Politechnika Gdańska Teoria
Sprężystości i Plastyczności M-SE4
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
sem. VI KBI r. 2005/2006
Katedra Mechaniki Budowli
prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek
ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 4
- tarcze,
układ biegunowy i kartezjański, powtórka –
1. Deformacja dana jest równaniami:
Określić materialny gradient deformacji F, tensor deformacji Greena C i tensor odkształceń
Lagrange – Greena E. Scharakteryzować opisaną powyżej deformację.
1
1
2
2
1
2
3
3
cos
sin
sin
cos
x
X
X
x
X
X
x
X
α
α
α
α
=
+
⎧
⎪ = −
+
⎨
⎪ =
⎩
...............................................................................................................................................................
Materialny gradient deformacji:
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
3,1
3,2
3,3
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
α
α
α
α
⎡
⎤
1
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
= −
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
F
Tensor deformacji Greena:
cos
sin
0
cos
sin
0
1 0 0
sin
cos
0
sin
cos
0
0 1 0
0
0
1
0
0
1
0 0
T
α
α
α
α
α
α
α
α
−
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
=
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
C F F
1
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Tensor odkształceń Lagrange – Greena
(
)
0 0 0
1
0 0 0
2
0 0 0
⎡
⎤
⎢
⎥
=
−
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
E
C I
Zerowy tensor odkształceń Lagrange – Greena świadczy o tym, że deformacja jest ruchem
sztywnym.
1
3
2
3
1
2
2
2
6
−
⎡
⎤
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
ε
2. Stan odkształcenia określony jest
tensorem
małych odkształceń
-
rozłożyć tensor odkształceń na część kulistą i dewiator
-
obliczyć niezmienniki tensora odkształceń oraz dewiatora
-
znaleźć odkształcenie podłużne w kierunku wektora
[
]
0 3 4
T
=
v
...............................................................................................................................................................
Część kulista tensora odkształceń:
8 8 8
3 3 3
ax
diag
⎛
⎞
=
⎜
⎝
⎠
ε
⎟
, dewiator
5
3
2
3
5
3
2
3
10
2
2
3
dev
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
ε
Niezmienniki tensora odkształceń:
( )
2
2
1
8,
4,
det
32
2
I
tr
II
tr
tr
III
⎡
⎤
=
=
=
−
=
=
= −
⎣
⎦
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Niezmienniki dewiatora odkształceń:
( ) (
)
2
2
1
76
448
0,
,
det
2
3
dev
dev
dev
dev
dev
dev
dev
I
tr
II
tr
tr
III
⎡
⎤
=
=
=
−
=
=
=
⎢
⎥
⎣
⎦
ε
ε
ε
ε
ε
ε
27
ε
Wektor jednostkowy zgodny z v:
(
)
1
0 3 4
5
T
=
n
Odkształcenie podłużne w kierunku wektora n:
(
)
1
3
2
0
1
5
0 3 4
3
1
2
3
2.28
25
25
2
2
6
4
T
ε
−
⎡
⎤ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎢
⎥
=
=
−
=
=
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦ ⎝ ⎠
n ε n
7
3. Tensor naprężenia w punkcie jest określony składowymi
7
0
2
0
5
0
2 0
4
−
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
σ
-
znaleźć wektor naprężenia działający w przekroju
o
normalnej
[
]
2
2 1
T
=
−
N
- podać bezpośredni wzór na obliczenie składowej normalnej
wektora naprężenia we wskazanym przekroju
...............................................................................................................................................................
Wektor jednostkowy zgodny z N:
[
1
2
2 1
3
T
=
−
n
]
Wektor naprężenia w przekroju o normalnej n:
4
7
0
2
2
1
1
0
5
0
2
3
3
2 0
4
1
0
⎛
⎞
−
⎡
⎤ ⎛
⎞ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
=
=
− = −
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
−
⎜
⎟
⎣
⎦ ⎝
⎠
⎝
⎠
t σn
0
Składowa normalna wektora t:
(
)
12
1
4
2
2 1
10
9
9
0
T
T
σ
⎛
⎞
⎜
⎟
=
=
=
−
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
n t n σn
4
4. Znając ogólną postać operatora Laplace’a w układzie biegunowym
( )
2
2
2
2
1
1
,
F
F
F r
r
r
r
r
ϕ
2
F
ϕ
∂
∂
∂
∆
=
+
+
∂
∂
∂
wyprowadzić równanie biharmoniczne w przypadku obrotowej symetrii w postaci rozwiniętej,
uporządkowanej względem malejących pochodnych funkcji F względem r.
...............................................................................................................................................................
