Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 1 z 41 

Rozdział 1. 
 
1. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

 s

ą

 zdaniami w sensie logicznym: 

a)  Nauczyciel  nakazał  uczniom  zapyta

ć

  ich  rodziców,  czy  zechc

ą

  sfinansowa

ć

  wycieczk

ę

 

klasy nad morze. 

b)  Dlaczego odpisujesz wykłady od tego kolegi, o którym wiesz, 

ż

e notuje niestarannie. 

c)  Gdy prowadzony jest wykład z logiki niech nikt nie wchodzi na sal

ę

 wykładow

ą

. 

d)  Maria jutro b

ę

dzie zdawa

ć

 egzamin z prawa rzymskiego. 

e)  Niech Jan nie prosi kolegi o po

ż

yczk

ę

 pieni

ęż

n

ą

. 

f)  Studenci wielokrotnie dopytywali wykładowc

ę

 o pytania egzaminacyjne z logiki. 

 
2. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

 s

ą

 prawdziwe, a które fałszywe: 

a)  W swych „Kronikach” Jan Długosz wspomina o obronie Cz

ę

stochowy przed Szwedami. 

Fałszywe - Długosz umarł wcze

ś

niej, wiec zdanie jest fałszywe. 

b)  Istniej

ą

 tylko takie obiekty, o których nie da si

ę

 zaprzeczy

ć

, 

ż

e nie istniej

ą

. 

Fałszywe - Mo

ż

na stworzy

ć

 negacj

ę

 dowolnego zdania, wi

ę

c o ka

ż

dym obiekcie mo

ż

na zbudowa

ć

 

zdanie neguj

ą

ce jego istnienie, z zatem powy

ż

sze zdanie jest fałszywe. 

c)  Je

ż

eli ojcowie s

ą

 młodsi od swoich synów, to synowie s

ą

 starsi od swoich ojców. 

Prawdziwe. 

d)  Wielu Polaków nie wie, 

ż

e stolic

ą

 Szwajcarii jest Lozanna.  

Fałszywe. Jest to de facto implikacja dwóch zda

ń

 Wielu Polaków nie wie, 

ż

e stolic

ą

 Szwajcarii jest 

Lozanna i Lozanna jest stolica Szwajcarii. Skoro jedno jest fałszywe to cało

ść

 jest fałszywa. 

e)  (Niektórzy niscy studenci s

ą

 wy

ż

si od wyro

ś

ni

ę

tych przedszkolaków) wtedy i tylko wtedy, gdy (nie 

jest tak, 

ż

e syn 

ż

ony ojca Jana III Sobieskiego nie przegrał bitwy pod Wiedniem). 

Prawdziwe.  Opisuje  je  równowa

ż

no

ść

  p 

≡

  ~q.  p  –  to  zdanie  o  studentach,  q  –  to  zadanie  o 

Sobieskim. 

f)  Je

ż

eli  (jedna  cegła  wa

ż

y  1  kg  i  pół  cegły,  a  waga  półtorej  cegły  jest  mniejsza  od  dwukrotno

ś

ci 

wagi  jednej  cegły),  to  (połowa  wagi  dwóch  cegieł  jest  wi

ę

ksza  od  wagi  półtorej  cegły  lub  jedna 

cegła wa

ż

y 2 kg). 

Prawdziwe. Oddaje je implikacja pierwszego i drugiego zdania. 
 

3. Ustal, z jakich wyra

ż

e

ń

 rachunku zda

ń

 powstały nast

ę

puj

ą

ce zdania: 

a)  Nie jest tak, 

ż

e {je

ś

li (Piotr idzie na  wykład  wtedy  i tylko wtedy,  gdy  Piotr niesie  notatnik) to, [nie 

jest tak, 

ż

e (Piotr nie idzie na wykład)]}. 

 

~{(p 

≡

 q) 

→

 [~(~p)]}, gdzie p to zdanie Piotr idzie na wykład, a q to zdanie Piotr niesie notatki. 

 
b)  Antek wie, 

ż

e [Tomek my

ś

li, 

ż

e (Antek nie  zda egzaminu  z  logiki lub Antek nie  zda egzaminu  ze 

wst

ę

pu do prawoznawstwa)]. 

 

p, gdzie p to całe powy

ż

sze zdanie 

 

c)  (Pozna

ń

  le

ż

y  nad  Wisł

ą

  lub  Jarocin  le

ż

y  nad  Wisł

ą

)  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  (Jarocin  nie  jest 

miastem portowym). 
 
(p 

∨

  q) 

≡

  ~r,  gdzie  p  to  zdanie  Pozna

ń

  le

ż

y  nad  Wisł

ą

,  q  to  zdanie  Jarocin  le

ż

y  nad  Wisł

ą

,  

r to zdanie Jarocin jest miastem portowym. 

 
d)  [(Kasia  nie  spó

ź

nia  si

ę

  na  wykłady)  i  (Bronek  nie  spó

ź

nia  si

ę

  na  wykłady)],  a  (Zosia  nie  spó

ź

nia 

si

ę

 na wykłady wtedy i tylko wtedy, gdy Kasia spó

ź

nia si

ę

 na wykłady). 

 

[(~p) 

∧

  (~q  )] 

∧

  (~r 

≡

  p),  gdzie  p  to  zdanie  Kasia  spó

ź

nia  si

ę

  na  wykłady,  q  to  zdanie  Bronek 

spó

ź

nia si

ę

 na wykłady, z to zdanie Zosia spó

ź

nia si

ę

 na wykłady 

 
e)  [(Francja  jest  wi

ę

ksza  od  Belgii)  a  (Hiszpania  jest  mniejsza  od  Szwecji  lub  Szwecja  jest  równa 

Hiszpanii)], natomiast (Portugalia nie jest wi

ę

ksza od Grecji). 

 

[p 

∧

 (q 

∨

 r)] 

∧

 ~s, gdzie p to zdanie Francja jest wi

ę

ksza od Belgii, q to zdanie Hiszpania jest 

mniejsza  od  Szwecji,  r  to  zdanie  Szwecja  jest  równa  Hiszpanii,  s  to  zdanie  Portugalia  jest 
wi

ę

ksza od Grecji. 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 2 z 41 

 

f)  (Ka

ż

dy uniwersytet jest szkoł

ą

 wy

ż

sz

ą

, o czym wie ka

ż

dy student), a (

ż

adna spółka jawna nie ma 

osobowo

ś

ci prawnej, o czym wiedz

ą

 tylko niektórzy prawnicy). 

 
p 

∧

  q,  gdzie  p  to  zdanie  Ka

ż

dy  uniwersytet  jest  szkoł

ą

  wy

ż

sz

ą

,  o  czym  wie  ka

ż

dy  student,  

q to zdanie 

ż

adna spółka jawna nie ma osobowo

ś

ci prawnej, o czym wiedz

ą

 tylko niektórzy 

prawnicy. 

 
4. Wska

ż

, które z podanych ni

ż

ej sekwencji s

ą

 wyra

ż

eniami rachunku zda

ń

:  

a) (q 

∧

 r) 

≡

 [(~ p 

→

 q) 

∧

 (p 

∨

 

∨

 r)] 

b) ~ ~ ~ ~ p 

→

 

→

 

→

 

→

 q 

c) (r 

≡

 ~ r) 

≡

 [(~ q 

≡

 q) 

≡

 (p 

≡

 ~ p)] 

d) Marian wie, 

ż

e [(p 

∨

 ~ q) 

≡

 (~ p 

→

 q)] 

e) [(p 

→

 r) 

∨∨∨∨

 ~ (q 

∧∧∧∧

 ~ p)] 

∨∨∨∨

 ~ [(~ s 

→

 q) 

≡

 (t 

∧∧∧∧

 s)] 

f) (p 

∧

 q 

∧

 r) = (p 

∧

 q 

∧

 r) 

 
5. Wyka

ż

, 

ż

e nast

ę

puj

ą

ce sekwencje s

ą

 wyra

ż

eniami rachunku zda

ń

: 

a)  p 

∨

 ~ p 

 

1. p 
2. ~p 
3. p 

∨

 ~ p 

 

b)  (q 

≡

 p) 

∧

 (~ p 

→

 ~ q) 

 

1. p, q 
2. ~p, ~q 
3. q 

≡

 p, ~ p 

→

 ~ q 

3. (q 

≡

 p) 

∧

 (~ p 

→

 ~ q) 

 

c)  [(~ p 

∧

 q) 

∧

 ~ q] 

∨

 [q 

∧

 (~ p 

∧

 q)] 

 
1. p, q 
2. ~p, ~q 
3. ~ p 

∧

 q 

3.  (~ p 

∧

 q) 

∧

 ~ q, q 

∧

 (~ p 

∧

 q) 

3. [(~ p 

∧

 q) 

∧

 ~ q] 

∨

 [q 

∧

 (~ p 

∧

 q)] 

 

d)  ~ {[(p 

→

 ~ q) 

≡

 p] 

∧

 [~ (~ q 

∨

 p) 

≡

 q]} 

 

1. p, q 
2. ~q 
3. p 

→

 ~ q, ~ q 

∨

 p 

2. ~(~ q 

∨

 p) 

3. (p 

→

 ~ q) 

≡

 p, ~(~ q 

∨

 p) 

≡

 q 

3. [(p 

→

 ~ q) 

≡

 p] 

∧

 [~ (~ q 

∨

 p) 

≡

 q] 

2. ~ {[(p 

→

 ~ q) 

≡

 p] 

∧

 [~ (~ q 

∨

 p) 

≡

 q]} 

 

e)  [p 

→

 (q 

→

 r)] 

→

 [~ r 

→

 (~ q 

→

 ~ p)]  

 

1. p, q, r 
2. ~p, ~q, ~r 
3. q 

→

 r, ~ q 

→

 ~ p 

3. p 

→

 (q 

→

 r), ~ r 

→

 (~ q 

→

 ~ p) 

3. [p 

→

 (q 

→

 r)] 

→

 [~ r 

→

 (~ q 

→

 ~ p)]  

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 3 z 41 

f)  {r 

∧

 ~ [(p 

→

 ~ q) 

∨

 ~ (~ r 

≡

 p)]} 

∨

 ~ p 

 

1. p, q, r 
2. ~p, ~q, ~r 
3. p 

→

 ~ q, ~ r 

≡

 p 

2. ~ (~ r 

≡

 p) 

3. (p 

→

 ~ q) 

∨

 ~ (~ r 

≡

 p) 

2. ~[(p 

→

 ~ q) 

∨

 ~ (~ r 

≡

 p)] 

3. r 

∧

 ~ [(p 

→

 ~ q) 

∨

 ~ (~ r 

≡

 p)] 

3. {r 

∧

 ~ [(p 

→

 ~ q) 

∨

 ~ (~ r 

≡

 p)]} 

∨

 ~ p 

 
6. Sprawd

ź

 metod

ą

 0-1, które z nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

 s

ą

 tezami rachunku zda

ń

: 

a) (~ p 

→

 ~ q) 

→

 (q 

→

 p) 

 

p 

q 

~p 

~q 

~ p 

→

 ~ q 

q 

→

 p 

(~ p 

→

 ~ q) 

