5. Pole magnetyczne.

5.1. Indukcja pola magnetycznego, siła Lorentza.

F

r

B

r

q

⊕

P

vr

Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający się z
prędkością działa siła zakrzywiająca tor

vr

F

r

ładunku – jak na rysunku, to w punkcie P istnieje
indukcja magnetyczna

B

r

.

H

B

r

r

0

μ

=

gdzie

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

=

−

A

Tm

7

0

10

4

π

μ

)

(

B

v

q

F

r

r

r

×

=

0

0

=

⇒

=

F

v

r

r

0

=

⇒ F

B

v

r

r

r

)

,

sin( B

v

B

v

q

F

r

r

r

r

=

⇒

max

=

⇒

⊥

F

B

v

r

r

r

v

q

F

B

⋅

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

=

⋅

⋅

=

2

s

A

kg

s

m

s

A

N

T

5.2. Siła elektrodynamiczna.

{

3

2

1

r

r

r

r

r

r

B

pola

od

E

pola

od

B

v

q

E

q

F

×

+

⋅

=

(

Zał.

B

V

u

r

r

⊥

B

V

u

F

l

A

θ

u

V

ne

j

r

r

=

Siła działająca na 1 elektron

B

ne

j

e

F

=

'

skoro liczba elektronów w przewodniku o długości l jest
równa:

n

⋅

(A

⋅

l)

więc całkowita siła działająca na ten przewodnik:

B

l

i

F

A

i

AlB

n

Bj

nAl

F

r

r

r

×

=

⇒

=

=

jest to siła elektrodynamiczna.

5.3. Przykłady: efekt Halla.

)

(

B

V

e

E

e

F

u

r

r

r

r

×

+

=

siły się równoważą więc

B

eV

eE

u

=

d

V

u

– prędkość unoszenia F

L

– siła Lorentza

V

b

_ _ _ _

V

b

V

u

Θ e

h

V

u

i F

L

Θ e

E Θ

B

+ + + + V

a

+ + + + + + + +

+++++

B

V

a

U

ab

= V

a

- V

b

ponieważ

więc powstałe pole elektryczne

u

neV

j

=

B

ne

j

E

=

z pomiaru napięcia Halla U

ab

:

ne

B

d

h

i

h

U

E

ab

⋅

=

=

stąd

B

R

d

i

U

gdzie

H

ab

=

ne

R

H

1

=

jest stałą Halla

e/m – odkrycie elektronu – doświadczenie Thomsona (1897)

x = V

0

⋅

t

2

2

at

y

=

m

⋅

a =e

⋅

E

Tor elektronu:

2

2

0

2

)

(

x

mV

eE

x

y

=

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

y

e

Θ

V

0

E

ekran

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( )

B

V

e

E

e

F

r

r

r

r

×

+

⋅

=

tor elektronu bez pola B

pole

E odchyla w górę

pole

B odchyla w dół

xxxx B

E

wypadkowa siła F = 0

e

⋅

E = e

⋅

V

⋅

B

⇒

E = V

⋅

B

sposób pomiaru e/m :

1. pomiar odchylenia dla E = 0 i B = 0;

2. pomiar odchylenia dla danego E

⇒ wyznaczenie y;

3. przyłożenie pola B i sprowadzenie plamki do położenia pierwotnego (1).

jeżeli długości płytek odchylających x = l to

2

2

2mV

eEl

y

=

skoro

B

E

V

=

to

2

2

2

l

B

yE

m

e =

gdzie

d

U

E

=

(d – odległość między płytkami odchylającymi),

B – z eksperymentu

Wyniki: Thomson

m

e

= 1,7

⋅10

11

C/kg

obecnie

m

e

= 1,7589

⋅10

11

C/kg

cyklotron (ładunki krążące po orbitach)

siła Lorentza jest siłą dośrodkową

r

mV

qVB

2

=

X X X X

X X X X

X X X X

stąd

qB

mV

r

=

Skoro

m

qB

r

V =

=

ω

stąd

m

qB

π

π

ω

ν

2

2

=

=

jest to tzw. częstotliwość c

Jeżeli obserwuj

yklotronowa.

emy różne promienie torów dwóch cząstek r

1

2

> r , o jednakowych ładunkach i prędkościach gdzie

B

V

m

r

1

=

oraz

q

1

B

V

m

r

2

=

⇒ m > m

q

2

1

2

wykorzystanie

→ spektroskopia masowa..

