Zastosowanie teorii grup. Grupy symetrii
w fizyce i chemii.
Katarzyna Kolonko
Streszczenie
Usystematyzowanie grup punktowych, omówienie ich na przykła-
dzie molekuł. Przedstawienie wkładu teorii grup w badanie struktu-
ry kryształu na przykładzie minerałów. Zdefiniowanie pojęcia grupy
przestrzennej.
1 Wstęp. Grupy punktowe.
Rozległą klasą grup, które maja ogromne znaczenie w chemii i fizyce,
są grupy symetrii. Grupę symetrii ciała fizycznego tworzą symetrie opisane
przez podanie wszystkich transformacji, które zachowują odległości pomiędzy
wszystkimi parami punktów i doprowadzają je do położenia początkowego.
Grupy te są podstawą usystematyzowania wszystkich możliwych typów sy-
metrii molekuły czy kryształu.
Definicja 1 Kryształ to układ atomów taki, że
"µ 0 |k1 - k2| µ, ki  i-ty atom
oraz jest niezmienniczy względem grupy sieciowej T,
3

T = { niti; ni " Z};
i=1
ti  to trzy liniowo niezależne wektory 3-wymiarowej przestrzeni euklideso-
wej, wektory te nazywa siÄ™ wektorami bazowymi sieci T.
Dowolny t " T  nosi nazwÄ™ wektora prymitywnego.
Definicja 2 Grupa punktowa to skończona podgrupa 3-wymiarowej ortogo-
nalnej grupy obrotów, która przekształca pewną sieć na siebie.
1
Twierdzenie 1 Grupa punktowa może zawierać obroty tylko o następują-
cych krotnościach: 1, 2, 3, 4, 6.
Dowód 1 Niech dana będzie sieć o okresie translacji a, oś symetrii przecho-
dzÄ…ca przez A i prostopadÅ‚a do pÅ‚aszczyzny rysunku. Niech bÄ™dzie dany kÄ…t Õ
2Ä„
. Õ = . Poprzez obrót punkt A przechodzi w C, a B  w D. Ze wzglÄ™du
n
na symetrię translacji, odległość CD musi być wielokrotnością a.
Ma = a + 2a cos(Ä„ - Õ);
1 - M
-1 cos Õ = 1; M " Z;
2
więc n = 1, 2, 3, 4, 6
Przecięcie dwóch płaszczyzn odbicia jest osia symetrii.
Jeśli kąt między płaszczyznami wynosi Ą/n to oś nazywam osią n-krotną.
Niech ´ bÄ™dzie odbiciem wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny;
´h bÄ™dzie odbiciem wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny prostopadÅ‚ej do osi o najwyższej
symetrii;
´v bÄ™dzie odbiciem wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny przechodzÄ…cej przez osi o najwyż-
szej symetrii;
´d bÄ™dzie odbiciem wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny przechodzÄ…cej przez osi o najwyż-
szej symetrii i dwusieczną kąta między osiami dwukrotnymi prostopadłymi
do tej osi.
Grupy punktowe dzielÄ… siÄ™ na dwa rodzaje. Grupy pierwszego rodzaju za-
wierają tylko jedną oś o najwyższej symetrii. Drugiego rodzaju, to grupy
w których nie istnieje oś, w której symetria jest wyższa niż w pozostałych
osiach. Do grup pierwszego rodzaju należą:
Cn.Jest najprostszą grupą, gdzie jedynym przekształceniem jest n-krotna oś
symetrii. Grupa cykliczna rzędu n.
2
Cnv  zawiera n-krotnÄ… oÅ› symetrii i odbicie ´v wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny za-
wierającej oś obrotu. Grupa jest rzędu 2n. Dla n > 2 jest nieabelowa.
Cnh.grupa generowana przez obrót cn i odbicie ´h wzglÄ™dem pÅ‚aszczyzny pro-
stopadłej do osi obrotu. Grupa jest rzędu 2n i abelowa.
sn.Przekształceniami są obroty niewłaściwe dookoła osi n-krotnej. Dla n nie-
parzystych sn i Cnh są równe, więc pozostają: s2, s4, s6
Dn.Ggrupa generowana przez cn o pionowej osi rzędu n 2 i obrót o poziomej
osi. Dla n > 2 grupa jest nieabelowa i rzędu 2n. Szczególnym przypadkiem
jest grupa abelowa, której elementami są oprócz I, trzy wzajemnie prostopa-
dłe obroty .
Dnh. Do ukÅ‚adu generatorów Dn doÅ‚Ä…czono odbicia ´h. Grupa zawiera: n pio-
nowych obrotów, n poziomych obrotów, n pionowych obrotów niewłaściwych,
n pionowych odbić. Grupa rzędu 4n.
