1.Ciężar właściwy – wyraża iloraz ciężaru (G) do
objętości (W) tego ciała. Gdy jest ono jednorodne i
stanowi continuum (bez porów

2.Gęstość – iloraz masy (M) i objętości (w)
jednorodnej cieczy

3.Ściśliwość- zdolność cieczy do zmniejszania
swojej objętości pod wpływem ciśnienia
działającego z zewnątrz.
-ΔV=

·

·Δp

-współczynnik ściśliwości cieczy

= -

·

[

·

], [

·

], [

·

],

4.Rozszerzalność cieplna – zdolność cieczy do
zmiany objętości pod wpływem zmiany temperatury
ΔV =

·

Δt

średni współczynnik rozszerzalności

objętościowej po zmianie temp.

·

[

]

Wraz ze wzrostem temp. wzrasta objętość ciała a
przez to maleje gęstość i ciężar objętościowy, tym
regułom nie podlega woda, gdyż posiada największa
w temp. t=4˚C a w przedziale od 0˚C do 4˚C kurczy
się.
5.Lepkość – zdolność do stawiania oporów
(przenoszenia naprężeń stycznych) podczas trwania
ruchu cieczy.
Wpływ temperatury na lepkość cieczy określa
zależność empiryczna:
Wpływ temperatury na lepkość cieczy określa
zależność empiryczna:
μ =

t – temp. cieczy ˚C

lepkość cieczy przy t = 0˚C

a,b- współczynnik zależny od rodzaju cieczy






6.Napięcie powierzchniowe – między powierzchnia
zwierciadła wody, poniżej zwierciadła wody
wytwarza się stan napięcia bo jest drugi ośrodek –
powietrze. Miedzy powietrzem a woda zwierciadło
może się podnosić , opadać , wbrew sile grawitacji
Zimeckiej następuje podnoszenie w przewodach
cieczy.
Napięcie powierzchniowe – specyfika cieczy jest
dążność do minimalizacji zewnętrznej powierzchni,
w efekcie przybiera ono kształt kulisty ( woda w
stanie nieważkości lub krople oliwy zawieszone w
roztworze o identycznej gęstości). W naturalnych
warunkach tej tendencji przeciwdziała siła ciężkości.
Energia (E) cząsteczek warstwy zewnętrznej jest
proporcjonalna do jej powierzchni (F):
E= σ·F
σ – współczynnik proporcjonalności tzw. Napięcie
powierzchniowe zależne od temp. ( maleje gdy
temp. jest wyższa, a w temp. krzepnięcia osiąga
maximum).

Wzór σ =

=

[kG·

]

7.Płyn doskonały
Płyn doskonały w porównaniu z rzeczywistym jest
pozbawiony:
a)lepkości, czyli tarcia wewnętrznego (μ = 0, ν = 0)
b)ściśliwości (

= 0,

= ∞)

c)rozszerzalności cieplnej (

= 0)

d)zmian ciężaru objętościowego (γ=const) pod
wpływem czynników zewnętrznych.
e)możliwości stawiania oporów na rozciąganie
f)możliwości zmiany energii mechanicznej na
cieplną , ponieważ przy braku tarcia obowiązuje
zasada zachowania energii mechanicznej.

8.Hydrostatyka – statyka ciał, w której brak
możliwości przemieszczania się cząstek cieczy i
ciał stałych w tej cieczy. W hydrostatyce
wypadkowa =0 lub składowe na poszczególne osie
układu współrzędnych =0

9.Różniczkowe równanie równowagi płynów-
Eulera
Wyraża zależność ciśnienia od sił masowych.





