koduje się za
pomocą pięciowyrazowych ciągów zer i jedynek (np. 00101, 01101, etc.). Agent
Stirlitz zastanawia się, czy nie dałoby się skrócić komunikatów. Czy istnieje taki
sposób?
2
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 9, 9 XII 2005
A. Rocznik statystyczny jako generator liczb losowych.
Na ćwiczeniach wylosujemy ok. 100 liczb z rocznika statystycznego i zbadamy
rozkład pierwszej cyfry znaczącej. Kto chce, może eksperyment przeprowadzić
w domu i spróbować wyjaśnić wyniki. Pierwsza cyfra znacząca to pierwsza różna
od zera cyfra w zapisie dziesiętnym liczby (np. 3655, 0,0546). W główkach tabel
często występują liczby rozpoczynające się od 1, oznaczające lata. Należy je
zignorować.
B. Zmienne losowe, parametry rozkładów.
1. Zmienna losowa X ma gęstość g(x). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
aX + b, gdzie a = 0. Można dla wygody założyć, że funkcja g jest ciągła.

1
2. Zmienna losowa X ma gęstość g(x) = e-|x|.
2
a) wyznaczyć dystrybuantę i gęstość dla |X| oraz X2.
b) obliczyć funkcję tworzącą momenty dla X.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X.
Niech Z =max(|X|, 2).
d) obliczyć EZ, P (Z 2), P (Z >2), P (Z =2), P (Z = 2003).
3. W pewnym kraju wszyscy zarabiają co najmniej 100 talarów miesięcznie, a
co najwyżej 1000. Ponadto ułamek G(x) zarabiających ponad x talarów wyraża
siÄ™ wzorem
(x - 100)2
G(x) =1 - , 100 x 1000.
810000
Obliczyć średnią płacę.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 10, 16 XII 2005
Wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji, nierówność Czebyszewa
1. Jaś i Małgosia grają w orła i reszkę symetryczną monetą (jeśli wypadnie
orzeł, Jaś wygrywa od Małgosi złotówkę, etc.). Jaś, mając przewagę fizyczną,
może wycofać się z gry w dowolnym momencie, gra się co najwyżej 4 razy.
Niech X oznacza wygraną Jasia. Wyznaczyć EX i D2X, jeśli
a) Jaś wycofuje się, gdy po raz pierwszy wygra k zł, k =0, 1, 2, 3, 4.
b) Jaś gra do końca.
2. W zadaniu o spotkaniu dwóch osób niech X oznacza czas przybycia osoby,
która przyszła wcześniej, zaś Y  tej, która przyszła póz
niej. Obliczyć
a) EX, EY ; b) D2X, D2Y ; c) cov(X, Y ) oraz współczynnik korelacji.
3. Wykazać, że gdy X 0, p >0, to

"
EXp = p tp-1P (X>t)dt.
0
4. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako max(U - 3000, 0), gdzie U
ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 9000]. Wyznaczyć średnią i wariancję
wygranej.
5. Oszacowaćprawdopodobieństwo, że w serii n rzutów symetryczną monetą
liczba orłów przewyższy liczbę reszek o 5% lub więcej dla n = 1000, 10.000,
100.000 i 1.000.000.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 11, 6 I 2005
A. Ogłoszenia. Na ostatnich ćwiczeniach 27 stycznia odbędzie się kolokwium.
Materiał: zmienne losowe i wszystko, co pojawiło się póz
niej. Czas  90 .
B. Niezależne zmienne losowe.
1. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład wykładniczy. Wyznaczyć
gęstość dla wektora losowego (X, Y ). Obliczyć EXY i EX2Y .
2. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład geometryczny G0(p). Opisać
rozkład wektora losowego (X, Y ). Obliczyć P (X + Y < k) dla K =1, 2, . . .
3. X ma rozkład wykładniczy. Niech U będzie częścią całkowitą X, a V 
częścią ułamkową. Zbadać niezależność U i V .
