03 Astronomiczne uklady wspolrzedn (2)

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Rozdział 3

Astronomiczne układy
współrz˛ednych

3.1

Streszczenie

W astronomii wykorzystywane s ˛

a przeró˙zne układy współrz˛ednych sferycznych jak i opdowiada-

j ˛

ace im układy kartezja´nskie. Najwa˙zniejszy układ astronomicznych współrz˛ednych sferycznych

to układ równikowy z par ˛

a k ˛

atów

(;

)

, rektascensja i deklinacja.

Najprostszym do zrealizowania w praktyce jest układ współrz˛ednych horyzontalnych z azymutem
i odległo´sci ˛

a zenitaln ˛

(A;

)

. Biegunem układu jest zenit miejsca obserwacji, podstawowym

kołem azymutalnym jest południk miejscowy. Układ współrz˛ednych godzinnych

(H ;

)

real-

izowany jest za pomoc ˛

a monta˙zu teleskopu umo˙zliwiaj ˛

acego ´sledzenie ruchu dobowego sfery.

Układ godzinny definiuj ˛

a biegun ´swiata i południk miejscowy.

Współrz˛edne horyzontalne i godzinne nie s ˛

a dogodne do katalogowania poło˙ze´n ciał niebieskich,

s ˛

a bowiem zale˙zne od czasu. Do katalogowania poło˙ze´n doskonale nadaje si˛e układ równikowy

(;

)

. Ale w dynamice ciał Układu Słonecznego wygodniej jest korzystywa´c z układu eklipty-

cznego

(;

)

, którego kierunkiem biegunowym jest kierunek na biegun ekliptyki a punkt rów-

nonocy wiosennej

słu˙zy do definiowania pocz ˛

atku rachuby współrz˛ednej azymutalnej. W celu

opisu ´swiata gwiazd warto posłu˙zy´c si˛e układem galaktycznym

;

, w którym północny biegun

Galaktyki oraz punkt na równiku galaktycznym identyczny z obrazem rzutu centrum Galaktyki na
równik, stanowi ˛

a elementy definiuj ˛

ace ten układ współrz˛ednych.

Pomi˛edzy wszystkimi układami mo˙zna dokona´c transformacji współrz˛ednych. Stosowne wzory
transformacyjne daj ˛

a si˛e wyprowadzi´c w rezultacie rozwi ˛

azania trójk ˛

ata sferycznego, którego

bokami i k ˛

atami s ˛

a współrz˛edne sferyczne obiektu wyra˙zone w obu układach, oraz parametry

definiuj ˛

ace jeden układ wzgl˛edem drugiego. Mo˙zna te˙z stosowa´c podej´scie wektorowe, w którym

transformacja współrz˛ednych realizowana jest jako zło˙zenie od jednego do trzech obrotów.
Szczególn ˛

a rol˛e w obserwacjach astronomicznych odgrywa czas. Istnieje kilka sposobów pomi-

aru czasu okre´slanych mianem skal czasu. Podstawow ˛

a rol˛e pełni ˛

a skala czasu słonecznego ´sred-

niego oraz skala czasu gwiazdowego. S ˛

a to skale lokalne (tzn. zale˙zne od miejsca obserwacji),

które definiuje si˛e jako k ˛

at godzinny fikcyjnego sło ´nca ´sredniego (czas słoneczny) oraz k ˛

at go-

dzinny punktu barana (czas gwiazdowy). Wyró˙zniono skal˛e czasu słonecznego obserwowanego w
Greenwich, nazwano j ˛

a czasem uniwersalnym

Słowa kluczowe: układ współrz˛ednych horyzontalnych, godzinnych, równikowych, eklipty-
cznych, galaktycznych, ´sredni czas słoneczny, czs gwiazdowy, równanie czasu, czas uniwersalny,
czas strefowy.

3.2 Układy współrz˛ednych wykorzystywane w astronomii

3.2

Układy współrz˛ednych wykorzystywane w astronomii

Umówili´smy si˛e, ˙ze sfera niebieska to sfera o promieniu jednostkowym. O jej ´srodku powiedzieli´smy
jedynie tyle, ˙ze jest tam gdzie znajduje si˛e obserwator, np. na powierzchni Ziemi. Skoro tak to w
dowolnym miejscu gdzie znajduje si˛e obserwator da si˛e rozpi ˛

a´c sfer˛e niebiesk ˛

a i skojarzy´c z ni ˛

jaki´s układ współrz˛ednych. Dlatego mówimy o:

sferze niebieskiej topocentrycznej czyli o ´srodku na powierzchni Ziemi,

sferze niebieskiej geocentrycznej o ´srodku w centrum Ziemi,

sferze niebieskiej heliocentrycznej o ´srodku w centrum Sło ´nca,

sferze niebieskiej lunocentrycznej o ´srodku w centrum Ksi˛e˙zyca,

etc.

Z ka˙zd ˛

a z tych sfer da si˛e zwi ˛

aza´c cały legion układów współrz˛ednych sferycznych, ale w praktyce

najcz˛e´sciej wykorzystywanymi s ˛

układ horyzontalny,

układ godzinny,

układ ekliptyczny,

układ galaktyczny.

Ka˙zdy układ współrz˛ednych sferycznych mo˙zne by´c zast ˛

apiony przez jego prostok ˛

atny ekwiwa-

lent (odpowiednio lewo lub prawo skr˛etny). W astronomii mamy zatem do dyspozycji bardzo
wiele najrozmaitszych układów współrz˛ednych, wykorzystywanych zale˙znie od potrzeby, a w celu
ułatwienia astronomom współpracy koniecznym jest wprowadzenie pewnych standardów.

3.3

Dygresja. Współrz˛edne sferyczne na powierzchni Ziemi

Zanim omówimy podstawowe astyronomiczne układy współrz˛ednych słu˙z ˛

ace do okre´slania kierunków

do ciał niebieskich, przypomnimy sobie układ współrz˛ednych słu˙z ˛

acy do ustalenia poło˙zenia ob-

serwatora na powierzchni Ziemi.

W pierwszym przybli˙zeniu brył˛e ziemsk ˛

a mo˙zna traktowa´c jako kul˛e wiruj ˛

ac ˛

a w tempie jed-

nego obrotu na dob˛e wokół ustalonej osi obrotu. O´s ta przecina ziemsk ˛

a powierzchni˛e w biegu-

nach geograficznych

(rysunek 3.1). Koło wielkie, którego biegunami s ˛

a punkty

nosi nazw˛e równika. Półkola wielkie prostopadłe do równika przecinaj ˛

ace si˛e w punktach

nazwamy południkami długo´sci, lub krótko południkami.