z

a

y

a

x

a

p

z

y

x

d

d

d

d









Zakładając, że geometrycznym środkiem
prostopadłościanu w punkcie M (z.y.z), panuje
ciśnienie p, natomiast ścinakach prostopadłych do
osi X i odległych od punktu M o

dx panują

ciśnienia przy lewej ścinanie ABFE, stąd:
p -

dx

natomiast przy prawej ścianie DCGH:
p +

dx

Z iloczynów tych ciśnień i pól powierzchni (dy, dz)
na które działają, otrzymujemy odpowiednie parcie
hydrostatyczne:

d

= (p -

dx)dy·dz

d

= (p +

dx)dy·dz

analogicznie dla 4 pozostałych ścian.
Działają siły masowe (ciężkości, bezwładności i
odśrodkowe) wzdłuż osi X:

=

· ρ · dx· dy· dz

- składowa jednostkowej siły masowej

ρ – gęstość płynu
dx · dy · dz = dW elementarna objętość
Stan równowagi prostopadłościanu zmusza, aby
suma rzutów wszystkich sił powierzchniowy j i
masowych na osie X, Y, Z powinna się równać zero.
ΣX= (p -

dx)dy·dz - (p +

dx)dy·dz +

· ρ ·

dx· dy· dz = 0
Stąd:

=

· ρ

Względem pozostałych osi Y, Z:

=

· ρ

=

· ρ

Powyższe równania to układ równań
różniczkowych Eulera.

dx +

dy+

= ρ(

· dx +

dy +

Stąd wynika podstawowe równanie hydrostatyki
dp = ρ(

· dx +

dy +

10.Siły działające na ciecz w stanie względnego
spoczynku.
a)siły powierzchowne- proporcjonalne i prostopadłe
do powierzchni, skierowane do wewnątrz cieczy.
Np.: parcie powietrza atmosferycznego i różnych
płynów, nacisk tłoka na powierzchnie cieczy.
b)siły masowe – proporcjonalne do masy ciała, a
gdy jednorodna to również proporcjonalna do
objętości. Np.: siły: ciężkości, bezwładności i
odśrodkowe.



11.Ciśnienie i parcie hydrostatyczne.

Średnie ciśnienie hydrostatyczne p=ςgh

Parcie F = p ·S [N] Parcie hydrostatyczne jest to siła
powierzchniowa z jaką ciecz w stanie względnego
spoczynku działa na ściany naczyń i ciał w niej
zanurzonych lub inne ciecze, a także na płaszczyzny
myślowo poprowadzone w danej cieczy.

12.Zastosowanie równania hydrostatyki Eulera
Podstawowe równanie hydrostatyki
dp = ρ(

· dx +

dy +

dp = ρ ·g · dz = γ · dz
Ciśnienie wyznaczamy z całki nieoznaczonej
p= γ ʃ dz = γ · z + C
a stała C ustalamy na poziomie zwierciadła cieczy z
=

, gdzie p =

:

= γ ·

+ C → C =

- γ ·

p = γ ·

+

- γ ·

=

+ γ(z -

) =

+ γ · h

Wysokość ciśnienia

=

+ z

=

= [m]

p -

= γ · h jest to nadciśnienie

- p =

jest to podciśnienie

Prawo naczyń połączonych używane w niwelorach
hydrostatycznych.
p =

+ γ =

+ γ ·

γ(

=

-

wyznaczyć różnicę zwierciadła cieczy o ciężarze γ:
h =

13.Prawo Pascala

Jeżeli w stanie spoczynku działają jedynie siły
powierzchniowe to ciśnienie w każdym punkcie
cieczy jest jednakowe.

14.Jednostajny ruch cieczy w naczyniu wzdłuż
prostej poziomej

dp = ρ g · dz = γ dz= γ · z + C

15.Jednostajnie przyspieszony ruch cieczy w
naczyniu wzdłuż prostej poziomej

= -a,

= 0,

= g

dp = ρ(g · dz – a · dx) = 0
ρ ≠ 0

=

= arc tg

= arc tg

- kąt nachylenia zwierciadła cieczy
Określenie rozkładu ciśnień w cieczy w zbiorniku
p = ρ (g · dz – a · dx) = ρ (g · z – a · x) +C
x = 0, z = 0, p =