Dnd. PrzeksztaÅ‚ceniami sÄ… elementy grupy Dn oraz ´d. RzÄ…d grupy jest równy
4n, dla n 2 jest nieabelowa.
Grupy drugiego rodzaju:
Td. Grupa składa się z obrotów i odbić czworościanu foremnego. Rząd 24.
GrupÄ™ tÄ™ obrazuje np. metan.
T . Grupa otrzymana przez odrzucenie z grupy Td odbić i obrotów niewłaści-
wych. Rząd równy 12.
Th.Grupa rzÄ™du 24. Th = T × S2.
Oh.Największa grupa punktowa  liczy 48 elementów. Grupę tę posiada sze-
ściofluorek uranu UF6.
O  grupa obrotów, która przeprowadza ośmiościan lub sześcian w siebie.
Zawiera 24 elementy.
2 Struktury krystaliczne
Symetria kryształu jest uzależniona od budowy wewnętrznej. Punkt obra-
ny jako początek układu współrzędnych przesuwający się z odległością trans-
lacji (przesunięcie w jednym kierunku, o stałą odległość)tworzy prostą sie-
ciową, z których dalej tworzy się płaszczyzna sieciowa, zaś z płaszczyzn 
sieć. Ograniczony przez węzły sieci powtarzający się równoległościan nosi na-
zwę komórki sieciowej. Komórka elementarna jednoznacznie określa budowe
przestrzenną kryształu. W połowie XIX wieku August Bravais wykazał, że
istnieje dokładnie 14 komórek sieciowych, należących do 7 układów krysta-
lograficznych.
3
Układ regularny. Równoległościan elementarny układu to sześcian. Sy-
metria tego układu jest najwyższa. Przy zwiększaniu się liczby ścian, kształt
kryształu zbliża się do kulistego. Minerałami, które charakteryzuje ten układ,
są sól kamienna, diament, granat. Zawiera klasy geometryczne: Oh, O, T , Th,
Td.
T T T
t1 = a 0 0 , t2 = 0 a 0 , t3 = 0 0 a ;
T T T
t1 = 0 a a , t2 = a 0 a , t3 = a a 0 ;
T T T
t1 = -a a a , t2 = a -a a , t3 = a a -a .
Układ jednoskośny. Równoległościanem elementarnym jest słup prosty
o podstawie prostokÄ…ta. KrystalizujÄ… tak malachit, jadeit. Zawiera klasy geo-
metryczne: C2h, C2, Ch .
T T T
"
t1 = a 0 0 , t2 = -a a 3 b
, t3 = 0 0 b ;
2 2
T T T
t1 = a b 0 , t2 = 0 b c , t3 = 0 b -c .
Układ trójskośny. Podstawą jest równoległobok. Każda z trzech krawędzi,
które spotykają się w narożu, jest ustawiona skośnie względem pozostałych.
W takim układzie krystalizuje aksynit, turkus, rodonit. Zawiera klasy geo-
metryczne: S2,C1. t1,t2  dowolne.
Układ tetragonalny. Równoległościanem elementarnym jest słup o pod-
stawie kwadratu. W ten sposób krystalizuje się cyrkon, kasyteryt. Zawiera
klasy geometryczne: D4h, D4, C4v, C4h, D2d, S4, C4.
T T T
t1 = a 0 0 , t2 = 0 a c , t3 = 0 0 b ;
T T T
t1 = -a a b , t2 = a -a b , t3 = 0 a -b .
Układ rombowy. Równoległościan elementarny to słup prosty o podstawie
prostokąta. W tym układzie krystalizuje się 15% minerałów np. chryzoberyl,
aragonit, zoizyt. Zawiera klasy geometryczne: D2h, D2, C2v.
T T T
t1 = a 0 0 , t2 = 0 b 0 , t3 = 0 0 c ;
T T T
t1 = a b 0 , t2 = a -b 0 , t3 = 0 0 c ;
4
 T T T
t1 = b 0 a , t2 = a 0 c , t3 = a b 0 ;
T T T
t1 = -a b c , t2 = a -b c , t3 = a b -c .
Układ trygonalny. Równoległościan elementarny to romboedr. Krystalizu-
ją się w ten sposób: kryształ górski, ametyst. Zawiera klasy geometryczne:
D3d, D3, C3v, S6, C3.
T T T
" "
t1 = a 0 b , t2 = -a a 3 b
, t3 = -a -a 3 b
.
