Metoda prądów obwodowych
" Zamieniamy wszystkie rzeczywiste z
ródła prądowe na napięciowe,
" Tworzymy układ równań liniowych opisujących poszczególne obwody.
1
Dowolną sieć liniową składającą się z elementów skupionych można opisać
za pomocą układu i równań liniowych
i = g - w +1
gdzie: g  liczba gałęzi sieci, w  liczba niezależnych węzłów.
a ) E1 = i1R1 - i5R5 - i3R3
üÅ‚
ôÅ‚
b ) E2 = i3R3 - i6R4 + i2R2 ôÅ‚
ôÅ‚
żł
ôÅ‚
c ) E3 = i5R5 + i6R4
ôÅ‚
ôÅ‚
d ) E3 = -i7R6
þÅ‚
2
Prądy gałęziowe można zastąpić prądami obwodowymi: ia, ib, ic oraz id
a ) E1 = iaR1 - (ic - ia)R5 - (ib - ia)R3
üÅ‚
ôÅ‚
b ) E2 = (ib - ia)R3 - (ic - ib)R4 + ibR2 ôÅ‚
ôÅ‚
żł
ôÅ‚
c ) E3 = (ic - ia)R5 + (ic - ib)R4
ôÅ‚
ôÅ‚
d ) E3 = -id R6
þÅ‚
-E3
id = i7 =
R6
3
Pozostaje do rozwiązania układ trzech równań, który można przekształcić do
postaci
a ) E1 = (R1 + R3 + R5)ia - R3ib - R5ic
üÅ‚
ôÅ‚
b ) E2 = -R3ia + (R2 + R3 + R4)ib - R4ic ôÅ‚
żł
ôÅ‚
c ) E3 = -R5ia - R4ib + (R4 + R5)ic ôÅ‚
þÅ‚
Ea = Raaia - Rabib - Racic
üÅ‚
Eb = -Rbaia + Rbbib - Rbcic ôÅ‚
żł
Ec = -Rcaia - Rcbib + Rccic ôÅ‚ i - równaÅ„
þÅ‚
4
Zależność tę można zapisać w postaci równania macierzowego
[Ec]i,1 = [Rc]i,i[ic]i,1
gdzie: [Ec]  wektor obwodowych sił elektromotorycznych,
[Rc]  macierz rezystancji obwodowych,
[ic]  wektor prądów obwodowych.
Metoda Cramera:
Liczymy wyznacznik główny Wcc macierzy rezystancji obwodowych, z zależności
Raa - Rab - Rac
Wcc = - Rba Rbb - Rbc
- Rca - Rcb Rcc
5
" Liczymy wyznaczniki pomocnicze:
Ea - Rab - Rac
Raa Ea - Rac
Wa = Eb Rbb - Rbc
Wb = - Rba Eb - Rbc
Ec - Rcb Rcc
- Rca Ec Rcc
Raa - Rab Ea
Wc = - Rba Rbb Eb
- Rca - Rcb Ec
6
" Liczymy prądy obwodowe z zależności:
Wa Wb Wc
ia = , ib = , ic =
Wcc Wcc Wcc
" Liczymy prądy gałęziowe z zależności:
i1 = ia,
i2 = ib,
i3 = ib - ia,
i4 = ic - id,
i5 = ic - ia,
i6 = ic - ib,
i7 = id.
7
Metoda potencjałów węzłowych
W metodzie tej:
" zamieniamy wszystkie rzeczywiste z
ródła napięciowe na z
ródła prądowe,
" wybieramy węzeł odniesienia,
zapisujemy w = w  1 liniowych równań węzłowych dla pozostałych węzłów.
8
9
Prądy gałęziowe dla pierwszego węzła A można wyrazić w postaci:
VA
VC -VA
' VB -VA
'
i1 = J1 -
i5 = J5 -
i' = J4 -
4
R
R
R
1
5
4
' '
i1 - i' - i5 = 0
4
VA VB -VA VC -VA
J1 - - J4 + - J5 + = 0
R1 R4 R5
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
J1 - J4 - J5 = + + - VB - VC
ìÅ‚
R1 R4 R5 ÷Å‚VA R4 R5
íÅ‚ Å‚Å‚
10
Pełny opis obwodu przyjmie zatem postać
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - VB - VC
A ) J1 - J4 - J5 = + +
ìÅ‚
R1 R4 R5 ÷Å‚VA R4 R5
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
B ) J4 + J2 = - VA + + + - VC
ìÅ‚
R4 R2 R4 R6 ÷Å‚ R6
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
C ) J3 + J5 = - VA - VB + + +
ìÅ‚
R5 R6 R3 R5 R6 ÷Å‚VC
íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższy układ równań można zapisać w postaci ogólnej
J = GAAVA - GABVB - GACVC
üÅ‚
A
JB = - GBAVA + GBBVB - GBCVC ôÅ‚
żł
w  równań
JC = - GCAVA - GCBVB + GCCVC ôÅ‚
þÅ‚
[J ] =[Gp] [Vp]
p
w,1 w,w w,1
11
W kolejnym etapie obliczamy potencjały węzłowe stosując metodę Cramera:
" Liczymy wyznacznik główny
GAA - GAB - GAC
Wpp = - GBA GBB - GBC
- GCA - GCB GCC
" Liczymy wyznaczniki pomocnicze
GAA J - GAC
J - GAB - GAC
A
A
WB = - GBA JB - GBC
WA = JB GBB - GBC
JC - GCB GCC
- GCA JC GCC
GAA - GAB JC
WC = - GBA GBB JB
- GCA - GCB JC
12
" Obliczamy potencjały węzłowe
WA WB WC
VA = , VB = , VC =
Wpp Wpp Wpp
" Obliczamy prądy gałęziowe
- VC
- VB
-VA VA - VB
i3 =
i2 =
i1 = i4 =
,
R3
R1 , R2 , R4 ,
VA - VC
VB - VC
i5 =
i6 =
R5 , R6 .