, C =

p = ρ (g · z – a · dx) +

=

+

(g · z – a · dx)

p =

+ γ · z -

· x · γ

16.Jednostajnie przyspieszony ruch cieczy w
naczyniu wzdłuż prostej pionowej

a)podczas ruchu w górę

= 0,

= 0,

= g + a

p = ρ (g + a) · dz
p= ρ ʃ (g + a)dz = ρ (g + a) · z + C
gdy x = 0, y = 0, z = 0,p =

stąd C =

p = ρ (g + a) · z +

=

+ γ · z

=

+ γ · z

(1 +

)

b)podczas ruchu w dół

= 0,

= 0,

= g – a

p = ρ (g - a) · dz
p= ρ ʃ (g - a)dz = ρ (g - a) · z + C
gdy x = 0, y = 0, z = 0,p =

stąd C =

p = ρ (g - a) · z +

=

+ γ · z

=

+ γ · z (1

-

)

17.Równanie powierzchni swobodnej i ciśnienie
hydrostatyczne cieczy poruszającej się z
naczyniem dookoła pionowej osi ze stała
prędkością kątową

=

· x,

=

· y,

=

dp = ρ(

· x · dx +

· y · dy – g · dz)

szukamy równania powierzchni swobodnej
p = const, dp = 0, ρ ≠ 0

· x · dx +

· y · dy – g · dz = 0

Stąd:

dz =

(x · dx + y · dy)

Całkujemy:

z=

ʃ (x · dx + y · dy) =

(

+

) +

gdy x = 0, y = 0, z =

,

=

,

Równanie powierzchni swobodnej:

z =

+

(

+

)

Całkujemy:
p = ρ ʃ (

· x · dx +

· y · dy – g · dz) = ρ

(

+

) – ρ · g · z +

=

(

+

) - γ·z +

Stałą całkowania

ustalono dla punktu A ( o

współ. x=0,y=0, z=

),

w którym panuje ciśnienie

(nad powierzchnią

swobodną)

= -γ ·

+

, stąd

=

+ γ ·

Wstawiając do wzoru:

p =

+ γ(

- z) +

(

+

)

18 Równanie B. dla strumienia cieczy doskonałej.
W praktyce posługujemy się strumieniem cieczy ( a
nie strugą) dlatego równanie B. należy odpowiednio
dostosować do wyrażenia dotyczącego energii
kinetycznej (wysokości prędkości) przez
wprowadzenie prędkości średniej.

19 Równanie Bernoulliego dla strugi cieczy
doskonałej.
Równanie B. opisuje zachowanie gęstości energii
całkowitej na linii prądu. Obowiązuje ono w
podstawowej wersji dla płynu doskonałego. Wynika
z zasady zachowania energii. Przy wyprowadzeniu
tego równania korzystamy z zasady mechaniki, z
ktorej wynika że suma prac wykonanych przez siły
zewnętrzne (Lp) równa jest przyrostowi całkowitej
energii układu (∆Ec), czyli Lp=∆Ec
Praca sił zewnętrznych obywa się na drogach dl1 i
dl2 :
Lp = p1*dF1*dl1-p2*dF2*dl2=p1*dF1*V1*dt-
p2*dF2*V2*dt
Istnieje równość elementarnych objętości cieczy
dF1*dl1=dF2*dl2, gdyż uwzględnia się przepływ w
rurce prądu, względnie z równania ciągłości
przepływu dF1*V1=dF2*V2 biorac to pod uwagę:
Lp = dF*dl(p1-p2) = dF*V(p1-p2)dt
Nastepnie rozpatrujemy całkowitą energię w
przekroju Ec = Ep + Ek
Rozpatrujemy zmianę energii potencjalnej między
przekrojami: ∆Ep = ρ*dF*dl*g(z2-z1)
Oraz zmianę energii kinetycznej między tymi
samymi przekrojami: ∆Ek = ρ*dF*dl*