Cyklotron – przyspiesza cząstki (1932 r)

do

dostrajamy generator napięcia zmiennego

częstotliwości cyklotronowej

m

qB

ν

=

energia cząstek zależy od prom

π

2

0

ienia R,

qB

prędkość cząstki

mV

R

=

m

qBR

V

=

energia kinetyczna

Wykorzystanie: - reakcje jądrowe

ki wysokich energii

⊕ X X X X
q V

B

X X X X

F

m

R

B

q

mV

E

k

2

2

2

2

2

2

=

=

- eksperymenty fizy

- promieniowanie synchrotronowe.

5.4. Prawo Ampera.

i,

Nieskończenie długi, cienk prostoliniowy przewodnik.

H

B

r

r

0

μ

=

∫

=

l

d

B

i

r

r

0

μ

- całkujemy po obwodzie okręgu

r

B

i

π

μ

2

0

⋅

=

I

B

r

i

⊗

r

dl

r

i

B

π

μ

2

0

=

r

i

H

π

2

=

W przypadku grubego pr

promieniu R, w którym płynie prąd o gęstości j.

łynie prąd i

0

zewodnika o

gdy r < R (wewnątrz przewodnika), to w tym obszarze p

r

i

0

R

2

0

i

i =

⇒

2

2

r

i

i

=

0

R

2

r

R

π

π

∫

⋅

=

⇒

l

d

μ

2

⋅

=

r

B

i

B

i

π

μ

0

0

0

0

r

r

2

2

0

2

R

r

r

i

B

π

μ

=

Stąd dla < R

r

r

R

i

B

2

0

2

π

μ

=

dla r = R

R

i

π

μ

2

0

B

=

r

i

B

π

μ

2

0

=

dla r > R

aksymalna wartość B dla

= R

B

~1/r

r = R

r

m

r

Dwa pr

Pole wytwarzane przez przewodnik a:

zewodniki z prądem.

d

i

B

a

a

π

μ

2

0

=

Siła działająca na przewodnik b:

d

a

b

b

π

2

i

li

μ

lB

i

F

a

b

0

=

=

Przewodniki się przyciągają – dla prądów zgodnych,

a odpychają dla prądów płynących w przeciwnych

kierunkach.

Przewodnik kołowy o promieniu R.

R

i

B

2

0

μ

=

B

R

Przekrój przez solenoid z rozsuniętymi zwojami

„Nieskończenie” długi solenoid.

∫

∫

∫

∫

∫

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

b

c

r

r

r

r

r

r

a

a

d

d

c

b

l

d

B

l

d

B

l

d

B

l

d

B

l

d

B

r

r

r

r

||

||

||

0

0

0

bo:

0

B =

da

ra

ujemy B

μ

0

(n

na jednostkę długości solenoidu), stąd

B =

μ

i n =

B

⊥ bc

B

⊥

h

a

b

z prawa Ampe :

b

a

l

B

i

|

0

⋅

μ

=

oznaczając długość odcinka ab = h otrzym

⋅

h =

i

gdzie i = i

0

n h

– liczba zwojów

0 0

l

0

0

l

– długość cewki.

N

i

μ

gdzie: N – liczba zwojów w cewce

c

d

5.5. Prawo Biota-Savarta.

i

dl

θ

r

⊗ dB

2

0

sin

4

r

dl

i

dB

θ

π

μ

⋅

=

3

0

4

r

r

l

d

i

B

d

r

r

r

×

=

π

μ

3

0

4

r

r

l

d

i

B

r

r

r

×

=

∫

+∞

∞

−

π

μ

Nieskończenie długi, prostoliniowy przewodnik.

dx

θ

x

r

R

⊗

i

∫

∫

∞

∞

−

⋅

=

2

0

sin

4

r

dx

i

dB

θ

π

μ

gdzie

2

2

R

x

r

+

=

sin

θ

= sin(

π

-

θ

) =

2

2

R

x

R

+

czyli

(

)

(

)

+∞

∞

−

∞

∞

−

+

=

+

⋅

=

∫

2

/

1

2

2

0

2

/

3

2

2

0

4

4

R

x

x

i

R

x

dx

R

i

B

π

μ

π

μ

ostatecznie

R

i

B

π

μ

2

0

=

Kołowy przewodnik z prądem.

