E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
PIERWSZA METODA LAPUNOWA
Wezmy pod uwagę układ nieliniowy autonomiczny, opisany
wektorowym równaniem różniczkowym o postaci :
x = F(x)
(1)
przy czym: x n wymiarowy wektor stanu; F funkcja wektorowa
nieliniowa, różniczkowalna względem x.
Niech punkt x=0 będzie punktem równowagi tego układu, czyli
F(0) = 0
Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (1) ma postać
x = Ax
(2)
przy czym macierz kwadratowa A jest określona zależnością
śF
A= (3)
śx
x=0
Pierwsza metoda Lapunowa formułuje warunki stabilności
lokalnej w punkcie równowagi x = 0 układu nieliniowego, opisanego
równaniem (1), w oparciu o przybliżenie liniowe (2).
Układ nieliniowy jest stabilny lokalnie asymptotycznie w
punkcie równowagi x=0, jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne
asymptotycznie, tzn. gdy wszystkie pierwiastki równania
charakterystycznego
det [sI A] = sn+an-1sn-1+& +a1s+a0 = 0 (4)
leżą w lewej półpłaszczyznie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Jeżeli przybliżenie liniowe (2) jest niestabilne, to układ
nieliniowy jest niestabilny. Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne,
ale nieasymptotyczne, to o zachowaniu układu nieliniowego nic nie
można powiedzieć na podstawie przybliżenia liniowego (2).
W przypadku, gdy przybliżenie liniowe (2) jest stabilne
asymptotycznie lub niestabilne, część nieliniowa rozwinięcia w szereg
Taylora R(x) funkcji F(x) nie ma wpływu na stabilność w punkcie
równowagi układu nieliniowego. W przypadku natomiast, gdy
przybliżenie liniowe (2) jest stabilne, ale nieasymptotycznie, to o
stabilności układu nieliniowego decyduje część nieliniowa
rozwinięcia w szereg Taylora R(x).
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Przykład 1.
Określić, dla jakich wartości współczynnika a układ nieliniowy opisany
równaniem różniczkowym
2
2
d x dx dx
+ a + x + bć = 0
(5)
2
dt dt dt
Ł ł
dx
jest stabilny lokalnie w punkcie równowagi x = 0, = 0 .
dt
Przybliżenie liniowe równania nieliniowego (5) ma postać
2
d x dx
+ a + x = 0 (6)
dt2 dt
Z kryterium Hurwitza wynika, że równanie charakterystyczne przybliżenia
liniowego
s2+as+1 = 0 (7)
ma oba pierwiastki w lewej płaszczyznie dla a > 0.
Układ nieliniowy, opisany równaniem (5), jest więc stabilny lokalnie w
punkcie równowagi dla a > 0.
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
DRUGA METODA LAPUNOWA
Druga metoda Lapunowa, zwana również metodą bezpośrednią,
formułuje tylko warunki dostateczne stabilności zwykłej i
asymptotycznej w obszarze ograniczonym i nieograniczonym. Przy
sformułowaniu tej metody korzysta się z pojęcia funkcji dodatnio i
ujemnie określonej oraz funkcji dodatnio półokreślonej i ujemnie
półokreślonej.
Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie)
określoną w obszarze D, zawierającym początek układu
współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli funkcja ta w każdym punkcie
tego obszaru D, różnym od początku układu współrzędnych x ą 0,
przyjmuje wartość dodatnią (ujemną) i wartość równą zeru tylko w
punkcie x = 0.
Funkcję V(x) wektora stanu x nazywamy dodatnio (ujemnie)
półokreśloną lub nieujemnie (niedodatnio) określoną w obszarze D,
zawierającym początek układu współrzędnych przestrzeni stanu, jeżeli
funkcja ta w dowolnym punkcie tego obszaru D przyjmuje wartość
nieujemną (niedodatnią).
2 2
V = x1 + x2
Np. funkcja (jest nieujemnie określoną) w
przestrzeni trójwymiarowej x1, x2, x3, gdyż funkcja ta przyjmuje
wartość równą zeru dla x1 = 0, x2 = 0 i dowolnego x3.