→

 (q 

→

 p) 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

 
b) [q 

∨

 (p 

→

 r)] 

≡

 [~ r 

≡

 (p 

→

 ~ q)] 

 

p 

q 

r 

~q 

~r 

p 

→

 r 

p 

→

 ~ q 

q 

∨

 (p 

→

 r) 

~ r 

≡

 (p 

→

 ~ q) 

[q 

∨

 (p 

→

 r)] 

≡

 [~ r 

≡

 (p 

→

 ~ q)] 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

 
c) [(~ r 

∨

 ~ p) 

→

 (q 

≡

 r)] 

∧

 (p 

∨

 q) 

 

p 

q 

r 

~p 

~r 

~ r 

∨

 ~ p 

q 

≡

 r 

(~ r 

∨

 ~ p) 

→

 (q 

≡

 r) 

p 

∨

 q 

[(~ r 

∨

 ~ p) 

→

 (q 

≡

 r)] 

∧

 (p 

∨

 q) 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

 
d) [(r 

≡

 q) 

∧

 (~ q 

→

 p)] 

∨

 [(p 

∧

 ~ q) 

→

 (p 

∨

 r)] 

 

p 

q 

r 

~q 

r 

≡

 q  ~ q 

→

 p  (r 

≡

 q) 

∧

 (~ q 

→

 p)  p 

∧

 ~ q  p 

∨

 r  (p 

∧

 ~ q) 

→

 (p 

∨

 r) 

cało

ść

 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 4 z 41 

e) [(q 

∧

 ~ p) 

→

 r] 

≡

 ~ [(p 

∨

 r) 

∧

 ~ (r 

≡

 q)] 

 

p 

q 

r 

~p 

q 

∧ 

~ p 

(q 

∧

 ~ p) 

→

 r 

(p 

∨

 r) 

r 

≡

 q 

~ (r 

≡

 q) 

(p 

∨

 r) 

∧

 ~ (r 

≡

 q) 

~ [(p 

∨

 r) 

∧ 

~ (r 

≡

 q)] 

cało

ść

 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

 
 
f) [(p 

∨

 q) 

≡

 ~ (r 

∧

 ~ s)] 

→

 [(~ p 

≡

 q) 

∨

 s] 

 

p 

q 

r 

s 

~p 

~s 

p 

∨

 q 

r 

∧

 ~ s 

~ (r 

∧

 ~ s) 

(p 

∨

 q) 

≡

 ~ (r 

∧

 ~ s) 

~ p 

≡

 q 

(~ p 

≡

 q) 

∨

 s 

cało

ść

 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

 
7. Wyprowad

ź

 z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

 reguły podstawiania: 

a)  

1.  (q 

∨

 r) 

∨

 ~ (q 

∧

 r),  

2.  (p 

→

 q) 

→

 [(q 

≡

 p) 

∨

 (~ p 

≡

 q)], 

3.  [~ p 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 q],  

4.  ~ [(q 

≡

 ~ p) 

∧

 ~ (q 

≡

 ~ p)], 

5.  (r 

∧

 p) 

≡

 ~ (~ r 

∨

 ~ p),  

6.  (p 

∨

 q 

∨

 r) 

→

 (r 

∨

 p 

∨

 q) 

b)  

1.  {[~ r 

≡

 (q 

∧

 p)] 

∨

 r} 

∨

 ~ {[~ r = (q 

∧

 p)] 

∧

 r},  

2.  (q 

∨

 r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 q 

∨

 r), 

3.  ~ {[(r 

∨

 s) 

≡

 ~ (r 

→

 s) 

∧

 ~ [(r 

∨

 s) 

≡

 ~ (r 

→

 s)]}, 

4.  [(p 

→

 q) 

∧

 (r 

∨

 q)] 

≡

 ~ [~ (p 

→

 q) 

∨

 ~ (r 

∨

 q)],  

5.  (r 

→

 r) 

→

 [(r 

≡

 r) 

∨

 (~ r 

≡

 r)], 

6.  [~ (s 

→

 r) 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 (q 

∧

 ~ s)]  

 
odp. 1 (b1) 
 

1)  (q 

∨

 r) 

∨

 ~ (q 

∧

 r) 

 

2)  {[~ r 

≡

 (q 

∧∧∧∧

 p)] 

∨

 r} 

∨

 ~ {[~ r = (q 

∧∧∧∧

 p)] 

∧

 r} 

1, q / ~r 

≡

 (q 

∧

 p) 

 

{[~ r 

≡

 (q 

∧

 p)] 

∨

 r} 

∨

 ~ {[~ r = (q 

∧

 p)] 

∧

 r}  

 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 5 z 41 

 
odp. 2 (b5) 
 

1)  (p 

→

 q) 

→

 [(q 

≡

 p) 

∨

 (~ p 

≡

 q)] 

 

2)  (r 

→

 q) 

→

 [(q 

≡

 r) 

∨

 (~ r 

≡

 q)] 

1, p / r 

3)  (r 

→

 r) 

→

 [(r 

≡

 r) 

∨

 (~ r 

≡

 r)] 

2, q / r 

 

(r 

→

 r) 

→

 [(r 

≡

 r) 

∨

 (~ r 

≡

 r)] 

 

 
odp. 3 (b6) 
 

1)  [~ p 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 q] 

 

2)  [~(s 

→

 r) 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 q] 

1, p / s 

→

 r 

3)  [~(s 

→

 r) 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 (q 

∧∧∧∧

 ~ s)] 

2, q / q 

∧

 ~ s 

 

[~ (s 

→

 r) 

∨

 (r 

≡

 r)] 

∧

 [(~ r 

≡

 ~ r) 

∨

 (q 

∧

 ~ s)] 

 

 
odp. 4 (b3) 
 

1)  ~ [(q 

≡

 ~ p) 

∧

 ~ (q 

≡

 ~ p)] 

 

2)  ~ {[(r 

∨∨∨∨

 s) 

≡

 ~ p] 

∧

 ~ (q 

≡

 ~ p)} 

1, q / r 

∨

 s 

3)  ~ {[(r 

∨

 s) 

≡

 ~ (r 

→

 s)] 

∧

 ~ [q 

≡

 ~ ((r 

→

 s)]} 

2, p / r 

→

 s 

 

~ {[(r 

∨

 s) 

≡

 ~ (r 

→

 s) 

∧

 ~ [(r 

∨

 s) 

≡

 ~ (r 

→

 s)]} 

 

 
odp. 5 (b4) 
 

1)  (r 

∧

 p) 

≡

 ~ (~ r 

∨

 ~ p) 

 

2)  (s 

∧

 p) 

≡

 ~ (~ s 

∨

 ~ p) 

1, r / s 

3)  [s 

∧

 (r 

∨∨∨∨

 q)] 

≡

 ~ [~ s 

∨

 ~ (r 

∨∨∨∨

 q)] 

2, p / r 

∨

 q 

4)  [(p 

→

 q) 

∧

 (r 

∨

 q)] 

≡

 ~ [~ (p 

→

 q) 

∨

 ~ (r 

∨

 q)] 

3, s / p 

→

 q 

 

[(p 

→

 q) 

∧

 (r 

∨

 q)] 

≡

 ~ [~ (p 

→

 q) 

∨

 ~ (r 

∨

 q)] 

 

 
odp. 6 (b2) 
 

1)  (p 

∨

 q 

∨

 r) 

→

 (r 

∨

 p 

∨

 q) 

 

2)  (s 

∨

 q 

∨

 r) 

→

 (r 

∨

 s 

∨

 q) 

1, p / s 

3)  (s 

∨

 q 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 s 

∨

 q) 

2, r / p 

4)  (s 

∨

 r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 s 

∨

 r) 

3, q / r 

5)  (q 

∨

 r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 q 

∨

 r) 

4, s / q 

 

(q 

∨

 r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 q 

∨

 r) 

 

 
8. Wyprowad

ź

 z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

 reguły odrywania:  

a)  

1.  (q 

≡

 q) 

→

 ~ (~ p 

∧

 p),  

2.  (r 

∨

 ~ r) 

→

 {(r 

∨

 ~ r) 

→

 [q 

→

 (p 

∨

 q)]},  

3.  (q 

≡

 q), 

4.  (p 

∧

 ~ q) 

→

 p,  

5.  (p 

→

 p) 

→

 {(r 

∨

 ~ r) 

→

 [~ (~ p 

∧

 p) 

→

 (~ q 

∨

 q)]}, 

6.  [(p 

∧

 ~ q) 

→

 p] 

→

 (r 

∨

 ~ r),  

7.  [q 

→

 (p 

∨

 q)] 

→

 {[(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)] 

→

 (p 

→

 p)}, 

8.  ~ (~ p 

∧

 p) 

→

 {(q 

≡

 q) 

→

 [(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)]}, 

b)  

1.  ~ (~ p 

∧

 p),  

2.  (r 

∨

 ~ r),  

3.  (p 

→

 p),  

4.  ~ q 

∨

 q,  

5.  (~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r),  

6.  q 

→

 (p 

∨

 q) 

 
 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 6 z 41 

odp.  Uwaga! Od 9 tezy kolejno

ść

 na 

ć

wiczeniach mo

ż

e by

ć

 inna, chodzi o pokazanie metody. 

Podkre

ś

lone zostały tezy z grupy b. 

 

1)  (q 

≡

 q) 

→

 ~ (~ p 

∧

 p) 

 

2)  (r 

∨

 ~ r) 

→

 {(r 

∨

 ~ r) 

→

 [q 

→

 (p 

∨

 q)]} 

 

3)  (q 

≡

 q) 

 

4)  (p 

∧

 ~ q) 

→

 p 

 

5)  (p 

→

 p) 

→

 {(r 

∨

 ~ r) 

→

 [~ (~ p 

∧

 p) 

→

 (~ q 

∨

 q)]} 

 

6)  [(p 

∧

 ~ q) 

→

 p] 

→

 (r 

∨

 ~ r) 

 

7)  [q 

→

 (p 

∨

 q)] 

→

 {[(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)] 

→

 (p 

→

 p) 

 

8)  ~ (~ p 

∧

 p) 

→

 {(q 

≡

 q) 

→

 [(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)]} 

 

9)  (r 

∨

 ~ r) 

Od, 6, 4 

10)  ~ (~ p 

∧

 p) 

Od, 11, 3 

11)  {(q 

≡

 q) 

→

 [(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)]} 

Od, 8,10 

12)  (~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r) 

Od, 11, 3 

13)  (r 

∨

 ~ r) 

→

 [q 

→

 (p 

∨

 q)] 

Od, 2, 9 

14)  q 

→

 (p 

∨

 q) 

Od, 13, 9 

15)  [(~ r 

∧

 q) 

≡

 (q 

∧

 ~ r)] 

→

 (p 

→

 p) 

Od, 7, 14 

16)  (p 

→

 p) 

Od, 15, 12 

17)  (r 

∨

 ~ r) 

→

 [~ (~ p 

∧

 p) 

→

 (~ q 

∨

 q)] 

Od, 5, 16 

18)  ~ (~ p 

∧

 p) 

→

 (~ q 

∨

 q) 

Od, 17, 9 

19)  ~ q 

∨

 q 

Od, 18, 10 

 
9. Wyprowad

ź

 z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

 reguły zast

ę

powania: 

a)  

a.  (q 

≡

 ~ q) 

→

 (~ p 

→

 q),  

b.  ~ (r 

→

 ~ p) 

∨

 (p 

→

 ~ r),  

c.  ~ (r 

→

 ~ q) 

→

 (~ q 

→

 r), 

d.  ~ [ ~ (p 

→

 ~ q) 

∧

 (~ q 

∧

 p)],  

e.  (p 

∨

 r) 

≡

 (r 

∨

 p), 

f. 