Punkt

w naturalny sposób narzuca si˛e jako biegun sferycznego układu współrz˛ednych do

okre´slania poło˙zenia punktów na powierzchni Ziemi, czyli na sferze o ´srodku w centrum masy
Ziemi. Wówczas odległo´s´c sferyczna dowolnego punktu na powierzchni Ziemi od bieguna

, sta-

nowi miar˛e współrz˛ednej biegunowej

definiowanego układu. Współrz˛edna azymutalna

tego

układu b˛edzie okre´slona je;sli dokonamy wyboru koła wielkiego, ustalaj ˛

acego pocz ˛

atek rachuby

tej współrz˛ednej. Mogliby´smy tu wybra´c którekolwiek z kół przechodz ˛

acych przez bieguny

;

ma ono rang˛e południka głównego (zerowego) i na rysunku 3.1 reprezentuje go półkole

Takiego wyboru z natury rzeczy arbitralnego, dokonano moc ˛

a mi˛edzynarodowej ugody w XIX

stuleciu, kiedy to jako południk zerowy wybrano ten, który przechodził przez podstawowy pozy-
cyjny teleskop Królewskiego Obserwatorium w Greenwich.

Zatem, poło˙zenie dowolnego punktu

na powierzchni Ziemi wyznaczone jest za pomoc ˛

a łuku

koła wielkiego

i k ˛

ata sferycznego

. Sferyczne współrz˛edne punktu

, tradycyjnie

oznaczane greckimi literami

;

— szeroko´s´c

oraz długo´s´c

— definiowane s ˛

a z pomoc ˛

równa´n

(3.1)

Astronomiczne układy współrz˛ednych

X’

rownik

Rysunek 3.1: Układ współrz˛ednych sferycznych

(;

)

na powierzchni Ziemi. Szeroko´s´c ge-

ograficzna

punktu X równa jest łukowi

. Długo´s´c geograficzna

punktu

jest identyczna

z k ˛

atem dwu´sciennym pomi˛edzy południkiem

(południk Greenwich) a południkiem

, na

którym le˙zy punkt

Łuk

nazywany bywa odległo´sci ˛

a biegunow ˛

a punktu

Rozci ˛

agnijmy łuk

do pełnego południka przecinaj ˛

acego równik w punkcie

, jest jasne,

˙ze wszystkie punkty na tym samym południku maj ˛

a jednakow ˛

a długo´s´c

. Poprowad´zmy małe

koło

tak by równnie˙z jego biegunami były punkty

. Wszystkie punkty le˙z ˛

ace na takim

kole małym (zwanym równole˙znikiem szeroko´sci) maj ˛

a jednakow ˛

a szeroko´s´c

. Równole˙zniki

szeroko´sci wraz z południkami długo´sci tworz ˛

a na powierzchni Ziemi siatk˛e układu współrz˛e-

dnych geograficznych.

Z równa´n (3.1) wynika, ˙ze punkty le˙z ˛

ace powy˙zej równika maj ˛

a szeroko´sci dodatnie, za´s

le˙z ˛

ace poni˙zej ujemne. W przypadku długo´sci, moc ˛

a tradycji, za dodatnie przyjmuje si˛e długo´sci

punktów poło˙zonych na wschód od Greenwich. Mamy zatem nast˛epuj ˛

ac ˛

a dziedzin˛e współrz˛e-

dnych

(;

)

180

(3.2)

Mo˙zemy jednak natrafi´c na inne ustalenia dotycz ˛

ace współrz˛ednych

;

: np.

liczona w kie-

runku wschodnim przyjmuje warto´sci z przedziału

360

. Bywaj ˛

a i takie konwencje, w któ-

rych obie współrz˛edne zawsze podawane s ˛

a jako liczby dodatnie, którym w celu jednoznacznego

okre´slenia poło˙zenia towarzysz ˛

a litery N,S,W,E np. (52 N, 15 E) oznacza poło˙zenie punktu o

szeroko´sci

stopnie na północ od równika, i długo´sci

stopni na wschód od Greenwich.

Wyznaczenie odległo´sci pomi˛edzy punktami na sferze

Dysponuj ˛

ac współrz˛ednymi sferycznymi punktów

na powierzchni Ziemi, mo˙zemy obliczy´c

ich wzajemn ˛

a odległo´s´c k ˛

atow ˛

a i liniow ˛

a. Niech b˛edzie, ˙ze dane s ˛

a punkty

(;

)

(

;

)

Odległo´s´c mi˛edzy nimi mierzona jest wzdłu˙z linii geodezyjnej, czyli wzdłu˙z boku

trójk ˛

ata

sferycznego

. W trójk ˛

acie tym znamy nast˛epuj ˛

ace elementy

Korzystaj ˛

ac ze wzoru cosinusów (2.15) mamy

sin

(

)

(3.3)

3.4 Układ współrz˛ednych równikowych

90−δ

Poludnik rektascensji

rownik niebieski

rownoleznik deklinacji

Rysunek 3.2: Układ współrz˛ednych sferycznych równikowych

(;

)

. Deklinacja

jest miar ˛

wysoko´sci obiektu nad równikiem niebieskim, rektascensja

okre´sla k ˛

atow ˛

a odległo´s´c astro-

nomicznego południka obiektu, od południka przechodz ˛

acego przez punkt równonocy wiosennej

. Dla obserwatora znajduj ˛

acego si˛e na północnym biegunie

´swiata, kierunek rachuby rektas-

censji jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Jest to kierunek zgodny z pozornym, rocznym
ruchem Sło ´nca na sferze.

Odległo´s´c

wyznaczona z tego wzoru za pomoc ˛

a funkcji arcus cosinus wyra˙zona bédzie w jed-

nostkach k ˛

atowych: w radianach, w stopniach. Chc ˛

ac przej´s´c do jednostek liniowych (jednostek

długo´sci), trzeba zna´c rozmiary Ziemi i z ich pomoc ˛

a dokona´c odpowiedniej zamiany jednostek.