Jednoznaczną funkcję V(x) ciągłą wraz z pierwszymi
pochodnymi względem zmiennych stanu x1, x2, & , xn (składowych
wektora stanu x) nazywać będziemy funkcją Lapunowa w
obszarze D, jeżeli:
1) V(x) jest dodatnio określona w obszarze D, tzn. V(x) > 0 dla
x ą 0 i V(0) = 0;
2) pochodna względem czasu t funkcji V(x) jest ujemnie
określona w obszarze D, tzn. V(x) < 0 dla x ą 0 i V(x) = 0
tylko dla x = 0;
2
2 2 n
3) V(x) Ą dla x = (x1 + x2 + ...+ xn)
Ą.
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Korzystając z pojęcia gradientu funkcji V(x), określonego
zależnością
śV(x)
ł
ę ś
śx
1 (8)
grad V(x) = ęśV(x)ś
ę ś
ę dx ś
n
oraz równania (1) można pochodną funkcji V(x) względem czasu t
wyrazić za pomocą wzoru
T
śV(x) dx1 śV(x) dxn dx
ć
V(x) = + ... + =
grad V(x) =
śx1 dt śxn dt dt
Ł ł
[F(x)]T grad V(x) (9)
przy czym T oznacza działanie transpozycji.
Z zależności (9) wynika, że w pochodnej po czasie funkcji
Lapunowa zawarta jest dynamika układu.
Druga metoda Lapunowa
Układ nieliniowy opisany równaniem (1) jest stabilny
asymptotycznie w obszarze D, zawierającym początek układu
współrzędnych, jeżeli można dobrać funkcję Lapunowa V(x),
dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna względem czasu
V (x)
wzdłuż trajektorii fazowej jest funkcją ujemną określoną w
V (x)
tym obszarze. Jeżeli pochodna jest funkcją ujemnie
półokreśloną (niedodatnio określoną) w obszarze D, to układ
nieliniowy jest stabilny w tym obszarze D, ale niekoniecznie
asymptotycznie.
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Poniżej naszkicowano geometryczną ideę dowodu powyższego twierdzenia. Jako
funkcję Lapunowa wezmy funkcję dodatnio określoną postaci
n
2
V(x) = x2
ak k (10)
k=1
przy czym:
x1, x2, & , xn są zmiennymi stanu (składowymi wektora stanu x), natomiast a1, a2,
& , an są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera.
Niech funkcja (10) przyjmuje kolejno rosnące wartości, równe 0, C1, C2, & (0 < C1 < C2
<& ). Otrzymamy wówczas
n
2
a x2 = 0
k k
(11)
k=1
n
2
a x2 = C1
k k
(12)
k=1
n
2
a x2 = C2
k k
(13)
k=1
W przestrzeni stanów wyrażeniu (11) odpowiada początek układu współrzędnych
x = 0, a wyrażeniom (12), (13), & ,n-wymiarowe hiperelipsoidy, przy czym hiperelipsoida
określana wyrażeniem (13) obejmuje hiperelipsoidę określoną wyrażeniem (12) (rys. 1).
Rys. 1. Ilustracja geometryczna idei dowodu
drugiej metody Lapunowa w
przestrzeni trójwymiarowej.
Jeżeli pochodna jest funkcją ujemnie określoną, to punkt opisujący na
V (x)
trajektorii przesuwa się w czasie w kierunku malenia funkcji V, czyli w kierunku
początku układu współrzędnych. Oznacza to, że zmienne stanu x1 ,x2, & , xn maleją w
czasie do zera, a rozpatrywany układ jest układem stabilnym asymptotycznie.
V (x)
Jeżeli pochodna jest funkcją ujemnie półokreśloną to można dobrać taką
hiperelipsoidę, że punkt opisujący dla dowolnej chwili t > 0 będzie się znajdował
wewnątrz tej hiperelipsoidy. Oznacza to, że zmienne stanu x1, x2, & , xn są ograniczone, a
układ rozpatrywany jest układem stabilnym, ale nieasymptotycznie.