~ {[~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)] 

→

 [~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

b)  

1.  (r 

∧

 q) 

→

 (q 

∨

 r),  

2.  (r 

∧

 p) 

∨

 (p 

→

 ~ r),  

3.  (q 

≡

 ~ q) 

→

 (p 

∨

 q),  

4.  (p 

∧

 q) 

≡

 (p 

∧

 q), 

5.  ~ [(p 

∧

 q) 

∧

 ~ (~ q 

→

 ~ p)],  

6.  ~ {[(p 

∨

 r) 

→

 (r 

∨

 p) 

→

 ~ [(r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 r)]} 

 
(D1)  

C

٨

D =

df

 ~(C

→

 ~D) 

(D2) 

C

٧D =

df

 ~C

→

 D 

(D3) 

C

≡

D =

df

 ~[(C

→

 D) 

→

 ~(D 

→

 C)] 

 
odp. a (b3) 
 

1)  (q 

≡

 ~ q) 

→

 (~ p 

→

 q) 

 

2)  (q 

≡

 ~ q) 

→

 (p 

∨∨∨∨

 q) 

1, D2 

  (q 

≡

 ~ q) 

→

 (p 

∨

 q) 

 

 
odp. b (b2) 
 

1)  ~ (r 

→

 ~ p) 

∨

 (p 

→

 ~ r) 

 

2)  (r 

∧∧∧∧

 p) 

∨

 (p 

→

 ~ r) 

1, D1 

  (r 

∧

 p) 

∨

 (p 

→

 ~ r) 

 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 7 z 41 

odp. c (b1) 
 

1)  ~ (r 

→

 ~ q) 

→

 (~ q 

→

 r) 

 

2)  (r 

∧∧∧∧

 q) 

→

 (~ q 

→

 r) 

1, D1 

3)  (r 

∧

 q) 

→

 (q 

∨∨∨∨

 r) 

2, D2 

  (r 

∧

 q) 

→

 (q 

∨

 r) 

 

 
odp. d (b5) 
 

1)  ~ [ ~ (p 

→

 ~ q) 

∧

 (~ q 

∧

 p)] 

 

2)  ~ [(p 

∧∧∧∧

 q) 

∧

 (~ q 

∧

 p)] 

1, D1 

3)  ~ [(p 

∧

 q) 

∧

 ~ (~ q 

→

 ~ p)] 

2, D1 

  ~ [(p 

∧

 q) 

∧

 ~ (~ q 

→

 ~ p)] 

 

 
odp. e (b6) 
 

1)  (p 

∨

 r) 

≡

 (r 

∨

 p) 

 

2)  ~ {[(p 

∨∨∨∨

 r) 

→

 (r 

∨∨∨∨

 p) 

→

 ~ [(r 

∨∨∨∨

 p) 

→

 (p 

∨∨∨∨

 r)]} 

1, D3 

  ~ {[(p 

∨

 r) 

→

 (r 

∨

 p) 

→

 ~ [(r 

∨

 p) 

→

 (p 

∨

 r)]} 

 

 
odp. f (b4)  
 
wariant preferowany przez profesora 
 

1)  ~ {[~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)] 

→

 ~ [~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

 

2)  ~ {[(p 

∨∨∨∨

 q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)] 

→

 ~ [~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

1, D1 

3)  ~ {[(p 

∨

 q) 

→

 (p 

∨∨∨∨

 q)] 

→

 ~ [~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

2, D1 

4)  ~ {[(p 

∨

 q) 

→

 (p 

∨

 q)] 

→

 ~ [(p 

∨∨∨∨

 q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

3, D1 

5)  ~ {[(p 

∨

 q) 

→

 (p 

∨

 q)] 

→

 ~ [(p 

∨

 q) 

→

 (p 

∨∨∨∨

 q)]} 

4, D1 

6)  ~ (p 

→

 ~ q) 

≡

 ~ (p 

→

 ~ q) 

5, D3 

  ~ (p 

→

 ~ q) 

≡

 ~ (p 

→

 ~ q) 

 

 
drugi wariant 
 

1)  ~ {[~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)] 

→

 ~ [~ (p 

→

 ~ q) 

→

 ~ (p 

→

 ~ q)]} 

 

2)  ~ (p 

→

 ~ q) 

≡

 ~ (p 

→

 ~ q) 

1, D3 

3)  (p 

∧∧∧∧

 q) 

≡

 (p 

∧∧∧∧

 q) 

2, D1 

  (p 

∧

 q) 

≡

 (p 

∧

 q) 

 

 
10. Spróbuj udowodni

ć

 nast

ę

puj

ą

ce tezy: 

a)  (q 

∨

  r) 

→

  [~  (~  q 

→

  r) 

→

  q]  (wykorzystaj  aksjomat  3,  zastosuj  reguł

ę

  podstawiania,  a  nast

ę

pnie 

reguł

ę

 zast

ę

powania - definicje 2), 

b)  [(r 

∧

  q) 

→

  (r 

→

  ~  q)] 

→

  (r 

→

  ~  q)  (wykorzystaj  aksjomat  2,  zastosuj  reguł

ę

  podstawiania,  a 

nast

ę

pnie reguł

ę

 zast

ę

powania - definicj

ę

 1), 

c)  [p 

→

  (~  p 

→

  q)] 

∨

  q  (wykorzystaj  udowodnion

ą

  ju

ż

  tez

ę

  1  z  punktu  9  (tego  rozdziału),  zastosuj 

reguł

ę

  podstawiania,  a  nast

ę

pnie  do  tego,  co  otrzymałe

ś

  i  do  aksjomatu  3  zastosuj  reguł

ę

 

odrywania), 

d)  [(p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p) 

∨

 (p 

≡

 q) (wykorzystaj udowodnion

ą

 ju

ż

 tez

ę

 8 z punktu 9 (tego rozdziału), 

zastosuj reguł

ę

 podstawiania, a nast

ę

pnie reguł

ę

 zast

ę

powania - definicj

ę

 3), 

e)  (p 

∨

  ~  p) 

∨

  q  (wykorzystaj  aksjomat  3,  zastosuj  reguł

ę

  podstawiania,  nast

ę

pnie  zastosuj  reguł

ę

 

odrywania odrywaj

ą

c od tego, co otrzymałe

ś

 udowodnion

ą

 ju

ż

 tez

ę

 8 z punktu 9 (tego rozdziału), 

na zako

ń

czenie zastosuj reguł

ę

 zast

ę

powania definicyjnego - definicj

ę

 2), 

f)  [(p 

∨

  q) 

→

  (p 

∧

  q)] 

→

  [p 

→

  (p 

∧

  q)]  (wykorzystaj  aksjomat  1,  zastosuj  reguł

ę

  podstawiania, 

nast

ę

pnie zastosuj reguł

ę

 odrywania i od tego, co otrzymałe

ś

 poprzednio oderwij udowodnion

ą

 ju

ż

 

tez

ę

 1 z punktu 9 (tego rozdziału), na zako

ń

czenie zastosuj ponownie reguł

ę

 podstawiania).  

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 8 z 41 

 

(A1)  

(p

→

 q) 

→

 [(q

→

 r)

→

 (p

→

 r)] 

(A2)  

(~p 

→

 p) 

→

 p 

(A3)  

p

→

 (~p 

→

 q) 

(D1)  

C

٨

D =

df

 ~(C

→

 ~D) 

(D2) 

C

٧D =

df

 ~C

→

 D 

(D3) 

C

≡

D =

df

 ~[(C

→

 D) 

→

 ~(D 

→

 C)] 

 
ad. a 
 

(q 

∨∨∨∨

 r) 

→

 [~ (~ q 

→

 r) 

→

 q] 

 

A3  p

→

 (~p 

→

 q) 

 

1)  (q 

∨∨∨∨

 r) 

→

 [~(q 

∨∨∨∨

 r) 

→

 q] 

A3, p / q 

∨

 r 

2)  (q 

∨

 r) 

→

 [~(~ q 

→

 r) 

→

 q]  

1, D2 

 
 
ad. b 
 

[(r 

∧∧∧∧

 q) 

→

 (r 

→

 ~ q)] 

→

 (r 

→

 ~ q) 

 
A2  (~p 

→

 p) 

→

 p 

 

1)  [~ (r 

→

 ~q) 

→

 (r 

→

 ~q)] 

→

 (r 

→

 ~q) 

A2, p / r 

→

 ~q 

2)  [(r 

∧∧∧∧

 q) 

→

 (r 

→

 ~ q)] 

→

 (r 

→

 ~ q)  

1, D1 

 
 
ad. c 
 

[p 

→

 (~ p 

→

 q)] 

∨∨∨∨

 q 

 

1

9

)  p 

→

 (p 

∨

 q) 

 

2)  p 

→

 (~ p 

→

 q) 

→

 {[p 

→

 (~ p 

→

 q)] 

∨

 q} 

1

9

, p / p 

→

 (~ p 

→

 q) 

A3  p

→

 (~p 

→

 q) 

 

3)  [p 

→

 (~ p 

→

 q)] 

∨

 q 

Od, 2, A3 

 
 
ad. d  
 

[(p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p)] 

∨∨∨∨

 (p 

≡

 q) 

 

8

9

  p 

∨

 ~p 

 

1)  [(p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p)] 

∨

 ~[(p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p)]  

8

9

, p / (p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p) 

2)  [(p 

→

 q) 

→

 ~ (q 

→

 p)] 

∨

 (p 

≡

 q) 

1, D3 

 
 
ad. e  
 

(p 

∨∨∨∨

 ~ p) 

∨∨∨∨

 q 

 

A3  p 

→

 (~p 

→

 q) 

 

1)  (p 

∨∨∨∨

 ~p) 

→

 [~(p 

∨∨∨∨

 ~p) 

→

 q] 

A3, p / (p 

∨

 ~p) 

8

9

)  (p 

∨

 ~p)  

 

2)  [~(p 

∨

 ~p)] 

→

 q 

Od, 1, 8

9

 

3)  (p 

∨

 ~ p) 

∨

 q 

2, D2 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 9 z 41 

ad. f 
 

[(p 

∨∨∨∨

 q) 

→

 (p 

∧∧∧∧

 q)] 

→

 [p 

→

 (p 

∧∧∧∧

 q)] 

 

A1  (p

→

 q) 

→

 [(q

→

 r)

→

 (p

→

 r)] 

 

2)  [p

→

 (p 

∨∨∨∨

 q)] 

→

 {[(p 

∨∨∨∨

 q)

→

 r]

→

 (p

→

 r)} 

A1, q / p 

∨

 q 

1

9

)  p 

→

 (p 

∨

 q) 

 

3)  [(p 

∨

 q)

→

 r]

→

 (p

→

 r) 

Od, 1, 2

9

 

4)  [(p 

∨

 q) 

→

 (p 

∧∧∧∧

 q)] 

→

 [p 

→

 (p 

∧∧∧∧

 q)] 

3, r / p 

∧

 q  

 

 
Rozdział 2. 
 
