WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 6
1
Zadanie 1
Rozwiązać następujące równania różniczkowe:
a) y
0
= (t + 1)y
b) (1 + t
2
)y
0
+ 9y = 0
c)
dy
dx
= y(x sin x − cos x)
d) y
0
+
2y
x
=
cos x
x
2
e) xy
0
+ (1 + x)y = e
−x
sin 2x
f) y
0
= x + 2y + xy + 2
g)
dx
dy
= x + y
h) (1 + x
2
)
dy
dx
+ y = arc tg x
i)
dy
dx
+ y = (2x
2
+ 6x + 6)e
x
+ 4e
3x
j) xy
0
+ y =
1
y
2
k) xy
0
+ y = 2xy
2
l) y
0
+ 2y +
4
y
= 0
m) y
0
+ y =
5 sin x
y
n) yx
0
+ x =
1
2
x
2
y
o) 2xy
0
− y = y
3
cos x
Zadanie 2
Rozwiązać następujące zagadnienia początkowe:
a) y
0
= 2y + e
t
− t, y(0) =
1
4
b) xy
0
+ y = xe
x
2
, y(1) = 2
c) y
0
− y tg x = sin x, y(0) = −
1
2
d) y
0
+
y
x
= 2 ln x + 1, y(1) = 0
e) y
0
−
xy
2(x
2
− 1)
=
x
2y
, y(0) = 1
f) y
0
+ yx = xy
−3
, y(0) = −2
g) y
1
2
y
0
+ y
3
2
= 1, y(0) = 4
h) y
0
+
y
x
=
1
x
3
y
3
, y(1) = −1
Odpowiedzi: 1. a) y = Ce
1
2
t
2
+t
, C ∈ R, b) y = Ce
−9arc tg t
, C ∈ R, c) y = Ce
−x cos x
, C ∈ R, d)
y =
1
x
2
sin x + C
1
x
2
, C ∈ R, e) y = −
1
2x
e
−x
cos 2x + C
1
x
e
−x
, C ∈ R, f ) y = −1 + Ce
1
2
(2+x)
2
, C ∈ R, g)
x = −y−1+Ce
y
, C ∈ R, h) y = arc tg x−1+Ce
−arc tg x
, C ∈ R, i) y = (x
2
+2x+2)e
x
+e
3x
+Ce
−x
, C ∈ R,
j) y
3
= 1 +
C
x
3
, C ∈ R, k) y ≡ 0 lub y
−1
= −2x ln |x| + Cx, C ∈ R, l) y = ±
p
−2 + Ce
−4x
, C ∈
R, m) y = ±
p
4 sin x − 2 cos x + Ce
−2x
, C ∈ R, n) x =
1
−
1
2
y ln |y| + Cy
, C ∈ R lub x ≡ 0, o)
y = ±
r
x
C − sin x
, C ∈ R lub y ≡ 0; 2. a) y = −e
t
+
1
2
t+
1
4
+e
2t
, t ∈ R, b) y =
1
2x
e
x
2
+
4 − e
2x
, x ∈ (0, ∞),
c) y = −
1
2
cos x, x ∈
−
π
2
,
π
2
, d) y = x ln x, x ∈ (0, ∞), e) y =
q
x
2
− 1 + 2
p
1 − x
2
, x ∈ (−1, 1), f )
y = −
4
q
1 + 15e
−2x
2
, x ∈ R, g) y =
1 + 7e
−
3
2
x
2
3
, x ∈ R, h) y = −
4
√
2x
2
− 1
x
, x ∈
√
2
2
, ∞
!
.