Zatem korzystając ze wzoru Lp = ∆Ep + ∆Ek i
ostatnio wyznaczanych zalezności na pracę sił
zewnętrznych Lp otrzymujemy:
dF*dl(p1-p2) = ρ*dF*dl*g(z2-z1) +
ρ*dF*dl*

w którym wszystkie jego

człony wyrazone są w dzulach. Po uproszczeniu:
p1-p2 =

(z2-z1) + /g *

mnożąc

obustronnie przez 1/

otrzymujemy:

20 Równanie B. dla strumienia cieczy
rzeczywistej.
W praktyce spotyka się przepływy w strumieniach
cieczy rzeczywistych ( a nie idealnych,
doskonałych). Dla tak powszechnych przypadków
występujących w przyrodzie, codziennym życiu i
działalności gospodarczej należy dysponować
odpowiednim równaniem B. Powinno ono być
dostosowane do strumienia o skończonych
wymiarach pola powierzchni przekroju
poprzecznego oraz przepływu w nim cieczy
rzeczywistej. Jak wiadomo taka ciecz będąca w nich
stawia opory tarcia, zmniejszające całkowitą energię
mechaniczną strumienia zmieniając się w inny
rodzaj np. w energię cieplną która ulega dyssypacji
(rozproszeniu) W takim przypadku po prawej stronie
równania B dodajemy sumę strat hydraulicznych hs
które powstają na odcinku rurociągu między
przekrojami.

+ hs

Spad hydrauliczny to róznica rzędnych linii energii
między rozpatrywanymi przekrojami można go
wyrazić:

(

Prawo ciągłości przepływu
Prędkość przepływu jest w danym przekroju
odwrotnie proporcjonalna do wielkości jego pola. Im
większy jest przekrój, przez który przepływa ciecz,
tym mniejsza jest jej prędkość i na odwrót. Każde
zmniejszenie pola przekroju powoduje, że prędkość
przepływu powiększa się. Ten przyrost prędkości, w
miarę pomniejszania się światła otworu, bierze się
stąd, że taka sama objętość cieczy musi przepłynąć
przez każdy dowolny przekrój tego przewodu.
Znaczy to, że jeżeli przepływ w przewodzie o
niezmiennym przekroju ustalił się na poziomie np. 5
dm3/s to po zwężeniu przewodu objętość
przepływającej cieczy nie zmieni się. Wzrośnie
natomiast prędkość przepływu, aby
zrekompensować zmniejszenie pola przekroju
przewodu.
Straty liniowe powstające na prostych odcinkach
przewodu o średnicy d i dł l-Δh

Straty miejscowe powstające na przeszkodach
lokalnych(kolanka, zawory)

Wypływ cieczy z

otworów

21. Ustalony wypływ cieczy z małego otworu
niezatopionego
Wypływ cieczy z otworów w dnie lub ściance
zbiornika jest ustalony, gdy prędkość i wydatek nie
zmieniają się w czasie H=const.
Jeżeli wypływ z otworu odbywa się do atmosfery
lub do odbiornika, w którym zwierciadło cieczy
wznosi się poniżej dolnego punktu otworu to jest to
otwór niezatopiony.
Równanie Bernoulliego

Równanie ciągłości

Przyjmujemy

=1

H=

Dla

oraz

=

gdzie ξ to współczynnik prędkości, który zmniejsza
prędkość w zależności od wielkości straty lokalnej i
wynosi 0,96 -0,99
Średnia prędkość z małego otworu

H –zagłębienie środka otworu pod zwierciadłem
cieczy

Obliczamy wydatek takiego otworu

22.Wypływ cieczy przez przystawki
Przystawką nazywamy króciec stanowiący krótką
rurę obramowującą otwór w ściankach lub dni
zbiornika, a także końcówkę wylotową z przewodu.
Przystawki stosowane są dla ograniczenia wpływu
dławienia strumienia na wydatek otworu.
Podział przystawek według

1.

1.Kierunku położenia ich osi: poziome, pionowe i
skośne

2.