1.  Wymie

ń

  wszystkie  terminy  jednostkowe  wyst

ę

puj

ą

ce  w  poni

ż

szych  zdaniach.  Oddziel  imiona 

własne od deskrypcji: 
a.  Ojciec Władysława Mickiewicza był najwybitniejszym polskim poet

ą

 romantycznym, 

b.  Zwłoki Bolesława Chrobrego spoczywaj

ą

 w Katedrze Pozna

ń

skiej, 

c.  Główny budowniczy Kanału Sueskiego wiedział, 

ż

e 2 + 3 = 5, 

d.  Irek słyszał jak jego matka chrzestna mówiła, 

ż

e Rysiek studiuje na wydziale prawa Uniwersytetu 

im. Adama Mickiewicza,  

e.  Najwybitniejszy logik staro

ż

ytno

ś

ci nauczał w najbardziej demokratycznym mie

ś

cie Grecji, 

f. 

Ta,  która  urodziła  t

ę

,  która  urodziła  t

ę

,  która  urodziła  t

ę

,  która  urodziła  tego,  który  jako  pierwszy 

człowiek  stan

ą

ł  na  Ksi

ęż

ycu  nie  znała  tego,  który  był  ojcem  tego,  który  był  ojcem  tego,  który  był 

ojcem tego, który odkrył Ameryk

ę

. 

 
2. Wymie

ń

 wszystkie funktory wyst

ę

puj

ą

ce w poni

ż

szych zdaniach. Podaj argumenty ka

ż

dego z tych 

funktorów. 
a)  M

ąż

 Krystyny jest wiceprezesem do spraw handlu najpr

ęż

niejszej spółdzielni w Wielkopolsce. 

 
funktor 

argument 

m

ąż

 

Krystyna 

wiceprezes do spraw handlu 

najpr

ęż

niejsza spółdzielnia w Wielkopolsce 

najpr

ęż

niejsza spółdzielnia 

Wielkopolska 

 

b)  4 + (-37) = 4

3 

/ 8 – log

10 

1000 

 
funktor 

argument 

+ 

4, -37 

- 

37 

- 

4

3 

/ 8, log

10 

1000 

/ 

4

3

, 8 

ukryte pot

ę

gowanie 

4, 3 

log 

10, 1000 

 
c)  Cena  najdro

ż

szego  biletu  na  premierowe  przedstawienie  „Halki”  w  Operze  Pozna

ń

skiej  była 

równa 

ć

wierci  ceny  wywoławczej  jedynego  egzemplarza  pierwszego  numeru  „Głosu 

Wielkopolskiego” na aukcji zorganizowanej po raz drugi przez Michała. 
 
funktor 

argument 

cena 

najdro

ż

szy  bilet  na  premierowe  przedstawienie 

„Halki” w Operze Pozna

ń

skiej 

najdro

ż

szy bilet 

premierowe  przedstawienie  „Halki”  w  Operze 
Pozna

ń

skiej 

premierowe przedstawienie 

„Halki” w Operze Pozna

ń

skiej 

ć

wierci 

ceny 

wywoławczej 

jedynego 

egzemplarza 

pierwszego numeru „Głosu Wielkopolskiego” na 
aukcji  zorganizowanej  po  raz  drugi  przez 
Michała 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 10 z 41 

ceny wywoławczej 

jedynego  egzemplarza  pierwszego  numeru 
„Głosu Wielkopolskiego” 

jedynego egzemplarza 

pierwszego numeru „Głosu Wielkopolskiego” 

pierwszego numeru 

„Głosu Wielkopolskiego” 

aukcji zorganizowanej po raz drugi przez 

Michała 

 

d)  Siła grawitacji mi

ę

dzy Sło

ń

cem a Ziemi

ą

 jest wprost proporcjonalna do sumy masy Sło

ń

ca i masy 

Ziemi, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległo

ś

ci mi

ę

dzy Sło

ń

cem a Ziemi

ą

. 

 

funktor 

argument 

siła grawitacji mi

ę

dzy 

Sło

ń

ce, Ziemia 

suma mas 

masa Sło

ń

ca, masa Ziemi 

masa 

Sło

ń

ce 

masa 

Ziemia 

odległo

ść

 mi

ę

dzy 

Sło

ń

ce, Ziemia 

 
e)  Ten, który zabił tego, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii 

naraził si

ę

 temu, który skłócił Billa z Jimem. 

 

funktor 

argument 

ten, który zabił 

tego,  który  zdradził  tego,  który  zniszczył  tego,  który  odkrył  najwi

ę

kszy 

sekret mafii 

ten, który zdradził 

tego, który zniszczył tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii 

ten, który zniszczył 

tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii 

ten, który odkrył  

najwi

ę

kszy sekret mafii 

najwi

ę

kszy sekret 

mafia 

naraził si

ę

 

ten, który skłócił Billa z Jimem 

ten, który skłócił 

Bill, Jim 

 

f)  Ró

ż

nica  mi

ę

dzy  wysoko

ś

ci

ą

  nad  poziomem  morza  stolicy  Francji  a  wysoko

ś

ci

ą

  nad  poziomem 

morza  stolicy  Włoch  jest  mniejsza  ni

ż

  ró

ż

nica  mi

ę

dzy  wysoko

ś

ci

ą

  nad  poziomem  morza  szczytu 

najwy

ż

szej góry Chin a wysoko

ś

ci

ą

 nad poziomem morza uj

ś

cia najdłu

ż

szej rzeki Afryki. 

 

funktor 

argument 

ró

ż

nica mi

ę

dzy a 

wysoko

ść

  nad  poziomem  morza  stolicy  Francji,  wysoko

ść

 

nad poziomem morza stolicy Włoch 

wysoko

ść

 nad poziomem morza 

stolica Francji 

stolica 

Francja 

wysoko

ść

 nad poziomem morza 

stolica Włoch 

stolica 

Włochy 

ró

ż

nica mi

ę

dzy a 

wysoko

ść

  nad  poziomem  morza  szczytu  najwy

ż

szej  góry 

Chin,  wysoko

ść

  nad  poziomem  morza  uj

ś

cia  najdłu

ż

szej 

rzeki Afryki 

wysoko

ść

 nad poziomem morza 

szczyt najwy

ż

szej góry Chin 

szczyt 

najwy

ż

szej góry Chin 

najwy

ż

sza góra 

Chiny 

uj

ś

cie 

najdłu

ż

sza rzeka Afryki 

najdłu

ż

sza rzeka 

Afryka 

 
3.  Oddziel  te  przypadki,  w  których  poprawnie  wstawiono  terminy  jednostkowe  za  zmienne 
indywiduowe, od tych przypadków, w których t

ę

 operacj

ę

 wykonano niepoprawnie: 

a)  Je

ż

eli x jest wy

ż

szy od y, za

ś

 y jest równy z, to x nie jest ni

ż

szy od z; 

Je

ż

eli Robert jest wy

ż

szy od Piotra, za

ś

 Piotr jest równy Ani, to Robert nie jest ni

ż

szy od Ani. 

 

x 

y 

y 

z 

x 

z 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

Robert 

Piotr 

Piotr 

Ania 

Robert 

Ania 

poprawnie 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 11 z 41 

b)  Suma x oraz y jest równa z wtedy i tylko wtedy, gdy ró

ż

nica mi

ę

dzy z oraz x równa si

ę

 y; 

Suma 3 oraz 3 jest równa 7 wtedy i tylko wtedy, gdy ró

ż

nica mi

ę

dzy 7 oraz 3 równa si

ę

 3; 

 

x 

y 

z 

z 

x 

y 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

3 

3 

7 

7 

3 

3 

poprawnie 

 

c)  W  indeksie  y  jest  x  ocen  niedostatecznych,  za

ś

  według  karty  egzaminacyjnej  y  ma  z  ocen 

niedostatecznych; 
W  indeksie  Janka  jest  5  ocen  niedostatecznych,  za

ś

  według  karty  egzaminacyjnej  Janek  ma  6 

ocen niedostatecznych, 
 

y 

x 

y 

z 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

Janek 

5 

Janek 

6 

poprawnie 

 

d)  x

1

 o

ś

wiadczył x

2

, 

ż

e x

3

 le

ż

y nad x

4

; 

Burek o

ś

wiadczył Poznaniowi, 

ż

e 9 le

ż

y nad Giewontem, 

 

x

1

 

x

2

 

x

3

 

x

4

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

Burek 

Pozna

ń

 

9 

Giewont 

poprawnie 

 

e)  x = y wtedy i tylko wtedy, gdy y = x; 

5 = 8 wtedy i tylko wtedy, gdy 5 = 8,  
 

x 

y 

y 

x 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

5 

8 

5 

8 

niepoprawnie 

 

f)  x

1

 jest starszy od y

1

 i x

1

 jest wi

ę

kszy od x

2

 i x

1

 jest pi

ę

kniejszy od y

2

 i y

1

 jest mniejszy od y

2

 i y

1

 jest 

mniejszy od x

2

 i y

1

 jest bogatszy od y

2

 i x

2

 jest czystszy od y

2

;  

Pozna

ń

  jest  starszy  od  Krakowa  i  Pozna

ń

  jest  wi

ę

kszy  od  Krakowa  i  Pozna

ń

  jest  pi

ę

kniejszy  od 

Wałbrzycha i Kraków jest mniejszy od Wałbrzycha i Kraków jest wi

ę

kszy od Krakowa i Kraków jest 

bogatszy od Wałbrzycha i Kraków jest czystszy od Wałbrzycha, 
 

x

1

 

y

1 

x

1

 

x

2 

x

1

 

y

2 

y

1 

y

2 

y

1 

x

2 

y

1 

y

2 

x

2 

y

2 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

↓

 

Poz 

Krk 

Poz 

Krk 

Poz 

Wał 

Krk 

Wał 

Krk 

Krk 

Krk 

Wał 

Krk 

Wał 

poprawnie 

 
4. Wymie

ń

 wszystkie predykaty wyst

ę

puj

ą

ce w poni

ż

szych zdaniach. Podaj argumenty ka

ż

dego z tych 

predykatów: 
a)  Sta

ś

 

ś

pi, 

 
predykat 

argument 

ś

pi 

Sta

ś

 

 

b)  Basia spaceruje a Mirek rozmawia z El

ą

, za

ś

 Bartek, godzi Michała z Pawłem, 

 
predykat 

argument 

spaceruje 

Basia 

rozmawia z 

Mirek, Ela 

godzi z 

Bartek, Michał, Paweł 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 12 z 41 

c)  /\

x1

/\

x2

/\

y

[x

1 

kupił y od x

2 

→

 

\/

z

 (x

1

 zapłacił x

2

 za y kwot

ę

 z)], 

 

predykat 

argument 

kupił od 

x

1

,

 

y, x

2 

zapłacił za kwot

ę

  x

1, 

x

2

, y, z 

 
d)  Newton potwierdził teori

ę

 heliocentryczn

ą

, a Darwin zanegował pogl

ą

d o niezmienno

ś

ci gatunków, 

 
predykat 

argument 

potwierdził 

Newton, teoria heliocentryczna

 

zanegował 

Darwin, pogl

ą

d o niezmienno

ś

ci gatunków 

 

e)  Nie jest tak, 

ż

e Kasia nie lubi Włodka i nie jest tak, 

ż

e Jola nie siedzi mi

ę

dzy Zosi

ą

 a Witkiem, 

 
predykat 

argument 

lubi 

Kasia, Włodek

 

siedzi mi

ę

dzy 

Jola, Zosia, Witek 

 

f)  Minister  Spraw  Zagranicznych  Rzeczpospolitej  Polskiej  starannie  przeanalizował  wszystkie 

mo

ż

liwe warianty reakcji Litwy na porozumienie Polski z Białorusi

ą

 o wspieranie zabiegów Ukrainy 

o przyj

ę

cie Łotwy do Unii Europejskiej.  

