Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 1 z 41

Rozdział 1.

1. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

s

ą

zdaniami w sensie logicznym:

a) Nauczyciel nakazał uczniom zapyta

ć

ich rodziców, czy zechc

ą

sfinansowa

ć

wycieczk

ę

klasy nad morze.

b) Dlaczego odpisujesz wykłady od tego kolegi, o którym wiesz,

ż

e notuje niestarannie.

c) Gdy prowadzony jest wykład z logiki niech nikt nie wchodzi na sal

ę

wykładow

ą

.

d) Maria jutro b

ę

dzie zdawa

ć

egzamin z prawa rzymskiego.

e) Niech Jan nie prosi kolegi o po

ż

yczk

ę

pieni

ęż

n

ą

.

f) Studenci wielokrotnie dopytywali wykładowc

ę

o pytania egzaminacyjne z logiki.

2. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

s

ą

prawdziwe, a które fałszywe:

a) W swych „Kronikach” Jan Długosz wspomina o obronie Cz

ę

stochowy przed Szwedami.

Fałszywe - Długosz umarł wcze

ś

niej, wiec zdanie jest fałszywe.

b) Istniej

ą

tylko takie obiekty, o których nie da si

ę

zaprzeczy

ć

,

ż

e nie istniej

ą

.

Fałszywe - Mo

ż

na stworzy

ć

negacj

ę

dowolnego zdania, wi

ę

c o ka

ż

dym obiekcie mo

ż

na zbudowa

ć

zdanie neguj

ą

ce jego istnienie, z zatem powy

ż

sze zdanie jest fałszywe.

c) Je

ż

eli ojcowie s

ą

młodsi od swoich synów, to synowie s

ą

starsi od swoich ojców.

Prawdziwe.

d) Wielu Polaków nie wie,

ż

e stolic

ą

Szwajcarii jest Lozanna.

Fałszywe. Jest to de facto implikacja dwóch zda

ń

Wielu Polaków nie wie,

ż

e stolic

ą

Szwajcarii jest

Lozanna i Lozanna jest stolica Szwajcarii. Skoro jedno jest fałszywe to cało

ść

jest fałszywa.

e) (Niektórzy niscy studenci s

ą

wy

ż

si od wyro

ś

ni

ę

tych przedszkolaków) wtedy i tylko wtedy, gdy (nie

jest tak,

ż

e syn

ż

ony ojca Jana III Sobieskiego nie przegrał bitwy pod Wiedniem).

Prawdziwe. Opisuje je równowa

ż

no

ść

p

≡

~q. p – to zdanie o studentach, q – to zadanie o

Sobieskim.

f) Je

ż

eli (jedna cegła wa

ż

y 1 kg i pół cegły, a waga półtorej cegły jest mniejsza od dwukrotno

ś

ci

wagi jednej cegły), to (połowa wagi dwóch cegieł jest wi

ę

ksza od wagi półtorej cegły lub jedna

cegła wa

ż

y 2 kg).

Prawdziwe. Oddaje je implikacja pierwszego i drugiego zdania.

3. Ustal, z jakich wyra

ż

e

ń

rachunku zda

ń

powstały nast

ę

puj

ą

ce zdania:

a) Nie jest tak,

ż

e {je

ś

li (Piotr idzie na wykład wtedy i tylko wtedy, gdy Piotr niesie notatnik) to, [nie

jest tak,

ż

e (Piotr nie idzie na wykład)]}.

~{(p

≡

q)

→

[~(~p)]}, gdzie p to zdanie Piotr idzie na wykład, a q to zdanie Piotr niesie notatki.

b) Antek wie,

ż

e [Tomek my

ś

li,

ż

e (Antek nie zda egzaminu z logiki lub Antek nie zda egzaminu ze

wst

ę

pu do prawoznawstwa)].

p, gdzie p to całe powy

ż

sze zdanie

c) (Pozna

ń

le

ż

y nad Wisł

ą

lub Jarocin le

ż

y nad Wisł

ą

) wtedy i tylko wtedy, gdy (Jarocin nie jest

miastem portowym).

(p

∨

q)

≡

~r, gdzie p to zdanie Pozna

ń

le

ż

y nad Wisł

ą

, q to zdanie Jarocin le

ż

y nad Wisł

ą

,

r to zdanie Jarocin jest miastem portowym.

d) [(Kasia nie spó

ź

nia si

ę

na wykłady) i (Bronek nie spó

ź

nia si

ę

na wykłady)], a (Zosia nie spó

ź

nia

si

ę

na wykłady wtedy i tylko wtedy, gdy Kasia spó

ź

nia si

ę

na wykłady).

[(~p)

∧

(~q )]

∧

(~r

≡

p), gdzie p to zdanie Kasia spó

ź

nia si

ę

na wykłady, q to zdanie Bronek

spó

ź

nia si

ę

na wykłady, z to zdanie Zosia spó

ź

nia si

ę

na wykłady

e) [(Francja jest wi

ę

ksza od Belgii) a (Hiszpania jest mniejsza od Szwecji lub Szwecja jest równa

Hiszpanii)], natomiast (Portugalia nie jest wi

ę

ksza od Grecji).

[p

∧

(q

∨

r)]

∧

~s, gdzie p to zdanie Francja jest wi

ę

ksza od Belgii, q to zdanie Hiszpania jest

mniejsza od Szwecji, r to zdanie Szwecja jest równa Hiszpanii, s to zdanie Portugalia jest
wi

ę

ksza od Grecji.

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 2 z 41

f) (Ka

ż

dy uniwersytet jest szkoł

ą

wy

ż

sz

ą

, o czym wie ka

ż

dy student), a (

ż

adna spółka jawna nie ma

osobowo

ś

ci prawnej, o czym wiedz

ą

tylko niektórzy prawnicy).

p

∧

q, gdzie p to zdanie Ka

ż

dy uniwersytet jest szkoł

ą

wy

ż

sz

ą

, o czym wie ka

ż

dy student,

q to zdanie

ż

adna spółka jawna nie ma osobowo

ś

ci prawnej, o czym wiedz

ą

tylko niektórzy

prawnicy.

4. Wska

ż

, które z podanych ni

ż

ej sekwencji s

ą

wyra

ż

eniami rachunku zda

ń

:

a) (q

∧

r)

≡

[(~ p

→

q)

∧

(p

∨

∨

r)]

b) ~ ~ ~ ~ p

→

→

→

→

q

c) (r

≡

~ r)

≡

[(~ q

≡

q)

≡

(p

≡

~ p)]

d) Marian wie,

ż

e [(p

∨

~ q)

≡

(~ p

→

q)]

e) [(p

→

r)

∨∨∨∨

~ (q

∧∧∧∧

~ p)]

∨∨∨∨

~ [(~ s

→

q)

≡

(t

∧∧∧∧

s)]

f) (p

∧

q

∧

r) = (p

∧

q

∧

r)

5. Wyka

ż

,

ż

e nast

ę

puj

ą

ce sekwencje s

ą

wyra

ż

eniami rachunku zda

ń

:

a) p

∨

~ p

1. p
2. ~p
3. p

∨

~ p

b) (q

≡

p)

∧

(~ p

→

~ q)

1. p, q
2. ~p, ~q
3. q

≡

p, ~ p

→

~ q

3. (q

≡

p)

∧

(~ p

→

~ q)

c) [(~ p

∧

q)

∧

~ q]

∨

[q

∧

(~ p

∧

q)]

1. p, q
2. ~p, ~q
3. ~ p

∧

q

3. (~ p

∧

q)

∧

~ q, q

∧

(~ p

∧

q)

3. [(~ p

∧

q)

∧

~ q]

∨

[q

∧

(~ p

∧

q)]

d) ~ {[(p

→

~ q)

≡

p]

∧

[~ (~ q

∨

p)

≡

q]}

1. p, q
2. ~q
3. p

→

~ q, ~ q

∨

p

2. ~(~ q

∨

p)

3. (p

→

~ q)

≡

p, ~(~ q

∨

p)

≡

q

3. [(p

→

~ q)

≡

p]

∧

[~ (~ q

∨

p)

≡

q]

2. ~ {[(p

→

~ q)

≡

p]

∧

[~ (~ q

∨

p)

≡

q]}

e) [p

→

(q

→

r)]

→

[~ r

→

(~ q

→

~ p)]

1. p, q, r
2. ~p, ~q, ~r
3. q

→

r, ~ q

→

~ p

3. p

→

(q

→

r), ~ r

→

(~ q

→

~ p)

3. [p

→

(q

→

r)]

→

[~ r

→

(~ q

→

~ p)]

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 3 z 41

f) {r

∧

~ [(p

→

~ q)

∨

~ (~ r

≡

p)]}

∨

~ p

1. p, q, r
2. ~p, ~q, ~r
3. p

→

~ q, ~ r

≡

p

2. ~ (~ r

≡

p)

3. (p

→

~ q)

∨

~ (~ r

≡

p)

2. ~[(p

→

~ q)

∨

~ (~ r

≡

p)]

3. r

∧

~ [(p

→

~ q)

∨

~ (~ r

≡

p)]

3. {r

∧

~ [(p

→

~ q)

∨

~ (~ r

≡

p)]}

∨

~ p

6. Sprawd

ź

metod

ą

0-1, które z nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

s

ą

tezami rachunku zda

ń

:

a) (~ p

→

~ q)

→

(q

→

p)

p

q

~p

~q

~ p

→

~ q

q

→

p

(~ p

→

~ q)

→

(q

→

p)

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

b) [q

∨

(p

→

r)]

≡

[~ r

≡

(p

→

~ q)]

p

q

r

~q

~r

p

→

r

p

→

~ q

q

∨

(p

→

r)

~ r

≡

(p

→

~ q)

[q

∨

(p

→

r)]

≡

[~ r

≡

(p

→

~ q)]

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

c) [(~ r

∨

~ p)

→

(q

≡

r)]

∧

(p

∨

q)

p

q

r

~p

~r

~ r

∨

~ p

q

≡

r

(~ r

∨

~ p)

→

(q

≡

r)

p

∨

q

[(~ r

∨

~ p)

→

(q

≡

r)]

∧

(p

∨

q)

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

d) [(r

≡

q)

∧

(~ q

→

p)]

∨

[(p

∧

~ q)

→

(p

∨

r)]

p

q

r

~q

r

≡

q ~ q

→

p (r

≡

q)

∧

(~ q

→

p) p

∧

~ q p

∨

r (p

∧

~ q)

→

(p

∨

r)

cało

ść

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 4 z 41

e) [(q

∧

~ p)

→

r]

≡

~ [(p

∨

r)

∧

~ (r

≡

q)]

p

q

r

~p

q

∧

~ p

(q

∧

~ p)

→

r

(p

∨

r)

r

≡

q

~ (r

≡

q)

(p

∨

r)

∧

~ (r

≡

q)

~ [(p

∨

r)

∧

~ (r

≡

q)]

cało

ść

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

f) [(p

∨

q)

≡

~ (r

∧

~ s)]

→

[(~ p

≡

q)

∨

s]

p

q

r

s

~p

~s

p

∨

q

r

∧

~ s

~ (r

∧

~ s)

(p

∨

q)

≡

~ (r

∧

~ s)

~ p

≡

q

(~ p

≡

q)

∨

s

cało

ść

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

7. Wyprowad

ź

z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

reguły podstawiania:

a)

1. (q

∨

r)

∨

~ (q

∧

r),

2. (p

→

q)

→

[(q

≡

p)

∨

(~ p

≡

q)],

3. [~ p

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

q],

4. ~ [(q

≡

~ p)

∧

~ (q

≡

~ p)],

5. (r

∧

p)

≡

~ (~ r

∨

~ p),

6. (p

∨

q

∨

r)

→

(r

∨

p

∨

q)

b)

1. {[~ r

≡

(q

∧

p)]

∨

r}

∨

~ {[~ r = (q

∧

p)]

∧

r},

2. (q

∨

r

∨

p)

→

(p

∨

q

∨

r),

3. ~ {[(r

∨

s)

≡

~ (r

→

s)

∧

~ [(r

∨

s)

≡

~ (r

→

s)]},

4. [(p

→

q)

∧

(r

∨

q)]

≡

~ [~ (p

→

q)

∨

~ (r

∨

q)],

5. (r

→

r)

→

[(r

≡

r)

∨

(~ r

≡

r)],

6. [~ (s

→

r)

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

(q

∧

~ s)]

odp. 1 (b1)

1) (q

∨

r)

∨

~ (q

∧

r)

2) {[~ r

≡

(q

∧∧∧∧

p)]

∨

r}

∨

~ {[~ r = (q

∧∧∧∧

p)]

∧

r}

1, q / ~r

≡

(q

∧

p)

{[~ r

≡

(q

∧

p)]

∨

r}

∨

~ {[~ r = (q

∧

p)]

∧

r}

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 5 z 41

odp. 2 (b5)

1) (p

→

q)

→

[(q

≡

p)

∨

(~ p

≡

q)]

2) (r

→

q)

→

[(q

≡

r)

∨

(~ r

≡

q)]

1, p / r

3) (r

→

r)

→

[(r

≡

r)

∨

(~ r

≡

r)]

2, q / r

(r

→

r)

→

[(r

≡

r)

∨

(~ r

≡

r)]

odp. 3 (b6)

1) [~ p

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

q]

2) [~(s

→

r)

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

q]

1, p / s

→

r

3) [~(s

→

r)

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

(q

∧∧∧∧

~ s)]

2, q / q

∧

~ s

[~ (s

→

r)

∨

(r

≡

r)]

∧

[(~ r

≡

~ r)

∨

(q

∧

~ s)]

odp. 4 (b3)

1) ~ [(q

≡

~ p)

∧

~ (q

≡

~ p)]

2) ~ {[(r

∨∨∨∨

s)

≡

~ p]

∧

~ (q

≡

~ p)}

1, q / r

∨

s

3) ~ {[(r

∨

s)

≡

~ (r

→

s)]

∧

~ [q

≡

~ ((r

→

s)]}

2, p / r

→

s

~ {[(r

∨

s)

≡

~ (r

→

s)

∧

~ [(r

∨

s)

≡

~ (r

→

s)]}

odp. 5 (b4)

1) (r

∧

p)

≡

~ (~ r

∨

~ p)

2) (s

∧

p)

≡

~ (~ s

∨

~ p)

1, r / s

3) [s

∧

(r

∨∨∨∨

q)]

≡

~ [~ s

∨

~ (r

∨∨∨∨

q)]

2, p / r

∨

q

4) [(p

→

q)

∧

(r

∨

q)]

≡

~ [~ (p

→

q)

∨

~ (r

∨

q)]

3, s / p

→

q

[(p

→

q)

∧

(r

∨

q)]

≡

~ [~ (p

→

q)

∨

~ (r

∨

q)]

odp. 6 (b2)

1) (p

∨

q

∨

r)

→

(r

∨

p

∨

q)

2) (s

∨

q

∨

r)

→

(r

∨

s

∨

q)

1, p / s

3) (s

∨

q

∨

p)

→

(p

∨

s

∨

q)

2, r / p

4) (s

∨

r

∨

p)

→

(p

∨

s

∨

r)

3, q / r

5) (q

∨

r

∨

p)

→

(p

∨

q

∨

r)

4, s / q

(q

∨

r

∨

p)

→

(p

∨

q

∨

r)

8. Wyprowad

ź

z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

reguły odrywania:

a)

1. (q

≡

q)

→

~ (~ p

∧

p),

2. (r

∨

~ r)

→

{(r

∨

~ r)

→

[q

→

(p

∨

q)]},

3. (q

≡

q),

4. (p

∧

~ q)

→

p,

5. (p

→

p)

→

{(r

∨

~ r)

→

[~ (~ p

∧

p)

→

(~ q

∨

q)]},

6. [(p

∧

~ q)

→

p]

→

(r

∨

~ r),

7. [q

→

(p

∨

q)]

→

{[(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]

→

(p

→

p)},

8. ~ (~ p

∧

p)

→

{(q

≡

q)

→

[(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]},

b)

1. ~ (~ p

∧

p),

2. (r

∨

~ r),

3. (p

→

p),

4. ~ q

∨

q,

5. (~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r),

6. q

→

(p

∨

q)

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 6 z 41

odp. Uwaga! Od 9 tezy kolejno

ść

na

ć

wiczeniach mo

ż

e by

ć

inna, chodzi o pokazanie metody.