C. Wielowymiarowe zmienne losowe i warunkowa wartość oczekiwana.
1. Rzucono 5 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
trzech pierwszych rzutach, z Y  łączną liczbę orłów we wszystkich rzutach.
a) sporządzić tabelkę rozkładu łącznego (X, Y );
b) wyznaczyć rozkłady brzegowe;
c) obliczyć Á(X, Y );
d) Obliczyć E(X|Y = k) dla k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Jeśli to zadanie wydaje się
zbyt nudne, odgadnąć wynik i wyznaczyć E(X|Y );
e) Obliczyć E(E(X|Y )).
2. Wsytuacji z zadania 1 niech Z będzie liczbą orłów w dwóch ostatnich
rzutach. Wykonać polecenia a e dla pary (X, Z).
3. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na prze-
dziale [0, 1].
a) Wyznaczyć gęstość dla (X, Y ). Jakie są rozkłady brzegowe? A warunkowe?
b) Obliczyć E(X|Y ), E(Y |X).
c) Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznaczyć gęstość dla (U, V )
oraz rozkłady brzegowe.
d) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i odwrotnie.
e) Obliczyć E(U|V ), E(V |U).
f) Wyznaczyć rozkład X + Y . Na ile sposobów można to zrobić?
4. Wykonać polecenia a) i b) dla X i Y o standardowym rozkładzie normal-
nym.
1
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla grup 202, 207, 209
Ćwiczenia 13, 20 I 2006
A
ańcuchy Markowa.
1. Niech (Un)" będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, przy
n=1
czym P (Un =1) =p, P (Un = -1) = 1 - p. Niech Xn = U1 + . . . + Un, n =
1, 2, . . ., X0 = 0. Wykazać, korzystając z definicji, że ciąg (Xn) jest łańcuchem
Markowa. Podać zbiór stanów i macierz przejścia.
2. Podać przykład łańcucha Markowa, który ma a) dwie różne macierze
przejścia; b) dwa różne rozkłady stacjonarne. Ile jest w tym przypadku rozkła-
dów stacjonarnych?
3. Wykazać, że w nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa wszystkie stany mają
ten sam okres.
4. Wykonać eksperyment Markowa na dowolnym tekście w dowolnym ję-
zykui sprawdzić, czy wnioski wyciagnięte przez Markowa dla języka rosyjskiego
pozostajÄ… w mocy.
5. Seminarium odbywa się w Warszawie, Krakowie lub Wrocławiu, a decyzja
o wyborze następnego miejsca podejmowana jest w drodze uczciwego losowania
z dwóch możliwości. Pierwsze seminarium odbyło się w Krakowie.
a) Jaka jest w przybliżeniu szansa, że 133 seminarium odbędzie się w Kra-
kowie?
b) Uczeni z Krakowa i Wrocławia zorientowali się, że ci z Warszawy używają
asymetrycznej monety. Jakie sÄ… konsekwencje tego faktu? Czy krakowiacy i wro-
cławianie mogą doprowadzić do sytuacji, w której seminaria będą się odbywać
jednakowo często w każdym mieście?
6. Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej wię-
cej co minutÄ™ podejmuje decyzjÄ™ o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy
jest pod szafą, to pozostaje tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod
łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdopodobieństwem 0,2. Ponieważ ma
krótką pamięć, kolejne decyzje można uważać za niezależne. Jaka jest po paru
godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?
7. W pudełkach A i B jest razem n ponumerowanych kolejno kul. Co mi-
nutę losuje się numer kuli i przekłada wylosowaną kulę do drugiego pudełka.
Zbadać odpowiedni łańcuch Markowa. Jaki jest rozkład stacjonarny (łatwo to
stwierdzić dla niedużych n). Czy kolejne stany układu zmierzają do rozkładu
stacjonarnego?
8. Ala i Bartek rzucajÄ… monetÄ…. Ala wygra, gdy pierwsza doczeka siÄ™ ciÄ…gu
OOR, Bartek  gdy doczeka siÄ™ ciÄ…gu ORO. Jakie sÄ… szanse wygranej dla Ali?
9. W zadaniu o ruinie gracza wyznaczyć średni czas gry.
1