13
Zastosowanie grafów w rozwiązywaniu obwodów
Odwzorowanie w wyniku którego poprzez incydencję I, każdej krawędzi xi
odpowiada para wierzchołków (yj, yk) nazywamy grafem. Grafem skierowanym jest
graf, w którym wierzchołki określają początek i koniec krawędzi.
G = )# X ,Y ,I*#
14
" OkreÅ›lenie macierzy strukturalnej [´]
c1 ) 1u1 +1u2 +1u3 + 0u4 + 0u5 + 0u6 = 0
üÅ‚
ôÅ‚
c2 ) 0u1 -1u2 + 0u3 -1u4 -1u5 + 0u6 = 0
żł
ôÅ‚
c3 ) 0u1 + 0u2 -1u3 + 0u4 +1u5 +1u6 = 0
þÅ‚
z tego układu równań otrzymujemy drugie prawo Kirchhoffa w postaci
uogólnionej
[´]i,k[ug] = [0]i,k
k ,1
gdzie : [ug]  wektor napięć gałęziowych,
[´]  macierz gaÅ‚Ä™ziowo obwodowa (obwodowa).
15
Macierz [´] dla rozpatrywanego obwodu ma postać
1 1 1 0 0 0 c1
îÅ‚ Å‚Å‚ üÅ‚
ïÅ‚0 -1 0 -1 -1 0śł
[´]= c2ôÅ‚
żł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
c3ôÅ‚
ðÅ‚0 0 -1 0 1 1ûÅ‚ þÅ‚
Wszystkie prądy gałęziowe można wyrazić za pomocą sumy algebraicznej
wszystkich prądów obwodowych
i1 = 1ic1 + 0ic2 + 0ic3
i2 = 1ic1 -1ic2 + 0ic3
i3 = 1ic1 + 0ic2 -1ic3
i4 = 0ic1 -1ic2 + 0ic3
i5 = 0ic1 -1ic2 +1ic3
i6 = 0ic1 + 0ic2 +1ic3
16
" Obliczenie wektora prądów gałęziowych [ig]
[ ] [ ]T,i[ ]i,1
ig k ,1 = ´ ic
k
[ ]i,1 [ ]i,i [ ]i,1
ic = Rc -1 Ec
[ ] [ ]T,i[ ]i,i [ ]i,1
ig k ,1 = ´ Rc -1 Ec
k
Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem w postaci wektora
obwodowych sił elektromotorycznych a odpowiedzią w postaci wektora prądów
gałęziowych.
17
" Określenie macierzy strukturalnej []
A1 ) -1i1 +1i2 + 0i3 -1i4 + 0i5 + 0i6 = 0
üÅ‚
A2 ) + 0i1 -1i2 +1i3 + 0i4 +1i5 + 0i6 = 0ôÅ‚
żł
A3 ) +1i1 + 0i2 -1i3 + 0i4 + 0i5 -1i6 = 0ôÅ‚
þÅ‚
[ ]w,k[ ] [ ]w,1
 ig k ,1 = 0
Macierz [] nazywa się macierzą gałęziowo  węzłową lub macierzą incydencji.
Wszystkie napięcia gałęziowe można wyrazić za pomocą algebraicznej sumy
potencjałów węzłowych.