Podkre

ś

lone zostały tezy z grupy b.

1) (q

≡

q)

→

~ (~ p

∧

p)

2) (r

∨

~ r)

→

{(r

∨

~ r)

→

[q

→

(p

∨

q)]}

3) (q

≡

q)

4) (p

∧

~ q)

→

p

5) (p

→

p)

→

{(r

∨

~ r)

→

[~ (~ p

∧

p)

→

(~ q

∨

q)]}

6) [(p

∧

~ q)

→

p]

→

(r

∨

~ r)

7) [q

→

(p

∨

q)]

→

{[(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]

→

(p

→

p)

8) ~ (~ p

∧

p)

→

{(q

≡

q)

→

[(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]}

9) (r

∨

~ r)

Od, 6, 4

10) ~ (~ p

∧

p)

Od, 11, 3

11) {(q

≡

q)

→

[(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]}

Od, 8,10

12) (~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)

Od, 11, 3

13) (r

∨

~ r)

→

[q

→

(p

∨

q)]

Od, 2, 9

14) q

→

(p

∨

q)

Od, 13, 9

15) [(~ r

∧

q)

≡

(q

∧

~ r)]

→

(p

→

p)

Od, 7, 14

16) (p

→

p)

Od, 15, 12

17) (r

∨

~ r)

→

[~ (~ p

∧

p)

→

(~ q

∨

q)]

Od, 5, 16

18) ~ (~ p

∧

p)

→

(~ q

∨

q)

Od, 17, 9

19) ~ q

∨

q

Od, 18, 10

9. Wyprowad

ź

z tez grupy a tezy grupy b za pomoc

ą

reguły zast

ę

powania:

a)

a. (q

≡

~ q)

→

(~ p

→

q),

b. ~ (r

→

~ p)

∨

(p

→

~ r),

c. ~ (r

→

~ q)

→

(~ q

→

r),

d. ~ [ ~ (p

→

~ q)

∧

(~ q

∧

p)],

e. (p

∨

r)

≡

(r

∨

p),

f.

~ {[~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]

→

[~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]}

b)

1. (r

∧

q)

→

(q

∨

r),

2. (r

∧

p)

∨

(p

→

~ r),

3. (q

≡

~ q)

→

(p

∨

q),

4. (p

∧

q)

≡

(p

∧

q),

5. ~ [(p

∧

q)

∧

~ (~ q

→

~ p)],

6. ~ {[(p

∨

r)

→

(r

∨

p)

→

~ [(r

∨

p)

→

(p

∨

r)]}

(D1)

C

٨

D =

df

~(C

→

~D)

(D2)

C

٧D =

df

~C

→

D

(D3)

C

≡

D =

df

~[(C

→

D)

→

~(D

→

C)]

odp. a (b3)

1) (q

≡

~ q)

→

(~ p

→

q)

2) (q

≡

~ q)

→

(p

∨∨∨∨

q)

1, D2

(q

≡

~ q)

→

(p

∨

q)

odp. b (b2)

1) ~ (r

→

~ p)

∨

(p

→

~ r)

2) (r

∧∧∧∧

p)

∨

(p

→

~ r)

1, D1

(r

∧

p)

∨

(p

→

~ r)

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 7 z 41

odp. c (b1)

1) ~ (r

→

~ q)

→

(~ q

→

r)

2) (r

∧∧∧∧

q)

→

(~ q

→

r)

1, D1

3) (r

∧

q)

→

(q

∨∨∨∨

r)

2, D2

(r

∧

q)

→

(q

∨

r)

odp. d (b5)

1) ~ [ ~ (p

→

~ q)

∧

(~ q

∧

p)]

2) ~ [(p

∧∧∧∧

q)

∧

(~ q

∧

p)]

1, D1

3) ~ [(p

∧

q)

∧

~ (~ q

→

~ p)]

2, D1

~ [(p

∧

q)

∧

~ (~ q

→

~ p)]

odp. e (b6)

1) (p

∨

r)

≡

(r

∨

p)

2) ~ {[(p

∨∨∨∨

r)

→

(r

∨∨∨∨

p)

→

~ [(r

∨∨∨∨

p)

→

(p

∨∨∨∨

r)]}

1, D3

~ {[(p

∨

r)

→

(r

∨

p)

→

~ [(r

∨

p)

→

(p

∨

r)]}

odp. f (b4)

wariant preferowany przez profesora

1) ~ {[~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]

→

~ [~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]}

2) ~ {[(p

∨∨∨∨

q)

→

~ (p

→

~ q)]

→

~ [~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]}

1, D1

3) ~ {[(p

∨

q)

→

(p

∨∨∨∨

q)]

→

~ [~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]}

2, D1

4) ~ {[(p

∨

q)

→

(p

∨

q)]

→

~ [(p

∨∨∨∨

q)

→

~ (p

→

~ q)]}

3, D1

5) ~ {[(p

∨

q)

→

(p

∨

q)]

→

~ [(p

∨

q)

→

(p

∨∨∨∨

q)]}

4, D1

6) ~ (p

→

~ q)

≡

~ (p

→

~ q)

5, D3

~ (p

→

~ q)

≡

~ (p

→

~ q)

drugi wariant

1) ~ {[~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]

→

~ [~ (p

→

~ q)

→

~ (p

→

~ q)]}

2) ~ (p

→

~ q)

≡

~ (p

→

~ q)

1, D3

3) (p

∧∧∧∧

q)

≡

(p

∧∧∧∧

q)

2, D1

(p

∧

q)

≡

(p

∧

q)

10. Spróbuj udowodni

ć

nast

ę

puj

ą

ce tezy:

a) (q

∨

r)

→

[~ (~ q

→

r)

→

q] (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj reguł

ę

podstawiania, a nast

ę

pnie

reguł

ę

zast

ę

powania - definicje 2),

b) [(r

∧

q)

→

(r

→

~ q)]

→

(r

→

~ q) (wykorzystaj aksjomat 2, zastosuj reguł

ę

podstawiania, a

nast

ę

pnie reguł

ę

zast

ę

powania - definicj

ę

1),

c) [p

→

(~ p

→

q)]

∨

q (wykorzystaj udowodnion

ą

ju

ż

tez

ę

1 z punktu 9 (tego rozdziału), zastosuj

reguł

ę

podstawiania, a nast

ę

pnie do tego, co otrzymałe

ś

i do aksjomatu 3 zastosuj reguł

ę

odrywania),

d) [(p

→

q)

→

~ (q

→

p)

∨

(p

≡

q) (wykorzystaj udowodnion

ą

ju

ż

tez

ę

8 z punktu 9 (tego rozdziału),

zastosuj reguł

ę

podstawiania, a nast

ę

pnie reguł

ę

zast

ę

powania - definicj

ę

3),

e) (p

∨

~ p)

∨

q (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj reguł

ę

podstawiania, nast

ę

pnie zastosuj reguł

ę

odrywania odrywaj

ą

c od tego, co otrzymałe

ś

udowodnion

ą

ju

ż

tez

ę

8 z punktu 9 (tego rozdziału),

na zako

ń

czenie zastosuj reguł

ę

zast

ę

powania definicyjnego - definicj

ę

2),

f) [(p

∨

q)

→

(p

∧

q)]

→

[p

→

(p

∧

q)] (wykorzystaj aksjomat 1, zastosuj reguł

ę

podstawiania,

nast

ę

pnie zastosuj reguł

ę

odrywania i od tego, co otrzymałe

ś

poprzednio oderwij udowodnion

ą

ju

ż

tez

ę

1 z punktu 9 (tego rozdziału), na zako

ń

czenie zastosuj ponownie reguł

ę

podstawiania).

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 8 z 41

(A1)

(p

→

q)

→

[(q

→

r)

→

(p

→

r)]

(A2)

(~p

→

p)

→

p

(A3)

p

→

(~p

→

q)

(D1)

C

٨

D =

df

~(C

→

~D)

(D2)

C

٧D =

df

~C

→

D

(D3)

C

≡

D =

df

~[(C

→

D)

→

~(D

→

C)]

ad. a

(q

∨∨∨∨

r)

→

[~ (~ q

→

r)

→

q]

A3 p

→

(~p

→

q)

1) (q

∨∨∨∨

r)

→

[~(q

∨∨∨∨

r)

→

q]

A3, p / q

∨

r

2) (q

∨

r)

→

[~(~ q

→

r)

→

q]

1, D2

ad. b

[(r

∧∧∧∧

q)

→

(r

→

~ q)]

→

(r

→

~ q)

A2 (~p

→

p)

→

p

1) [~ (r

→

~q)

→

(r

→

~q)]

→

(r

→

~q)

A2, p / r

→

~q

2) [(r

∧∧∧∧

q)

→

(r

→

~ q)]

→

(r

→

~ q)

1, D1

ad. c

[p

→

(~ p

→

q)]

∨∨∨∨

q

1

9

) p

→

(p

∨

q)

2) p

→

(~ p

→

q)

→

{[p

→

(~ p

→

q)]

∨

q}

1

9

, p / p

→

(~ p

→

q)

A3 p

→

(~p

→

q)

3) [p

→

(~ p

→

q)]

∨

q

Od, 2, A3

ad. d

[(p

→

q)

→

~ (q

→

p)]

∨∨∨∨

(p

≡

q)

8

9

p

∨

~p

1) [(p

→

q)

→

~ (q

→

p)]

∨

~[(p

→

q)

→

~ (q

→

p)]

8

9

, p / (p

→

q)

→

~ (q

→

p)

2) [(p

→

q)

→

~ (q

→

p)]

∨

(p

≡

q)

1, D3

ad. e

(p

∨∨∨∨

~ p)

∨∨∨∨

q

A3 p

→

(~p

→

q)

1) (p

∨∨∨∨

~p)

→

[~(p

∨∨∨∨

~p)

→

q]

A3, p / (p

∨

~p)

8

9

) (p

∨

~p)

2) [~(p

∨

~p)]

→

q

Od, 1, 8

9

3) (p

∨

~ p)

∨

q

2, D2

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 9 z 41

ad. f

[(p

∨∨∨∨

q)

→

(p

∧∧∧∧

q)]

→

[p

→

(p

∧∧∧∧

q)]

A1 (p

→

q)

→

[(q

→

r)

→

(p

→

r)]

2) [p

→

(p

∨∨∨∨

q)]

→

{[(p

∨∨∨∨

q)

→

r]

→

(p

→

r)}

A1, q / p

∨

q

1

9

) p

→

(p

∨

q)

3) [(p

∨

q)

→

r]

→

(p

→

r)

Od, 1, 2

9

4) [(p

∨

q)

→

(p

∧∧∧∧

q)]

→

[p

→

(p

∧∧∧∧

q)]

3, r / p

∧

q

Rozdział 2.

1. Wymie

ń

wszystkie terminy jednostkowe wyst

ę

puj

ą

ce w poni

ż

szych zdaniach. Oddziel imiona

własne od deskrypcji:
a. Ojciec Władysława Mickiewicza był najwybitniejszym polskim poet

ą

romantycznym,

b. Zwłoki Bolesława Chrobrego spoczywaj

ą

w Katedrze Pozna

ń

skiej,

c. Główny budowniczy Kanału Sueskiego wiedział,

ż

e 2 + 3 = 5,

d. Irek słyszał jak jego matka chrzestna mówiła,

ż

e Rysiek studiuje na wydziale prawa Uniwersytetu

im. Adama Mickiewicza,

e. Najwybitniejszy logik staro

ż

ytno

ś

ci nauczał w najbardziej demokratycznym mie

ś

cie Grecji,

f.

Ta, która urodziła t

ę

, która urodziła t

ę

, która urodziła t

ę

, która urodziła tego, który jako pierwszy

człowiek stan

ą

ł na Ksi

ęż

ycu nie znała tego, który był ojcem tego, który był ojcem tego, który był

ojcem tego, który odkrył Ameryk

ę

.

2. Wymie

ń

wszystkie funktory wyst

ę

puj

ą

ce w poni

ż

szych zdaniach. Podaj argumenty ka

ż

dego z tych

funktorów.
a) M

ąż

Krystyny jest wiceprezesem do spraw handlu najpr

ęż

niejszej spółdzielni w Wielkopolsce.

funktor

argument

m

ąż

Krystyna

wiceprezes do spraw handlu

najpr

ęż

niejsza spółdzielnia w Wielkopolsce

najpr

ęż

niejsza spółdzielnia

Wielkopolska

b) 4 + (-37) = 4

3

/ 8 – log

10

1000

funktor

argument

+

4, -37

-

37

-

4

3

/ 8, log

10

1000

/

4

3

, 8

ukryte pot

ę

gowanie

4, 3

log

10, 1000

c) Cena najdro

ż

szego biletu na premierowe przedstawienie „Halki” w Operze Pozna

ń

skiej była

równa

ć

wierci ceny wywoławczej jedynego egzemplarza pierwszego numeru „Głosu

Wielkopolskiego” na aukcji zorganizowanej po raz drugi przez Michała.

funktor

argument

cena

najdro

ż

szy bilet na premierowe przedstawienie

„Halki” w Operze Pozna

ń

skiej

najdro

ż

szy bilet

premierowe przedstawienie „Halki” w Operze
Pozna

ń

skiej

premierowe przedstawienie

„Halki” w Operze Pozna

ń

skiej

ć

wierci

ceny

wywoławczej

jedynego

egzemplarza

pierwszego numeru „Głosu Wielkopolskiego” na
aukcji zorganizowanej po raz drugi przez
Michała

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 10 z 41

ceny wywoławczej

jedynego egzemplarza pierwszego numeru
„Głosu Wielkopolskiego”

jedynego egzemplarza

pierwszego numeru „Głosu Wielkopolskiego”

pierwszego numeru

„Głosu Wielkopolskiego”

aukcji zorganizowanej po raz drugi przez

Michała

d) Siła grawitacji mi

ę

dzy Sło

ń

cem a Ziemi

ą

jest wprost proporcjonalna do sumy masy Sło

ń

ca i masy

Ziemi, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległo

ś

ci mi

ę

dzy Sło

ń

cem a Ziemi

ą

.

funktor

argument

siła grawitacji mi

ę

dzy

Sło

ń

ce, Ziemia

suma mas

masa Sło

ń

ca, masa Ziemi

masa

Sło

ń

ce

masa

Ziemia

odległo

ść

mi

ę

dzy

Sło

ń

ce, Ziemia

e) Ten, który zabił tego, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii

naraził si

ę

temu, który skłócił Billa z Jimem.