 

predykat 7 argumentowy 

argument 

starannie przeanalizował wszystkie mo

ż

liwe 

warianty reakcji na porozumienie z o wspieranie 
zabiegów o przyj

ę

cie do 

Minister Spraw Zagranicznych 
Rzeczpospolitej Polskiej, Litwa, Polska, 
Białoru

ś

, Ukraina, Łotwa, Unia Europejska 

 
5. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych zda

ń

 s

ą

:  

a) zdaniami atomowymi,  
b) zdaniami; prostymi, lecz nie atomowymi,  
c) zdaniami molekularnymi,  
d) zdaniami zło

ż

onymi, lecz nie molekularnymi: 

a)  \/

x

(x zna j

ę

zyk hiszpa

ń

ski), b  

b)  Piku

ś

 warkn

ą

ł na Reksa, a 

c)  Wykładowca dyktuje, a studenci pisz

ą

, d (studenci pisz

ą

 – ukryty du

ż

y kwantyfikator) 

d)  Najwi

ę

kszy  stan  Stanów  Zjednoczonych  Ameryki  jest  wi

ę

kszy  od  najwi

ę

kszego  kraju  Republiki 

Federalnej Niemiec, a 

e)  Janka nie lubi czere

ś

ni, za

ś

 Kazia nie lubi wi

ś

ni, c 

f)  /\

x

 (je

ż

eli x zdawał egzamin maturalny z historii, to x nie zdawał egzaminu maturalnego z biologii). 

d 

 
6. Okre

ś

l zasi

ę

gi poszczególnych kwantyfikatorów w nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

eniach: 

a)  Dla ka

ż

dego x, [je

ż

eli x sko

ń

czył studia prawnicze, to istnieje taki y, 

ż

e (x pisał prac

ę

 magistersk

ą

 

pod kierunkiem y-a)], 

 

x  -----  [je

ż

eli  x  sko

ń

czył  studia  prawnicze,  to  istnieje  taki  y, 

ż

e  (x  pisał  prac

ę

  magistersk

ą

  pod 

kierunkiem y-a)] 
y ----- (x pisał prac

ę

 magistersk

ą

 pod kierunkiem y-a) 

 

b)  \/

z

{P(x,z) 

≡

 /\

y

[R(y,z)]}, 

 
\/

z

 ----- P(x,z) 

≡

 /\

y

[R(y,z)] 

/\

y

 ----- R(y,z) 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 13 z 41 

c)  /\

x

/\

z

{\/

y

[R(x,y,z] 

∧

 /\

x

[S(x,y,z)]} 

→

 ~/\

z

\/

x

{P(z,x) 

∨

 /\

y

P(z,y)}, 

 

/\

x

 ----- /\

z

 {\/

y

[R(x,y,z] 

∧

 /\

x

[S(x,y,z)]} 

/\

z 

----- \/

y

[R(x,y,z] 

∧

 /\

x

[S(x,y,z)] 

\/

y

 ----- R(x,y,z) 

/\

x

 ----- S(x,y,z) 

/\

z

 ----- \/

x

 {P(z,x) 

∨

 /\

y

P(z,y)} 

\/

x

 ----- P(z,x) 

∨

 /\

y

P(z,y) 

/\

y

 ----- P(z,y) 

 
d)  /\

y

{R(x,z) 

→

 \/

z

[R(x,z)]}, 

 

/\

y

 ----- R(x,z) 

→

 \/

z

[R(x,z)] 

\/

z

 ----- R(x,z) 

 

e)  Je

ż

eli ka

ż

dy student prawa złamie jedn

ą

 gał

ąź

 drzewa genealogicznego, to drzewo genealogiczne 

obumrze, 

 

ka

ż

dy student prawa ----- student prawa złamie jedn

ą

 gał

ąź

 drzewa genealogicznego 

 
f)  \/

x

|S(x) 

≡

 ~ \/

y

{P(x,y) 

≡

 \/

z

[R(x,y,z)]}|. 

 

\/

x

 ----- S(x) 

≡

 ~ \/

y

{P(x,y) 

≡

 \/

z

[R(x,y,z)]} 

\/

y

 ----- P(x,y) 

≡

 \/

z

[R(x,y,z)] 

\/

z

 ----- R(x,y,z) 

 
7.  Wska

ż

  w  których  miejscach  poni

ż

szych  wyra

ż

e

ń

  poszczególne  zmienne  wyst

ę

puj

ą

  jako  zmienne 

wolne, a w których jako zmienne zwi

ą

zane (przez które kwantyfikatory); 

 
a)  /\

x

{[P(x,y)] 

→

 \/

y 

~[P(x,y,x)]}, 

 

 
/\

x

{[P(x,y)] 

→

 \/

y 

~[P(x,y,x)]},   

 

 

b)  /\

z

\/

x

(z kocha x-a) 

→

 \/

x

/\

z

(x jest kochany przez z-a) 

 

 

c)  ~ [P(x, y, z)] 

≡

 /\

y

|S(x) 

∧

 /\

x

{S(x, z) 

∧

 /\

z

[S(x, z, z)]}|, 

 
 

d)  /\

x

|R(x) 

∧

 \/

x

{S(x) 

→

 /\

x

[P(x)]}|, 

 
 

e)  \/

z

|P(z, y) 

∨

 /\

y

{S(x, y) 

≡

 \/

x

[S(x, z)]}| 

∨

 ~/\

z

[R(z, y)], 

 

 
f)  \/

x

{(x jest bratem y-a) 

→

 \/

z

[(z jest matk

ą

 x-a) 

∧

 (z jest matk

ą

 y-a)]}. 

 
 
 
8. Wyka

ż

, 

ż

e nast

ę

puj

ą

ce wyra

ż

enia s

ą

 formułami zdaniowymi rachunku predykatów: 

 
a)  /\

x

[P(x)] 

≡

 \/

y

[P(y)], 

 

1.   P(x), P(y) 
4.   /\

x

[P(x)], \/

y

[P(y)] 

3.   /\

x

[P(x)] 

≡

 \/

y

[P(y)] 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 14 z 41 

b)  \/

y

{~[P(x)] 

∧

 ~[R(y)]} 

→

 /\

z

/\

x

{R(x) 

∨

 ~[P(z)]}, 

 

1.   P(x), R(y), R(x), P(z) 
2.   ~[P(x)], ~[R(y)], ~[P(z)] 
3.   ~[P(x)] 

∧

 ~[R(y)], R(x) 

∨

 ~[P(z)] 

4.  \/

y

{~[P(x)] 

∧

 ~[R(y)]}, /\

x

{R(x) 

∨

 ~[P(z)]} 

4.  /\

z

/\

x

{R(x) 

∨

 ~[P(z)]} 

3.  \/

y

{~[P(x)] 

∧

 ~[R(y)]} 

→

 /\

z

/\

x

{R(x) 

∨

 ~[P(z)]} 

 

c)  ~

∫

/\

x

|~{S(x) 

∨

 ~[S(x)]}| 

∧

 {\/

x

[S(x)] 

∨

 ~\/

x

~[S(x)]}

∫

, 

 

1.  S(x),  
2.  ~[S(x)] 
3.  S(x) 

∨

 ~[S(x)] 

2.   ~{S(x) 

∨

 ~[S(x)]},  

4.   /\

x

|~{S(x) 

∨

 ~[S(x)]}|, \/

x

[S(x)], \/

x

~[S(x)] 

2.  ~\/

x

~[S(x)] 

3.  \/

x

[S(x)] 

∨

 ~\/

x

~[S(x)] 

3.  /\

x

|~{S(x) 

∨

 ~[S(x)]}| 

∧

 {\/

x

[S(x)] 

∨

 ~\/

x

~[S(x)]} 

2.   ~

∫

/\

x

|~{S(x) 

∨

 ~[S(x)]}| 

∧

 {\/

x

[S(x)] 

∨

 ~\/

x

~[S(x)]}

∫

 

 

d)  ~{R(x) 

∨

 \/

y

[R(y)]} 

≡

 /\

x

{~[R(y)] 

∨

 ~\/

z

[R(x)]}, 

 

1.  R(x), R(y) 
4.   \/

y

[R(y)], \/

z 

[R(x)] 

2.   ~[R(y)], ~\/

z 

[R(x)] 

3.  R(x) 

∨

 \/

y

[R(y)], ~[R(y)] 

∨

 ~\/

z 

[R(x)] 

2.  ~{R(x) 

∨

 \/

y

[R(y)]}, 

4.   /\

x

{~[R(y)] 

∨

 ~\/

z 

[R(x)]} 

3.  ~{R(x) 

∨

 \/

y

[R(y)]} 

≡

 /\

x

{~[R(y)] 

∨

 ~\/

z 

[R(x)]} 

 
e)  |/\

x

[P(x,y) 

∧

 /\

y

 {~ /\

z

[P(y,z)]}| 

∨

 ~\/

x

[P(x,y)], 

 

1.  P(x,y), P(y,z), P(x,y) 
4.  /\

x

[P(x,y), /\

z

[P(y,z)], \/

x

[P(x,y)] 

2.  ~ /\

z

[P(y,z)], ~\/

x

[P(x,y)] 

4.  /\

y

 {~ /\

z

[P(y,z)]} 

3.  /\

x

[P(x,y) 

∧

 /\

y

 {~ /\

z

[P(y,z)]} 

3.  |/\

x

[P(x,y) 

∧

 /\

y

 {~ /\

z

[P(y,z)]}| 

∨

 ~\/

x

[P(x,y)] 

 
f)  \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]} 

→

 {/\

x

[P(x)] 

≡

 ~/\

z

[P(y)]}, 

 

1.  P(x), P(y) 
2.   ~[P(x)] 
4.  /\

x

[P(x)], /\

z

[P(y)] 

2.   ~~[P(x)], ~/\

z

[P(y)] 

3.  /\

x

[P(x)] 

≡

 ~/\

z

[P(y)] 

2.  ~~~[P(x)] 
4.  \/

z

{~ ~ ~[P(x)]} 

4.  \/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]} 

4.   \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]} 

3.  \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]} 

→

 {/\

x

[P(x)] 

≡

 ~/\

z

[P(y)]} 

 

9.  Przekształ

ć

  te  z  poni

ż

szych  wyra

ż

e

ń

,  które  s

ą

  zdaniami  j

ę

zyka  polskiego  na  zdania  rachunku 

predykatów, a te, które s

ą

 zdaniami rachunku predykatów na zdania j

ę

zyka polskiego: 

a)  Ka

ż

dy, kto zdawał egzamin z prawa cywilnego, zdawał te

ż

 egzamin z logiki, 

 
/\

x

[P(x) 

→

 R(x)] lub /\

x

[S(x,a) 

→

 S(x,b)] 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 15 z 41 

b)  P(a) 

→

 \/

x

[R(x,a)], 

 
Je

ż

eli Pozna

ń

 jest miastem, to istnieje taki kto

ś

, kto jest prezydentem Poznania. 