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Wybór funkcji Lapunowa
Jako funkcję Lapunowa V(x) wybiera się najczęściej formę
kwadratową dodatnio określoną lub sumę formy kwadratowej
dodatnio określonej i całki charakterystyki członu nieliniowego.
n
T
V(x) = b x x = x Bx (14)
ij i j
i, j=1
przy czym B jest macierzą symetryczną (bij = bji) o postaci
b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2n
B =
(15)
... ... ... ...
bn1 bn2 ... bnn
a x wektorem o składowych x1, x2, & , xn.
Forma kwadratowa (14) jest dodatnio określona wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie podwyznaczniki główne oraz sam wyznacznik
macierzy B są dodatnie czyli
b11 b12
D2 = > 0;
D1 = b11 > 0;
b21 b22 & ;
b11 b12 .... b1n
b21 b22 .... b2n
"n = > 0
16)
(
.... .... .... ....
bn1 bn2 .... bnn
Wezmy pod uwagę układ autonomiczny liniowy stacjonarny,
opisany równaniem jednorodnym
(17)
x = Ax
przy czym x n-wymiarowy wektor stanu, A macierz kwadratowa
n n o stałych niezależnych od czasu elementach.
Jako funkcję Lapunowa V(x) dla tego układu wezmy formę
kwadratową (14)
V(x) = xTBx (18)
Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa (18) jest równa
T
V (x) = x Bx+xT B x
(19)
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Po podstawieniu zależności (17) do (19) otrzymujemy
T T T
V (x) = x (A B+ BA) x = - x Wx
20
przy czym
-W = ATB + BA 21
Macierz W dobieramy tak, aby pochodna względem czasu funkcji
Lapunowa (20) była funkcją ujemnie określoną. Dla danych macierzy A i W
rozwiązując równanie macierzowe (21) wyznaczamy macierz B. Jeżeli elementy
tej macierzy spełniają warunki (16), to funkcja Lapunowa (18) jest dodatnio
określona. Z powyższych rozważań wynika następujący wniosek.
Układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany równaniem
(17), jest stabilny asymptotycznie w punkcie x = 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnej symetrycznej dodatnio macierzy W istnieje
symetryczna dodatnio określona macierz B, będąca jedynym
rozwiązaniem równania (21), a funkcja (18) jest funkcją Lapunowa.
Często jako macierz dodatnio określoną W przyjmuje się macierz jednostkową,
W = I. W tym przypadku równanie (21) przyjmuje postać
ATB + BA = -I (22)
Przykład 1. Jest dany układ autonomiczny liniowy stacjonarny, opisany
równaniem
xł
- 3 - 7 x1
ł ł
ę ś =
ę
0 - 4śęx2 ś 23
ęxś
W tym przypadku
b11 b12
ł
- 3 - 7
ł
B =
A =
ęb b21ś
24
ę
0 - 4ś ;
12
a równanie (22) ma postać
- 3 0 b11 b12 b11 b12 - 3 - 7 1 0
ł ł ł ł ł
= -ę
ę ęb b22ś + ęb b22ś ę
0 - 4ś 0 1ś 25
- 7 - 4ś 12 12
Wykonując wskazane mnożenie macierzy i porównując odpowiednie elementy
macierzy otrzymamy układ trzech równań o postaci
-6 b11= -1
-7 b12 7 b11 = 0 26
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
-14 b12 8 b22 = -1
1 1 5
Rozwiązując ten układ równań otrzymamy b11 = , b12 = - , b22 =
6 6 12
Macierz B ma zatem postać
2 - 2
1 ł
B = 27
ę ś
12 2 5
-
Warunki (16) dla macierzy (27) mają postać
1 1
b11 b12 6 - 6
1 1
D2 = = = > 0
D1 = b11 = > 0;
b12 b22 - 1 5 24
6
6 12
Funkcja Lapunowa (18)
2 - 2 x1
1 ł ł
1
= (2x2 - 4x1x2 + 5x2)
V(x) = [x1 x2] 2 27
ę ś ęx ś
12 2 5 12
- 2
jest więc dodatnio określona, a układ opisany równaniem (23) jest stabilny
asymptotycznie.
