1

Zadanie 1 - (wersja A).

Okręt o masie M = 1200 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t

0

= 0 siłę

napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 4·10

5

N zredukowano czterokrotnie. Wiedząc, że opór wody T

jest proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv,. gdzie

m

Ns

4

10

8

⋅

=

μ

) znajdź:

a) prędkość okrętu v

0

przed redukcją siły ciągu ?

b) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t

0

.

c) czas, po którym nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu, licząc od chwili t

0

?

Uwaga:

dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez

podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.

Rozwiązanie:

a) Przed redukcją mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością

s

m

m

Ns

N

G

v

5

10

8

10

4

4

5

0

=

⋅

⋅

=

=

μ

,

którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc

0

=

dt

dv

.

b)

Oznaczamy F – zredukowana siła ciągu silników (dla t<t

0

siła ciągu – G = 4F). Równanie ruchu:

F

v

F

T

dt

dv

M

+

−

=

+

−

=

μ

, stąd

dt

v

M

M

F

dv

=

−

μ

, i dalej

C

t

v

M

M

F

dv

+

=

−

∫

μ

.

Podstawienie:

v

M

M

F

u

μ

−

=

, skąd

dv

M

du

μ

−

=

, i

du

M

dv

μ

−

=

, więc

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

+

=

−

=

−

∫

∫

v

M

M

F

M

C

t

u

du

M

v

M

M

F

dv

μ

μ

μ

μ

ln

, i dalej

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

−

=

C

t

M

M

F

v

μ

μ

μ

exp

, lub

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

t

M

A

M

F

v

μ

μ

μ

exp

, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t

0

= 0, przy pełnej

mocy silników (G = 4F), prędkość okrętu wynosi

A

M

F

F

G

v

μ

μ

μ

μ

−

=

=

=

4

0

, więc

M

F

A

3

−

=

i w

końcu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

=

t

M

G

t

M

F

v

μ

μ

μ

μ

exp

3

1

4

exp

3

1

c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu ?

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

=

=

2

/

1

2

/

1

0

exp

4

3

4

1

4

exp

3

1

2

1

t

M

F

t

M

F

v

v

μ

μ

μ

μ

, więc

4

1

exp

4

3

2

/

1

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− t

M

μ

i dalej

3

1

exp

2

/

1

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− t

M

μ

, a w końcu

)

3

ln(

2

/

1

μ

M

t

=

.

Podstawiając dane:

s

m

s

s

kgm

kg

m

Ns

kg

t

)

3

ln(

15

)

3

ln(

15

)

3

ln(

10

8

10

2

.

1

2

4

6

2

/

1

=

⋅

=

⋅

⋅

=

2

Zadanie 1 (wersja B).

Okręt o masie M = 1600 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t

0

= 0 siłę

napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 2·10

5

N zwiększono pięciokrotnie. Wiedząc, że opór wody T jest

proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv, gdzie

m

Ns

4

10

8

⋅

=

μ

) znajdź:

d) prędkość okrętu v

0

przed zwiększeniem siły ciągu ?

e) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t

0

.

f) czas, po którym nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu, licząc od chwili t

0

?

Uwaga:

dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez

podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.

Rozwiązanie:

a) Przed zwiększeniem mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością

s

m

m

Ns

N

G

v

5

.

2

10

8

10

2

4

5

0

=

⋅

⋅

=

=

μ

, którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc

0

=

dt

dv

.

b) Oznaczamy F – zwiększona siła ciągu silników (dla t<t

0

siła ciągu – G = F/5). Równanie ruchu:

F

v

F

T

dt

dv

M

+

−

=

+

−

=

μ

, stąd

dt

v

M

M

F

dv

=

−

μ

, i dalej

C

t

v

M

M

F

dv

+

=

−

∫

μ

.