Mierz ˛

ac długo´s´c w milach morskich

mmil

1:855

km)

problem upraszcza si˛e, bowiem

jednostk˛e t˛e wybrano tak by łuk na powierzchni Ziemi o długo´sci

mili morskiej odpowiadał

k ˛

atowi

rozpi˛etemu wzgl˛edem ´srodka Ziemi.

3.4

Układ współrz˛ednych równikowych

Astronomiczny układ współrz˛ednych sferycznych zdefiniowany w bardzo podobny do omówio-
nego wy˙zej dla powierzchni Ziemi to układ współrz˛ednych równikowych (układ równikowy).

układzie równikowym poło˙zenia obiektów okre´slone s ˛

a współrz˛ednymi deklinacja

i rektascensja

. Współrz˛edne te maj ˛

a bardzo po˙z ˛

adan ˛

a własno´s´c — ich warto´sci nie ulegaj ˛

a zmianie na skutek

ruchu wirowego Ziemi.

Rysunek 3.7 ilustruje sfer˛e niebiesk ˛

a wraz z umieszczon ˛

a w jej wn˛etrzu

kul ˛

a ziemsk ˛

a. Przedłu˙zenie osi obrotu Ziemi

, przebija sfer˛e niebiesk ˛

a w punktach

Nosz ˛

a one nazw˛e północnego i południowego bieguna ´swiata (bieguna niebieskiego). Natomiast,

rozci ˛

agni˛eta w przestrzeni płaszczyzna równika ziemskiego przecina sfer˛e niebiesk ˛

a wzdłu˙z koła

wielkiego zwanego równikiem ´swiata (równikiem niebieskim).

Siatk˛e współrz˛ednych deklinacji i rektascensji na sferze niebieskiej mo˙zna narysowa´c zupełnie

analogicznie do siatki współrz˛ednych ziemskich. W szczególno´sci mamy tu równole˙zniki dekli-
nacji czyli koła małe równoległe do równika niebieskiego, oraz południki rektascensji b˛ed ˛

ace

półkolami wielkimi przecinaj ˛

acymi si˛e w biegunach niebieskich.

Dla dowolnego punktu

na sferze niebieskiej jego współrz˛edne równikowe definiujemy jako

(3.4)

gdzie

oznacza punkt na równiku niebieskim, pełni on rol˛e punktu zerowego miary rektascensji.

Wybrano go drog ˛

a konwencji tak, by znajdował si˛e mo˙zliwie blisko poło˙zenia Sło ´nca w momencie

Pomimo wprowadzenia w roku 1991 drog ˛

a rezoluzji przez MUA nowych koncepcji astrometrycznych, jest to nadal

najwa˙zniejszy układ współrz˛ednychwykorzystywany w astronomii.

Warto´sci rektascensji i deklinacji ulegaj ˛

a zmianom z innych powodów, powiemy o nich na jednym z nast˛epnych

wykładów.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

równonocy wiosennej (około 21 marca), kiedy to Sło ´nce przechodzi przez równik niebieski z
półsfery południowej na półsfer˛e północn ˛

a. Dlatego punkt

nazywany jest punktem równonocy.

Poniewa˙z w czasach kiedy zaproponowano t˛e konwencj˛e punkt

poło˙zony był w gwiazdozbiorze

Barana, nazwano go równie˙z punktem barana.

Współrz˛edna rektascensja mierzona jest wzdłu˙z równika, w kierunku zgodnym z kierunkiem

pozornego ruchu Sło ´nca na sferze, czyli w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛

acego

si˛e na północnym biegunie ´swiata

. Deklinacj˛e mierzymy w płaszy´znie południka niebieskiego.

Warto´sci jakie mog ˛

a przyjmowa´c obie współrz˛edne nale˙z ˛

a do przedziałów

360

(3.5)

Jednak tradycyjn ˛

a miar ˛

a rektascensji nie s ˛

a stopnie ale jednostki czasu. Pomi˛edzy jednostkami

czasowymi i k ˛

atowymi mamy proste zale˙zno´sci, mianowicie, je˙zeli przyjmiemy, ˙ze

360

to łatwo sprawdzi´c, ˙ze

1=15

(3.6)

Obok sferycznych, wykorzystywane s ˛

a tak˙ze równikowe współrz˛edne prostok ˛

atne. Je´sli

b˛edzie

´srodkiem sfery niebieskiej, kierunek osi

wybierzemy wzdłu˙z odcinka

, w kierunku punktu

skierujemy o´s

, natomiast o´s

wybierzemy tak by otrzyma´c układ prawoskr˛etny, wówczas

dysponuj ˛

ac współrz˛ednymi

;

punktu

, jego równikowe współrz˛edne prostok ˛

atne

(x;

;

)

dane s ˛

a poprzez zale˙zno´sci

sin

(3.7)

gdzie jak poprzednio, promie´n sfery wybrano jako jednostk˛e długo´sci.

3.5

Układ współrz˛ednych horyzontalnych

Niech dana jest sfera niebieska rozpi˛eta nad obserwatorem w miejscu

(rysunek 3.3a), znajdu-

j ˛

acym si˛e gdzie´s na powierzchni północnej półkuli ziemskiej. Na powierzchni Ziemi naturalnym

kierunkiem, łatwym do ustalenia, jest kierunek pionu (kierunek lokalnej grawitacji), który prze-
bija sfer˛e w punkcie

zwanym zenitem miejsca obserwacji. Punkt diametralnie mu przeciwny

nazwano nadirem (rysunek 3.3a).

Koło wielkie, którego biegunami s ˛

a zenit i nadir nazwano horyzontem niebieskim, horyzontem

miejsca obserwacji, lub krótko horyzontem. Horyzont dzieli sfer˛e na półsfer˛e widoczn ˛

a przez

obserwatora oraz na półsfer˛e przez niego niewidoczn ˛

a. Linia przechodz ˛

aca przez obserwatora

, i równoległa do ziemskiej osi rotacji przebija sfer˛e w punktach

zwanych północnym

i południowym biegunem ´swiata. Rysunek 3.3b przedstawia sfer˛e niebiesk ˛

a dla obserwatora z

południwej półkuli Ziemi. Rysunek dla półkuli północnej jest nam wyra´znie bardziej przyjazny,
ale to co powiemy poni˙zej stosuje si˛e do obu przypadków.