 

c)  Nikt nie był w Honolulu, 

 
~\/

x

P(x,a) lub /\

x

~P(x,a) 

 
d)  /\

x

/\

y

[P(x,y)] 

→

 \/

x

\/

y

[P(x,y)], 

 
Je

ż

eli ka

ż

dy Palesty

ń

czyk nienawidzi ka

ż

dego 

Ż

yda, to istnieje taki Palesty

ń

czyk, który nienawidzi 

jakiego

ś

 

Ż

yda. 

 

e)  Nie istnieje nikt taki, kto by rozmawiał z Mieszkiem I i walczył pod Grunwaldem, i widział ka

ż

dego 

husarza polskiego, 
 
~\/

x

 {P(x,a) 

∧

 R(x,b) 

∧

 /\

y 

[T(y) 

→

 S(x,c)]} (T(y) – by

ć

 husarzem polskim) 

 

f)  \/

x

{[S(x,a) 

∧

 S(x,b)] 

≡

 \/

y

[R(y,a) 

∧

 R(y,b) 

∧

 R(y,x)]}. 

 

Istnieje taki Jurek, który ma t

ę

 sam

ą

 matk

ę

 co Michał i ma t

ę

 sam

ą

 matk

ę

 co Basia wtedy i tylko 

wtedy, gdy istnieje taka kobieta, która jest matk

ą

 Michała i jest matk

ą

 Basi i jest matk

ą

 Jurka 

 
10.  Wska

ż

,  jakie  tezy  rachunku  predykatów  egzemplifikowane  s

ą

  przez  nast

ę

puj

ą

ce  zdania  j

ę

zyka 

polskiego: 
a)  Je

ż

eli  istnieje taki student  prawa, który umie gra

ć

 na  tr

ą

bce i  umie ta

ń

czy

ć

  walca, to  istnieje taki 

student prawa, który umie gra

ć

 na tr

ą

bce i istnieje taki student prawa, który umie ta

ń

czy

ć

 walca, 

 

\/

x

(A 

∧

 B) 

→

 \/

x

(A) 

∧

 \/

x

(B) - prawo rozkładania małego kwantyfikatora wzgl

ę

dem koniunkcji 

 
b)  Je

ż

eli ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy studiuje na pierwszym 

roku, to ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy ka

ż

dy student prawa 

studiuje na pierwszym roku,  
 
/\

x

(A 

≡

 B) 

→

 [/\

x

(A) 

≡

 /\

x

(B)] - prawo ekstensjonalno

ś

ci dla du

ż

ego kwantyfikatora 

 

c)  Nie istnieje taki student prawa, który był na Marsie wtedy i tylko wtedy, gdy 

ż

aden student prawa 

nie był na Marsie, 
 
~\/

x

(A) 

≡

 /\

x 

~(A) – prawo negowania małego kwantyfikatora [/\

x 

~ nale

ż

y czyta

ć

 jako „

ż

aden”] 

 

d)  Nie jest tak, 

ż

e ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin poprawkowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 

taki student prawa, który nie zdaje egzaminuj poprawkowego, 
 
~/\

x

(A) 

≡

 \/

x 

~(A) - prawo negowania du

ż

ego kwantyfikatora 

 

e)  Istnieje  taki  student  prawa,  który  interesuje  si

ę

  logik

ą

  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  nie  jest  tak, 

ż

e 

ż

aden student prawa nie interesuje si

ę

 logik

ą

, 

 
\/

x

(A) 

≡

 ~/\

x 

~(A) – prawo zast

ę

powania małego kwantyfikatora 

 

f)  Ka

ż

dy student prawa ma matur

ę

 i ma prawo jazdy wtedy i tylko wtedy, gdy ka

ż

dy student prawa 

ma matur

ę

 i ka

ż

dy student prawa ma prawo jazdy.  

 

/\

x

(A 

∧

 B) 

≡

 [/\

x

(A) 

∧

 /\

x

(B)] - prawo rozkładania du

ż

ego kwantyfikatora wzgl

ę

dem koniunkcji 

 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 16 z 41 

Rozdział 3 
 
1. Podaj po trzy przykłady:  
zbiorów pi

ę

cioelementowych,  

 

1.  zbiór hokeistów danej dru

ż

yny na lodowisku 

2.  zbiór członków kwintetu muzycznego 
3.  zbiór liczb naturalnych od 1 do 5 

 
zbiorów dziesi

ę

cioelementowych,  

 

1.  zbiór paciorków w 10 ró

ż

a

ń

ca 

2.  zbiór centurii w samodzielnej kohorcie 
3.  zbiór 10 przykaza

ń

 

 
zbiorów dwunastoelementowych,  
 

1.  zbiór miesi

ę

cy w roku 

2.  zbiór tuzina jajek 
3.  zbiór apostołów 

 
zbiorów sko

ń

czonych,  

 

1.  zbiór dni w roku 
2.  zbiór godzin w dobie 
3.  zbiór 

ś

liwek w słoiku 

 
maj

ą

cych ponad sto elementów,  

 

1.  zbiór studentów 1 roku prawa chodz

ą

cych na wykład z logiki 

2.  zbiór studentów UAM 
3.  zbiór posłów na Sejm 
 

zbiorów niesko

ń

czonych,  

 

1.  zbiór liczb naturalnych 
2.  zbiór tez rachunku zda

ń

 

 

 
rodzin zbiorów. 

 

1.  zbiór zbiorów narodowo

ś

ci 

2.  zbiór gatunków zwierz

ą

t 

3.  zbiór studentów poszczególnych wydziałów UAM 
 

2. Za pomoc

ą

 trzech kół na jednym rysunku zilustruj stosunki mi

ę

dzy: 

a)  zbiorem  zda

ń

  prawdziwych  (Z),  zbiorem  zda

ń

  zło

ż

onych  (Y),  zbiorem  zda

ń

  nie  zawieraj

ą

cych 

kwantyfikatorów (X), 

 
 
 
 
 
 
 

X 

 
   Z 

      Y 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 17 z 41 

b)  zbiorem ssaków (Z), zbiorem zwierz

ą

t 

ż

yj

ą

cych w wodzie (Y), zbiorem delfinów (X), 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

c)  zbiorem  predykatów  jednoargumentowych  (Z),  zbiorem  wyra

ż

e

ń

  (Y),  zbiorem  predykatów 

dwuargumentowych (X), 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)  zbiorem dni 1990 r. (Z), zbiorem tygodni 1990 r. (Y), zbiorem miesi

ę

cy 1990 r. (X), 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)  zbiorem  zbiorów  jednoelementowych  (Z),  zbiorem  zbiorów  dwuelementowych  oraz  zbiorów 

trójelementowych (Y), zbiorem zbiorów trójelementowych oraz zbiorów czteroelementowych (X), 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)  zbiorem podzbiorów dopełnienia zbioru studentów do zbioru ludzi (Z’), zbiorem podzbiorów zbioru 

brunetów (Y), zbiorem podzbiorów zbioru łysych analfabetów (X). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

    

 

 

    

X 

Z 

Y 

  

Z 

  

X 

Y 

Z 

Y 

X 

Z 

Y 

          X 

Z’ 

           Y 

X 

zbiór pusty Ø 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 18 z 41 

3.  Podaj  przykłady  takich  trójek  zbiorów,  miedzy  którymi  zachodz

ą

  stosunki  zilustrowane  na 

nast

ę

puj

ą

cych rysunkach: 

 

       e)

    f)

 

 
 
a)  X - zbiór zwierz

ą

t, Y - zbiór kotów, Z – zbiór zwierz

ą

t domowych 

b)  X - zbiór mieszka

ń

ców Poznania, Y - zbiór studentów, Z – zbiór mieszka

ń

ców Gniezna 

c)  X - zbiór ryb, Y - zbiór rekinów, Z – zbiór ptaków 
d)  X - zbiór zwierz

ą

t, Y - zbiór ryb, Z – zbiór rekinów 

e)  X - zbiór zwierz

ą

t ze sklepu zoologicznego, Y - zbiór kotów, Z – zbiór kotów perskich 

f)  X  –  zbiór  osób  o  wzro

ś

cie  do  180  cm,  Y  –  zbiór  osób  o  wzro

ś

cie  ponad  160  cm,  Z  –  zbiór 

brunetów 

 
4. Na trzech odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz sumy nast

ę

puj

ą

cych zbiorów: 

a)  zbioru kobiet (X), zbioru studentów (Y), zbioru sportowców (Z), 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  zbioru wróbli (Z), zbioru ptaków (Y), zbioru kr

ę

gowców (X), 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

c)  zbioru motyli (X), zbioru znaczków pocztowych (Y), zbioru rzek (Z), 
 
 
 
 
 
 
 
 

X 

Y 

Z 

Z 

Y 

X 

Z 

X 

Y 

Y 

X 

Z 

X 

Z 

Y 

Z 

X 

Y 

X 

 
   Z 

      Y 

X 

 

X 

 

Y 

 

Z 

Y 

Z 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 19 z 41 

d)  zbioru przedszkolaków (X), zbioru kaliszan (Y), zbioru studentów (Z), 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
e)  zbioru oficerów (X), zbioru kapitanów (Y), zbioru majorów (Z), 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

f)  zbioru ryb (X), zbioru ssaków (Y), zbioru małp (Z). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.  Na  trzech  odpowiednio  ustawionych  wzgl

ę

dem  siebie  kołach  zaznacz  iloczyny  nast

ę

puj

ą

cych 

zbiorów: 
a)  zbioru lekarzy (X), zbioru sportowców (Y), zbioru szatynów (Z), 

 

 

 

Y 

 
 

 

X 

 

Z 

 

X 

Y 

Z 

 

X 

 

Y 

 

Z 

                X

 

 

Z 

Y 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 20 z 41 

b)  zbioru szczupaków (Z), zbioru ryb (Y), zbioru kr

ę

gowców (X), 

 

 
c)  zbioru domów (X), zbioru gór (Y), zbioru miast (Z), 
 
 

 

zbiór pusty Ø 
 
d)  zbioru Polaków (X), zbioru studentów (Y), zbioru poznaniaków studiuj

ą

cych prawo (Z), 

 

 

 
e)  zbioru Amerykanów (X), zbioru nowojorczyków (Y), zbioru pływaków (Z), 

 

