1
Zadanie 1 - (wersja A).
Okręt o masie M = 1200 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t
0
= 0 siłę
napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 4·10
5
N zredukowano czterokrotnie. Wiedząc, że opór wody T
jest proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv,. gdzie
m
Ns
4
10
8
⋅
=
μ
) znajdź:
a) prędkość okrętu v
0
przed redukcją siły ciągu ?
b) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t
0
.
c) czas, po którym nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu, licząc od chwili t
0
?
Uwaga:
dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez
podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
a) Przed redukcją mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością
s
m
m
Ns
N
G
v
5
10
8
10
4
4
5
0
=
⋅
⋅
=
=
μ
,
którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc
0
=
dt
dv
.
b)
Oznaczamy F – zredukowana siła ciągu silników (dla t<t
0
siła ciągu – G = 4F). Równanie ruchu:
F
v
F
T
dt
dv
M
+
−
=
+
−
=
μ
, stąd
dt
v
M
M
F
dv
=
−
μ
, i dalej
C
t
v
M
M
F
dv
+
=
−
∫
μ
.
Podstawienie:
v
M
M
F
u
μ
−
=
, skąd
dv
M
du
μ
−
=
, i
du
M
dv
μ
−
=
, więc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
=
−
=
−
∫
∫
v
M
M
F
M
C
t
u
du
M
v
M
M
F
dv
μ
μ
μ
μ
ln
, i dalej
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
=
C
t
M
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, lub
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
A
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t
0
= 0, przy pełnej
mocy silników (G = 4F), prędkość okrętu wynosi
A
M
F
F
G
v
μ
μ
μ
μ
−
=
=
=
4
0
, więc
M
F
A
3
−
=
i w
końcu:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
t
M
G
t
M
F
v
μ
μ
μ
μ
exp
3
1
4
exp
3
1
c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu ?
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
=
2
/
1
2
/
1
0
exp
4
3
4
1
4
exp
3
1
2
1
t
M
F
t
M
F
v
v
μ
μ
μ
μ
, więc
4
1
exp
4
3
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
i dalej
3
1
exp
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
, a w końcu
)
3
ln(
2
/
1
μ
M
t
=
.
Podstawiając dane:
s
m
s
s
kgm
kg
m
Ns
kg
t
)
3
ln(
15
)
3
ln(
15
)
3
ln(
10
8
10
2
.
1
2
4
6
2
/
1
=
⋅
=
⋅
⋅
=
2
Zadanie 1 (wersja B).
Okręt o masie M = 1600 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t
0
= 0 siłę
napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 2·10
5
N zwiększono pięciokrotnie. Wiedząc, że opór wody T jest
proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv, gdzie
m
Ns
4
10
8
⋅
=
μ
) znajdź:
d) prędkość okrętu v
0
przed zwiększeniem siły ciągu ?
e) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t
0
.
f) czas, po którym nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu, licząc od chwili t
0
?
Uwaga:
dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez
podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
a) Przed zwiększeniem mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością
s
m
m
Ns
N
G
v
5
.
2
10
8
10
2
4
5
0
=
⋅
⋅
=
=
μ
, którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc
0
=
dt
dv
.
b) Oznaczamy F – zwiększona siła ciągu silników (dla t<t
0
siła ciągu – G = F/5). Równanie ruchu:
F
v
F
T
dt
dv
M
+
−
=
+
−
=
μ
, stąd
dt
v
M
M
F
dv
=
−
μ
, i dalej
C
t
v
M
M
F
dv
+
=
−
∫
μ
.
Podstawienie:
v
M
M
F
u
μ
−
=
, skąd
dv
M
du
μ
−
=
, i
du
M
dv
μ
−
=
, więc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
=
−
=
−
∫
∫
v
M
M
F
M
C
t
u
du
M
v
M
M
F
dv
μ
μ
μ
μ
ln
, i dalej
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
=
C
t
M
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, lub
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
A
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t
0
= 0, przy małej
mocy silników (G = F/5), prędkość okrętu wynosi
A
M
F
F
G
v
μ
μ
μ
μ
−
=
=
=
5
0
, więc
M
F
A
5
4
=
i w
końcu:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
G
t
M
F
v
μ
μ
μ
μ
exp
5
4
1
5
exp
5
4
1
c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu ?
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
=
2
/
1
2
/
1
0
exp
4
5
5
exp
5
4
1
2
t
M
F
t
M
F
v
v
μ
μ
μ
μ
, więc
3
exp
4
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
i dalej
4
3
exp
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
, a w końcu
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
4
ln
2
/
1
μ
M
t
.
Podstawiając dane:
s
m
s
s
kgm
kg
m
Ns
kg
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
3
4
ln
20
3
4
ln
20
3
4
ln
10
8
10
6
.
1
2
4
6
2
/
1
3
Zadanie 2 (wersja A)
Jaką siłę F należy przyłożyć do masy M = 2000 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 5 m/s
2
, jeżeli:
a) siła tarcia działa tylko między masą m = 3 kg i masą M, a współczynnik tarcia kinetycznego
wynosi
1
μ
= 0.3;
b) siła tarcia działa między masą m i masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
1
μ
= 0.3) oraz między podłożem a masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.4).
c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli
uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą M a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:
− masą M a m wynosi
1
f
= 0.6,
− masą M a podłożem -
2
f
= 0.8.
Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s
2
. Pełne rozwiązanie zadania, poza
obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.