Poniewa˙z Ziemia wiruje, obserwator dostrzega ci ˛

agł ˛

a zmian˛e poło˙ze´n ciał niebieskich. Dobowy

ruch Ziemi odbywa si˛e z zachodu na wschód, powoduj ˛

ac wra˙zenie obrotu sfery niebieskiej wokół

osi

równoległej do osi ruchu wirowego Ziemi.

Koło wielkie

nosi miano południka miejscowego, (południka obserwatora), jego płasz-

czyzna jest prostopadła do horyzontu i przecina horyzont w punktach

le˙z ˛

acych na tej samej

´srednicy. Sa to punkty północy i południa (

;

). Punkty wschodu i zachodu (

;

) znajduj ˛

3.5 Układ współrz˛ednych horyzontalnych

Horyzont

Rownik

Poludnik

Horyzont

Poludnik

Rownik

Rysunek 3.3: Układ współrz˛ednych horyzontalnych na szeroko´sciach geograficznych a) północnej
i b) południowej.

si˛e w odległo´sci k ˛

atowej

. Punkty

;

nazywane s ˛

a punktami kardynalnymi

horyzontu.

Układ współrz˛ednych horyzontalnych zdefiniowany jest z pomoc ˛

a bieguna

znajduj ˛

acego si˛e

w zenicie miejsca obserwacji. Jako koło wielkie odniesienia wybrano koło

, (patrz rysunek

3.3a). Przy takich ustaleniach, poza przypadkami dotycz ˛

acymi zenitu i nadiru, współrz˛edne hory-

zontalne dowolnego punktu

, czyli odległo´s´c zenitalna

oraz azymut

definiowane s ˛

a jako

(3.8)

przy czym

180

360

Jak widzimy, azumut

mierzony jest od punktu północy ku punktowi wschodu

i przyjmuje

warto´sci z przedziału

360

. Definicja ta jest jednak jedn ˛

a z wielu konwencji stosowanych przy

okre´slaniu azymutu. W przyj˛etej przaz nas definicji azymut ro´snie w kierunku zegarowym dla
obserwatora znajduj ˛

acego sie w zenicie, ale odpowiadaj ˛

acy tej konwencji układ współrz˛ednych

prostok ˛

atnych jest lewoskr˛etny.

Koła wielkie przecinaj ˛

ace si˛e w zenicie

, nazwano kołami wierzchołkowymi (wertykałami).

Wertykały przechodz ˛

ace przez punkty

nazwano pierwszymi wertykałami. Punkty le˙z ˛

ace na

tym samym wertykale maj ˛

a identyczny azymut. Koła małe o biegunach w zenicie

(równole˙zniki

wysoko´sci) nazywane s ˛

a almukantaratami. Punkty le˙z ˛

ace na tm samym almukantaracie maj ˛

identyczn ˛

a wysoko´s´c.

Obok odległo´sci zenitalnej

, alternatywnie stosowana jest tzw. wysoko´s´c

, okre´slona za-

le˙zno´sci ˛

(3.9)

przy czym

Przy zało˙zeniu sferycznego kształtu Ziemi, kierunek

, pokrywa si˛e z radialnym kierunkiem od

´srodka Ziemi do obserwatora. Kierunek ten tworzy z równikiem k ˛

równy szeroko´sci geogra-

ficznej obserwatora. Oznacza to, ˙ze łuk

, czyli odległo´s´c zenitalna bieguna ´swiata wynosi

(3.10)

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Rownik

Poludnik

Rysunek 3.4: Układ współrz˛ednych godzinnych

H ;

, ilustracja ruchu dobowego gwiazd

Układ współrz˛ednych horyzontalnych daje si˛e łatwo zrealizowa´c na powierzchni Ziemi. Jego
podstawowe kierunki na punkty

mo˙zna ustali´c z pomoc ˛

a bezpo´srednich obserwacji. Ma

on jednak pewne wady, najwa˙zniejsza to zale˙zno´s´c azymutu i wysoko´sci obiektu od wyboru
miejsca obserwacji. S ˛

a to zatem współrz˛edne lokalne i dlatego wykorzystuje si˛e je najcz˛e´sciej

jako współrz˛edne topocentryczne. Inna wada to zmiany warto´sci współrz˛ednych horyzontalnych
wraz z ruchem dobowym sfery, czyli zmienno´s´c azymutu i wysoko´sci w czasie. Przyczyn ˛

a takiego

stanu rzeczy jest wybór na biegun układu punktu zwi ˛

azanego z miejscem obserwacji na powierz-

chni Ziemi. W rezulttacie zenit (biegun układu) przemieszcza si˛e po sferze niebieskiej w wyniku
ruchu obrotowego Ziemi.

3.6

Współrz˛edne godzinne

Układ współrz˛ednych godzinnych to układ o biegunie w punkcie

— zwanym biegunem ´swiata

(rysunek 3.4). Rol˛e koła odniesienia dla drugiej współrzednej pełni południk miejscowy

Tak zdefiniowany układ nadal jest zwi ˛

azany z miejscem obserwacji ale w mniejszymm stopniu,

bowiem jedna z jego współrz˛ednych, deklinacja nie zmienia si˛e wskutek ruchu wirowego sfery.
Druga współrz˛edna, k ˛

at godzinny zale˙zy od wyboru miejsca obserwacji i czasu.

Niech sfera niebieska z rysunku 3.4 ma ´srodek w jakim´s miejscu obserwacji, natomiast punkty

Z ;

;

maj ˛

a znaczenie dokładnie takie samo jak na rysunku 3.3. Rysunek 3.4 ilustruje

sfer˛e dla obserwatora z półkuli północnej, nie jest to jednak konieczne je´sli chodzi o podane ni˙zej
definicje.

Dla danej gwiazdy

, o ile nie znajduje si˛e w biegunach omawianego układu, jej deklinacja

i k ˛

at godzinny

definiowane s ˛

a nast˛epuj ˛

aco

(3.11)

Łuk

nazywany jest północn ˛

a odległo´sci ˛

a biegunow ˛

a gwiazdy. K ˛

at sferyczny

, czyli

k ˛

at godzinny

mierzymy w kierunku punktu zachodu

Półokr˛egi przechodz ˛

ace przez bieguny ´swiata np.

, nazwano południkami k ˛

ata godzin-

nego, kołami godzinnymi. Południk odpowiadaj ˛

acy k ˛

atowi godzinnemu o warto´sci zero jest połud-

nikiem miejscowym danego obserwatora.