Zauważmy że:

dl

©

R

r

dB

⊥

dB

α

X

dB

||

⊗

r

B

d

r

r

⊥

ze względu na symetrię

∑

=

⊥

0

dB

czyli

∫

=

||

dB

B

dB

||

= dB

⋅

cos

α

gdzie

2

2

cos

R

x

R

r

R

+

=

=

α

0

2

0

90

sin

4

⋅

=

dl

r

i

dB

π

μ

tak więc

(

)

∫

∫

+

=

=

dl

x

R

iR

dB

B

2

/

3

2

2

0

||

4

π

μ

ponieważ

więc

∫

= R

dl

π

2

(

)

2

/

3

2

2

2

0

2

x

R

iR

B

+

=

μ

w środku przewodnika kołowego – dla x = 0

R

i

R

iR

B

2

2

0

3

2

0

μ

μ

=

=

jeżeli x >> R to

3

2

0

2

x

iR

B

μ

=

3

1

~

x

B

⇒

pole

od

dipola

Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S =

π

R

2

to pole od cewki:

3

0

2

x

NiS

B

π

μ

=

⇒

3

0

2

x

B

m

μ

π

μ

=

gdzie

μ

m

jest magnetycznym momentem dipolowym

cewki o N-zwojach.

Analogia elektryczna:

(

)

2

/

3

2

2

0

2

4

1

r

a

aq

E

+

=

πε

⊕

a

a

E

r

Θ

r

przyjmując p = 2aq elektryczny moment dipolowy

dla r >> a

3

0

4

1

r

p

E

πε

=

3

1

~

r

E

⇒

Własności dipola

typ dipola

wzór

moment siły w polu

zewnętrznym

elektryczny

magnetyczny

E

p

r

r

r

×

=

τ

B

m

r

r

r

×

=

μ

τ

energia w polu

zewnętrznym

elektryczny

magnetyczny

E

p

U

r

r •

−

=

B

U

m

r

r •

−

=

μ

pole w odległych punktach

na osi dipola

elektryczny

magnetyczny

3

0

4

1

x

p

E

πε

=

3

0

2

x

B

m

μ

π

μ

=

5.6. Prawo indukcji Faraday’a.

ε

i

V

V

ε

i

dt

d

B

Φ

−

=

ε

Reguła Lenza.

Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywołała.

Skoro

R

i

⋅

=

ε

więc

dt

d

R

i

B

Φ

−

=

1

Dla N zwojów

dt

d

N

B

Φ

−

=

ε

Zasada zachowania energii w ujęciu prawa Faraday’a.

( )

{

BlV

dt

dx

Bl

Blx

dt

d

dt

d

B

B

−

=

−

=

−

=

Φ

−

=

Φ

ε

X X X X X

X X X X X

i

X X X X X

X X X X X

F

1

F

2

F

3

V

B

R

V

l

B

ilB

F

2

2

0

1

90

sin

=

⋅

=

gdzie R jest rezystancją ramki.

R

BlV

R

i

=

=

ε

moc zużyta na wysunięcie ramki z pola:

R

V

l

B

V

F

P

2

2

1

=

=

indukowany prąd wydzieli w obwodzie moc w postaci ciepła (tzw. ciepło Joule’a-Lenza):

R

V

l

B

R

BlV

R

i

P

2

2

2

2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

X X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

E

B

E

E

E

Zmienne pole B(t).