 

 

Z 

Y 

X 

X 

Y 

Z 

X 

Y 

Z 

X 

Z 

Y 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 21 z 41 

f)  zbioru stołów (X), zbioru zda

ń

 atomowych (Y), zbioru zda

ń

 prawdziwych (Z). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
zbiór pusty Ø 
 
 
6. Na dwóch odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz ró

ż

nice mi

ę

dzy: 

a)  zbiorem ksi

ąż

ek (Z) a zbiorem podr

ę

czników (Y), 

 

 

 
b)  zbiorem zda

ń

 zło

ż

onych (Z) a zbiorem zda

ń

 fałszywych (Y), 

 

 

 
c)  zbiorem koni (Z) a zbiorem słoni (Y), 
 

 

 
d)  zbiorem funktorów (Z) a zbiorem wyra

ż

e

ń

 (Y), 

 

zbiór pusty Ø 

 

X 

Y 

Z 

Z 

Y 

Z 

Y 

Z 

Y 

Z 

Y 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 22 z 41 

e)  zbiorem lekkoatletów (Z) a zbiorem filatelistów (Y), 
 

 

 
f)  zbiorem kartofli a zbiorem ziemniaków, 
 

 zbiór pusty Ø 

 
7. Na trzech odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz: 

a)  sum

ę

  ró

ż

nicy  mi

ę

dzy  zbiorem  studentów  (X)  a  zbiorem  Wielkopolan  (Y)  oraz  ró

ż

nicy  mi

ę

dzy 

zbiorem licealistów (Z) a zbiorem Wielkopolan, 

 

 

 

b)  dopełnienie  (do  zbioru  przedmiotów  materialnych)  (U)  iloczynu  zbioru  prawników  (Y)  i  zbioru 

poznaniaków (Z).  
 

 

 

c)  sum

ę

  iloczynu  zbioru  ró

ż

  (Z)  i  zbioru 

ż

ółtych  kwiatów  (Y)  oraz  iloczynu  zbioru 

ż

ółtych  kwiatów  i 

zbioru tulipanów (X), 

 

 

 

Z 

Y 

Z 

Y 

X 

Y 

Z 

U 

Y 

Z 

Z 

Y 

X 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 23 z 41 

d)  ró

ż

nic

ę

 mi

ę

dzy zbiorem studentów (Z) a iloczynem zbioru sportowców (Y) i zbioru siatkarzy (X), 

 
 

 

 
e)  dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) (U) sumy zbioru krów (Y) i zbioru owiec (Z), 
 

 

 
f)  iloczyn zbioru ptaków (Z) i ró

ż

nicy mi

ę

dzy zbiorem kaczek (Y) a zbiorem cyranek (X). 

 

 

 
8. Okre

ś

l warto

ść

 logiczn

ą

 nast

ę

puj

ą

cych zda

ń

: 

a)  iloczyn zbioru harcerek i zbioru ły

ż

wiarek zawiera si

ę

 w sumie zbioru ły

ż

wiarek i zbioru harcerek, 

PRAWDA 

b)  zbiór zbiorów pustych jest zbiorem pustym, FAŁSZ (jest to jednoelementowy zbiór zawieraj

ą

cy 

zbiór pusty) 

c)  Pozna

ń

  jest  elementem  zbioru  podzbiorów  zbioru  miast  polskich,  FAŁSZ  (elementem  tego 

zbioru s

ą

 zbiory, a nie poszczególne miasta) 

d)  zbiór medyków jest podzbiorem wła

ś

ciwym zbioru lekarzy, FAŁSZ 

e)  zbiór  dni  tygodnia  nie  zawiera  si

ę

  w  zbiorze  zbiorów  siedmioelementowych,  PRAWDA  (bo  dni 

tygodnia nie s

ą

 zbiorami siedmioelementowymi) 

f)  zbiór  zbiorów  gwiazd  jest  zbiorem  jednoelementowym.  FAŁSZ  (je

ś

li  przez  zbiór  gwiazd 

rozumiemy z zbiór zawieraj

ą

cy tylko gwiazdy, ale nie wszystkie gwiazdy)  

 
9.  Uzupełnij  poni

ż

sze  wyra

ż

enia  tak,  aby  stały  si

ę

  one  egzemplifikacjami  okre

ś

lonych  twierdze

ń

 

rachunku zbiorów. Wska

ż

, które twierdzenia egzemplifikuj

ą

 poszczególne uzupełnienia: 

a)  suma  zbioru  grzybów  oraz  sumy  zbioru  psów  i  zbioru  jamników  jest  identyczna  z  sum

ą

  sumy 

zbioru grzybów oraz zbioru psów i zbioru jamników.  

Z 

∪

  (Y 

∪

 X) = (Z 

∪

 Y) 

∪

 X

 

Z 

X 

Y 

Z 

Y 

U 

X 

Y 

Z 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 24 z 41 

b)  iloczyn  zbioru  in

ż

ynierów  oraz  iloczynu  zbioru  Niemców  i  zbioru  tenisistów  jest  identyczny  z 

iloczynem iloczynu zbioru in

ż

ynierów i zbioru Niemców oraz zbioru tenisistów.  

Z 

∩

 (Y 

∩

 X) = (Z 

∩

 Y) 

∩

 X

 

c)  iloczyn zbioru brunetek oraz sumy zbioru Litwinek i zbioru Polek jest identyczny z sum

ą

 iloczynu 

zbioru brunetek i zbioru Litwinek oraz iloczynu zbioru brunetek i zbioru Polek. 

Z 

∩

 (Y 

∪

 X) = (Z 

∩

 Y) 

∪

 (Z 

∩

 X)

 

d)  suma  zbioru kwiatów oraz  iloczynu  zbioru much i  zbioru g

ę

si jest identyczna  z iloczynem sumy 

zbioru kwiatów i zbioru much oraz sumy zbioru kwiatów i zbioru g

ę

si. 

Z 

∪

 (Y 

∩

 X) = (Z 

∪

 Y) 

∩

 (Z 

∪

 X)

 

e)  ró

ż

nica  zbioru  studentów  oraz  sumy  zbioru  studentów  prawa  i  zbioru  studentów  historii  jest 

identyczna  z  iloczynem  ró

ż

nicy  zbioru  studentów  i  zbioru  studentów  prawa  oraz  ró

ż

nicy 

zbioru studentów i zbioru studentów historii. 

Z - (Y 

∪

 X) = (Z - Y) 

∩

 (Z - X)

 

f)  dopełnienie  (do  zbioru  ludzi)  sumy  zbioru  Wielkopolan  i  zbioru  studentów  jest  identyczne  z 

iloczynem  dopełnienia  (do  zbioru  ludzi)  zbioru  Wielkopolan  i  dopełnienia  (do  zbioru  ludzi) 
zbioru studentów. 

(Z 

∪

 Y)’ = Z’ 

∩

 Y’

 

 
10. Podaj przykład: 
a)  dychotomicznego podziału zbioru samochodów, 
 

samochody z hakiem holowniczym – samochody bez haka holowniczego 
samochody z katalizatorem – samochody bez katalizatora 
samochody ABS – samochody bez ABS 
 

b)  podziału wedle pewnej zasady zbioru miast, 

 
podział ze wzgl

ę

du na liczb

ę

 mieszka

ń

ców ( do 10 tys., od 10 tys. do 50 tys., powy

ż

ej 50 tys.) 

 

c)  naturalnego z punktu widzenia botaniki podziału zbioru ro

ś

lin, 

 

ro

ś

liny jednolistne i ro

ś

liny dwulistne,  

ro

ś

liny z korzeniem palowym i ro

ś

liny z korzeniem poziomym 

 

d)  sztucznego z punktu widzenia mechaniki podziału zbioru rowerów, 
 

podział wzgl

ę

dem koloru ramy 

 

e)  dwustopniowej klasyfikacji zbioru ksi

ąż

ek, 

 

 

 

ksi

ąż

ki 

w twardej 

okładce 

w mi

ę

kkiej 

okładce 

do 200 stron 

powy

ż

ej  

200 stron 

do 200 stron 

powy

ż

ej  

200 stron 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 25 z 41 

f)  trójstopniowej klasyfikacji zbioru psów. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rozdział 4 

 

1.  Okre

ś

l  dziedzin

ę

,  przeciwdziedzin

ę

  i  pole  nast

ę

puj

ą

cych  relacji:  bycia  dziadkiem,  posiadania, 

implikowania, bycia wynalazc

ą

, identyczno

ś

ci, zaufania. 

 

R 

D(R) 

¯ D(R) 

P(R) 

relacja 

/\

 x 

[x 

∈

D(R) 

≡

 \/

y

(xRy)] 

/\

x

[x 

∈

¯ D(R) 

≡

 \/

y

(yRx)] 

/\

 x 

[x 

∈

P(R) 

≡

 x 

∈

D(R) 

∨

 x 

∈

¯ D(R)] 

bycia dziadkiem 

zbiór dziadków 

zbiór wnucz

ą

t 

zbiór dziadków i wnucz

ą

t 

posiadania 

zbiór posiadaczy  

zbiór obiektów 
posiadanych przez 
kogo

ś

 

zbiór posiadaczy i 
przedmiotów posiadanych 
przez kogo

ś

 

implikowania 

zbiór wszystkich zda

ń

 

w sensie logicznym, 
które implikuj

ą

 inne 

zdanie (zbiór 
wszystkich zda

ń

 

stanowi

ą

cych 

poprzednik implikacji) 

zbiór wszystkich zda

ń

 

w sensie logicznym, 
które s

ą

 implikowane 

przez inne zdanie  
(zbiór wszystkich zda

ń

 

stanowi

ą

cych 

nast

ę

pniki implikacji) 

zbiór zda

ń

 w sensie 

logicznym  

bycia wynalazc

ą

 

zbiór wynalazców 

zbiór wynalazków 

zbiór wynalazców i 
wynalazków 

identyczno

ś

ci 

zbiór wszystkich 
obiektów 

zbiór wszystkich 
obiektów 

zbiór wszystkich obiektów 

zaufania 

zbiór obiektów, które 
komu

ś

 ufaj

ą

 

zbiór obiektów, 
którym

ś

 kto

ś

 ufa 

zbiór obiektów, które komu

ś

 

ufaj

ą

 i obiektów, którym

ś

 kto

ś

 

ufa 

 
 

2. Wska

ż

, która z nast

ę

puj

ą

cych relacji jest zwrotna, która jest niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, a 

która jest przeciwzwrotna:  

•

 

sprzeczno

ś

ci (w zbiorze zda

ń

), przeciwzwrotna 

•

 

głosowania  na  (w  zbiorze  Polaków  uprawnionych  do  głosowania),  niezwrotna,  ale  nie 
przeciwzwrotna 

•

 

egzaminowania (w zbiorze społeczno

ś

ci akademickiej), przeciwzwrotna 

psy 

psy rasowe 

psy nierasowe 

psy z obwisłymi 

uszami 

psy ze 

stercz

ą

cymi 

uszami 

psy z obwisłymi 

uszami 

psy ze 

stercz

ą

cymi 

uszami 

psy nie-

długowłose 

psy 

długowłose 

psy nie-

długowłose 

psy 

długowłose 

psy nie-

długowłose 

psy 

długowłose 

psy nie-

długowłose 

psy 

długowłose 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 26 z 41 

•

 

bycia  podzbiorem  (w  zbiorze  zbiorów  jednoelementowych),  zwrotna  (bo  ka

ż

dy  zbiór  jest  swoim 

podzbiorem) 