Małe koła o biegunach w

, nazywamy równole˙znikami deklinacji. Poniewa˙z ruch dobowy

gwiazd jest równowa˙zny jednostajnemu ruchowi obrotowemu sfery wokół osi

, zatem jak

3.6 Współrz˛edne godzinne

wida´c na rysunku 3.4, dobowy ruch gwiazdy

przebiega po łuku

LR T

, czyli po równole˙zniku

odpowiadaj ˛

acemu deklinacji tej gwiazdy.

W ci ˛

agu doby gwiazda przemieszcza si˛e w kierunku zachodnim od punku

do punktu

w którym zachodzi, po czym osi ˛

aga najwi˛eksz ˛

a odległo´s´c pod horyzontem w punkcie

(kul-

minacja dolna), nast˛epnie przecina horyzont w

gdzie wschodzi i zwi˛eksza swoj ˛

a wysoko´s´c

nad horyzontem do warto´sci maksymalnej w punkcie

)

na południku obserwatora (kulminacja

górna,górowanie, tranzyt). Dalej gwiazda zmniejsza swoj ˛

a wysoko´s´c powracaj ˛

ac do punktu wyj´s-

ciowego

. W trakcie ruchy dobowego gwiazda opisuje z jednostajn ˛

a szybko´sci ˛

a równole˙znik

deklinacji: podczas ruchu jej deklinacja jest stała a k ˛

at godzinny zmienia si˛e jednostajnie.

W przeciwie´nstwie do układu horyzontalnego, w układzie godzinnym łatwo przewidzie´c poło˙ze-

nie gwiazdy. By maksymalnie upro´sci´c rachunki k ˛

at godzinny wyra˙zany jest w mierze czasowej

a nie łukowej. Z rysunku 3.4 wida´c, ˙ze k ˛

at godzinny gwiazdy zmienia si˛e zgodnie z ruchem

wskazówek zegara. Oznacza to, ˙ze układ godzinny jest układem lewoskr˛etnym, czego nie da si˛e
unikn ˛

a´c je´sli k ˛

at godzinny ma wzrasta´c z czasem.

Gwiazda o deklinacji równej zeru, le˙zy na równiku niebieskim. W ruchu dobowym wschodzi

w punkcie wschodu

, nast˛epnie przebywa nad horyzontem prawie

godzin po czym zachodzi

w punkcie zachodu

Cz˛e´s´c gwiazd o deklinacjach ujemnych wschodzi na południowym wschodzie, przebywa nad

horyzontem krócej ni˙z

godzin po czym zachodzi na południowym zachodzie.

Gwiazdy poło˙zone podobnie jak punkt

z rysunku 3.4, przebywaj ˛

a nad horyzontem dłu˙zej

ani˙zeli

godzin.

Jak wida´c na tym rysunku, przy dostatecznie du˙zej deklinacji gwiazda nigdy

nie b˛edzie wschodzi´c i zachodzi´c np. gwiazda poło˙zona w punkcie

. Odpowiadaj ˛

acy jej równole˙znik

, znajduje si˛e w cało´sci nad horyzontem. Gwiazdy o takich własno´sciach nazywane s ˛

gwiazdami okołobiegunowymi, a ich deklinacje czyni ˛

a zado´s´c warunkowi

(3.12)

Istnieje tak˙ze obszar sfery, który nigdy nie jest widoczny dla danego obserwatora. Na mocy
symetrii odpowiedni warunek ma posta´c

(3.13)

Nierówno´sci te dotycz ˛

a wył ˛

acznie obserwatorów z półkuli północnej.

Poka˙zemy teraz w jaki sposób mo˙zna transformowa´c współrz˛edne pomi˛edzy układem ho-

ryzontalnym i godzinnym. Problem sprowadza si˛e do rozwi ˛

azania trójk ˛

ata sferycznego

pokazanego w powi˛ekszeniu na rysunku 3.5. Tworz ˛

a go dany obiekt

oraz bieguny rozwa˙zanych

układów współrz˛ednych, czyli biegun ´swiata

i zenit miejsca obserwacji

. Z definicji współ-

rz˛ednych horyzontalnych i godzinnych, równania (3.8) i (3.12), mamy

360

Mamy tak˙ze, ˙ze

, gdzie

jest szeroko´sci ˛

a miejsca obserwacji. Stosuj ˛

ac dwukrotnie

do trójk ˛

ata

wzór cosinusów dostaniemy

sin

(3.14)

sin

(3.15)

Równania te wystarczaj ˛

a do przeliczenia współrz˛ednych horyzontalnych na godzinne i odwrotnie.

Problemy normalizacyjne towarzysz ˛

ace obliczeniom k ˛

atów

, mo˙zna roztrzyga´c w oparciu o

nierówno´sci

180

360

180

(3.16)

Rozwa˙zania te dotycz ˛

a wył ˛

acznie obserwatorów z półkuli północnej.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

360-A

90−δ

90−φ

Rysunek 3.5: Trójk ˛

at paralaktyczny

, boki i k ˛

aty tego trójk ˛

ata opisane s ˛

a przez współrz˛e-

dne gwiazdy

wyra˙zone w układzie godzinnym

(H ;

)

i horyzontalnym

(A;

)

. Parametrem

dodatkowym jest szeroko´s´c geograficzna

miejsca obserwacji.

90−β

Ekliptyka

Rownik

Rysunek 3.6: Do definicji układu ekliptycznego. Opis w tek´scie.

3.7

Współrz˛edne ekliptyczne

Ruch orbitalny Ziemi i Ksi˛e˙zyca wokół Sło ´nca mo˙zna wykorzysta´c w celu zdefiniowania innego
wa˙znego układu współrz˛ednych szczególnie przydatnego w zagadnieniach dynamiki Układu Sło-
necznego.

Płaszczyzna orbity Ziemi przecina sfer˛e niebiesk ˛

a wzdłu˙z koła wielkiego zwanego ekliptyk ˛

Podczas orbitalnego ruchu Ziemi, w pierwszym przybli˙zenniu mo˙zemy przyj ˛

ac, ˙ze ziemska o´s

obrotu zachowuje stały kierunek wzgl˛edem gwiazd, tworz ˛

ac k ˛

at około

23:

z normaln ˛

a do płasz-

czyzny ekliptyki. Oznaczamy go liter ˛

i nazywamy nachyleniem ekliptyki do równika.