( )

E

t

B

r

r

⇒

E

e

F

r

r

⋅

=

W = ε

sem

e

oraz W = F

⋅

2

π

r

ε

sem

e = e

⋅

E

⋅

2

π

r

czyli

∫

⋅

=

l

d

E

sem

r

r

ε

∫

⋅

=

Φ

−

l

d

E

dt

d

B

r

r

5.7. Indukcyjność i samoindukcja.

Siła elektromotoryczna cewki o N zwojach:

dt

dN

B

Φ

−

=

ε

Indukcyjność

jest cechą cewki, tak jak pojemność jest cechą kondensatora. Indukcyjność definiujemy

jako:

i

N

L

B

Φ

=

jednostką jest henr:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

⋅

=

A

m

T

A

s

V

H

2

Stąd

dt

di

L

−

=

ε

czyli w cewce powstaje SEM jeśli płynie przez nią prąd zmienny. Jest

to zjawisko samoindukcji.

Oznaczając: l – długość cewki, A – pole powierzchni jednego z

możemy zapisać:

woju, N – ilość zwoi cewki

l

N

n

=

oraz

A

B

B

⋅

=

Φ

0

⋅Φ

B

= n

2

l

⋅

A

0

i

Skoro B =

μ

in

stąd N

μ

czyli

lA

n

N

L

B

2

μ

=

Φ

=

i

0

łe elektromotorycznej samoindukcji jest taki, że

.8. Obwód RL

ji 1.

Kierunek si

przeciwstawia się zmianom, które ją wytworzyły – np. gdy

natężenie prądu rośnie, to SEM samoindukcji ma kierunek

przeciwny do kierunku prądu.

5

Przełącznik w pozyc

i

dt

di

L

iR

+

=

ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

− t

L

R

e

R

t

i

1

)

(

ε

indukcyjna stała czasowa

R

L

=

τ

R

i

ε

63

,

0

=

⇒

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

=

− t

L

R

L

e

R

dt

d

L

dt

di

L

U

1

ε

t

L

R

L

e

U

−

⋅

=

ε

t

R

ε

U

ε

t

i

t

R

ε

Przełącznik w pozycji 2.

dt

di

L

iR

+

=

0

t

L

R

e

R

t

i

−

=

ε

)

(

t

L

R

L

e

dt

di

L

U

−

⋅

−

=

=

ε

U

t

-

ε

Podsumowanie cyklu: wył. w pozycji 1 – 2.

i

t

R

ε

U

ε

t

-

ε

5.9. Energia pola magnetycznego.

ε - SEM baterii, ε

L

– SEM samoindukcji.

x

y

z

ε

ε

L

Pomiędzy punktami x

→

y

potencjał maleje, prąd płynie od

y

→

z

, więc

ε

L

skierowana jest do góry czyli zmiana

potencjału jest równa

dt

di

L

L

−

=

ε

.

Równanie Kirchhoffa:

0

=

+

−

−

ε

dt

di

L

iR

dt

di

L

iR

+

=

ε

dt

di

Li

R

i

i

+

=

2

ε

moc

wydzielona

szybkość zmian

na

oporze

R

energii pola B

dt

di

Li

dt

dE

nB

=

∫

∫

=

⇒

=

2

2

Li

E

iLdi

dE

nB

nB

jest to energia pola B zgromadzona w cewce o indukcyjności L.

Gęstość energii w solenoidzie

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3

m

J

.

Solenoid o długości l, ilości zwoi N, polu przekroju S.

L =

μ

0

n

2

l S

gdzie

l

N

n

=

2

2

2

2

2

0

2

i

l

S

l

N

Li

E

nB

⋅

=

=

μ

gdzie S

⋅

l = V

- objętość cewki.

Stąd gęstość energii

2

2

2

0

i

n

V

E

nB

B

μ

ρ

=

=

pamiętając, że B =

μ

0

i n

otrzymujemy

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

3

0

2

2

m

J

B

B

μ

ρ

Jeżeli cewka wypełniona jest rdzeniem ferromagnetycznym

2

0

2

~

2

B

B

B

μμ

ρ

=

Do zapamiętania:

gęstość energii pola E:

2

2

0

E

E

εε

ρ

=

gęstość energii pola B:

0

2

2

μμ

ρ

B

B

=