Przykład 2. Jako funkcję Lapunowa dla układu nieliniowego, opisanego
równaniem (5), przyjmuje formę kwadratową dodatnio określoną w całej
płaszczyznie x1, x2 o postaci
1
2 2
(x1 + x2 ) 28
V(x) =
2
Wprowadzając zmienne stanu x1 = x, x2 = x, możemy równanie (5) napisać w
postaci
x = x2 29
1
3
x = -x1 - ax2 - bx2
2
Wobec tego
śV ( x ) śV ( x )
3 2 4
V ( x ) = x + x = x1 x2 - x2( x1 + ax2 + bx2 ) = -( ax2 + bx2 )
1 2
śx1 śx2
30
V (x)
Pochodna jest ujemnie określona w całej płaszczyznie dla
a >0 i b > 0. Układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie globalnie dla
a > 0 i b > 0.
V (x)
Z zależności (30) wynika, że dla a > 0 i b < 0 pochodna jest ujemnie
określona dla
a
2
0 < x2 < -
31
b
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
W tym przypadku układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie w
obszarze ograniczonym, określonym nierównością
= np-(n-2k) p = 2kp
"arg[1 + K(jv )]
-Ą
Wezmy pod uwagę układ autonomiczny nieliniowy, opisany równaniem
(1), którego punktem równowagi jest punkt x = 0. Jako funkcję Lapunowa dla
tego układu A. Krakowski proponuje formę kwadratową o postaci
V(x) = [F(x)]TBF(x) 32
przy czym:
F(x) wektor n-wymiarowy będący prawą stroną równania (1) o
składowych f1(x), f2(x), & ,fn(x);
B macierz symetryczna dodatnio określona o stałych, niezależnych od
czasu elementach.
Biorąc pod uwagę, że
ś F(x)
F(x) = x = AF(x)
33
ś x
gdzie
ś f1(x) ś f1(x)
ł
......
ę
ś x1 ś n1 ś
ś F(x) ę ś
A = = ........... ...... ...........ś
ę 34
ś x
ęś fn(x) ...... ś fn(x)ś
ę
ś x1 ś xn ś
możemy napisać następujące wyrażenie na pochodną względem czasu funkcji
(31):
V (x) = [ F (x)]TBF(x) + [F(x)]T (x) = 35
B F
=[F(x)]T[ATB + BA]F(x) = - [F(x)]TWF(x)
przy czym
ATB + BA = -W 36
V (x)
Aby pochodna była funkcją ujemnie określoną, macierz W musi być
dodatnio określona.
Często jako macierz B przyjmuje się macierz jednostkową I. W tym
przypadku szczególnym po podstawieniu B = I zależności (32) i (36) przyjmują
postać
V(x) = [F(x)]T F(x) 37
oraz
AT + A = -W 38
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Wezmy pod uwagę układ nieliniowy z ujemnym sprzężeniem
zwrotnym (rys. 3), który składa się z członu nieliniowego o
charakterystyce u = f(e) oraz z członu liniowego o transmitancji
operatorowej G(s).
Rys. 3. Schemat blokowy układu nieliniowego z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym.
Niech charakterystyka u = f(e) członu nieliniowego spełnia warunek
f(e)
k1 Ł Ł k2 , f(0) = 0 47
e
przy czym: k1 i k2 są dowolnymi nieujemnymi liczbami
rzeczywistymi.
Warunek (47) oznacza, że charakterystyka u = f(e) leży między
prostymi u = k1e oraz u = k2e, przechodzącymi przez początek układu
współrzędnych (rys. 4). W przypadku szczególnym może być k1 = 0, a
k2 = Ą.
Załóżmy, że część liniowa rozpatrywanego układu nieliniowego
jest członem stabilnym, tzn. że wszystkie bieguny transmitancji
operatorowej G(s), leżą w lewej półpłaszczyznie zmiennej zespolonej
s.
Rys. 4. Przykładowy przebieg charakterystyki u = f(e), spełniający
warunek (47).
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
Dla tej klasy układów nieliniowych w wielu przypadkach jako funkcję
Lapunowa wygodnie jest przyjąć sumę formy kwadratowej dodatnio
określonej L(x) i całki charakterystyki członu nieliniowego f(e), czyli
przyjąć funkcję Lapunowa o postaci
f (h )dh
V(x) = L(x) + 48
0
Przykład 3.