Na skutek orbitalnego ruchu Ziemi, dla obserwatora na powierzchni Ziemi, Sło ´nce prze-

mieszcza si˛e na tle gwiazd po ekliptyce, dokonuj ˛

ac pełnego obiegu w ci ˛

agu jednego roku zwrot-

nikowego. Na rysunku 3.6 widzimy równik, ekliptyk˛e oraz ich bieguny

odpowiednio.

Wobec tego co powiedziano wy˙zej łuk

, a k ˛

at sferyczny pomi˛edzy płaszczyznami równika

i eklipltyki równie˙z wynosi

. Na rysunku 3.6 zaznaczono kierunek pozornego ruchu Sło ´nca po

ekliptyce, ruch ten przebiega antyzegarowo je´sli patrzymy na Sło ´nce z północnego bieguna eklip-
tyki. Ruch ciał niebieskich zgodny z takim kierunkiem nazywany jest ruchem prostym, ruch w
przeciwn ˛

a stron˛e nazywa si˛e ruchem wstecznym.

Równik i ekliptyka przecinaj ˛

a si˛e w dwóch punktach, jednym z nich jest punkt równonocy

wiosennej

(rysunek 3.6). Jak pamietamy punkt ten jest punktem zerowym k ˛

atowej miary rek-

tascensji.

Punkt

pełni rol˛e bieguna układu współrz˛ednych ekliptycznych, natomiast jako koło od-

niesienia dla rachuby współrz˛ednej azymutalnej tego układu wybrano koło wielkie

. Je´sli

Bardziej precyzyjna definicja ekliptyki zostanie podana w jednym z nast˛epnych rozdziałów.

3.7 Współrz˛edne ekliptyczne

wył ˛

aczymy z rozwa˙za´n bieguny omawianego układu, dla dowolnego punktu

na sferze, jego

szeroko´s´c ekliptyczna

i długo´s´c ekliptyczna

definiowane s ˛

a nast˛epuj ˛

aco

(3.17)

przy czym

360

Długo´sci ekliptyczne rosn ˛

a w kierunku ruchu prostego, dla Sło ´nca współrz˛edna ta wzrasta mono-

tonicznie. W przypadku planet w efekcie zło˙zenia ich ruchów prostych z ruchem orbitalnym
Ziemi, ruch wypadkowy dla obserwatora na powierzchni Ziemi mo˙ze okaza´c si˛e ruchem wstecz-
nym.

Zwi ˛

azki pomi˛edzy współrz˛ednymi ekliptycznymi i równikowymi mo˙zna łatwo wyprowadzi´c

rozwi ˛

azuj ˛

ac trójk ˛

z rysunku 3.6. Niech obiekt

, obok współrz˛ednych ekliptycznych

(;

)

ma współrz˛edne równikowe

(;

)

. Boki trójk ˛

ata

wynosz ˛

Dalej, poniewa˙z

s ˛

a k ˛

atami prostymi to

Z pomoc ˛

a tych pi˛eciu elementów trójk ˛

ata

, posługuj ˛

ac si˛e standardowymi wzorami try-

gonometrii sferycznej mo˙zna przelicza´c współrz˛edne z jednego układu do drugiego.

Bardziej ogólne i bezpo´srednie podej´scie do tego zagadnienia wymaga zastosowania współ-

rz˛ednych prostok ˛

atnych (patrz rysunek 3.10). Prostok ˛

atny układ współrz˛ednych równikowych

(x;

;

)

okre´slony jest przez wybór osi

w kierunku punktu

, osi

w kierunku bieguna ´swiata

oraz osi

tak by układ był prawoskr˛etny.

Prostok ˛

atny układ współrz˛ednych ekliptycznych

(

;

)

ma o´s

skierowan ˛

a w kierunku

punktu

, o´s

w kierunku bieguna ekliptyki

natomiast o´s

skierowana jest ku punktowi o

współrz˛ednych (

;

Prostok ˛

atne współrz˛edne punktu

w układzie ekliptycznym dane s ˛

a standardowymi for-

mułami

sin

(3.18)

Transformacja z jednego układu do drugiego równowa˙zna jest transformacji obrotu o k ˛

wokół

wspólnej osi

. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze formuły transformacyjne maj ˛

a posta´c

sin

(3.19)

Analogiczne do współrz˛ednych danych równaniami (3.18), współrz˛edne równikowe punktu

dane s ˛

a przez

sin

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Rysunek 3.7: a) Pogl ˛

adowa ilustracja definicji współrz˛ednych galaktycznych heliocentrycznych.

b) Układ współrz˛ednych galaktycznych. Opis w tek´scie.

Podstawiaj ˛

ac te wyra˙zenia oraz (3.18) do równa´n (3.19) otrzymamy zwi ˛

azki

sin

(3.20)

sin

(3.21)

Układy równa´n (3.20) i (3.21) w pełni pozwalaj ˛

a na transformacje

(;

)

(;

)

i odwrotnie.

3.8

Współrz˛edne galaktyczne

Dla potrzeb astronomii gwiazdowej, w badaniach dotycz ˛

acych rozkładów poło˙ze´n i ruchów gwiazd,

dogodnymi współrz˛ednymi s ˛

a współrz˛edne galaktyczne. Układ takich współrz˛ednych wyznacza

si˛e w zwykły sposób w oparciu o bieguny galaktyczne oddalone o

od płaszczyzny Galaktyki.

Wyznaczenia poło˙zenia płaszczyzny Galaktyki dokonano w oparciu o statystyczn ˛

a redukcj˛e

du˙zego materiału obserwacyjnego. Pocz ˛

atkowo były to optyczne obserwacje gwiazd, do których

po II-giej Wojnie ´Swiatowej wł ˛

aczono dane pochodz ˛

ace obserwacji technik ˛

a radiow ˛

a w linii

cm. Poprawiło to wyra´znie precyzj˛e wyznaczenia płaszczyzny Galaktyki a co si˛e z tym wi ˛

a˙ze

i stowarzyszonych z ni ˛

a biegunów i w rezultacie doprowadziło do rewizji układu współrz˛ednych

galaktycznych. W roku 1959 w formie stosownej rezolucji, Mi˛edzynarodowa Unia Astronomiczna
(MUA) wprowadziła now ˛

a definicj˛e układu galaktycznego. Od poprzedniej, nowa definicja ró˙zni

si˛e dokładniejszym wyznaczeniem płaszczyzny Galaktyki oraz wyborem punktu o zerowej dłu-
go´sci galaktycznej. Wybrano w tym celu punkt w pobli˙zu centrumm Galaktyki, a nie jak to miało
miejsce wcze´sniej, punkt przeci˛ecia równika ´swiata i równika galaktycznego. Jak to jednak na-
jcz˛e´sciej bywa w przypadkach zmian, przez pewien czas stosowano dwa układy galaktyczne, co
było i jest nadal przyczyn ˛

a drobnych nieporozumie´n.