•

 

bycia równokolorowym (w zbiorze kwiatów), zwrotna 

•

 

u

ś

miercania (w zbiorze ludzi). niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna 

 

3.  Wska

ż

,  która  z  nast

ę

puj

ą

cych  relacji  jest  symetryczna,  która  jest  niesymetryczna,  ale  nie 

przeciwsymetryczna, a która jest przeciwsymetryczna:  

•

 

równowa

ż

no

ś

ci (w zbiorze zda

ń

), symetryczna 

•

 

okr

ąż

ania  (w  zbiorze  ciał  niebieskich),  niesymetryczna,  ale  nie  przeciwsymetryczna  (s

ą

 

gwiazdy podwójne, które si

ę

 wzajemnie okr

ąż

aj

ą

), 

•

 

ł

ą

czenia si

ę

 (w zbiorze spółdzielni), symetryczna 

•

 

krzy

ż

owania (w zbiorze zbiorów pi

ę

cioelementowych), symetryczna 

•

 

obmawiania (w zbiorze ludzi) niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna 

•

 

bycia wi

ę

kszym (w zbiorze jezior) przeciwsymetrzyczna 

 
4.  Wska

ż

,  która  z  nast

ę

puj

ą

cych  relacji  jest  przechodnia,  która  jest  nieprzechodnia,  ale  nie 

przeciwprzechodnia, a która jest przeciwprzechodnia:  

•

 

wykluczania 

si

ę

 

(w 

zbiorze 

zbiorów 

dwuelementowych), 

nieprzechodnia, 

ale 

nie 

przeciwprzechodnia 

•

 

bycia nast

ę

pc

ą

 (w zbiorze królów Polski), przeciwprzechodnia 

•

 

bycia powinowatym (w zbiorze ludzi), nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia 

•

 

bycia  wierzycielem  (w  zbiorze  osób  prawnych),  nieprzechodnia,  ale  nie  przeciwprzechodnia 
(bo s

ą

d mo

ż

e przenie

ść

 wierzytelno

ść

) 

•

 

bycia babci

ą

 (w zbiorze ludzi), przeciwprzechodnia 

•

 

zawierania wi

ę

kszej ilo

ś

ci negacji (w zbiorze zda

ń

). przechodnia 

 
5. Maj

ą

c na uwadze znane ci rodzaje relacji zakwalifikuj nast

ę

puj

ą

ce relacje:  

•

 

bycia  podwójn

ą

  negacj

ą

  (w  zbiorze  zda

ń

),  przeciwzwrotna,  przeciwsymetryczna  i 

przeciwprzechodnia 

•

 

bycia równoszybkim (w zbiorze samochodów), zwrotna, symetryczna i przechodnia 

•

 

dr

ę

czenia  (w  zbiorze  ludzi),  niezwrotna,  niesymetryczna  ale  nie  przeciwsymetryczna  i 

nieprzechodnia ale nie przeciwprzechodnia 

•

 

implikowania  (w  zbiorze  zda

ń

),  zwrotna,  niesymetryczna  i  przechodnia  (prawo  sylogizmu 

hipotetycznego) 

•

 

bycia poj

ę

tniejszym (w zbiorze psów), niezwrotna, przeciwsymetryczna i przechodnia 

•

 

bycia  pełnomocnikiem  procesowym  (w  zbiorze  osób  wyst

ę

puj

ą

cych  w  procesach  cywilnych). 

przeciwzwrotna  (nie  mo

ż

na  by

ć

  swoim  pełnomocnikiem),  niesymetryczna  ale  nie 

przeciwsymetryczna (bo jeden adwokat mo

ż

e prowadzi

ć

 klika spraw) i nieprzechodnia ale nie 

przeciwprzechodnia 

 

6. Podaj konwersy nast

ę

puj

ą

cych relacji:  

•

 

bycia nadzbiorem wła

ś

ciwym, bycia podzbiorem wła

ś

ciwym 

•

 

bycia sprzecznym z, bycia sprzecznym 

•

 

implikowania, implikowania 

•

 

kochania, bycia kochanym 

•

 

bycia podziwianym, podziwiania 

•

 

s

ą

siadowania. s

ą

siadowania 

 
7. Wska

ż

, jakich relacji iloczynami wzgl

ę

dnymi s

ą

 nast

ę

puj

ą

ce relacje:  

•

 

bycia te

ś

ciem, relacja bycia ojcem, relacja bycia mał

ż

onkiem 

•

 

bycia cioci

ą

, relacja bycia siostr

ą

, relacja bycia ojcem 

•

 

bycia stryjenk

ą

, relacja bycia 

ż

on

ą

, relacja bycia stryjem 

•

 

bycia wujenk

ą

, relacja bycia 

ż

on

ą

, relacja bycia wujem 

•

 

bycia bratow

ą

, relacja bycia 

ż

on

ą

, relacja bycia bratem 

•

 

bycia szwagrem. relacja bycia m

ęż

em, relacja bycia siostr

ą

 

 

Rozwi

ą

zania zada

ń

 z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona. 

Pomimo moich usilnych stara

ń

 do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

 mogły wkra

ść

 si

ę

 bł

ę

dy. 

 

Strona 27 z 41 

8. Po

ś

ród nast

ę

puj

ą

cych relacji wska

ż

 relacje równo

ś

ciowe:  

•

 

równowa

ż

no

ś

ci (w zbiorze zda

ń

), 

•

 

posiadania tej samej grupy krwi (w zbiorze ludzi),  

•

 

dowodzenia (w zbiorze 

ż

ołnierzy),  

•

 

identyczno

ś

ci (w zbiorze liczb), 

•

 

bycia silniejszym (w zbiorze atletów),  

•

 

podpowiadania (w zbiorze studentów zdaj

ą

cych egzamin pisemny). 

 
9. Po

ś

ród nast

ę

puj

ą

cych relacji wska

ż

 relacje liniowo porz

ą

dkuj

ą

ce:  

•

 

starsze

ń

stwa stopniem (w zbiorze 

ż

ołnierzy),  

•

 

bycia dłu

ż

nikiem (w zbiorze spółek),  

•

 

wy

ż

szo

ś

ci (w zbiorze koszykarzy jednej dru

ż

yny), je

ś

li nie ma identycznych 

•

 

na

ś

ladowania (w zbiorze artystów),  

•

 

bycia wi

ę

kszym (w zbiorze pa

ń

stw europejskich), je

ś

li nie ma identycznych 

•

 

znania (w zbiorze mieszka

ń

ców jednej kamienicy). 

 
10. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych relacji s

ą

 funkcjami: 

a)  relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest jedynym spadkobierc

ą

 x-a, 

b)  relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest dowodem osobistym x-a, 

c)  relacja zachodz

ą

ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest silniejszy od x-a, 

d)  relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest kierownic

ą

 x-a, 

e)  relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest pradziadkiem x-a, 

f)  relacja zachodz

ą

ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest prezydentem x-a. 

 

Rozdział 5 
 
1.  Ustal,  ze  wzgl

ę

du  na  uchybienia  jakiego  typu  regułom  poni

ż

sze  sekwencje  nie  s

ą

  wyra

ż

eniami 

je

ż

yka polskiego: 

a)  frigmo jest zielone, słownikowe 
b)  my

ś

li o stolicy Wielkopolski nie siedzi przy, gramatyczne 

c)  je

ż

eli Antek, to Władek gra w szachy z Janka, gramatyczne 

d)  rozstrzyga spór miedzy Francj

ą

 prasim lub 

ś

piewa, słownikowe 

e)  najstarszy brat ifri a najmłodszy brat ta

ń

czy z obserwuje, słownikowe i gramatyczne 

f)  ka

ż

dy student pierwszego roku prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje 

taki  student  pierwszego  roku  prawa,  który  berde  egzamin  poprawkowy  z  prawa  rzymskiego. 
słownikowe 

 
2.  Wska

ż

,  które  z  poni

ż

szych  zda

ń

  a)  nie  s

ą

  tezami  j

ę

zyka  polskiego,  b)  s

ą

  jego  tezami,  ale  nie  s

ą

 

tautologiami, c) s

ą

 tautologiami:  

a)  Nie  jest  tak, 

ż

e  (Hiszpania  jest  wi

ę

ksza  od  Włoch  i  Hiszpania  nie  jest  wi

ę

ksza  od  Włoch),  c  -

~(p

∧∧∧∧

~p) 

b)  Je

ż

eli Kasia jest wy

ż

sza od Ani, to Ania jest wy

ż

sza od Kasi, a 

c)  Istnieje  taki  Wielkopolanin,  który  byt  na  Antarktydzie  lub  był  na  Alasce  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy 

istnieje  taki Wielkopolanin,  który  był  na  Antarktydzie,  lub  istnieje  taki Wielkopolanin,  który  był  na 
Alasce, c - \/

x

[P(x,a) 

∨∨∨∨

 P(x,b)] 

≡

 \/

x

P(x,a) 

∨∨∨∨

 \/

x

P(x,b) 

d)  Mirek jest ojcem Stasia lub Sta

ś

 jest ojcem Mirka. a 

e)  Basia nie lubi porzeczek lub Janek nie lubi agrestu wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, 

ż

e (Basia 

lubi porzeczki, a Janek lubi agrest). c - ~(p

∨∨∨∨

q) 

≡

 (~p

∧∧∧∧

~q) 

f)  Je

ż

eli Pary

ż

 le

ż

y nad Sekwan

ą

, to Pary

ż

 nie le

ż

y nad Tamiz

ą

. b 

 
3. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

 a) nie s

ą

 kontrtezami j

ę

zyka polskiego, b) s

ą

 jego kontrtezami, ale 

nie s

ą

 kontrtautologiami, c) s

ą

 kontrtautologiami: 

a)  Nie jest tak, 

ż

e (je

ś

li ojciec Zosi był w Moskwie, to ojciec Zosi zwiedzał Kreml), a 

b)  Nie jest tak, 

ż

e (Bo

ż

ena jest matk

ą

 Henia wtedy i tylko wtedy, gdy Heniek jest synem Bo

ż

eny), b 

c)  Nie jest tak, 

ż

e jednym ze składników wody jest tlen, a (zdanie to jest aksjomatem – nie tez

ą

) 

d)  Nie  jest  tak, 

ż

e  (je

ś

li  ka

ż

dy  poznaniak  był  nad  morzem,  to  istnieje  taki  poznaniak,  który  był  nad 

morzem), c - /\

x

(A) 

→

 \/

x

(A) 

e)  Nie  jest  tak, 

ż

e  nie  jest  tak, 

ż

e  nie  jest  tak, 

ż

e  (Wielkopolska  graniczy  ze 

Ś

l

ą

skiem  lub 

Wielkopolska nie graniczy ze 

Ś

l

ą

skiem), c - p

∨∨∨∨

~p