18
u1 = -1V1 + 0V2 +1V3
üÅ‚
u2 = +1V1 -1V2 + 0V3ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
u3 = + 0V1 +1V2 -1V3
u4 = -1V1 + 0V2 + 0V3żł
ôÅ‚
u5 = + 0V1 +1V2 + 0V3ôÅ‚
ôÅ‚
u6 = + 0V1 + 0V2 -1V3 þÅ‚
[ ] [ ]T,w[ ]
ug k ,1 =  Vp w,1
k
[ ] [ ] [ ]
Vp w,1 = Gp -1 J
p
w,w w,1
19
" Obliczenie wektora napięć gałęziowych [ug]
[ ] [ ]T,w[ ] [ ]
ug k ,1 =  Gp -1 J
p
k
w,w w,1
Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem przedstawionym
w postaci wektora z
ródłowych prądów węzłowych a odpowiedzią przedstawioną
w postaci wektora napięć gałęziowych.
20
Twierdzenia o włączaniu z
ródeł idealnych
" z
ródła napięciowe
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli
do wszystkich gałęzi należących do tego samego węzła włączymy po
jednym idealnym z
ródle napięciowym o tej samej wartości siły
elektromotorycznej i o tym samym zwrocie w stosunku do węzła.
" z
ródła prądowe
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli
równolegle do wszystkich gałęzi należących do tego samego obwodu
włączymy po jednym idealnym z
ródle prądowym o tej samej wartości
prÄ…du zwarciowego i o tym samym zwrocie w stosunku do obwodu.
21
22
(R1 + R2)ic1 - R1ic2 = E2 - E2 - E1 = -E1
üÅ‚
a )
- R1ic1 + (R1 + R3)ic2 = E1 + E2 - E2 = E1żł
þÅ‚
üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
1
ìÅ‚ ÷Å‚ -
+ VB = J1 + J2 - J2 = J1ôÅ‚
ìÅ‚
R1 R2 ÷Å‚VA R2
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
b )
żł
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
- VA + + = J2 - J2 = 0
ìÅ‚
ôÅ‚
R2 R2 R3 ÷Å‚VB
íÅ‚ Å‚Å‚
þÅ‚
Wektor odpowiedzi (prądów gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo
wektor pobudzeń (obwodowych sił elektromotorycznych) będzie stały.
Wektor odpowiedzi (napięć gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo
wektor pobudzeń (węzłowych prądów z
ródłowych) nie ulegnie zmianie.
23
Zasada superpozycji
Prąd w dowolnej gałęzi sieci liniowej stanowi sumę prądów od
każdego z
ródła z osobna, przy wyłączonych z
ródłach pozostałych
" Wyłączenie z
ródła napięciowego oznacza zastąpienie zwarciem siły
elektromotorycznej,
" Wyłączenie z
ródła prądowego oznacza usunięcie gałęzi zawierającej z
ródło
(rozwarcie).
Metoda transformacji z
ródeł
24
R1R2
ëÅ‚ öÅ‚
E1 E2 ÷Å‚ R1 + R2
ìÅ‚
i3 = +
ìÅ‚
R1 R2 ÷Å‚ R1R2 + R3
íÅ‚ Å‚Å‚
R1 + R2
25
R1R2 R1R2
üÅ‚
ôÅ‚
E1 R1 + R2 R1 + R2
'
i3 = = E1
ôÅ‚
R1 R1R2 + R3 ëÅ‚ öÅ‚
R1R2
ìÅ‚ ÷Å‚
R1ìÅ‚ + R3 ÷Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
R1 + R2
R1 + R2
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
żł
R1R2 R1R2
ôÅ‚
E2 R1 + R2 R1 + R2
ôÅ‚
"
i3 = = E2
ôÅ‚
R2 R1R2 + R3 ëÅ‚ öÅ‚
R1R2
ìÅ‚ ÷Å‚
R2ìÅ‚ + R3 ÷Å‚ ôÅ‚
R1 + R2
R1 + R2
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
þÅ‚
i1 = Ç1,1E1 + Ç1,2E2 üÅ‚
[ig] = [Ç]k ,i[Ec]i,1
k ,1
i2 = Ç2,1E1 + Ç2,2E2ôÅ‚
żł
[ug] = [Å‚]k ,w[J ]
i3 = Ç3,1E1 + Ç3,2E2 ôÅ‚
p
k ,1 w,1
þÅ‚
26
Twierdzenie Thevenina
Każdą sieć liniową można zastąpić z punktu widzenia pary dowolnych
wyprowadzeń rzeczywistym z
ródłem napięciowym o sile
elektromotorycznej ET, równej napięciu na wyprowadzeniach w stanie
rozwarcia oraz oporze wewnętrznym RT , równym oporowi pomiędzy
wyprowadzeniami przy wyłączonych z
ródłach.
27
" Obliczamy napięcie Thevenina na rozwartych wyprowadzeniach obwodu,
" Obliczamy rezystancję Thevenina widzianą od strony wyróżnionych wyprowadzeń
przy wyłączonych z
ródłach,
" Obliczamy prąd płynący przez obciążenie, korzystając z zastępczego z
ródła Thevenina.
Zgodnie z algorytmem postępowania prąd i płynący przez obciążenie przyjmie postać
ET
i =
RT + Ro
28