Na rysunku 3.7b punkt

oznacza biegun ´swiata, koło wielkie

le˙zy w płaszczy´znie

Galaktyki i przecina równik ´swiata w punkcie

. Koło to nosi nazw˛e równika galaktycznego.

Punkt

jest północnym biegunem równika galaktycznego, punkt

reprezentuje kierunek ku cen-

trum Galaktyki, zrzutowany na sfer˛e niebiesk ˛

Niech

b˛edzie poło˙zeniem dowolnej gwiazdy.

Łuk

, po przedłu˙zeniu przecina równik galaktyczny w punkcie

. Długo´s´c łuku

jest

równa szeroko´sci galaktycznej punktu

. Jest ona dodatnia dla północnej półsfery galaktycznej.

Chodzi oczywi´scie o kierunek ku centrum Galaktyki wzgl˛edem obserwatora znajduj ˛

acego si˛e w ´srodku sfery.

3.8 Współrz˛edne galaktyczne

Długo´s´c galaktyczna punktu

jest równa łukowi

, mierzonemu we wskazanym na rysunku

3.7b kierunku. Formalna definicja współrz˛ednych galaktycznych ma posta´c

(3.22)

Przy czym

360

Aby dokona´c transformacji współrz˛ednych galaktycznych np. na współrz˛edne równikowe, wystar-
czy by znane były współrz˛edne punktów

. Niech

(

;

)

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi bieguna

galaktycznego. Poniewa˙z odległo´s´c

, poło˙zenie punktu

okre´slone b˛edzie przez po-

danie jego k ˛

ata pozycyjnego wzgl˛edem bieguna galaktycznego

. W trójk ˛

acie sferycznym

z rysunku 3.7b, k ˛

at ten oznaczono symbolem

. Dla epok

1950

oraz

2000

warto´sci tych trzech

k ˛

atów wynosz ˛

B1950

J2000

26:282

42:01

123

122:932

(3.23)

Epoki

1950;

2000

podano tu ze wzgl˛edu na precesyjny ruch bieguna ´swiata. Współrz˛edne

galaktyczne obliczone za pomoc ˛

a wzorów podanych ni˙zej b˛ed ˛

a wi˛ec równie˙z odniesione do układów

współrz˛ednych z odpowiedniej epoki, co zawsze nale˙zy wyra´znie zaznaczy´c.

Wyprowadzimy teraz formuły transformacyjne pomi˛edzy współrz˛ednymi

(;

)

;

. Roz-

wa˙zmy trójk ˛

at sferyczny

(rysunek 3.7b), w którym punkt

ma współrz˛edne równikwe

(;

)

a którego współrz˛edne galaktyczne wynosz ˛

(b;

)

. Mo˙zemy łatwo ustali´c, ˙ze

Stosuj ˛

ac wzór cosinusów do boku

, mamy

sin

(

)

(3.24)

A ze wzorów sinusów i wzoru pi˛ecioelementowego b˛edzie

sin

(

)

sin(

)

(

)

sin

(

)

(3.25)

Równania (3.24) i (3.25) pozwalaj ˛

a na jednoznaczne obliczenie

. Transformacja odwrotna

równie˙z daje si˛e wyprowadzi´c z trójk ˛

ata

, równania maj ˛

a posta´c

sin

(

)

sin(

)

sin

(

)

(

)

sin

(

)

(3.26)

Powiedziano wcze´sniej, ˙ze wprowadzony wy˙zej układ współrz˛ednych galaktycznych jest tzw.
“nowym” układem. W “nowym” układzie współrz˛edne galaktyczne przyj˛eto oznacza´c jako

;

Jednak˙ze je´sli chcemy w sposób oczywisty podkre´sli´c ich “nowo´s´c” oznaczamy je wówczas jako

;

)

. W “starym” układzie, dla odró˙znienia, współrz˛edne galaktyczne obiektu oznaczane s ˛

jako

;

)

. S ˛

a to współrz˛edne, w których długo´s´c galaktyczna liczona jest od punktu

a nie od

(rysunek 3.7b).

Astronomiczne układy współrz˛ednych

rotacja sfery

rotacja
Ziemi

Rysunek 3.8: Sfera niebieska i umieszczona w niej sfera ziemska. Ilustracja układów sferycznych
równikowego i godzinnego oraz układu sferycznego na powierzchni Ziemi.

3.9

Czas gwiazdowy i rektascensja

Popatrzmy na geocentryczn ˛

a sfer˛e niebiesk ˛

a przedstawion ˛

a na rysunku 3.8, dla ułatwienia rozwa˙za´n,

w jej wn˛etrzu umieszczono sferyczn ˛

a Ziemi˛e. Niech

oznaczaj ˛

a geograficzne bieguny ziem-

skie, odcinki

po przedłu˙zeniu przebij ˛

a niebiesk ˛

a sfer˛e w punktach

;

, w północnym i

południowym biegunie ´swiata. Niech

oznacza poło˙zenie Greenwich a punkt

oznacza poło˙ze-

nia obserwatora na powierzchni Ziemi. Długo´s´c geograficzn ˛

a obserwatora oznaczymy przez

Półproste

przebijaj ˛

a sfer˛e niebiesk ˛

a w punktach

odpowiednio. Punkt

jest oczywi´scie zenitem horyzontu dla obserwatora znajduj ˛

acego si˛e w Greenwich, natomiast łuk

jest południkim miejscowym dla tego obserwatora. Podobnie łuk

jest południkiem

obserwatora w miejscu

. K ˛

at sferyczny

, oczywi´scie wynosi

Przyjmijmy teraz, ˙ze

jest poło˙zeniem gwiazdy na sferze. Wzgl˛edem obserwatora w Green-

wich, k ˛

at godzinny tej gwiazdy wynosi

, oznaczymy go jako

. Z drugiej strony, jak

widzimy na rysunku 3.8, dla obserwatora znajduj ˛

acego si˛e na Ziemi w miejscu

o długo´sci

wschodniej

, k ˛

at godzinny

wynosi

. A to oznacza, ˙ze

(3.27)