2.Lokalizacji w stosunku do ściany zbiornika:
zewnętrzne i wewnętrzne

3.

3.Kształtu przekroju poprzecznego: koło,
kwadratowe, prostokątne i inne

4.

4.Kształtu przekroju podłużnego: cylindryczne,
stożkowe zbieżne i rozbieżne, dyszowe.
Przystawki nadają odpowiedni kształt liniom pola
strumienia, które po początkowym oderwaniu się od
ścianek najczęściej ponownie na niewielkiej
odległości przylegają do nich, powodując w
otoczeniu przewężenia i ścianek powstanie
podciśnienia, które działa ssąco i zwiększa
współczynnik wydatku a tym samym i natężenie
wypływu.

23.Ustalony wypływ cieczy przez otwór zatopiony

Stąd średnia prędkość wypływu

Wydatek otworu zatopionego

, h-

różnica poziomów cieczy w zbiornikach, czyli
prędkość wydatek nie zależą od zagłębienia otworu
jak w niezatopionych. Prędkość wypływu cieczy
jest jednakowa w każdym punkcie otworu, zatem nie
zachodzi tutaj potrzeba podziału na otwory o małych
i dużych przekrojach.

24.Ustalony wypływ z cieczy z dużego otworu
niezatopionego
Na głębokości z wyodrębniamy elementarną
powierzchnię dF, której wysokość dz jest tak mała,
że możemy obliczyć prędkość wypływu jak z
małego otworu, który upraszczamy do postaci:

Obliczamy elementarny wydatek /dQ/ otworu o

powierzchni dF= xy =x

Wprowadźmy współczynnik wydatku
chociaż dla elementu stąd

Chcąc obliczyć całkowity wydatek otworu o
powierzchni F obliczamy całkę w granicach

Stąd

Załóżmy, że otwór jest prostokątny x=b oraz ściana
jest pionowa

, wówczas

to

Po podstawieniu zalezności z=H-r cos ,
dz+rsin

oraz x=2rsin otrzymamy:

25.Nieustalony wypływ cieczy z małego otworu
niezatopionego
zachodzi wtedy, gdy dopływ do zbiornika /q/ nie jest
równy wypływowi /Q/. Gdy q>Q następuje
podnoszenie się zwierciadła i wzrasta jego
napełnienie oraz natężenie wypływu. Gdy q<Q na
odwrót.

Chwilowy wydatek otworu:

Ze względu na zmienność przekroju poziomego
zbiornika F/z/ po czasie d/t/ zwierciadło cieczy
obniży się z głębokości /z/ o /dz/, stąd wyznaczymy
elementarną objętość wypływu

Objetość cieczy dopływającej w czasie dt, tj. /q dt/
powiekszona o objętość cieczy w warstwie
elementarnej musi równac się objętości cieczy która
w czasie dt wypłynęła z otworu, czyli

Można to zapisać następująco:

Lewa strona równania oznacza ubytek objętości
cieczy w zbiorniku powstały z niezrównoważenia
się wypływu z dopływem w czasie dt.

Czas częściowego opróżnienia naczynia:

Gdy q=0

wzór ogólny na czas opróżnienia całego zbiornika:

zakładając, że q=0 oraz istnieje niezmienność
przekroju poziomego zbiornika F(z)=const =F to
po z całkowaniu 2 powyższych wzorów otrzymamy
wzory na czas częściowego /t/ i całkowitego /T/
opróżnienia zbiornika

26. Ustalony wypływ cieczy przez duży otwór
częściowo zatopiony
Można traktować jako sumę wypływów z dużego
otworu niezatopionego /

/ i zatopionego

Q=

Rozważamy 2 położenia zwierciadła cieczy. W I
fazie w której zwierciadło cieczy w górnym
zbiorniku jest położone powyżej górnej krawędzi
otworu /

wydatki cząstkowe

wynoszą:

W II fazie zwierciadło cieczy w górnym zbiorniku
nie przekracza wysokości położenia górnej krawędzi
otworu