funktor

argument

ten, który zabił

tego, który zdradził tego, który zniszczył tego, który odkrył najwi

ę

kszy

sekret mafii

ten, który zdradził

tego, który zniszczył tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii

ten, który zniszczył

tego, który odkrył najwi

ę

kszy sekret mafii

ten, który odkrył

najwi

ę

kszy sekret mafii

najwi

ę

kszy sekret

mafia

naraził si

ę

ten, który skłócił Billa z Jimem

ten, który skłócił

Bill, Jim

f) Ró

ż

nica mi

ę

dzy wysoko

ś

ci

ą

nad poziomem morza stolicy Francji a wysoko

ś

ci

ą

nad poziomem

morza stolicy Włoch jest mniejsza ni

ż

ró

ż

nica mi

ę

dzy wysoko

ś

ci

ą

nad poziomem morza szczytu

najwy

ż

szej góry Chin a wysoko

ś

ci

ą

nad poziomem morza uj

ś

cia najdłu

ż

szej rzeki Afryki.

funktor

argument

ró

ż

nica mi

ę

dzy a

wysoko

ść

nad poziomem morza stolicy Francji, wysoko

ść

nad poziomem morza stolicy Włoch

wysoko

ść

nad poziomem morza

stolica Francji

stolica

Francja

wysoko

ść

nad poziomem morza

stolica Włoch

stolica

Włochy

ró

ż

nica mi

ę

dzy a

wysoko

ść

nad poziomem morza szczytu najwy

ż

szej góry

Chin, wysoko

ść

nad poziomem morza uj

ś

cia najdłu

ż

szej

rzeki Afryki

wysoko

ść

nad poziomem morza

szczyt najwy

ż

szej góry Chin

szczyt

najwy

ż

szej góry Chin

najwy

ż

sza góra

Chiny

uj

ś

cie

najdłu

ż

sza rzeka Afryki

najdłu

ż

sza rzeka

Afryka

3. Oddziel te przypadki, w których poprawnie wstawiono terminy jednostkowe za zmienne
indywiduowe, od tych przypadków, w których t

ę

operacj

ę

wykonano niepoprawnie:

a) Je

ż

eli x jest wy

ż

szy od y, za

ś

y jest równy z, to x nie jest ni

ż

szy od z;

Je

ż

eli Robert jest wy

ż

szy od Piotra, za

ś

Piotr jest równy Ani, to Robert nie jest ni

ż

szy od Ani.

x

y

y

z

x

z

↓

↓

↓

↓

↓

↓

Robert

Piotr

Piotr

Ania

Robert

Ania

poprawnie

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 11 z 41

b) Suma x oraz y jest równa z wtedy i tylko wtedy, gdy ró

ż

nica mi

ę

dzy z oraz x równa si

ę

y;

Suma 3 oraz 3 jest równa 7 wtedy i tylko wtedy, gdy ró

ż

nica mi

ę

dzy 7 oraz 3 równa si

ę

3;

x

y

z

z

x

y

↓

↓

↓

↓

↓

↓

3

3

7

7

3

3

poprawnie

c) W indeksie y jest x ocen niedostatecznych, za

ś

według karty egzaminacyjnej y ma z ocen

niedostatecznych;
W indeksie Janka jest 5 ocen niedostatecznych, za

ś

według karty egzaminacyjnej Janek ma 6

ocen niedostatecznych,

y

x

y

z

↓

↓

↓

↓

Janek

5

Janek

6

poprawnie

d) x

1

o

ś

wiadczył x

2

,

ż

e x

3

le

ż

y nad x

4

;

Burek o

ś

wiadczył Poznaniowi,

ż

e 9 le

ż

y nad Giewontem,

x

1

x

2

x

3

x

4

↓

↓

↓

↓

Burek

Pozna

ń

9

Giewont

poprawnie

e) x = y wtedy i tylko wtedy, gdy y = x;

5 = 8 wtedy i tylko wtedy, gdy 5 = 8,

x

y

y

x

↓

↓

↓

↓

5

8

5

8

niepoprawnie

f) x

1

jest starszy od y

1

i x

1

jest wi

ę

kszy od x

2

i x

1

jest pi

ę

kniejszy od y

2

i y

1

jest mniejszy od y

2

i y

1

jest

mniejszy od x

2

i y

1

jest bogatszy od y

2

i x

2

jest czystszy od y

2

;

Pozna

ń

jest starszy od Krakowa i Pozna

ń

jest wi

ę

kszy od Krakowa i Pozna

ń

jest pi

ę

kniejszy od

Wałbrzycha i Kraków jest mniejszy od Wałbrzycha i Kraków jest wi

ę

kszy od Krakowa i Kraków jest

bogatszy od Wałbrzycha i Kraków jest czystszy od Wałbrzycha,

x

1

y

1

x

1

x

2

x

1

y

2

y

1

y

2

y

1

x

2

y

1

y

2

x

2

y

2

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

Poz

Krk

Poz

Krk

Poz

Wał

Krk

Wał

Krk

Krk

Krk

Wał

Krk

Wał

poprawnie

4. Wymie

ń

wszystkie predykaty wyst

ę

puj

ą

ce w poni

ż

szych zdaniach. Podaj argumenty ka

ż

dego z tych

predykatów:
a) Sta

ś

ś

pi,

predykat

argument

ś

pi

Sta

ś

b) Basia spaceruje a Mirek rozmawia z El

ą

, za

ś

Bartek, godzi Michała z Pawłem,

predykat

argument

spaceruje

Basia

rozmawia z

Mirek, Ela

godzi z

Bartek, Michał, Paweł

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 12 z 41

c) /\

x1

/\

x2

/\

y

[x

1

kupił y od x

2

→

\/

z

(x

1

zapłacił x

2

za y kwot

ę

z)],

predykat

argument

kupił od

x

1

,

y, x

2

zapłacił za kwot

ę

x

1,

x

2

, y, z

d) Newton potwierdził teori

ę

heliocentryczn

ą

, a Darwin zanegował pogl

ą

d o niezmienno

ś

ci gatunków,

predykat

argument

potwierdził

Newton, teoria heliocentryczna

zanegował

Darwin, pogl

ą

d o niezmienno

ś

ci gatunków

e) Nie jest tak,

ż

e Kasia nie lubi Włodka i nie jest tak,

ż

e Jola nie siedzi mi

ę

dzy Zosi

ą

a Witkiem,

predykat

argument

lubi

Kasia, Włodek

siedzi mi

ę

dzy

Jola, Zosia, Witek

f) Minister Spraw Zagranicznych Rzeczpospolitej Polskiej starannie przeanalizował wszystkie

mo

ż

liwe warianty reakcji Litwy na porozumienie Polski z Białorusi

ą

o wspieranie zabiegów Ukrainy

o przyj

ę

cie Łotwy do Unii Europejskiej.

predykat 7 argumentowy

argument

starannie przeanalizował wszystkie mo

ż

liwe

warianty reakcji na porozumienie z o wspieranie
zabiegów o przyj

ę

cie do

Minister Spraw Zagranicznych
Rzeczpospolitej Polskiej, Litwa, Polska,
Białoru

ś

, Ukraina, Łotwa, Unia Europejska

5. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych zda

ń

s

ą

:

a) zdaniami atomowymi,
b) zdaniami; prostymi, lecz nie atomowymi,
c) zdaniami molekularnymi,
d) zdaniami zło

ż

onymi, lecz nie molekularnymi:

a) \/

x

(x zna j

ę

zyk hiszpa

ń

ski), b

b) Piku

ś

warkn

ą

ł na Reksa, a

c) Wykładowca dyktuje, a studenci pisz

ą

, d (studenci pisz

ą

– ukryty du

ż

y kwantyfikator)

d) Najwi

ę

kszy stan Stanów Zjednoczonych Ameryki jest wi

ę

kszy od najwi

ę

kszego kraju Republiki

Federalnej Niemiec, a

e) Janka nie lubi czere

ś

ni, za

ś

Kazia nie lubi wi

ś

ni, c

f) /\

x

(je

ż

eli x zdawał egzamin maturalny z historii, to x nie zdawał egzaminu maturalnego z biologii).

d

6. Okre

ś

l zasi

ę

gi poszczególnych kwantyfikatorów w nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

eniach:

a) Dla ka

ż

dego x, [je

ż

eli x sko

ń

czył studia prawnicze, to istnieje taki y,

ż

e (x pisał prac

ę

magistersk

ą

pod kierunkiem y-a)],

x ----- [je

ż

eli x sko

ń

czył studia prawnicze, to istnieje taki y,

ż

e (x pisał prac

ę

magistersk

ą

pod

kierunkiem y-a)]
y ----- (x pisał prac

ę

magistersk

ą

pod kierunkiem y-a)

b) \/

z

{P(x,z)

≡

/\

y

[R(y,z)]},

\/

z

----- P(x,z)

≡

/\

y

[R(y,z)]

/\

y

----- R(y,z)

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 13 z 41

c) /\

x

/\

z

{\/

y

[R(x,y,z]

∧

/\

x

[S(x,y,z)]}

→

~/\

z

\/

x

{P(z,x)

∨

/\

y

P(z,y)},

/\

x

----- /\

z

{\/

y

[R(x,y,z]

∧

/\

x

[S(x,y,z)]}

/\

z

----- \/

y

[R(x,y,z]

∧

/\

x

[S(x,y,z)]

\/

y

----- R(x,y,z)

/\

x

----- S(x,y,z)

/\

z

----- \/

x

{P(z,x)

∨

/\

y

P(z,y)}

\/

x

----- P(z,x)

∨

/\

y

P(z,y)

/\

y

----- P(z,y)

d) /\

y

{R(x,z)

→

\/

z

[R(x,z)]},

/\

y

----- R(x,z)

→

\/

z

[R(x,z)]

\/

z

----- R(x,z)

e) Je

ż

eli ka

ż

dy student prawa złamie jedn

ą

gał

ąź

drzewa genealogicznego, to drzewo genealogiczne

obumrze,

ka

ż

dy student prawa ----- student prawa złamie jedn

ą

gał

ąź

drzewa genealogicznego

f) \/

x

|S(x)

≡

~ \/

y

{P(x,y)

≡

\/

z

[R(x,y,z)]}|.

\/

x

----- S(x)

≡

~ \/

y

{P(x,y)

≡

\/

z

[R(x,y,z)]}

\/

y

----- P(x,y)

≡

\/

z

[R(x,y,z)]

\/

z

----- R(x,y,z)

7. Wska

ż

w których miejscach poni

ż

szych wyra

ż

e

ń

poszczególne zmienne wyst

ę

puj

ą

jako zmienne

wolne, a w których jako zmienne zwi

ą

zane (przez które kwantyfikatory);

a) /\

x

{[P(x,y)]

→

\/

y

~[P(x,y,x)]},

/\

x

{[P(x,y)]

→

\/

y

~[P(x,y,x)]},

b) /\

z

\/

x

(z kocha x-a)

→

\/

x

/\

z

(x jest kochany przez z-a)

c) ~ [P(x, y, z)]

≡

/\

y

|S(x)

∧

/\

x

{S(x, z)

∧

/\

z

[S(x, z, z)]}|,

d) /\

x

|R(x)

∧

\/

x

{S(x)

→

/\

x

[P(x)]}|,

e) \/

z

|P(z, y)

∨

/\

y

{S(x, y)

≡

\/

x

[S(x, z)]}|

∨

~/\

z

[R(z, y)],

f) \/

x

{(x jest bratem y-a)

→

\/

z

[(z jest matk

ą

x-a)

∧

(z jest matk

ą

y-a)]}.

8. Wyka

ż

,

ż

e nast

ę

puj

ą

ce wyra

ż

enia s

ą

formułami zdaniowymi rachunku predykatów:

a) /\

x

[P(x)]

≡

\/

y

[P(y)],

1. P(x), P(y)
4. /\

x

[P(x)], \/

y

[P(y)]

3. /\

x

[P(x)]

≡

\/

y

[P(y)]

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 14 z 41

b) \/

y

{~[P(x)]

∧

~[R(y)]}

→

/\

z

/\

x

{R(x)

∨

~[P(z)]},

1. P(x), R(y), R(x), P(z)
2. ~[P(x)], ~[R(y)], ~[P(z)]
3. ~[P(x)]

∧

~[R(y)], R(x)

∨

~[P(z)]

4. \/

y

{~[P(x)]

∧

~[R(y)]}, /\

x

{R(x)

∨

~[P(z)]}

4. /\

z

/\

x

{R(x)

∨

~[P(z)]}

3. \/

y

{~[P(x)]

∧

~[R(y)]}

→

/\

z

/\

x

{R(x)

∨

~[P(z)]}

c) ~

∫

/\

x

|~{S(x)

∨

~[S(x)]}|

∧

{\/

x

[S(x)]

∨

~\/

x

~[S(x)]}

∫

,

1. S(x),
2. ~[S(x)]
3. S(x)

∨

~[S(x)]

2. ~{S(x)

∨

~[S(x)]},

4. /\

x

|~{S(x)

∨

~[S(x)]}|, \/

x

[S(x)], \/

x

~[S(x)]

2. ~\/

x

~[S(x)]

3. \/

x

[S(x)]

∨

~\/

x

~[S(x)]

3. /\

x

|~{S(x)

∨

~[S(x)]}|

∧

{\/

x

[S(x)]

∨

~\/

x

~[S(x)]}

2. ~

∫

/\

x

|~{S(x)

∨

~[S(x)]}|

∧

{\/

x

[S(x)]

∨

~\/

x

~[S(x)]}

∫

d) ~{R(x)

∨

\/

y

[R(y)]}

≡

/\

x

{~[R(y)]

∨

~\/

z

[R(x)]},

1. R(x), R(y)
4. \/

y

[R(y)], \/

z

[R(x)]

2. ~[R(y)], ~\/

z

[R(x)]

3. R(x)

∨

\/

y

[R(y)], ~[R(y)]

∨

~\/

z

[R(x)]

2. ~{R(x)

∨

\/

y

[R(y)]},

4. /\

x

{~[R(y)]

∨

~\/

z

[R(x)]}

3. ~{R(x)

∨

\/

y

[R(y)]}

≡

/\

x

{~[R(y)]

∨

~\/

z

[R(x)]}

e) |/\

x

[P(x,y)

∧

/\

y

{~ /\

z

[P(y,z)]}|

∨

~\/

x

[P(x,y)],

1. P(x,y), P(y,z), P(x,y)
4. /\

x

[P(x,y), /\

z

[P(y,z)], \/

x

[P(x,y)]

2. ~ /\

z

[P(y,z)], ~\/

x

[P(x,y)]

4. /\

y

{~ /\

z

[P(y,z)]}

3. /\

x

[P(x,y)

∧

/\

y

{~ /\

z

[P(y,z)]}

3. |/\

x

[P(x,y)

∧

/\

y

{~ /\

z

[P(y,z)]}|

∨

~\/

x

[P(x,y)]

f) \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]}

→

{/\

x

[P(x)]

≡

~/\

z

[P(y)]},

1. P(x), P(y)
2. ~[P(x)]
4. /\

x

[P(x)], /\

z

[P(y)]

2. ~~[P(x)], ~/\

z

[P(y)]

3. /\

x

[P(x)]

≡

~/\

z

[P(y)]

2. ~~~[P(x)]
4. \/

z

{~ ~ ~[P(x)]}

4. \/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]}

4. \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]}

3. \/

x

\/

y

\/

z

{~ ~ ~[P(x)]}

→

{/\

x

[P(x)]

≡

~/\

z

[P(y)]}

9. Przekształ

ć

te z poni

ż

szych wyra

ż

e

ń

, które s

ą

zdaniami j

ę

zyka polskiego na zdania rachunku

predykatów, a te, które s

ą

zdaniami rachunku predykatów na zdania j

ę

zyka polskiego:

a) Ka

ż

dy, kto zdawał egzamin z prawa cywilnego, zdawał te

ż

egzamin z logiki,

/\

x

[P(x)

→

R(x)] lub /\

x

[S(x,a)

→

S(x,b)]

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 15 z 41

b) P(a)

→

\/

x

[R(x,a)],

Je

ż

eli Pozna

ń

jest miastem, to istnieje taki kto

ś

, kto jest prezydentem Poznania.

c) Nikt nie był w Honolulu,

~\/

x

P(x,a) lub /\

x

~P(x,a)

d) /\

x

/\

y

[P(x,y)]

→

\/

x

\/

y

[P(x,y)],

Je

ż

eli ka

ż

dy Palesty

ń

czyk nienawidzi ka

ż

dego

Ż

yda, to istnieje taki Palesty

ń

czyk, który nienawidzi

jakiego

ś

Ż

yda.

e) Nie istnieje nikt taki, kto by rozmawiał z Mieszkiem I i walczył pod Grunwaldem, i widział ka

ż

dego

husarza polskiego,

~\/

x

{P(x,a)

∧

R(x,b)

∧

/\

y

[T(y)

→

S(x,c)]} (T(y) – by

ć

husarzem polskim)

f) \/

x

{[S(x,a)

∧

S(x,b)]

≡

\/

y

[R(y,a)

∧

R(y,b)

∧

R(y,x)]}.