STAN OBROTOWOSYMETRYCZNY:
( )
F
F r
=
(a) (b)
(c) (d)
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
1
1
,
ac
ad
bc
bd
F
F
F x x
I
I
I
I
r
r r
r
r
r
⎛
⎞⎛
⎞
∂ ⋅
∂ ⋅
∂
∂
∆ ∆
=
+
+
=
+
+
+
⎜
⎟⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠⎝
⎠
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
ac
ad
F
F
I
r
r
r
F
F
F
I
r
r r
r
r
r
r r
F
F
F
F
F
F
F
r r
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r r
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎛
⎞
∂
∂
∂ ∂
∂
⎛
⎞
=
=
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
−
+
=
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
3
1
2
lub korzystając ze wzoru na drugą pochodną iloczynu:
( )
( )
2
uv
uv
vu
uv
uv
u v
vu
′
′′
′
′
′′
′
=
−
=
+
+
′
′′
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
bc
bd
F
F
I
r r
r
r r
F
F
F
F
I
r r
r r
r
r
r
r r
r
r
r r
⎛
⎞
∂ ∂
∂
=
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎛
⎞
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
=
=
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
3
1
F
Stąd
( )
(
)
4
3
2
4
3
2
2
3
2
1
1
0
F
F
F
F
F r
r
r
r
r
r
r
r
∂
∂
∂
∂
∆ ∆
=
+
−
+
=
∂
∂
∂
∂
Jest to równanie różniczkowe z niewiadomą funkcją jednej zmiennej, a więc równanie
różniczkowe zwyczajne:
4
3
2
=
4
3
2
2
3
2
1
1
0
d F
d F
d F
dF
dr
r dr
r
dr
r dr
+
−
+
Z postaci równania różniczkowego liniowego o zmiennych współczynnikach można łatwo
przejść do postaci o stałych współczynnikach, dokonując podstawienia
t
t
r
e
dr
e dt
rdt
=
⇒
=
=
Stąd
4
3
4
1
1
t
dF
dF
dF
e
r dr
r
dt
dt
−
=
=
,
2
2
4
2
2
4
2
2
1
1
t
d F
d F
d F
e
r
dr
r
dt
dt
−
=
=
2
3
3
4
3
4
3
1
1
t
d F
d F
d F
e
r dr
r
dt
dt
−
=
=
3
3
,
4
4
4
4
4
4
1
t
d F
d F
d F
e
dr
r
dt
dt
−
=
=
4
4
Zatem równanie przyjmie postać:
4
3
2
4
3
2
2
0
d F
d F
d F
dF
dt
dt
dt
dt
+
−
+
=
DODATKOWO
P
σ
A
σ
B
2
2
P
2
P
2
5. Obliczyć podane naprężenia
σ
A
i
σ
B
we wskazanych punktach
klina prostokątnego
jak na rys.
.......................................................................
a
a
grubość
tarczy
równa g
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
I
A
P
P
a
ga
g
σ
π
π
⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
=
⋅
=
+
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
I
B
P
P
a
ga
g
σ
π
π
⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
=
⋅
=
+
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
I
B
A
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
II
A
P
P
a
ga
g
σ
π
π
⎛
⎞ ⎛
⎞
− −
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
⎝
⎠ ⎝
⎠
=
⋅
=
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
II
B
P
P
a
ga
g
σ
π
π
⎛
⎞
− −
⎜
⎟
⎝
⎠
=
⋅
=
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
B
A
II
Stąd
(
)
(
)
2
2
2
1
1
4
2.141
2
2
4
2
1
1
8
1.363
2
2
4
I
II
A
A
A
I
II
B
B
B
P
P
ga
ga
ga
P
P
ga
ga
ga
π
σ
σ
σ
π
π
π
σ
σ
σ
π
π
π
−
−
⎛
⎞
=
+
=
+
=
≅ −
⎜
⎟
+
−
−
⎝
⎠
⎛
⎞
=
+
=
−
=
≅
⎜
⎟
−
+
−
⎝
⎠
P
P
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
co rozw id 118235 Nieznany
inform r1 rozw id 288565 Nieznany
kol1 zad fiz rozw id 239168 Nieznany
a1 inform rozw id 289218 Nieznany (2)
HW7 rozw id 207377 Nieznany
GW PROJEKT Przyklad Rozw id 197 Nieznany
kol2 zad fiz rozw id 239188 Nieznany
5 rozw id 40747 Nieznany (2)
a1 inform rozw id 288563 Nieznany (2)
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
cisy z rozw i kryt id 117354 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
więcej podobnych podstron