2 2 2 2
Układ heksagonalny. Równoległościan elementarny to słup prosty o pod-
stawie sześcioboku regularnego. Tak krystalizuje 4% minerałów np. beryl,
korund (szafir, rubin). Zawiera klasy geometryczne: D6h, C6h, D3h, C6v, D6,
C3h, C6.
T T T
"
t1 = a 0 0 , t2 = -a a 3 b
, t3 = 0 0 b .
2 2
5
Rysunek 1: Układy: a) regularny: sieć prosta; przestrzennie cen-
trowana; powierzchnowo centrowana; b) jednoskośny: sieć prosta;
z centrowanymi podstawami; c) trójskośny; d) tetragonalny: sieć
prosta; przestrzennie centrowana; e) rombowy: prosty; przestrzen-
nie centrowana; powierzchniowo centrowana; z centrowanymi pod-
stawami; f) romboedryczny i heksagonalny.
Mikroskopijna struktura kryształów związana jest z symetrią ich zewnętrz-
nej, makroskopowej postaci. Przy wzroście kryształu równoległościan elemen-
tarny powtarza siÄ™ wielokrotnie. W 1867 roku Aleks Wilhelmowicz Gadolin
dowiódł, że istnieją dokładnie 32 klasy krystalograficzne. Są to 32 rodzaje
zewnętrznej symetrii kryształów.
Definicja 3 Dwie sieci T1 i T2należą do tej samej klasy Bravais ego,jeśli
" S " GL(3, R), T2 = ST1 = {St; t " T1} '" PH(T2) = SPH(T1)S-1;
gdziePH (T1), PH (T2) -sÄ… holoedrami sieci T1, T2,
PH (Ti) = {q " O(3); qt " Ti, "t " Ti}, i = 1, 2
6
Holoderie interpretuje się jako pełne wykształcenie kryształu. Zachodzi
ono gdy istnieje pełna zgodność symetrii sieci i symetrii jej motywów składo-
wych  cząstek materialnych znajdujących się w węzłach. Klasy te są roz-
mieszczone nierównomiernie w poszczególnych układach: układ jednoskośny
ma 2 klasy, jednoskośny i rombowy  po 3, tetragonalny i heksagonalny 
po 7, trygonalny i regularny  po 5. Rozkład minerałów w obrębie układów
i klas krystalograficznych jest bardzo nierówny. Na siedem klas o najwyższej
w każdym z układów symetrii przypada 82% minerałów, na pozostałe 25
przypada 18%.
A
ącząc działanie wszystkich elementów symetrii kryształu określa się gru-
pę przestrzenną. Grupa przestrzenna kryształu to maksymalna grupa syme-
trii tego kryształu. Grupę przestrzenną określa się jako zbiór następujących
transformacji.
G={(t+v(q), q); t " T, q " P, v(I) = 0}, (t+v(q), q)x = qx+t+v(q), x " R3
P  grupa punktowa, v(q)  liniowa kombinacja wektorów sieciowych. Naj-
prostsza grupa składa się z samych translacji. Pozostałe 64 z 65 zawiera
obroty i ruchy śrubowe. 22 grupy są enancjomorficzne. Geometryczny sens
sprowadza się albo do obrotu śrubowego (det q = 1), albo odbicia poślizgo-
wego (det q = -1). Wszystkich klas grup krystalograficznych w przestrzeni
3-wymiarowej jest 230.
Obecnie krystalografowie wykorzystujÄ…c teoriÄ™ grup zajmujÄ… siÄ™ krysta-
licznymi fazami metastabilnymi oraz krystalografią białek i wirusów, z po-
granicza żywej i martwej materii.
Literatura
[1] J. Mozrzymas, Zastosowania teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1977
[2] H. M. S. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa
1967
[3] K. Mathniak, P. Stingl, Teoria grup dla chemików, PWN, Warszawa 1978
[4] F. A. Cotton,Teoria grup zastosowania w chemii, PWN, Warszawa 1973
[5] W. Drabowicz, Zastosowania praktyczne teorii grup w fizyce ciała stałego,
Instytut Chemii Fizycznej PAN, Warszawa 1994
[6] M. Hamermesh, Teoria grup w zastosowaniu do zagadnień fizycznych,
PWN, Warszawa 1968
7
[7] H. Sylwestrzak, Odkrzemienia do piezokwarcu, PWN, Warszawa 2000
[8] M. Sachanbiński, Kamienie szlachetne i ozdobne Śląska, Zakład Narodo-
wy im. Ossolińskich, Wrocław 1980
[9] Z. Kleszczewski Fizyka kwantowa, atomowa i ciała stałego, Wydawnictwo
Politechniki ÅšlÄ…skiej, Gliwice 1997
8