Istnieje taki Jurek, który ma t

ę

sam

ą

matk

ę

co Michał i ma t

ę

sam

ą

matk

ę

co Basia wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje taka kobieta, która jest matk

ą

Michała i jest matk

ą

Basi i jest matk

ą

Jurka

10. Wska

ż

, jakie tezy rachunku predykatów egzemplifikowane s

ą

przez nast

ę

puj

ą

ce zdania j

ę

zyka

polskiego:
a) Je

ż

eli istnieje taki student prawa, który umie gra

ć

na tr

ą

bce i umie ta

ń

czy

ć

walca, to istnieje taki

student prawa, który umie gra

ć

na tr

ą

bce i istnieje taki student prawa, który umie ta

ń

czy

ć

walca,

\/

x

(A

∧

B)

→

\/

x

(A)

∧

\/

x

(B) - prawo rozkładania małego kwantyfikatora wzgl

ę

dem koniunkcji

b) Je

ż

eli ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy studiuje na pierwszym

roku, to ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy ka

ż

dy student prawa

studiuje na pierwszym roku,

/\

x

(A

≡

B)

→

[/\

x

(A)

≡

/\

x

(B)] - prawo ekstensjonalno

ś

ci dla du

ż

ego kwantyfikatora

c) Nie istnieje taki student prawa, który był na Marsie wtedy i tylko wtedy, gdy

ż

aden student prawa

nie był na Marsie,

~\/

x

(A)

≡

/\

x

~(A) – prawo negowania małego kwantyfikatora [/\

x

~ nale

ż

y czyta

ć

jako „

ż

aden”]

d) Nie jest tak,

ż

e ka

ż

dy student prawa zdaje egzamin poprawkowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

taki student prawa, który nie zdaje egzaminuj poprawkowego,

~/\

x

(A)

≡

\/

x

~(A) - prawo negowania du

ż

ego kwantyfikatora

e) Istnieje taki student prawa, który interesuje si

ę

logik

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak,

ż

e

ż

aden student prawa nie interesuje si

ę

logik

ą

,

\/

x

(A)

≡

~/\

x

~(A) – prawo zast

ę

powania małego kwantyfikatora

f) Ka

ż

dy student prawa ma matur

ę

i ma prawo jazdy wtedy i tylko wtedy, gdy ka

ż

dy student prawa

ma matur

ę

i ka

ż

dy student prawa ma prawo jazdy.

/\

x

(A

∧

B)

≡

[/\

x

(A)

∧

/\

x

(B)] - prawo rozkładania du

ż

ego kwantyfikatora wzgl

ę

dem koniunkcji

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 16 z 41

Rozdział 3

1. Podaj po trzy przykłady:
zbiorów pi

ę

cioelementowych,

1. zbiór hokeistów danej dru

ż

yny na lodowisku

2. zbiór członków kwintetu muzycznego
3. zbiór liczb naturalnych od 1 do 5

zbiorów dziesi

ę

cioelementowych,

1. zbiór paciorków w 10 ró

ż

a

ń

ca

2. zbiór centurii w samodzielnej kohorcie
3. zbiór 10 przykaza

ń

zbiorów dwunastoelementowych,

1. zbiór miesi

ę

cy w roku

2. zbiór tuzina jajek
3. zbiór apostołów

zbiorów sko

ń

czonych,

1. zbiór dni w roku
2. zbiór godzin w dobie
3. zbiór

ś

liwek w słoiku

maj

ą

cych ponad sto elementów,

1. zbiór studentów 1 roku prawa chodz

ą

cych na wykład z logiki

2. zbiór studentów UAM
3. zbiór posłów na Sejm

zbiorów niesko

ń

czonych,

1. zbiór liczb naturalnych
2. zbiór tez rachunku zda

ń

rodzin zbiorów.

1. zbiór zbiorów narodowo

ś

ci

2. zbiór gatunków zwierz

ą

t

3. zbiór studentów poszczególnych wydziałów UAM

2. Za pomoc

ą

trzech kół na jednym rysunku zilustruj stosunki mi

ę

dzy:

a) zbiorem zda

ń

prawdziwych (Z), zbiorem zda

ń

zło

ż

onych (Y), zbiorem zda

ń

nie zawieraj

ą

cych

kwantyfikatorów (X),

X

Z

Y

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 17 z 41

b) zbiorem ssaków (Z), zbiorem zwierz

ą

t

ż

yj

ą

cych w wodzie (Y), zbiorem delfinów (X),

c) zbiorem predykatów jednoargumentowych (Z), zbiorem wyra

ż

e

ń

(Y), zbiorem predykatów

dwuargumentowych (X),

d) zbiorem dni 1990 r. (Z), zbiorem tygodni 1990 r. (Y), zbiorem miesi

ę

cy 1990 r. (X),

e) zbiorem zbiorów jednoelementowych (Z), zbiorem zbiorów dwuelementowych oraz zbiorów

trójelementowych (Y), zbiorem zbiorów trójelementowych oraz zbiorów czteroelementowych (X),

f) zbiorem podzbiorów dopełnienia zbioru studentów do zbioru ludzi (Z’), zbiorem podzbiorów zbioru

brunetów (Y), zbiorem podzbiorów zbioru łysych analfabetów (X).

X

Z

Y

Z

X

Y

Z

Y

X

Z

Y

X

Z’

Y

X

zbiór pusty Ø

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 18 z 41

3. Podaj przykłady takich trójek zbiorów, miedzy którymi zachodz

ą

stosunki zilustrowane na

nast

ę

puj

ą

cych rysunkach:

e)

f)

a) X - zbiór zwierz

ą

t, Y - zbiór kotów, Z – zbiór zwierz

ą

t domowych

b) X - zbiór mieszka

ń

ców Poznania, Y - zbiór studentów, Z – zbiór mieszka

ń

ców Gniezna

c) X - zbiór ryb, Y - zbiór rekinów, Z – zbiór ptaków
d) X - zbiór zwierz

ą

t, Y - zbiór ryb, Z – zbiór rekinów

e) X - zbiór zwierz

ą

t ze sklepu zoologicznego, Y - zbiór kotów, Z – zbiór kotów perskich

f) X – zbiór osób o wzro

ś

cie do 180 cm, Y – zbiór osób o wzro

ś

cie ponad 160 cm, Z – zbiór

brunetów

4. Na trzech odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz sumy nast

ę

puj

ą

cych zbiorów:

a) zbioru kobiet (X), zbioru studentów (Y), zbioru sportowców (Z),








b) zbioru wróbli (Z), zbioru ptaków (Y), zbioru kr

ę

gowców (X),

c) zbioru motyli (X), zbioru znaczków pocztowych (Y), zbioru rzek (Z),

X

Y

Z

Z

Y

X

Z

X

Y

Y

X

Z

X

Z

Y

Z

X

Y

X

Z

Y

X

X

Y

Z

Y

Z

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 19 z 41

d) zbioru przedszkolaków (X), zbioru kaliszan (Y), zbioru studentów (Z),

e) zbioru oficerów (X), zbioru kapitanów (Y), zbioru majorów (Z),

f) zbioru ryb (X), zbioru ssaków (Y), zbioru małp (Z).











5. Na trzech odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz iloczyny nast

ę

puj

ą

cych

zbiorów:
a) zbioru lekarzy (X), zbioru sportowców (Y), zbioru szatynów (Z),

Y

X

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Z

Y

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 20 z 41

b) zbioru szczupaków (Z), zbioru ryb (Y), zbioru kr

ę

gowców (X),

c) zbioru domów (X), zbioru gór (Y), zbioru miast (Z),

zbiór pusty Ø

d) zbioru Polaków (X), zbioru studentów (Y), zbioru poznaniaków studiuj

ą

cych prawo (Z),

e) zbioru Amerykanów (X), zbioru nowojorczyków (Y), zbioru pływaków (Z),

Z

Y

X

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Z

Y

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 21 z 41

f) zbioru stołów (X), zbioru zda

ń

atomowych (Y), zbioru zda

ń

prawdziwych (Z).

zbiór pusty Ø


6. Na dwóch odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz ró

ż

nice mi

ę

dzy:

a) zbiorem ksi

ąż

ek (Z) a zbiorem podr

ę

czników (Y),

b) zbiorem zda

ń

zło

ż

onych (Z) a zbiorem zda

ń

fałszywych (Y),

c) zbiorem koni (Z) a zbiorem słoni (Y),

d) zbiorem funktorów (Z) a zbiorem wyra

ż

e

ń

(Y),

zbiór pusty Ø

X

Y

Z

Z

Y

Z

Y

Z

Y

Z

Y

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 22 z 41

e) zbiorem lekkoatletów (Z) a zbiorem filatelistów (Y),

f) zbiorem kartofli a zbiorem ziemniaków,

zbiór pusty Ø

7. Na trzech odpowiednio ustawionych wzgl

ę

dem siebie kołach zaznacz:

a) sum

ę

ró

ż

nicy mi

ę

dzy zbiorem studentów (X) a zbiorem Wielkopolan (Y) oraz ró

ż

nicy mi

ę

dzy

zbiorem licealistów (Z) a zbiorem Wielkopolan,

b) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) (U) iloczynu zbioru prawników (Y) i zbioru

poznaniaków (Z).

c) sum

ę

iloczynu zbioru ró

ż

(Z) i zbioru

ż

ółtych kwiatów (Y) oraz iloczynu zbioru

ż

ółtych kwiatów i

zbioru tulipanów (X),

Z

Y

Z

Y

X

Y

Z

U

Y

Z

Z

Y

X

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 23 z 41

d) ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy zbiorem studentów (Z) a iloczynem zbioru sportowców (Y) i zbioru siatkarzy (X),

e) dopełnienie (do zbioru przedmiotów materialnych) (U) sumy zbioru krów (Y) i zbioru owiec (Z),

f) iloczyn zbioru ptaków (Z) i ró

ż

nicy mi

ę

dzy zbiorem kaczek (Y) a zbiorem cyranek (X).

8. Okre

ś

l warto

ść

logiczn

ą

nast

ę

puj

ą

cych zda

ń

:

a) iloczyn zbioru harcerek i zbioru ły

ż

wiarek zawiera si

ę

w sumie zbioru ły

ż

wiarek i zbioru harcerek,

PRAWDA

b) zbiór zbiorów pustych jest zbiorem pustym, FAŁSZ (jest to jednoelementowy zbiór zawieraj

ą

cy

zbiór pusty)

c) Pozna

ń

jest elementem zbioru podzbiorów zbioru miast polskich, FAŁSZ (elementem tego

zbioru s

ą

zbiory, a nie poszczególne miasta)

d) zbiór medyków jest podzbiorem wła

ś

ciwym zbioru lekarzy, FAŁSZ

e) zbiór dni tygodnia nie zawiera si

ę

w zbiorze zbiorów siedmioelementowych, PRAWDA (bo dni

tygodnia nie s

ą

zbiorami siedmioelementowymi)

f) zbiór zbiorów gwiazd jest zbiorem jednoelementowym. FAŁSZ (je

ś

li przez zbiór gwiazd

rozumiemy z zbiór zawieraj

ą

cy tylko gwiazdy, ale nie wszystkie gwiazdy)

9. Uzupełnij poni

ż

sze wyra

ż

enia tak, aby stały si

ę

one egzemplifikacjami okre

ś

lonych twierdze

ń

rachunku zbiorów. Wska

ż

, które twierdzenia egzemplifikuj

ą

poszczególne uzupełnienia:

a) suma zbioru grzybów oraz sumy zbioru psów i zbioru jamników jest identyczna z sum

ą

sumy

zbioru grzybów oraz zbioru psów i zbioru jamników.

Z

∪

(Y

∪

X) = (Z

∪

Y)

∪

X

Z

X

Y

Z

Y

U

X

Y

Z

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 24 z 41

b) iloczyn zbioru in

ż

ynierów oraz iloczynu zbioru Niemców i zbioru tenisistów jest identyczny z

iloczynem iloczynu zbioru in

ż

ynierów i zbioru Niemców oraz zbioru tenisistów.

Z

∩

(Y

∩

X) = (Z

∩

Y)

∩

X

c) iloczyn zbioru brunetek oraz sumy zbioru Litwinek i zbioru Polek jest identyczny z sum

ą

iloczynu

zbioru brunetek i zbioru Litwinek oraz iloczynu zbioru brunetek i zbioru Polek.

Z

∩

(Y

∪

X) = (Z

∩

Y)

∪

(Z

∩

X)

d) suma zbioru kwiatów oraz iloczynu zbioru much i zbioru g

ę

si jest identyczna z iloczynem sumy

zbioru kwiatów i zbioru much oraz sumy zbioru kwiatów i zbioru g

ę

si.

Z

∪

(Y

∩

X) = (Z

∪

Y)

∩

(Z

∪

X)

e) ró

ż

nica zbioru studentów oraz sumy zbioru studentów prawa i zbioru studentów historii jest

identyczna z iloczynem ró

ż

nicy zbioru studentów i zbioru studentów prawa oraz ró

ż

nicy

zbioru studentów i zbioru studentów historii.

Z - (Y

∪

X) = (Z - Y)

∩

(Z - X)

f) dopełnienie (do zbioru ludzi) sumy zbioru Wielkopolan i zbioru studentów jest identyczne z

iloczynem dopełnienia (do zbioru ludzi) zbioru Wielkopolan i dopełnienia (do zbioru ludzi)
zbioru studentów.