Jest dany układ nieliniowy z dodatnim sprzężeniem zwrotnym (rys. 2), który
składa się z członu nieliniowego o charakterystyce
1
u = e+ e3 39
2
oraz z członu liniowego o transmitancji
k
G(s) =
40
1 + sT
przy czym współczynnik k i stała czasowa T są dodatnie.
Należy wyznaczyć wartości początkowe wielkości regulowanej y(t) = y,
dla których układ ten jest stabilny asymptotycznie.
e(t)
y0(t)=0 u y(t)
G(s)
Rys. 2. Schemat blokowy układu nieliniowego z dodatnim
sprzężeniem zwrotnym.
Człon liniowy jest opisany równaniem
T y+ y = ku
41
Podstawiając zależność (39) do równania (41) po uwzględnieniu, że w
tym przypadku e = y(y0(t) = 0), otrzymamy
y
k - 2 k
y = y + 2
42
2T T
Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci
2
k
V(y) = ć k- 2 y+ y3 43
2T T
Ł ł
Wobec tego
E. Żak
Teoria sterowania, P. A. wykład
2
śV ( y ) k - 2 k k - 2 k
V ( y ) = y = 2ć y + y3 ć + 3 y2
44
śy 2T T 2T T
Ł ł Ł ł
Pochodna względem czasu funkcji Lapunowa będzie zatem ujemnie
określona, gdy
k- 2 k
+ 3 y2 < 0
45
2T T
czyli rozpatrywany układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie dla wartości
początkowych wielkości regulowanej y, spełniających warunek (46).
2 - k
2
y <
46
6k
Przykład 4.
Korzystając z drugiej metody Lapunowa należy wykazać, że układ nieliniowy
złożony z członu nieliniowego o charakterystyce u = f(e) spełniającej warunek
(47) oraz członu liniowego o transmitancji (40) jest stabilny asymptotycznie w
obszarze nieograniczonym.
Przebieg uchybu regulacji e = e(t) w tym układzie jest opisane równaniem
e k
e = - - f ( e )
49
T T
Jako funkcję Lapunowa przyjmujemy funkcję o postaci (48).
e
1
V ( e ) = e2 + f (h )dh
50
2
0
Dla charakterystyk u = f(e) spełniający warunek (47) funkcja (50), jest
funkcją dodatnio określoną dla dowolnej wartości uchybu regulacji e oraz
przyjmuje wartość nieskończenie wielką dla e dążącego do nieskończoności.
Pochodna względem czasu funkcji (50) jest równa
dV
V ( e ) = e = [e + f ( e )]e = -[e + f ( e )]x
de
ł
e k e2 k 1 + k
2
= -ę + f ( e ) + ef ( e )ś 51
ęT + T f ( e )ł
ś
T T T
V ( e )
Z założenia k > 0 i T > 0. Pochodna jest więc funkcją ujemnie określoną
dla każdej charakterystyki u = f(e) spełniającej warunek ef(e) ł 0, czyli warunek
(47). Rozpatrywany układ nieliniowy jest zatem stabilny asymptotycznie w
przedziale nieograniczonym tzn. dla dowolnych warunków początkowych.
Powyższe rozważania dotyczące drugiej metody Lapunowa można
uogólnić na przypadek układów impulsowych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
prezentacja II ver poprawiona
poprawa kolokwium I i II E i EN rozwiązania
Teoria sygnalow Wstep Wydanie II poprawione i uzupelnione
Biochemia I 2007 poprawka II
Kuloodporne strony internetowe Jak poprawic elastycznosc z wykorzystaniem XHTML a i CSS Wydanie II
Kolos II poprawa gr 10 kajorowa
SOP Kolokwium II Poprawkowe 2011 gr B
RP II Kolokw 20 XII 2004 Poprawkowe
Poprawno fonetyczna II
Konstrukcje metalowe – koo poprawkowe II (21 09 09)
Kolokwium 1 2012 13 (poprawa II, gr B)
11 cwiczen na natychmiastowa poprawe nastroju II
Alchemia II Rozdział 8
więcej podobnych podstron