M
m
F
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
mg
m
M
a
F
T
F
m
M
a
T
N
am
T
N
F
aM
1
1
1
1
2
2
μ
+
+
=
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
=
+
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
kg
s
m
F
43
)
18
25
(
10
3
3
,
0
2
3
2
5
2
2
2
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
+
=
b)
(
)
(
)
(
)
g
M
m
mg
m
M
a
F
T
T
F
m
M
a
T
N
am
T
T
N
F
aM
+
+
+
+
=
−
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
−
=
+
2
1
1
1
1
1
2
2
2
μ
μ
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
kg
s
m
F
63
)
20
18
25
(
10
)
3
2
(
4
,
0
10
3
3
,
0
2
3
2
5
2
2
2
2
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
+
=
c)
(
)
g
M
m
f
mg
f
F
+
+
=
2
1
2
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
F
76
)
40
36
(
10
)
3
2
(
8
,
0
10
3
6
,
0
2
2
2
2
=
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
4
Zadanie 2 (wersja B)
Jaka siłę F należy przyłożyć do masy m = 250 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 3 m/s
2
, jeżeli:
a) siła tarcia działa tylko między masą M = 0.75 kg i masą m, a współczynnik tarcia
kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.1,
b) siła tarcia działa między masą M i masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.2) oraz między podłożem a masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
1
μ
= 0.1) ?
c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli
uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą m a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:
− masą m a M wynosi
2
f
= 0.4,
− masą m a podłożem -
1
f
= 0.2.
Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s
2
. Pełne rozwiązanie zadania, poza
obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.
m
M
F
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
Mg
m
M
a
F
T
F
m
M
a
T
N
aM
T
N
F
am
2
2
2
2
2
2
μ
+
+
=
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
=
+
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
kg
s
m
F
5
.
4
)
5
.
1
3
(
10
75
.
0
1
,
0
2
25
.
0
75
.
0
3
2
2
2
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
+
=
b)
(
)
(
)
(
)
g
M
m
Mg
m
M
a
F
T
T
F
m
M
a
T
N
aM
T
T
N
F
am
+
+
+
+
=
−
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
−
=
+
1
2
1
2
2
1
2
2
2
μ
μ
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
kg
s
m
F
7
)
1
3
3
(
10
)
75
.
0
25
.
0
(
1
,
0
10
75
.
0
2
,
0
2
25
.
0
75
.
0
3
2
2
2
2
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
+
=
c)
(
)
g
M
m
f
Mg
f
F
+
+
=
1
2
2
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
F
8
)
2
6
(
10
)
25
.
0
75
.
0
(
2
,
0
10
75
.
0
4
,
0
2
2
2
2
=
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
5
Zadanie 3 (wersja A)
W trzech rogach trójkąta równobocznego o boku a = 0.6 m znajdują się 3 pająki. W pewnej chwili
zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v
0
= 5 cm/s skierowaną
wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka znaleźć
równanie, czas ruchu i równanie toru.
Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w punkcie przecięcia
wysokości trójkąta. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający trójkąt równoboczny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem
o
30
=
α
względem promienia wodzącego a ich wartość
bezwzględna jest stała.
Składowe prędkości: radialna
2
3
cos
0
0
v
v
v
dt
dr
r
−
=
−
=
=
α
,
kątowa
2
cos
0
0
v
v
v
dt
d
r
=
=
=
α
ϕ
ϕ
.
To są równania ruchu pająka.
Tor
:
3
−
=
=
ϕ
ϕ
rd
dr
dt
d
r
dt
dr
, więc
∫
∫
−
=
ϕ
d
r
dr
3
, i dalej
C
r
+
−
=
ϕ
3
)
ln(
.
Przekształcając:
(
)
ϕ
3
exp
−
= A
r
. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był umieszczony
na osi OX w odległości
3
0
a
r
=
pod kątem 0
0
=
ϕ
. Czyli
3
a
A
=
, i równanie toru ma postać:
(
)
ϕ
3
exp
3
−
=
a
r
.
Czas ruchu
– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:
s
s
m
m
v
a
v
r
t
r
24
/
05
.
0
6
.
0
2
2
0
0
=
=
=
=
.
6
Zadanie 3 (wersja B)
W sześciu rogach sześciokąta foremnego o boku a = 0.75 m znajduje się 6 pająków. W pewnej
chwili zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v
0
= 2.5 cm/s
skierowaną wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka
znaleźć równanie ruchu, czas ruchu i równanie toru.
Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w środku okręgu
opisanego na sześciokącie. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający sześciokąt foremny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem
o
60
=
α
względem promienia wodzącego a ich wartość
bezwzględna jest stała.
Składowe prędkości: radialna
2
cos
0
0
v
v
v
dt
dr
r
−
=
−
=
=
α
,
kątowa
2
3
sin
0
0
v
v
v
dt
d
r
=
=
=
α
ϕ
ϕ
.
To są równania ruchu pająka.
Tor
:
3
1
−
=
=
ϕ
ϕ
rd
dr
dt
d
r
dt
dr
, więc
∫
∫
−
=
ϕ
d
r
dr
3
1
, i dalej
C
r
+
−
=
ϕ
3
1
)
ln(
.
Przekształcając:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
ϕ
3
1
exp
A
r
. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był
umieszczony na osi OX w odległości
a
r
=
0
pod kątem 0
0
=
ϕ
. Czyli
a
A
=
, i równanie toru
ma postać:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
ϕ
3
3
exp
a
r
.
Czas ruchu
– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:
s
s
m
m
v
a
v
r
t
r
3
36
/
025
.
0
75
.
0
3
2
3
2
0
0
=
=
=
=
.