(Z

∪

Y)’ = Z’

∩

Y’

10. Podaj przykład:
a) dychotomicznego podziału zbioru samochodów,

samochody z hakiem holowniczym – samochody bez haka holowniczego
samochody z katalizatorem – samochody bez katalizatora
samochody ABS – samochody bez ABS

b) podziału wedle pewnej zasady zbioru miast,

podział ze wzgl

ę

du na liczb

ę

mieszka

ń

ców ( do 10 tys., od 10 tys. do 50 tys., powy

ż

ej 50 tys.)

c) naturalnego z punktu widzenia botaniki podziału zbioru ro

ś

lin,

ro

ś

liny jednolistne i ro

ś

liny dwulistne,

ro

ś

liny z korzeniem palowym i ro

ś

liny z korzeniem poziomym

d) sztucznego z punktu widzenia mechaniki podziału zbioru rowerów,

podział wzgl

ę

dem koloru ramy

e) dwustopniowej klasyfikacji zbioru ksi

ąż

ek,

ksi

ąż

ki

w twardej

okładce

w mi

ę

kkiej

okładce

do 200 stron

powy

ż

ej

200 stron

do 200 stron

powy

ż

ej

200 stron

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 25 z 41

f) trójstopniowej klasyfikacji zbioru psów.

























Rozdział 4

1. Okre

ś

l dziedzin

ę

, przeciwdziedzin

ę

i pole nast

ę

puj

ą

cych relacji: bycia dziadkiem, posiadania,

implikowania, bycia wynalazc

ą

, identyczno

ś

ci, zaufania.

R

D(R)

¯ D(R)

P(R)

relacja

/\

x

[x

∈

D(R)

≡

\/

y

(xRy)]

/\

x

[x

∈

¯ D(R)

≡

\/

y

(yRx)]

/\

x

[x

∈

P(R)

≡

x

∈

D(R)

∨

x

∈

¯ D(R)]

bycia dziadkiem

zbiór dziadków

zbiór wnucz

ą

t

zbiór dziadków i wnucz

ą

t

posiadania

zbiór posiadaczy

zbiór obiektów
posiadanych przez
kogo

ś

zbiór posiadaczy i
przedmiotów posiadanych
przez kogo

ś

implikowania

zbiór wszystkich zda

ń

w sensie logicznym,
które implikuj

ą

inne

zdanie (zbiór
wszystkich zda

ń

stanowi

ą

cych

poprzednik implikacji)

zbiór wszystkich zda

ń

w sensie logicznym,
które s

ą

implikowane

przez inne zdanie
(zbiór wszystkich zda

ń

stanowi

ą

cych

nast

ę

pniki implikacji)

zbiór zda

ń

w sensie

logicznym

bycia wynalazc

ą

zbiór wynalazców

zbiór wynalazków

zbiór wynalazców i
wynalazków

identyczno

ś

ci

zbiór wszystkich
obiektów

zbiór wszystkich
obiektów

zbiór wszystkich obiektów

zaufania

zbiór obiektów, które
komu

ś

ufaj

ą

zbiór obiektów,
którym

ś

kto

ś

ufa

zbiór obiektów, które komu

ś

ufaj

ą

i obiektów, którym

ś

kto

ś

ufa

2. Wska

ż

, która z nast

ę

puj

ą

cych relacji jest zwrotna, która jest niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna, a

która jest przeciwzwrotna:

•

sprzeczno

ś

ci (w zbiorze zda

ń

), przeciwzwrotna

•

głosowania na (w zbiorze Polaków uprawnionych do głosowania), niezwrotna, ale nie
przeciwzwrotna

•

egzaminowania (w zbiorze społeczno

ś

ci akademickiej), przeciwzwrotna

psy

psy rasowe

psy nierasowe

psy z obwisłymi

uszami

psy ze

stercz

ą

cymi

uszami

psy z obwisłymi

uszami

psy ze

stercz

ą

cymi

uszami

psy nie-

długowłose

psy

długowłose

psy nie-

długowłose

psy

długowłose

psy nie-

długowłose

psy

długowłose

psy nie-

długowłose

psy

długowłose

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 26 z 41

•

bycia podzbiorem (w zbiorze zbiorów jednoelementowych), zwrotna (bo ka

ż

dy zbiór jest swoim

podzbiorem)

•

bycia równokolorowym (w zbiorze kwiatów), zwrotna

•

u

ś

miercania (w zbiorze ludzi). niezwrotna, ale nie przeciwzwrotna

3. Wska

ż

, która z nast

ę

puj

ą

cych relacji jest symetryczna, która jest niesymetryczna, ale nie

przeciwsymetryczna, a która jest przeciwsymetryczna:

•

równowa

ż

no

ś

ci (w zbiorze zda

ń

), symetryczna

•

okr

ąż

ania (w zbiorze ciał niebieskich), niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna (s

ą

gwiazdy podwójne, które si

ę

wzajemnie okr

ąż

aj

ą

),

•

ł

ą

czenia si

ę

(w zbiorze spółdzielni), symetryczna

•

krzy

ż

owania (w zbiorze zbiorów pi

ę

cioelementowych), symetryczna

•

obmawiania (w zbiorze ludzi) niesymetryczna, ale nie przeciwsymetryczna

•

bycia wi

ę

kszym (w zbiorze jezior) przeciwsymetrzyczna

4. Wska

ż

, która z nast

ę

puj

ą

cych relacji jest przechodnia, która jest nieprzechodnia, ale nie

przeciwprzechodnia, a która jest przeciwprzechodnia:

•

wykluczania

si

ę

(w

zbiorze

zbiorów

dwuelementowych),

nieprzechodnia,

ale

nie

przeciwprzechodnia

•

bycia nast

ę

pc

ą

(w zbiorze królów Polski), przeciwprzechodnia

•

bycia powinowatym (w zbiorze ludzi), nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia

•

bycia wierzycielem (w zbiorze osób prawnych), nieprzechodnia, ale nie przeciwprzechodnia
(bo s

ą

d mo

ż

e przenie

ść

wierzytelno

ść

)

•

bycia babci

ą

(w zbiorze ludzi), przeciwprzechodnia

•

zawierania wi

ę

kszej ilo

ś

ci negacji (w zbiorze zda

ń

). przechodnia

5. Maj

ą

c na uwadze znane ci rodzaje relacji zakwalifikuj nast

ę

puj

ą

ce relacje:

•

bycia podwójn

ą

negacj

ą

(w zbiorze zda

ń

), przeciwzwrotna, przeciwsymetryczna i

przeciwprzechodnia

•

bycia równoszybkim (w zbiorze samochodów), zwrotna, symetryczna i przechodnia

•

dr

ę

czenia (w zbiorze ludzi), niezwrotna, niesymetryczna ale nie przeciwsymetryczna i

nieprzechodnia ale nie przeciwprzechodnia

•

implikowania (w zbiorze zda

ń

), zwrotna, niesymetryczna i przechodnia (prawo sylogizmu

hipotetycznego)

•

bycia poj

ę

tniejszym (w zbiorze psów), niezwrotna, przeciwsymetryczna i przechodnia

•

bycia pełnomocnikiem procesowym (w zbiorze osób wyst

ę

puj

ą

cych w procesach cywilnych).

przeciwzwrotna (nie mo

ż

na by

ć

swoim pełnomocnikiem), niesymetryczna ale nie

przeciwsymetryczna (bo jeden adwokat mo

ż

e prowadzi

ć

klika spraw) i nieprzechodnia ale nie

przeciwprzechodnia

6. Podaj konwersy nast

ę

puj

ą

cych relacji:

•

bycia nadzbiorem wła

ś

ciwym, bycia podzbiorem wła

ś

ciwym

•

bycia sprzecznym z, bycia sprzecznym

•

implikowania, implikowania

•

kochania, bycia kochanym

•

bycia podziwianym, podziwiania

•

s

ą

siadowania. s

ą

siadowania

7. Wska

ż

, jakich relacji iloczynami wzgl

ę

dnymi s

ą

nast

ę

puj

ą

ce relacje:

•

bycia te

ś

ciem, relacja bycia ojcem, relacja bycia mał

ż

onkiem

•

bycia cioci

ą

, relacja bycia siostr

ą

, relacja bycia ojcem

•

bycia stryjenk

ą

, relacja bycia

ż

on

ą

, relacja bycia stryjem

•

bycia wujenk

ą

, relacja bycia

ż

on

ą

, relacja bycia wujem

•

bycia bratow

ą

, relacja bycia

ż

on

ą

, relacja bycia bratem

•

bycia szwagrem. relacja bycia m

ęż

em, relacja bycia siostr

ą

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 27 z 41

8. Po

ś

ród nast

ę

puj

ą

cych relacji wska

ż

relacje równo

ś

ciowe:

•

równowa

ż

no

ś

ci (w zbiorze zda

ń

),

•

posiadania tej samej grupy krwi (w zbiorze ludzi),

•

dowodzenia (w zbiorze

ż

ołnierzy),

•

identyczno

ś

ci (w zbiorze liczb),

•

bycia silniejszym (w zbiorze atletów),

•

podpowiadania (w zbiorze studentów zdaj

ą

cych egzamin pisemny).

9. Po

ś

ród nast

ę

puj

ą

cych relacji wska

ż

relacje liniowo porz

ą

dkuj

ą

ce:

•

starsze

ń

stwa stopniem (w zbiorze

ż

ołnierzy),

•

bycia dłu

ż

nikiem (w zbiorze spółek),

•

wy

ż

szo

ś

ci (w zbiorze koszykarzy jednej dru

ż

yny), je

ś

li nie ma identycznych

•

na

ś

ladowania (w zbiorze artystów),

•

bycia wi

ę

kszym (w zbiorze pa

ń

stw europejskich), je

ś

li nie ma identycznych

•

znania (w zbiorze mieszka

ń

ców jednej kamienicy).

10. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych relacji s

ą

funkcjami:

a) relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest jedynym spadkobierc

ą

x-a,

b) relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest dowodem osobistym x-a,

c) relacja zachodz

ą

ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest silniejszy od x-a,

d) relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest kierownic

ą

x-a,

e) relacja zachodz

ą

ca mi

ę

dzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest pradziadkiem x-a,

f) relacja zachodz

ą

ca miedzy x i y wtedy i tylko, gdy y jest prezydentem x-a.

Rozdział 5

1. Ustal, ze wzgl

ę

du na uchybienia jakiego typu regułom poni

ż

sze sekwencje nie s

ą

wyra

ż

eniami

je

ż

yka polskiego:

a) frigmo jest zielone, słownikowe
b) my

ś

li o stolicy Wielkopolski nie siedzi przy, gramatyczne

c) je

ż

eli Antek, to Władek gra w szachy z Janka, gramatyczne

d) rozstrzyga spór miedzy Francj

ą

prasim lub

ś

piewa, słownikowe

e) najstarszy brat ifri a najmłodszy brat ta

ń

czy z obserwuje, słownikowe i gramatyczne

f) ka

ż

dy student pierwszego roku prawa zdaje egzamin z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje

taki student pierwszego roku prawa, który berde egzamin poprawkowy z prawa rzymskiego.
słownikowe

2. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

a) nie s

ą

tezami j

ę

zyka polskiego, b) s

ą

jego tezami, ale nie s

ą

tautologiami, c) s

ą

tautologiami:

a) Nie jest tak,

ż

e (Hiszpania jest wi

ę

ksza od Włoch i Hiszpania nie jest wi

ę

ksza od Włoch), c -

~(p

∧∧∧∧

~p)

b) Je

ż

eli Kasia jest wy

ż

sza od Ani, to Ania jest wy

ż

sza od Kasi, a

c) Istnieje taki Wielkopolanin, który byt na Antarktydzie lub był na Alasce wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje taki Wielkopolanin, który był na Antarktydzie, lub istnieje taki Wielkopolanin, który był na
Alasce, c - \/

x

[P(x,a)

∨∨∨∨

P(x,b)]

≡

\/

x

P(x,a)

∨∨∨∨

\/

x

P(x,b)

d) Mirek jest ojcem Stasia lub Sta

ś

jest ojcem Mirka. a

e) Basia nie lubi porzeczek lub Janek nie lubi agrestu wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak,

ż

e (Basia

lubi porzeczki, a Janek lubi agrest). c - ~(p

∨∨∨∨

q)

≡

(~p

∧∧∧∧

~q)

f) Je

ż

eli Pary

ż

le

ż

y nad Sekwan

ą

, to Pary

ż

nie le

ż

y nad Tamiz

ą

. b

3. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

a) nie s

ą

kontrtezami j

ę

zyka polskiego, b) s

ą

jego kontrtezami, ale

nie s

ą

kontrtautologiami, c) s

ą

kontrtautologiami:

a) Nie jest tak,

ż

e (je

ś

li ojciec Zosi był w Moskwie, to ojciec Zosi zwiedzał Kreml), a

b) Nie jest tak,

ż

e (Bo

ż

ena jest matk

ą

Henia wtedy i tylko wtedy, gdy Heniek jest synem Bo

ż

eny), b

c) Nie jest tak,

ż

e jednym ze składników wody jest tlen, a (zdanie to jest aksjomatem – nie tez

ą

)

d) Nie jest tak,

ż

e (je

ś

li ka

ż

dy poznaniak był nad morzem, to istnieje taki poznaniak, który był nad

morzem), c - /\

x

(A)

→

\/

x

(A)

e) Nie jest tak,

ż

e nie jest tak,

ż

e nie jest tak,

ż

e (Wielkopolska graniczy ze

Ś

l

ą

skiem lub

Wielkopolska nie graniczy ze

Ś

l

ą

skiem), c - p

∨∨∨∨

~p

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 28 z 41

f) Nie jest tak,

ż

e ka

ż

dy masarz jest rze

ź

nikiem. b

4. W

ś

ród poni

ż

szych zda

ń

wyszukaj zdania równoznaczne:

a) Nie jest tak,

ż

e (Marek jest wy

ż

szy od Ewy i Halina jest starsza od Józia), ~(p

∧∧∧∧

q)

b) Marek nie jest wy

ż

szy od Ewy lub Halina jest starsza od Józia, ~p

∨∨∨∨

q

c) Nie jest tak,

ż

e (Halina nie jest starsza od Józia i Marek jest ni

ż

szy od Ewy), ~(~q

∧∧∧∧

p)

d) Marek nie jest wy

ż

szy od Ewy lub Józio nie jest starszy od Haliny. ~p

∨∨∨∨

q

e) Nie jest tak,

ż

e (Józio jest starszy od Haliny i Marek jest wy

ż

szy od Ewy), ~(~q

∧∧∧∧

p)

≡

(q

∨∨∨∨

~p)

f) Józio jest młodszy od Haliny lub Marek nie jest ni

ż

szy od Ewy. q

∨∨∨∨

~p

„b” i „f”, „b” i „e”, „c” i „e”, „d” i ‘e”

5. W poni

ż

szych zdaniach wyszukaj wyra

ż

enia równoznaczne:

a) Ka

ż

dy, kto uczy si

ę

w

ś

redniej szkole ogólnokształc

ą

cej, jest przekonany,

ż

e Wrocław jest stolic

ą

Grecji,

b) Je

ś

li Onufry jest najstarszym mieszka

ń

cem Poznania, to Onufry nie prowadzi auta,

c) Nie jest tak,

ż

e bezpo

ś

redni

ż

e

ń

ski ascendent Irka jest dentyst

ą

i jest uczniem liceum,

d) Wszelki ten, kto jest stomatologiem, uwa

ż

a,

ż

e nie

ż

yje ju

ż

pradziadek najdłu

ż

ej

ż

yj

ą

cego

mieszka

ń

ca Wielkopolski,

e) Matka Pawia kieruje samochodem w mie

ś

cie, w którym znajduje si

ę

siedziba rz

ą

du polskiego,

f) Je

ż

eli Wiesiek jest licealist

ą

, to Wiesiek s

ą

dzi,

ż

e najwcze

ś

niej urodzony z

ż

yj

ą

cych mieszka

ń

ców

Piły nie uczy si

ę

w liceum, oraz Wiesiek jest prze

ś

wiadczony,

ż

e ojciec dziadka Mieszka I

ż

ył w

Wielkopolsce.

