Matematyka – wybrane zagadnienia

Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

Lista nr 3

Zadanie 1
Znaleźć obszary o stałym typie i sprawdzić w nich równania do postaci kanonicznej:

a)   u

xx

−

2cos x u

yx

−

3sin

2



x u

yy

−

yu

y

=

0

b)  

0

)

sin(

2

)

(

sin

2

2

=

+

−

yy

yx

xx

u

y

u

x

y

u

x

c)  

(

)

0

2

2

)

1

(

2

1

2

2

=

−

−

+

−

−

−

y

x

yy

yx

xx

yu

xu

u

y

xyu

u

x

d)  

(

)

0

2

2

2

2

2

=

−

−

+

−

+

x

x

yy

yx

xx

xu

xu

u

u

u

x

y

Zadanie 2

Znaleźć rozwiązanie równania z podanymi warunkami brzegowymi:

a)   u

xx



2u

yx

−

3u

yy

=

0    ,     u



x ,0



=

3x

2

, u

y



x ,0=0

b)   x

2

u

xx

−

2 xyu

yx

−

3y

2

u

yy

=

0

u



x ,1



=

ϕ

0



x



, u

y



x ,1=ϕ

0



x



c)  



1 x

2



u

xx

−



1 y

2



u

yy



xu

x

−

yu

y

=

0

u



x ,0



=

ϕ

0



x



, u

y



x ,0=ϕ

0



x



Zadanie 3
Stosując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć rozwiązania następujących zagadnień 

brzegowych:

a)   u

t

−

u

xx

=

0 , u

x



0,t =0 , u

x



1, t =0

b)   u

xx

−

4u

yy

=

0 , u x ,0=x , u

x



x ,0=0

Zadanie 4

Rozważmy równanie drgającej struny:

∂

2

u

∂

t

2

=

a

2

∂

2

u

∂

x

2

z warunkami:

∀

t≥0 u



0, t



=

u



l , t



=

0

∀

x ∈



0, l



u



x ,0



=

f



x



∀

x ∈



0, l



u

t



x ,0



=

g



x



Metodą Fouriera, co pokazano na wykładzie, otrzymuje się rozwiązanie o postaci:

u



x ,t



=

∑

n=1

∞

sin

nπ

l

x⋅



A

n

cos

anπ

l

tB

n

sin

anπ

l

t



 ,

gdzie stałe A

n

 oraz B

n

 określone są wzorami

A

n

=

2

l

∫

0

l

f  x sin

nπx

l

dx , n=1,2 ,.. ...

B

n

=

2

anπ

∫

0

l

g x sin

nπx

l

dx , n=1,2 , .... .

   .

Wykazać, że rozwiązanie to można przekształcić do postaci:

u x ,t =

1
2

[

f



xat





f



x−at



]



1

2a

∫

x−at

xat

g z dz

,

czyli do rozwiązania uzyskanego metodą d’Alemberta.

Zadanie 5
Znaleźć rozwiązanie u(x,y) równanie Poissona

Δu=1

w obszarze   D=

{



x , y



: x

2



y

2

≤

a

2

}

 , znikające na okręgu   x

2



y

2

≤

a

2

.

Wskazówka: Równanie zapisać we współrzędnych biegunowych.

Zadanie 6
Metodą rozdzielania zmiennych rozwiązać równanie Laplace’a

∂

2

u

∂

x

2



∂

2

u

∂

y

2

=

0

z warunkami początkowymi:

a)   u



x ,0



=

u x ,1=0 , u



0, y



=

sinπy , u



1, y



=

0

b)   u



x ,0



=

cos

π
2

x , u x ,1=0 , u



1, y



=

0 ,

∂

u



0. y



∂

x

=

0