Podstawienie:

v

M

M

F

u

μ

−

=

, skąd

dv

M

du

μ

−

=

, i

du

M

dv

μ

−

=

, więc

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

+

=

−

=

−

∫

∫

v

M

M

F

M

C

t

u

du

M

v

M

M

F

dv

μ

μ

μ

μ

ln

, i dalej

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

−

=

C

t

M

M

F

v

μ

μ

μ

exp

, lub

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

t

M

A

M

F

v

μ

μ

μ

exp

, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t

0

= 0, przy małej

mocy silników (G = F/5), prędkość okrętu wynosi

A

M

F

F

G

v

μ

μ

μ

μ

−

=

=

=

5

0

, więc

M

F

A

5

4

=

i w

końcu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

t

M

G

t

M

F

v

μ

μ

μ

μ

exp

5

4

1

5

exp

5

4

1

c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu ?

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

=

2

/

1

2

/

1

0

exp

4

5

5

exp

5

4

1

2

t

M

F

t

M

F

v

v

μ

μ

μ

μ

, więc

3

exp

4

2

/

1

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− t

M

μ

i dalej

4

3

exp

2

/

1

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− t

M

μ

, a w końcu

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

3

4

ln

2

/

1

μ

M

t

.

Podstawiając dane:

s

m

s

s

kgm

kg

m

Ns

kg

t

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

=

3

4

ln

20

3

4

ln

20

3

4

ln

10

8

10

6

.

1

2

4

6

2

/

1

3

Zadanie 2 (wersja A)
Jaką siłę F należy przyłożyć do masy M = 2000 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 5 m/s

2

, jeżeli:

a) siła tarcia działa tylko między masą m = 3 kg i masą M, a współczynnik tarcia kinetycznego

wynosi

1

μ

= 0.3;

b) siła tarcia działa między masą m i masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi

1

μ

= 0.3) oraz między podłożem a masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi

2

μ

= 0.4).

c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli

uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą M a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:

− masą M a m wynosi

1

f

= 0.6,

− masą M a podłożem -

2

f

= 0.8.

Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s

2

. Pełne rozwiązanie zadania, poza

obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.

M

m

F

Rozwiązanie:

a)

(

)

(

)

mg

m

M

a

F

T

F

m

M

a

T

N

am

T

N

F

aM

1

1

1

1

2

2

μ

+

+

=

−

=

+

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

=

+

(

)

N

s

kgm

s

m

kg

kg

s

m

F

43

)

18

25

(

10

3

3

,

0

2

3

2

5

2

2

2

=

+

=

⋅

⋅

⋅

+

+

=

b)

(

)

(

)

(

)

g

M

m

mg

m

M

a

F

T

T

F

m

M

a

T

N

am

T

T

N

F

aM

+

+

+

+

=

−

−

=

+

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

−

=

+

2

1

1

1

1

1

2

2

2

μ

μ

(

)

N

s

kgm

s

m

kg

s

m

kg

kg

s

m

F

63

)

20

18

25

(

10

)

3

2

(

4

,

0

10

3

3

,

0

2

3

2

5

2

2

2

2

=

+

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

+

=

c)

(

)

g

M

m

f

mg

f

F

+

+

=

2

1

2

N

s

kgm

s

m

kg

s

m

kg

F

76

)

40

36

(

10

)

3

2

(

8

,

0

10

3

6

,

0

2

2

2

2

=

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

4

Zadanie 2 (wersja B)

Jaka siłę F należy przyłożyć do masy m = 250 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 3 m/s

2

, jeżeli:

a) siła tarcia działa tylko między masą M = 0.75 kg i masą m, a współczynnik tarcia

kinetycznego wynosi

2

μ

= 0.1,

b) siła tarcia działa między masą M i masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi

2

μ

= 0.2) oraz między podłożem a masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi

1

μ

= 0.1) ?

c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli

uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą m a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:

− masą m a M wynosi

2

f

= 0.4,

− masą m a podłożem -

1

f

= 0.2.

Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s

2

. Pełne rozwiązanie zadania, poza

obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.

m

M

F

Rozwiązanie:

a)

(

)

(

)

Mg

m

M

a

F

T

F

m

M

a

T

N

aM

T

N

F

am

2

2

2

2

2

2

μ

+

+

=

−

=

+

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

=

+

(

)

N

s

kgm

s

m

kg

kg

s

m

F

5

.

4

)

5

.