a)
c)

f)
f)

kto uczy si

ę

w

ś

redniej szkole ogólnokształc

ą

cej,

jest uczniem liceum,

jest licealist

ą

uczy si

ę

w liceum

a)
d)

f)
f)

jest przekonany,

ż

e

uwa

ż

a,

ż

e

sadzi,

ż

e

jest prze

ś

wiadczony,

ż

e

a)
e)

stolica

miasto, w którym znajduje si

ę

siedziba rz

ą

du

b)
d)

f)

najstarszy mieszkaniec

najdłu

ż

ej

ż

yj

ą

cy mieszkaniec

najwcze

ś

niej urodzony z

ż

yj

ą

cych mieszka

ń

ców

b)

c)

nie

nie jest tak,

ż

e

b)
e)

prowadzi auto

kieruje samochodem

c)

e)

bezpo

ś

redni

ż

e

ń

ski ascendent

matka

c)

d)

jest dentyst

ą

jest stomatologiem

d)

f)

pradziadek

ojciec dziadka

d)

f)

mieszkaniec Wielkopolski

ż

yj

ą

cy w Wielkopolsce

6. W

ś

ród poni

ż

szych zda

ń

wska

ż

zdania wynikaj

ą

ce logicznie ze zdania „Ka

ż

dy student przeczytał

jakie

ś

dzieło Henryka Sienkiewicza” oraz zdania, które z niego wynikaj

ą

, cho

ć

nie wynikaj

ą

logicznie:

/\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

a) Pewien student przeczytał wszystkie dzieła Henryka Sienkiewicza,

nie wynika w ogóle

/\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

→

\/

x

/\

y

[P(x,y,a)]

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 29 z 41

b) Pewien student przeczytał jakie

ś

dzieło Henryka Sienkiewicza,

wynika logicznie gdy

ż

implikacja jest tautologi

ą

/\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

→

\/

x

\/

y

[P(x,y,a)]

c) Pewna osoba ucz

ą

ca si

ę

w szkole wy

ż

szej przeczytała jakie

ś

dzieło Henryka Sienkiewicza,

wynika, ale nie logicznie

/\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

→

\/

z

\/

y

[P(x,y,a)]

d) Nie istnieje taki student, który nie przeczytał

ż

adnego dzieła Henryka Sienkiewicza,

wynika logicznie gdy

ż

implikacja jest tautologi

ą

/\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

→

~\/

x

~\/

y

[P(x,y,a)]

\/

y

[P(x,y,a)] = B

/\

x

(B)

→

~\/

x

~(B)

e)

Ż

aden student nie przeczytał wszystkich dzieł Henryka Sienkiewicza lub ka

ż

dy student przeczytał

jakie

ś

dzieło Henryka Sienkiewicza,

wynika logicznie gdy

ż

implikacja jest tautologi

ą

,

p = /\

x

\/

y

[P(x,y,a)]

p

→

( p

∨∨∨∨

q )

f) Istnieje takie dzieło Henryka Sienkiewicza, które przeczytał ka

ż

dy student.

nie wynika w ogóle

7. W

ś

ród poni

ż

szych zda

ń

wska

ż

zdania, z których wynika logicznie zdanie „Jeden ze stryjów Ma

ć

ka

umie pływa

ć

stylem klasycznym”, oraz zdania, z których to zdanie wynika, cho

ć

nie wynika logicznie:

\/

x

P(x,a) = p

a) Jeden z braci ojca Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym,

wynika, ale nie logicznie

p

→

p

b) Je

ż

eli jeden ze stryjów Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym, to nie jest tak,

ż

e jeden ze stryjów

Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym,

nie wynika w ogóle

(p

→

~ p)

→

p

c) Jeden ze stryjów Ma

ć

ka umie pływa

ć

ż

abk

ą

,

wynika, ale nie logicznie

q

→

p

d) Jeden z wujów Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem motylkowym, a jeden ze stryjów Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym,

wynika logicznie

(q

∧∧∧∧

p)

→

p

e) Jeden ze stryjów Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym lub jeden z braci ojca Ma

ć

ka umie

pływa

ć

stylem klasycznym,

nie wynika w ogóle

(q

∨∨∨∨

p)

→

p

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 30 z 41

f) Je

ż

eli nie jest tak,

ż

e jeden ze stryjów Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym, to jeden ze stryjów

Ma

ć

ka umie pływa

ć

stylem klasycznym.

wynika logicznie

(~p

→

p)

→

p

8. Przyjmuj

ą

c,

ż

e wyra

ż

enie „Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

” jest zdaniem j

ę

zyka przedmiotowego, ustal, do

jakich j

ę

zyków nale

żą

nast

ę

puj

ą

ce zdania:

a) Piotr oznajmił Tomkowi,

ż

e zdanie „Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

” nie jest fałszywe, metaj

ę

zyk

b) Skoro nie jest tak,

ż

e Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

, to nie ka

ż

dy student wie,

ż

e Pozna

ń

le

ż

y nad

Wart

ą

, j

ę

zyk przedmiotowy

c) Zdanie „Zdanie „„Zdanie „„„Zdanie „„„„Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

”””” zawiera termin jednostkowy”””

składa si

ę

z kilku słów”” jest prawdziwe” jest skomplikowane, meta- meta- meta- metaj

ę

zyk

d) Andrzeja zdziwiło zdanie „Paweł uwa

ż

a zdanie «Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

»” za niezrozumiałe”,

meta- metaj

ę

zyk

e) Janek przypomina sobie,

ż

e Michał twierdził, i

ż

Ela s

ą

dzi,

ż

e nie jest tak, i

ż

Pozna

ń

nie le

ż

y nad

Wart

ą

, j

ę

zyk przedmiotowy

f) Ka

ż

de zdanie równowa

ż

ne ze zdaniem „Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

” jest prawdziwe wtedy i tylko

wtedy, gdy zdanie „Pozna

ń

le

ż

y nad Wart

ą

” jest prawdziwe. metaj

ę

zyk

9. Wyka

ż

wieloznaczno

ść

nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

:

a) Hanka najbardziej lubi t

ę

siostr

ę

, która po ka

ż

dym zastrzyku obdarowuje j

ą

obrazkiem z

wizerunkiem jakiego

ś

ś

wi

ę

tego, o jak

ą

siostr

ę

chodzi: rodzon

ą

, piel

ę

gniark

ę

czy zakonn

ą

?

b) Wszystkie obr

ę

cze wa

ż

yły ponad 10 kg, jak du

ż

o ponad? ka

ż

da osobno, czy razem?

c) Tu jest pies pogrzebany, dosłownie czy w przeno

ś

ni?

d) Mundek gra na perkusji i na klarnecie, jednocze

ś

nie, czy te

ż

umie gra

ć

na obu tych

instrumentach, ale osobno?

e) Zenek wpu

ś

cił Jurka w maliny, dosłownie czy w przeno

ś

ni?

f) Od ka

ż

dego skredytowanego rachunku bank pobiera prowizj

ę

w wysoko

ś

ci 3% sumy z odsetkami

od dnia realizacji przedmiotowej kwoty. czy 3% pobierane jest od kwoty netto czy z
odsetkami?

10. Ustal warto

ś

ci logiczne nast

ę

puj

ą

cych zda

ń

:

a) Reguły formowania danego j

ę

zyka dziel

ą

si

ę

na reguły ustalaj

ą

ce słownik, reguły gramatyczne i

reguły dedukcyjne, fałsz

b) W zbiorze wyra

ż

e

ń

danego j

ę

zyka relacja równowa

ż

no

ś

ci jest relacj

ą

równo

ś

ciow

ą

, prawda

c) W zbiorze j

ę

zyków relacja bycia fragmentem jest relacj

ą

przechodni

ą

, prawda

d) W zbiorze j

ę

zyków relacja jednorodno

ś

ci gramatycznej jest relacj

ą

symetryczn

ą

, prawda

e) Zdanie prawdziwe jest równoznaczne ze zdaniem fałszywym wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie

fałszywe jest równoznaczne ze zdaniem prawdziwym, prawda

f) Ilekro

ć

z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie, tylekro

ć

z owego drugiego zdania wynika

logicznie to pierwsze zdanie. fałsz

Rozdział 6

1. Przeformułuj poni

ż

sze definicje metaj

ę

zykowe na definicje przedmiotowe, a definicje przedmiotowe

na definicje metaj

ę

zykowe:

a) Wyra

ż

enie „by

ć

licealist

ą

” ma takie samo znaczenie, jak wyra

ż

enie „by

ć

uczniem szkoły

ś

redniej”,

/\

x

(x jest licealist

ą

≡

x jest uczniem szkoły

ś

redniej)

b) x jest pann

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kobiet

ą

niezam

ęż

n

ą

,

Wyra

ż

enie „by

ć

panna” ma takie samo znaczenie jak wyra

ż

enie „by

ć

kobiet

ą

niezam

ęż

n

ą

”.

c) Wyra

ż

enie „stolica” znaczy tyle samo, co wyra

ż

enie „miasto, w którym znajduje si

ę

siedziba

rz

ą

du”,

/\

x

/\

y

(x jest stolic

ą

y

≡

x jest miastem, w którym znajduje si

ę

siedziba rz

ą

du y)

d) Zwrot „by

ć

przeło

ż

onym” jest równoznaczny ze zwrotem „by

ć

bezpo

ś

rednim zwierzchnikiem”,

/\

x

/\

y

(x jest przeło

ż

onym y

≡

x jest bezpo

ś

rednim zwierzchnikiem y)

e) x jest ody

ń

cem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosłym samcem dzikiej

ś

wini,

Wyra

ż

enie „by

ć

ody

ń

cem” znaczy tyle samo co wyra

ż

enie „by

ć

dorosłym samcem dzikiej

ś

wini”.

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 31 z 41

f) x jest ci

ęż

szy od y-a w momencie t wtedy i tylko wtedy, gdy x wa

ż

y wi

ę

cej ni

ż

y w momencie t.

Wyra

ż

enie „by

ć

ci

ęż

szym od w danym momencie” znaczy tyle samo co „wa

ż

y

ć

wi

ę

cej od w

danym momencie”.

2. W ka

ż

dej z poni

ż

szych definicji wydziel definiendum, wyra

ż

enie definiowane, definiens i spójk

ę

definicyjn

ą

:

a) x jest łani

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dorosł

ą

samic

ą

jelenia,

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

x jest łani

ą

by

ć

łani

ą

x jest dorosł

ą

samic

ą

jelenia

wtedy i tylko wtedy, gdy

b) x jest doktorem prawa wtedy i tylko wtedy, gdy x obronił prac

ę

doktorsk

ą

z prawa,

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

x jest doktorem

prawa

by

ć

doktorem prawa

x obronił prac

ę

doktorsk

ą

z

prawa

wtedy i tylko wtedy, gdy

c) x jest przyjacielem y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest serdecznym koleg

ą

y-a w okresie

t,

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

x jest przyjacielem

y-a w okresie t

by

ć

przyjacielem y-a w

okresie t

x jest serdecznym koleg

ą

y-a w okresie t

wtedy i tylko wtedy, gdy

d) 2 = nast

ę

pnik (nast

ę

pnik(0)),

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

2

2

nast

ę

pnik (nast

ę

pnik(0))

=

e) y = ojciec chrzestny (x) wtedy i tylko wtedy, gdy y jest m

ęż

czyzn

ą

, który trzymał x-a do chrztu,

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

y = ojciec

chrzestny (x)

bycie ojcem chrzestnym (x)

y jest m

ęż

czyzn

ą

, który

trzymał x-a do chrztu

wtedy i tylko wtedy, gdy

f) log

y

x = z

≡

y

z

= x.

definiendum

wyra

ż

enie definiowane

definiens

spójka definicyjna

log

y

x = z

log

y

z

= x

≡

3. Korzystaj

ą

c z powy

ż

szych definicji, przełó

ż

nast

ę

puj

ą

ce zdania na zdania nie zawieraj

ą

ce wyra

ż

e

ń

wy

ż

ej zdefiniowanych:

a) \/

x

\/

y

(x jest łani

ą

i y jest łani

ą

i x jest matk

ą

y),

\/

x

\/

y

(x jest dorosł

ą

samic

ą

jelenia i y jest dorosł

ą

samic

ą

jelenia i x jest matk

ą

y)

b) \/

x

/\

y

/\

t

(je

ż

eli x jest przyjacielem y-a w okresie t, to x nie jest doktorem nauk prawnych),

\/

x

/\

y

/\

t

(je

ż

eli x jest serdecznym koleg

ą

y-a w okresie t, to x nie obronił pracy doktorskiej z

nauk prawnych)

Wyra

ż

enie definiowane w zadaniu 2 brzmiało „by

ć

doktorem prawa”, co nie jest jednoznaczne z

wyra

ż

eniem „by

ć

doktorem nauk prawnych”, st

ą

d w tym przykładzie z zadania 3 b

ę

dzie bardziej

poprawne zdanie

\/

x

/\

y

/\

t

(je

ż

eli x jest serdecznym koleg

ą

y-a w okresie t, to x nie jest doktorem nauk

prawnych)

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 32 z 41

c) /\

x

(je

ż

eli x jest doktorem nauk prawnych, to x wie,

ż

e 2 • 2 + 2 • 2 = 2

3

),

/\

x

(je

ż

eli x jest doktorem nauk prawnych, to x wie,

ż

e nast

ę

pnik (nast

ę

pnik (0)) • nast

ę

pnik

(nast

ę

pnik (0)) + nast

ę

pnik (nast

ę

pnik (0)) • nast

ę

pnik (nast

ę

pnik (0)) = nast

ę

pnik (nast

ę

pnik

(0))

3

)

d) \/

x

\/

y

\/

t

\/

z

(x jest przyjacielem y-a w okresie t i x widział z w okresie t i z jest łani

ą

),

\/

x

\/

y

\/

t

\/

z

(x jest serdecznym koleg

ą

y-a w okresie t i x widział z w okresie t i z dorosł

ą

samic

ą

jelenia),

e) \/

x

(ojciec chrzestny x-a jest doktorem nauk prawnych),

\/

x

(m

ęż

czyzna, który trzymał x-a jest doktorem nauk prawnych)

f) log

3

27 - 1 = 2.

log

3

27 – 1 = nast

ę

pnik (nast

ę

pnik (0)) lub 3 – 1 = nast

ę

pnik (nast

ę

pnik (0))

4. Sformułuj:
a) definicj

ę

przez abstrakcj

ę

ci

ęż

aru ciała, opieraj

ą

c si

ę

na relacji równowa

ż

enia si

ę

na wadze

rzetelnej,

Ci

ęż

ar ciała x jest taki sam jak ci

ęż

ar ciała y wtedy i tylko wtedy, gdy x równowa

ż

y na

wadze rzetelnej y.

b) definicj

ę

przez abstrakcj

ę

kierunku prostych danej płaszczyzny, opieraj

ą

c si

ę

na relacji

równoległo

ś

ci,

Kierunek prostej x danej płaszczyzny jest identyczny z kierunkiem prostej y tej samej
płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy x jest równoległa do y.

c) definicj

ę

cz

ą

stkow

ą

bycia młodzie

ń

cem,

Je

ż

eli x jest osob

ą

maj

ą

c

ą

poni

ż

ej 20 lat, to x jest młodzie

ń

cem.

d) definicj

ę

cz

ą

stkow

ą

bycia chudym,

Je

ż

eli x ma w pasie nie wi

ę

cej ni

ż

25 cm, to x jest chudy.

e) definicj

ę

indukcyjn

ą

wyra

ż

enia rachunku zda

ń

, opieraj

ą

c si

ę

na okre

ś

leniu podanym na stronie 21,

Warunek wst

ę

pny: Ka

ż

da zmienna zdaniowa jest wyra

ż

eniem rachunku zda

ń

.