, wówczas otwór pracuje

jak przelew, dla którego wydatki cząstkowe

obliczamy ze wzorów:

27. Nieustalony wypływ cieczy z dużego otworu
niezatopionego
Wypływ cieczy z takiego otworu niezatopionego
można podzielić na 2 fazy, z których pierwsza trwa
do chwili gdy

>h, co oznacza, że zwierciadło w

górnym zbiorniku połozone jest powyżej górnej
krawędzi otworu. Druga faza dotyczy przedziału
położenia zwierciadła w górnym zbiorniku między
górną a dolną krawędzią otworu

.

Wypływ jest nieustalony, gdy dopływ do zbiornika
/q/ względem wypływu przez otwór /Q/ jest
mniejszy i dlatego obniża się zwierciadło cieczy w
zbiorniku.
Dla I fazy chwilowy wydatek określa wzór:

Założono, że zwierciadło cieczy w górnym
zbiorniku obniż Asię z wysokości

i po pewnym

czasie osiągnie położenie z. Następnie w czasie dt
zwierciadło ponownie obniży się o dz. Porównujemy
objętość wypływającej cieczy z ubytkiem objętości
w elementarnej warstwie.

dt = -F(z) dz

Obliczamy czas obniżenia się zwierciadła cieczy z
wysokości

II faze wypływu cieczy z otworu przy położeniu
zwierciadła w górnym zbiorniku między górna a
dolną krawędzią otworu, który działa jak przelew
prostokątny niezatopiony. Chwilowy wydatek

można obliczyć ze wzoru:

Całkowity czas obniżania się zwierciadła w II fazie
od górnej do dolnej krawędzi otworu wyniesie:

Łączny czas obniżania się zwierciadła jest sumą T
=

+

ς-wspolczynnik oporu miejscowego

1.Ciężar właściwy…………………………………1
2.Gęstość…………………………………………..1
3.Ściśliwość……………………………………….1
4.Rozszerzalność cieplna…………………………1
5.Lepkość…………………………………………..1
6.Napięcie powierzchniowe………………………2
7.Płyn doskonały…………………………………..2
8.Hydrostatyka……………………………………2
9.Różniczkowe równanie równowagi płynów-
Eulera………………………………………………3
10.Siły działające na ciecz w stanie względnego
spoczynku………………………………………..4
11.Ciśnienie i parcie hydrostatyczne……...……….4
12.Zastosowanie równania hydrostatyki Eulera..4
13.Prawo Pascala………………………………….5
14.Jednostajny ruch cieczy w naczyniu wzdłuż
prostej poziomej……………………………………5
15.Jednostajnie przyspieszony ruch cieczy w
naczyniu wzdłuż prostej poziomej……………….5
16.Jednostajnie przyspieszony ruch cieczy w
naczyniu wzdłuż prostej pionowej……………….5
17.Równanie powierzchni swobodnej i ciśnienie
hydrostatyczne cieczy poruszającej się z naczyniem
dookoła pionowej osi ze stała prędkością kątową.6
18 Równanie Bernoulliego dla strumienia cieczy
doskonałej………………………………………..6
19 Równanie Bernoulliego dla strugi cieczy
doskonałej………………………………………..7
20 Równanie Bernoulliego dla strumienia cieczy
rzeczywistej………………………………………8
21. Ustalony wypływ cieczy z małego otworu
niezatopionego……………………………………..9
22.Wypływ cieczy przez przystawki……………10
23. Ustalony wypływ cieczy przez otwór
zatopiony…………………………………………10
24.Ustalony wypływ z cieczy z dużego otworu
niezatopionego……………………………………11
25.Nieustalony wypływ cieczy z małego otworu
niezatopionego………………………………….12
26. Ustalony wypływ cieczy przez duży otwór
częściowo zatopiony……………………………13
27. Nieustalony wypływ cieczy z dużego otworu
niezatopionego……………………………………14