1

3

(

10

75

.

0

1

,

0

2

25

.

0

75

.

0

3

2

2

2

=

+

=

⋅

⋅

⋅

+

+

=

b)

(

)

(

)

(

)

g

M

m

Mg

m

M

a

F

T

T

F

m

M

a

T

N

aM

T

T

N

F

am

+

+

+

+

=

−

−

=

+

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

−

=

+

1

2

1

2

2

1

2

2

2

μ

μ

(

)

N

s

kgm

s

m

kg

s

m

kg

kg

s

m

F

7

)

1

3

3

(

10

)

75

.

0

25

.

0

(

1

,

0

10

75

.

0

2

,

0

2

25

.

0

75

.

0

3

2

2

2

2

=

+

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

+

=

c)

(

)

g

M

m

f

Mg

f

F

+

+

=

1

2

2

N

s

kgm

s

m

kg

s

m

kg

F

8

)

2

6

(

10

)

25

.

0

75

.

0

(

2

,

0

10

75

.

0

4

,

0

2

2

2

2

=

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

5

Zadanie 3 (wersja A)

W trzech rogach trójkąta równobocznego o boku a = 0.6 m znajdują się 3 pająki. W pewnej chwili
zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v

0

= 5 cm/s skierowaną

wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka znaleźć
równanie, czas ruchu i równanie toru.

Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w punkcie przecięcia
wysokości trójkąta. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.


Rozwiązanie:

Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający trójkąt równoboczny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem

o

30

=

α

względem promienia wodzącego a ich wartość

bezwzględna jest stała.

Składowe prędkości: radialna

2

3

cos

0

0

v

v

v

dt

dr

r

−

=

−

=

=

α

,

kątowa

2

cos

0

0

v

v

v

dt

d

r

=

=

=

α

ϕ

ϕ

.

To są równania ruchu pająka.

Tor

:

3

−

=

=

ϕ

ϕ

rd

dr

dt

d

r

dt

dr

, więc

∫

∫

−

=

ϕ

d

r

dr

3

, i dalej

C

r

+

−

=

ϕ

3

)

ln(

.

Przekształcając:

(

)

ϕ

3

exp

−

= A

r

. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był umieszczony

na osi OX w odległości

3

0

a

r

=

pod kątem 0

0

=

ϕ

. Czyli

3

a

A

=

, i równanie toru ma postać:

(

)

ϕ

3

exp

3

−

=

a

r

.

Czas ruchu

– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:

s

s

m

m

v

a

v

r

t

r

24

/

05

.

0

6

.

0

2

2

0

0

=

=

=

=

.

6

Zadanie 3 (wersja B)

W sześciu rogach sześciokąta foremnego o boku a = 0.75 m znajduje się 6 pająków. W pewnej
chwili zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v

0

= 2.5 cm/s

skierowaną wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka
znaleźć równanie ruchu, czas ruchu i równanie toru.

Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w środku okręgu
opisanego na sześciokącie. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.

Rozwiązanie:

Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający sześciokąt foremny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem

o

60

=

α

względem promienia wodzącego a ich wartość

bezwzględna jest stała.

Składowe prędkości: radialna

2

cos

0

0

v

v

v

dt

dr

r

−

=

−

=

=

α

,

kątowa

2

3

sin

0

0

v

v

v

dt

d

r

=

=

=

α

ϕ

ϕ

.

To są równania ruchu pająka.

Tor

:

3

1

−

=

=

ϕ

ϕ

rd

dr

dt

d

r

dt

dr

, więc

∫

∫

−

=

ϕ

d

r

dr

3

1

, i dalej

C

r

+

−

=

ϕ

3

1

)

ln(

.

Przekształcając:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

3

1

exp

A

r

. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był

umieszczony na osi OX w odległości

a

r

=

0

pod kątem 0

0

=

ϕ

. Czyli

a

A

=

, i równanie toru

ma postać:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

3

3

exp

a

r

.

Czas ruchu

– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:

s

s

m

m

v

a

v

r

t

r

3

36

/

025

.

0

75

.

0

3

2

3

2

0

0

=

=

=

=

.