Warunek indukcyjny: Je

ż

eli x, y s

ą

wyra

ż

eniami rachunku zda

ń

to ~x, ~y s

ą

wyra

ż

eniami

rachunku zda

ń

, a ponadto równie

ż

sekwencje x

∧∧∧∧

y, x

∨∨∨∨

y, x

→

y, x

≡

y s

ą

wyra

ż

eniami

rachunku zda

ń

.

f) definicj

ę

indukcyjn

ą

formuły zdaniowej rachunku predykatów, opieraj

ą

c si

ę

na okre

ś

leniu podanym

na stronie 58.

Warunek wst

ę

pny: Ka

ż

da formuła zdaniowa jest formuł

ą

zdaniow

ą

rachunku predykatów.

Warunek indukcyjny: Je

ż

eli x, y s

ą

formułami zdaniowymi rachunku predykatów to ~x, ~y,

x

∧∧∧∧

y, x

∨∨∨∨

y, x

→

y, x

≡

y s

ą

formułami zdaniowymi rachunku predykatów, a ponadto równie

ż

sekwencje /\

xi

(x) oraz \/

xi

(x) (dla dowolnego i) s

ą

formułami zdaniowymi rachunku

predykatów.

5. Podaj definicje sprawozdawcze nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

:

a) by

ć

brunetem, x jest brunetem wtedy i tylko wtedy, gdy x ma ciemne włosy

b) by

ć

komputerem, x jest komputerem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest mózgiem elektronowym

c) by

ć

wujkiem, x jest wujkiem y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest bratem matki x

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 33 z 41

d) by

ć

bli

ź

niakiem, x jest bli

ź

niakiem y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dzieckiem z tej samej

ci

ąż

y co y

e) przystawa

ć

do, x przystaje do y wtedy i tylko wtedy, gdy x identyczny z y

f) dowód osobisty. x jest dowodem osobistym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest dokumentem

stwierdzaj

ą

cym to

ż

samo

ść

innym ni

ż

paszport lub karta pobytu.

6. Wska

ż

, które z poni

ż

szych definicji s

ą

definicjami konstrukcyjnymi, a które definicjami reguluj

ą

cymi:

a) x jest wie

ż

owcem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest budynkiem maj

ą

cym ponad 8 pi

ę

ter, reguluj

ą

ca

b) x jest konkubin

ą

y-a w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest główn

ą

ulic

ą

y-a w okresie t,

konstrukcyjna

c) x jest brisem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest samolotem zdolnym do przekraczania pierwszej

pr

ę

dko

ś

ci kosmicznej, konstrukcyjna

d) x jest przedszkolakiem w okresie t wtedy i tylko wtedy, gdy x jest uczniem klasy zerowej w okresie

t, konstrukcyjna

e) x jest dobroczy

ń

c

ą

y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x dobrowolnie ło

ż

y na utrzymanie y-a, reguluj

ą

ca

f) x jest niskim m

ęż

czyzn

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest m

ęż

czyzn

ą

mierz

ą

cym poni

ż

ej 160 cm.

reguluj

ą

ca

7. Podaj definicje reguluj

ą

ce nast

ę

puj

ą

cych wyra

ż

e

ń

:

a) by

ć

szybkim samochodem, x jest szybkim samochodem wtedy i tylko wtedy, gdy mo

ż

e

rozwin

ą

pr

ę

dko

ść

wi

ę

ksz

ą

od 200 km/h

b) jecha

ć

z nadmiern

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

, x jedzie z nadmiern

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy

jedzie z pr

ę

dko

ś

ci

ą

ponad 140 km/h

c) by

ć

do

ś

wiadczonym kierowc

ą

, x jest do

ś

wiadczonym kierowc

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x

przez 5 lat przejechał jako kierowca ponad 150 000 km

d) by

ć

prawdomównym, x jest prawdomówny wtedy i tylko wtedy, gdy x zawsze mówi prawd

ę

e) zaczyna

ć

si

ę

starze

ć

, x zaczyna si

ę

starze

ć

wtedy i tylko wtedy, gdy x uko

ń

czy 50 lat

f) by

ć

niedouczonym z logiki. x jest niedouczony z logiki wtedy i tylko wtedy, gdy x nie zna

wszystkich tez rachunku zda

ń

8. Wska

ż

definicje perswazyjne w

ś

ród nast

ę

puj

ą

cych definicji:

a) x jest bandziorem wtedy i tylko wtedy, gdy x trudni si

ę

sprzeda

żą

narkotyków, perswazyjna

b) x jest por

ę

czycielem y-a wobec z-a wtedy i tylko wtedy, gdy x gwarantuje własnym maj

ą

tkiem

spłat

ę

przez y-a długu wobec z-a, nieperswazyjna

c) x jest chlebodawc

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x tworzy miejsca pracy dla bezrobotnych,

perswazyjna

d) x jest chuliganem ekologicznym wtedy i tylko wtedy, gdy x bezcelowo niszczy przyrod

ę

,

perswazyjna

e) x jest taksówkarzem wtedy i tylko wtedy, gdy x utrzymuje si

ę

z odpłatnego przewo

ż

enia

pasa

ż

erów samochodem osobowym, nieperswazyjna

f) x jest mediatorem mi

ę

dzy y-iem a z-em wtedy i tylko wtedy, gdy x po

ś

redniczy w sporze mi

ę

dzy

y-iem a z-em. nieperswazyjna

9. Ustal, jakimi biedami obarczone s

ą

nast

ę

puj

ą

ce definicje:

a) x jest maklerem giełdowym wtedy i tylko wtedy, gdy x jest stałym po

ś

rednikiem operacji

giełdowych, ignotum per ignotum

b) x jest hipocykloid

ą

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krzyw

ą

zakre

ś

lon

ą

przez punkt okr

ę

gu koła

tocz

ą

cego si

ę

bez po

ś

lizgu po wewn

ę

trznej stronie stałego koła, ignotum per ignotum

c) x jest s

ą

siadem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy y jest s

ą

siadem x-a, idem per idem

d) x jest bozonem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest cz

ą

steczk

ą

, która interferuje ze znakiem dodatnim,

ignotum per ignotum

e) x jest stałym po

ś

rednikiem operacji giełdowych wtedy i tylko wtedy, gdy x jest zawodowym

stokbrokerem, ignotum per ignotum

f) x jest zawodowym stokbrokerem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest maklerem giełdowym. ignotum

per ignotum

a), e), f) bł

ą

d obarcza w tym przypadku zestaw 3 definicji, a jest nim bł

ą

d nazwany bł

ę

dnym

kołem po

ś

rednim

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 34 z 41

10. Ustal, które z poni

ż

szych definicji sprawozdawczych s

ą

adekwatne, a które s

ą

nieadekwatne i z

jakiego wzgl

ę

du:

a) x jest prostok

ą

tem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest płask

ą

figur

ą

czteroboczn

ą

, definicja

nieadekwatna, gdy

ż

jest definicj

ą

zbyt szerok

ą

(np. romb)

b) x jest dziadkiem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest ojcem ojca x-a, definicja nieadekwatna, gdy

ż

jest definicj

ą

zbyt w

ą

sk

ą

(nie uwzgl

ę

dnia ojca matki y)

c) x jest trójk

ą

tem wtedy i tylko wtedy, gdy x jest figur

ą

o trzech bokach, adekwatna

d) x jest bliskim y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest rodzicem y-a, definicja nieadekwatna, gdy

ż

jest

definicj

ą

zbyt w

ą

sk

ą

(nie uwzgl

ę

dnia wst

ę

pnych i zst

ę

pnych)

e) x jest kuzynem y-a wtedy i tylko wtedy, gdy x jest krewnym w linii bocznej y-a, definicja

nieadekwatna, gdy

ż

jest definicj

ą

zbyt szerok

ą

f) x jest ró

żą

wtedy i tylko wtedy, gdy x jest kwiatem koloru ró

ż

owego. definicja nieadekwatna,

gdy

ż

jest definicj

ą

krzy

ż

uj

ą

c

ą

( bo s

ą

ró

ż

e w innym kolorze i s

ą

inne kwiaty koloru

ró

ż

owego)

Rozdział 7

1. Poni

ż

sze zdania wyra

ż

aj

ą

pewne wnioskowania. Wska

ż

przesłanki i wniosek ka

ż

dego z nich.

Zapisz te wnioskowania w sposób podany w punkcie 1 niniejszego rozdziału;
a) Skoro Finlandia jest wi

ę

ksza od Polski, a Polska jest wi

ę

ksza od Łotwy, to Finlandia jest wi

ę

ksza

od Łotwy,

/P1/ Finlandia jest wi

ę

ksza od Polski

/P2/ Polska jest wi

ę

ksza od Łotwy

/W/

Finlandia jest wi

ę

ksza od Łotwy

b) Agnieszka studiuje prawo, bo Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego, a je

ś

li Agnieszka

zdaje egzamin z prawa rzymskiego, to Agnieszka studiuje prawo,

/P/

Agnieszka studiuje prawo, bo Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego

/W/

Je

ś

li Agnieszka zdaje egzamin z prawa rzymskiego, to Agnieszka studiuje prawo

c) Bogdan jest starszy od Przemka, gdy

ż

Bogdan jest ojcem Przemka,

/P/

Bogdan jest ojcem Przemka

/W/

Bogdan jest starszy od Przemka

d) Poniewa

ż

dzieci je

ż

d

żą

na ły

ż

wach, je

ś

li jest lód i jest lód, je

ś

li jest mróz, dlatego dzieci je

ż

d

żą

na

ły

ż

wach, je

ś

li jest mróz,

/P1/ Dzieci je

ż

d

żą

na ły

ż

wach, je

ś

li jest lód

/P2/ Jest lód, je

ś

li jest mróz

/W/

Dzieci je

ż

d

żą

na ły

ż

wach, je

ś

li jest mróz

e) Monika mieszka w Europie, skoro Monika mieszka w Polsce, za

ś

Polska le

ż

y w Europie,

/P1/ Monika mieszka w Polsce
/P2/ Polska le

ż

y w Europie

/W/

Monika mieszka w Europie

f) Jako

ż

e Michał lubi czekolad

ę

, przeto nie jest tak,

ż

e Michał nie lubi czekolady.

/P/

Michał lubi czekolad

ę

/W/

Nie jest tak,

ż

e Michał nie lubi czekolady

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 35 z 41

2. Ustal, które z poni

ż

szych wnioskowa

ń

s

ą

wnioskowaniami dedukcyjnymi:

a)

/P/

Na gruszach rosn

ą

jabłka

/W/

Na gruszach rosn

ą

jabłka i na gruszach rosn

ą

jabłka

wnioskowanie dedukcyjne

p

→

(p

∧∧∧∧

p) – teza rachunku zda

ń

b)

/P1/ Łukasz jest bratem Marii wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest siostr

ą

Łukasza

/P2/ Maria jest siostr

ą

Łukasza

/W/

Łukasz nie jest bratem Marii

wnioskowanie dedukcyjne

(p

≡

~p)

∧∧∧∧

p

→

~p – teza rachunku zda

ń

c)

/P/

Ka

ż

dy Polak wie,

ż

e Warszawa jest stolic

ą

Polski

/W/

Warszawa jest stolic

ą

Polski

nie jest to wnioskowanie dedukcyjne

d)

/P/

Istnieje taki matematyk, który zna prawo lub zna filozofi

ę

/W/

Istnieje taki matematyk, który zna prawo lub istnieje taki matematyk, który zna filozofi

ę

nie jest to wnioskowanie dedukcyjne

e)

/P1/ Andrzej woli pomara

ń

cz

ę

od banana

/P2/ Andrzej woli banana od jabłka
/W/

Andrzej woli pomara

ń

cz

ę

od jabłka

nie jest to wnioskowanie dedukcyjne

f)

/P/

Ka

ż

dy prawnik widział kodeks cywilny lub kodeks karny

/W/

Ka

ż

dy prawnik widział kodeks cywilny lub ka

ż

dy prawnik widział kodeks karny

nie jest to wnioskowanie dedukcyjne

3. Do poni

ż

szych wnioskowa

ń

entymematycznych dodaj takie przesłanki, aby ka

ż

de z nich było

wnioskowaniem dedukcyjnym:

a)
/P/

Czyn jest dobry wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest u

ż

yteczny

/P2/ Czyn jest u

ż

yteczny wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest szcz

ęś

ciodajny

/W/

Czyn jest dobry wtedy i tylko wtedy, gdy czyn jest szcz

ęś

ciodajny

[(p

≡

q)

∧∧∧∧

(q

≡

r)]

→

(p

≡

r)

p q

r

p

≡

q

q

≡

r

p

≡

r

[(p

≡

q)

∧

(q

≡

r)

[(p

≡

q)

∧

(q

≡

r)]

→

(p

≡

r)

1 1

1

1

1

1

1

1

1 1

0

1

0

0

0

1

1 0

1

0

0

1

0

1

1 0

0

0

1

0

0

1

0 1

1

0

1

0

0

1

0 1

0

0

0

1

0

1

0 0

1

1

0

0

0

1

0 0

0

1

1

1

1

1

powy

ż

sze jest tez

ą

rachunku zda

ń

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 36 z 41

b)

/P/

Ka

ż

dy szczupak jest ryb

ą

/P2/

Ż

aden szczupak nie jest ptakiem

/W/

Ż

aden szczupak nie jest ptakiem

/\

x

(A)

∧∧∧∧

/\

x

~(B)

→

/\

x

~(B)

c)

/P/

Rze

ź

biarstwo jest sztuk

ą

lub rze

ź

biarstwo jest rzemiosłem

/P2/ Rze

ź

biarstwo jest sztuk

ą

/W/

Rze

ź

biarstwo jest sztuk

ą

(p

∨∨∨∨

q)

∧∧∧∧

p

→

p

p q

p

∨

q

(p

∨

q)

∧

p

(p

∨

q)

∧

p

→

p

1 1

1

1

1

1 0

1

1

1

0 1

1

0

1

0 0

0

0

1

powy

ż

sze jest tez

ą

rachunku zda

ń

d)

/P/

/\

x

(je

ś

li x jest cywilist

ą

, to x jest prawnikiem)

/P2/ /\

x

(x jest cywilist

ą

)

/W/

/\

x

(x jest prawnikiem)

/\

x

(A

→

B)

∧∧∧∧

/\

x

(A)

→

/\

x

(B)

e)

/P1/ Nietoperze umiej

ą

lata

ć

/P2/ Łab

ę

dzie umiej

ą

lata

ć

/P3/ Sroki umiej

ą

lata

ć

i motyle umiej

ą

lata

ć

/W/

Nietoperze umiej

ą

lata

ć

i sroki umiej

ą

lata

ć

, i łab

ę

dzie umiej

ą

lata

ć

, i motyle umiej

ą

lata

ć

[p

∧∧∧∧

q

∧∧∧∧

(r

∧∧∧∧

s)]

→

(p

∧∧∧∧

q

∧∧∧∧

r

∧∧∧∧

s)

f)

/P/

\/

x

(x jest jeleniem)

/P2/ /\

x

(x jest ssakiem)

/W/

\/

x

(x jest ssakiem)

\/

x

(x jest jeleniem)

∧∧∧∧

/\

x

(x jest ssakiem)

→

\/

x

(x jest ssakiem)

4. Ustal, które z poni

ż

szych wnioskowa

ń

s

ą

wnioskowaniami redukcyjnymi. Wska

ż

co z czego wynika

w tych wnioskowaniach redukcyjnych.

a)

/P/

Nie jest tak,

ż

e nie jest tak,

ż

e pewne krzesła s

ą

igłami

/W/

Pewne krzesła s

ą

igłami

wnioskowanie redukcyjne
z /W/ wynika /P/

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 37 z 41

b)

/P1/ /\

x

(x jest kinomanem)

/P2/ /\

x

(x jest szaradzist

ą

)

/W/

/\

x

(x jest szaradzist

ą

i x jest kinomanem)

wnioskowanie redukcyjne
z /W/

∧∧∧∧

/P1/ wynika /P2/

z /W/

∧∧∧∧

/P2/ wynika /P1/

z /W/ wynika /P1/
z /W/ wynika /P2/

c)

/P1/ Piotr umie wistowa

ć

/P2/ Piotr umie gra

ć

w bryd

ż

a

/P3/ Piotr umie licytowa

ć

/W/

Je

ś

li Piotr umie licytowa

ć

, to je

ś

li Piotr umie wistowa

ć

, to Piotr umie gra

ć

w bryd

ż

a

wnioskowanie redukcyjne
z /W/

∧∧∧∧

/P1/

∧∧∧∧

/P3/ wynika /P2/

d)

/P/

Istnieje takie drzewo, które rodzi owoce

/W/

Ka

ż

de drzewo rodzi owoce lub

ż

adne drzewo nie rodzi owoców

nie jest to wnioskowanie redukcyjne

e)

/P1/ /\

x

(x zna j

ę

zyk włoski)

/P2/ /\

x

(x zna j

ę

zyk włoski lub zna j

ę

zyk hiszpa

ń

ski)

/W/

/\

x

(x zna j

ę

zyk hiszpa

ń

ski)

wnioskowanie redukcyjne
z /W/

∧∧∧∧

/P1/ wynika /P2/

f)

/P/

Ka

ż

dy o

ś

miotysi

ę

cznik został zdobyty przez jakiego

ś

himalaist

ę

/W/

Istnieje taki himalaista, który zdobył ka

ż

dy o

ś

miotysi

ę

cznik

wnioskowanie redukcyjne
z /W/ wynika /P/

5. Zrekonstruuj trzy przykłady wnioskowa

ń

przez indukcj

ę

enumeracyjn

ą

niezupełn

ą

.

/P1’/, /P1’’/

Anna jest blondynk

ą

, Anna ma wielbiciela

/P2’/, /P2’’/

Jagoda jest blondynk

ą

, Jagoda ma wielbiciela

/P3’/, /P3’’/

Marta jest blondynk

ą

, Marta ma wielbiciela

/P4’/, /P4’’/

Justyna jest blondynk

ą

, Justyna ma wielbiciela

/W/

Ka

ż

da blondynka ma wielbiciela

/P1’/, /P1’’/

Marek jest głupi, Marek ma BMW

/P2’/, /P2’’/

Paweł jest głupi, Paweł ma BMW

/P3’/, /P3’’/

Jurek jest głupi, Jurek ma BMW

/P4’/, /P4’’/

Tomek jest głupi, Tomek ma BMW

/W/

Ka

ż

dy głupek ma BMW

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 38 z 41

/P1’/, /P1’’/

Marek jest politykiem, Marek bierze łapówki

/P2’/, /P2’’/

Paweł jest politykiem, Paweł bierze łapówki

/P3’/, /P3’’/

Jurek jest politykiem, Jurek bierze łapówki

/P4’/, /P4’’/

Tomek jest politykiem, Tomek bierze łapówki

/P5’/, /P5’’/

Grzesiek jest politykiem, Grzesiek bierze łapówki

/P6’/, /P6’’/

Donald jest politykiem, Donald bierze łapówki

/P7’/, /P7’’/

Jarek jest politykiem, Jarek bierze łapówki

/W/

Ka

ż

dy polityk bierze łapówki

6. Zrekonstruuj trzy przykłady pierwszego typu wnioskowania przez analogi

ę

i trzy przykłady drugiego

typu wnioskowania przez analogi

ę

.

Przykłady pierwszego typu wnioskowania przez analogi

ę

/P1’/, /P1’’/

Czarek uczy si

ę

w szkole, Czarek umie czyta

ć

/P2’/, /P2’’/

Zosia uczy si

ę

w szkole, Zosia umie czyta

ć

/P3’/, /P3’’/

Michał uczy si

ę

w szkole, Michał umie czyta

ć

/P4/

Wojtek uczy si

ę

w szkole

/W/

Wojtek umie czyta

ć

/P1’/, /P1’’/

Jan sko

ń

czył studia, Jan jest bezrobotny

/P2’/, /P2’’/

Paweł sko

ń

czył studia, Paweł jest bezrobotny

/P3’/, /P3’’/

Wojtek sko

ń

czył studia, Wojtek jest bezrobotny

/P4’/, /P4’’/

Paulina sko

ń

czyła studia, Paulina jest bezrobotna

/P5/

Jagoda sko

ń

czyła studia

/W/

Jagoda jest bezrobotna

/P1’/, /P1’’/

Warszawa organizuje EURO2012, Warszawa ma długi

/P2’/, /P2’’/

Gda

ń

sk organizuje EURO2012, Gda

ń

sk ma długi

/P3’/, /P3’’/

Wrocław organizuje EURO2012, Wrocław ma długi

/P4’/, /P4’’/

Kijów organizuje EURO2012, Kijów ma długi

/P5/

Pozna

ń

organizuje EURO2012

/W/

Pozna

ń

ma długi

Przykłady drugiego typu wnioskowania przez analogi

ę

/P1’/, /P1’’/

Jan sko

ń

czył studia, Paweł sko

ń

czył studia

/P2’/, /P2’’/

Jan ma laptopa, Paweł ma laptopa

/P3’/, /P3’’/

Jan jest wysoki, Paweł jest wysoki

/P4’/, /P4’’/

Jan ma dziewczyn

ę

, Paweł ma dziewczyn

ę

/P5/

Jan zdał egzamin z logiki

/W/

Paweł zdał egzamin z logiki

/P1’/, /P1’’/

Ania jest blondynk

ą

, Paulina jest blondynk

ą

/P2’/, /P2’’/

Ania ma wrotki, Paulina ma wrotki

/P3’/, /P3’’/

Ania mieszka w Poznaniu, Paulina mieszka w Poznaniu

/P4/

Ania jest w ci

ąż

y

/W/

Paulina jest w ci

ąż

y

/P1’/, /P1’’/

Skłodowska-Curie była naukowcem, Kopernik był naukowcem

/P2’/, /P2’’/

Skłodowska-Curie jest znana, Kopernik jest znany

/P3/

Skłodowska-Curie była kobiet

ą

/W/

Kopernik była kobiet

ą

:)

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 39 z 41

7. Wska

ż

, które z nast

ę

puj

ą

cych wnioskowa

ń

s

ą

obarczone bł

ę

dem materialnym:

a)

/P/

Je

ś

li Pozna

ń

le

ż

y nad Wisł

ą

, to Pozna

ń

le

ż

y w Tatrach

/W/

Je

ś

li Pozna

ń

nie le

ż

y w Tatrach, to Pozna

ń

nie le

ż

y nad Wisł

ą

nie jest obarczone bł

ę

dem materialnym

b)

/P/

8 jest podzielne przez 2

/W/

8 jest podzielne przez 3

nie jest obarczone bł

ę

dem materialnym

c)

/P1/ Estry pochodz

ą

z kwasów karboksylowych

/P2/ Aminy s

ą

organicznymi pochodnymi amoniaku

/W/

Estry s

ą

pochodnymi kwasów karboksylowych lub aminy s

ą

organicznymi

pochodnymi amoniaku

nie jest obarczone bł

ę

dem materialnym

d)

/P1/ Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Rzymie
/P2/ Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Tokio
/W/

Zdzisław Krzyszkowiak zdobył złoty medal w Rzymie i Zdzisław Krzyszkowiak zdobył
złoty medal w Tokio

jest obarczone bł

ę

dem materialnym

e)

/P1/ Abraham był ojcem Izaaka
/P2/ Izaak był ojcem Judy
/W/

Abraham był dziadkiem Judy

jest obarczone bł

ę

dem materialnym

f)

/P1/ Ka

ż

de postanowienie jest orzeczeniem

/P2/ Ka

ż

dy wyrok jest orzeczeniem

/W/

Niektóre orzeczenia s

ą

postanowieniami i niektóre orzeczenia s

ą

wyrokami

nie jest obarczone bł

ę

dem materialnym

8. Podaj, jakimi bł

ę

dami obarczone s

ą

nast

ę

puj

ą

ce wnioskowania:

a)

/P/

W 2034 r. lato b

ę

dzie upalne

/W/

W 2034 r. lato b

ę

dzie chłodne

bł

ą

d bezpodstawno

ś

ci

b)

/P/

Stolic

ą

Holandii jest Amsterdam

/W/

Stolic

ą

Holandii jest Rotterdam

bł

ą

d formalny

c)

/P1/ Zosia lubi lody
/P2/ Zosia nie lubi lodów
/P3/ Nie jest tak,

ż

e Zosia nie lubi lodów

/W/

Zosia nie lubi lodów

bł

ę

dne koło

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 40 z 41

d)

/P/

Wszystkie mrówki s

ą

zadowolone z

ż

ycia

/W/

Nie ma nieszcz

ęś

liwych mrówek

bł

ą

d bezpodstawno

ś

ci

e)

/P/

Nie powtórzy si

ę

ju

ż

koszmar gułagów

/W/

Ludzko

ść

zmierza ku lepszej przyszło

ś

ci

bł

ą

d formalny

f)

/P/

Konie

ż

yj

ą

dłu

ż

ej od krów lub krowy

ż

yj

ą

dłu

ż

ej od koni

/W/

Konie

ż

yj

ą

dłu

ż

ej od krów lub krowy

ż

yj

ą

dłu

ż

ej od koni

bł

ę

dne koło

9. Przeprowadzaj

ą

cy poni

ż

sze wnioskowania uznał je za wnioskowania dedukcyjne. Ustal, w których

przypadkach popełnił bł

ą

d formalny:

a)

/P/

Ka

ż

dy Polak jest Europejczykiem lub ka

ż

dy Niemiec jest Europejczykiem

/W/

Niektórzy Polacy s

ą

Europejczykami i niektórzy Niemcy s

ą

Europejczykami

bł

ą

d formalny – z przesłanek nie wynika logicznie wniosek

/\

x

P(x)

∨∨∨∨

/\

y

P(y)

→

\/

x

P(x)

∧∧∧∧

\/

y

P(y)

b)

/P/

Je

ś

li goł

ę

bie maj

ą

skrzydła, to goł

ę

bie umiej

ą

fruwa

ć

/W/

Goł

ę

bie nie maj

ą

skrzydeł lub goł

ę

bie umiej

ą

fruwa

ć

brak bł

ę

du

(p

→

q)

→

(~p

∨∨∨∨

q)

p q ~p

p

→

q

~p

∨

q

(p

→

q)

→

(~p

∨

q)

1 1

0

1

1

1

1 0

0

0

0

1

0 1

1

1

1

1

0 0

1

1

1

1

powy

ż

sze jest tez

ą

rachunku zda

ń

c)

/P/

Babcia Joanny jest siostr

ą

Nikodema

/W/

Nikodem jest starszy od Joanny

bł

ą

d formalny

d)

/P/

Rysy s

ą

w Tatrach i Giewont jest w Tatrach

/W/

Giewont jest w Tatrach i Rysy s

ą

w Tatrach

brak bł

ę

du

\

Rozwi

ą

zania zada

ń

z podr

ę

cznika Elementy logiki dla prawników autorstwa prof. Wojciecha Patryasa, wersja 2 – poprawiona.

Pomimo moich usilnych stara

ń

do przedstawionych rozwi

ą

za

ń

mogły wkra

ść

si

ę

bł

ę

dy.

Strona 41 z 41

e)

/P1/ Poker jest trudniejszy od skata lub bryd

ż

jest trudniejszy od skata

/P2/ Bryd

ż

jest trudniejszy ód skata lub skat jest trudniejszy od oczka

/W/

Bryd

ż

jest trudniejszy od skata

bł

ą

d formalny – z przesłanek nie wynika logicznie wniosek

(p

∨∨∨∨

q)

∧∧∧∧

(q

∨∨∨∨

r)

→

q

p q

r

p

∨

q

q

∨

r

(p

∨

q)

∧

(q

∨

r)

(p

∨

q)

∧

(q

∨

r)

→

q

1 1

1

1

1

1

1

1 1

0

1

1

1

1

1 0

1

1

1

1

0

1 0

0

1

0

0

1

0 1

1

1

1

1

1

0 1

0

1

1

1

1

0 0

1

0

1

0

1

0 0

0

0

0

0

1

powy

ż

sze nie jest tez

ą

rachunku zda

ń

f)

/P/

Ren jest dłu

ż

szy od Dunaju wtedy i tylko wtedy, gdy Dunaj nie jest w

ęż

szy od Renu

/W/

Dunaj jest w

ęż

szy od Renu wtedy i tylko wtedy, gdy Ren nie jest dłu

ż

szy od Dunaju

brak bł

ę

du

(p

≡

~q)

→

(q

≡

~p)

(p

≡

~q)

→

(~p

≡

q)

p q ~p

~q

p

≡

~q

q

≡

~p

(p

≡

~q)

→

(q

≡

~p)

1 1

0

0

0

0

1

1 0

0

1

1

1

1

0 1

1

0

1

1

1

0 0

1

1

0

0

1

powy

ż

sze jest tez

ą

rachunku zda

ń

10. Wska

ż

, które z poni

ż

szych zda

ń

s

ą

prawdziwe.

a) Wnioskowanie redukcyjne przebiega od wniosku do przesłanek, fałszywe
b) Pewne wnioskowania s

ą

obarczone zarówno bł

ę

dem materialnym, jak i bł

ę

dnym kołem,

prawdziwe

c) Nie jest wykluczone,

ż

e wniosek, który nie wynika logicznie z przesłanek, jest prawdziwy,

prawdziwe

d) Niekiedy pewne przesłanki jednego wnioskowania wynikaj

ą

logicznie z innych jego przesłanek,

prawdziwe

e) Niektóre wnioskowania redukcyjne nie s

ą

wnioskowaniami niededukcyjnymi, fałszywe

f) Ka

ż

de

wnioskowanie

przez

indukcj

ę

enumeracyjn

ą

niezupełn

ą

jest

wnioskowaniem

entymematycznym. prawdziwe