Układy godzinny i równikowy maj ˛

a wiele ze sob ˛

a wspólnego. Oba zdefiniowane s ˛

a w oparciu

o biegun ´swiata

, ró˙zni ˛

a si˛e natomiast wyborem koła odniesienia, pocz ˛

atku rachuby wspołrz˛ed-

nej azymutalnej w tych układach. W obu układach koła te przechodz ˛

a przez bieguny ´swiata

Dla k ˛

ata godzinnego płaszczyzn ˛

a odniesienia jest południk obserwatora, dla rektascensji jest ni ˛

koło wielkie

. Poniewa˙z punkt

jest punktem nale˙z ˛

acym do sfery niebieskiej, st ˛

ad nie zmienia

swego poło˙zenia wzgl˛edem gwiazd. Oznaczaj ˛

ac przez

rektascensj˛e

(RA

)

gwiazdy

z ry-

sunku 3.8, widzimy, ˙ze wynosi ona

. Widzimy tak˙ze, ˙ze z powodu ruchu wirowego

ziemi a razem z ni ˛

a ruch obserwatora, k ˛

at godzinny gwiazdy

zmienia si˛e w czasie, podczas gdy

jej rektascensja pozostaje stała.

Punkt równonocy

stanowi wa˙zny punkt odniesienia w koncepcji czasu wykorzystywanej w

astronomii. W my´sl niej, czas mierzony jest za pomoc ˛

a obserwacji ruchu dobowego gwiazd a

nie Sło ´nca jak to ma miejsce w przypadku skali czasu słonecznego towarzysz ˛

acej nam w ˙zyciu

codziennym. Ta nowa koncepcja czasu, (albo jak mówimy skala czasu) okre´slany jest mianem
miejscowego czasu gwiazdowego. Jego definicja jest prosta — miejscowy czas gwiazdowy

)

3.10 Skala czasu słonecznego prawdziwego i ´sredniego

to k ˛

at godzinny punktu barana

mierzony wzgl˛edem południka miejscowego

(3.28)

Podobnie dla obserwatora w Greenwich, tzw. czas gwiazdowy Greenwich

)

jest to k ˛

at go-

dzinny punktu

zmierzony w Greenwich

(3.29)

Korzystaj ˛

ac z równania (3.27) mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze obie miary czasu wi ˛

a˙z ˛

a si˛e zale˙zno´sci ˛

(3.30)

Z tego co powiedziano wynika, ˙ze czas gwiazdowy musi wzrasta´c o

godziny gwiazdowe, czyli

w okresie dokładnie jednego obrotu Ziemi wokół jej osi rotacji

Okres ten nazywamy dob ˛

a gwiaz-

dow ˛

a, nie jest on równy dobie słonecznej, bowiem doba gwiazdowa trwa

w skali czasu

słonecznego. Przyczyna tej ró˙znicy le˙zy w tym, ˙ze punkt odniesienia gwiazdowej skali czasu, czyli
punkt

jest nieruchomy wzgl˛edem tła gwiazdowego. Tymczasem punkt odniesienia słonecznej

skali czasu, czyli Sło ´nce, nieustannie przemieszcza si˛e na sferze wzgl˛edem tła gwiazdowego.

Czas gwiazdowy jest znakomitym ł ˛

acznikiem pomi˛edzy k ˛

atem godzinnym i rektascensj ˛

a. Na

rysunku 3.8, dla obserwatora w punkcie

, zgodnie z definicj ˛

a (3.28) czas gwiazdowy równy

jest k ˛

atowi sferycznemu

. Poniewa˙z k ˛

at godzinny punktu

dla tego obserwatora wynosi

, a rektascensja punktu

równa jest

, st ˛

(3.31)

Równanie(3.31) jest prawdziwe dla dowolnego ciała niebieskiego i dowolnego obserwatora na po-
wierzchni Ziemi

i słu˙zy do transformacji współrz˛ednych godzinnych w równikowe i odwrotnie.

Warto jeszcze zwróci´c uwag˛e na pewne zamieszanie dotycz ˛

ace słowa czas w astronomii. Czas,

podobnie jak otaczaj ˛

aca nas przestrze´n jest jeden.

Dlatego poj˛ecia czas gwiazdowy, czas

słoneczny nie dotycz ˛

a dwóch ró˙znych czasów, ale metody pomiaru tego samego czasu. Poj˛ecia

te oznaczaj ˛

a jedynie odmienne skale, sposoby pomiaru czasu, podobnie jak mamy ró˙zne sposoby

pomiaru odległo´sci.

3.10

Skala czasu słonecznego prawdziwego i ´sredniego

Skala czasu okre´slona z pomoc ˛

a k ˛

ata godzinnego punktu barana

, aczkolwiek bardzo regularna

i przydatna w wielu zastosowaniach, nie nadaje si˛e do regulacji działalno´sci człowieka. Czas cy-
wilny powinien zale˙ze´c od k ˛

ata godzinnego Sło ´nca, obiektu towarzysz ˛

acego nam w ˙zyciu codzi-

ennym. Astronomowie opracowali tak ˛

a skal˛e czasu, nazwano j ˛

a czasem słonecznym, a jej podsta-

wow ˛

a jednostk˛e dob˛e słoneczn ˛

a zdefiniowano jako interwał pomi˛edzy dwoma kolejnymi górowa-

niami Sło ´nca na południku obserwatora. Poniewa˙z w tej skali czasu mierzony jest k ˛

at godzinny

Sło ´nca (´sci´sle ´srodek jego tarczy), st ˛

ad mówimy o czasie słonecznym prawdziwym. Definicja skali

czasu słonecznego prawdziwego ma posta´c

Miejs o

pra

wdziwy

zas

sone zn

(3.32)

gdzie

to k ˛

at kodzinny sło ´nca. Stały składnik

wprowadzono by pocz ˛

atek doby słoneczenj

przypadał w nocy. Natomiast okre´slenie "miejscowy"ma na celu podkre´slenie lokalnego charak-
teru k ˛

ata godzinnego, co inaczej oznacza, ˙ze obserwatorzy znajduj ˛

acy si˛e na ró˙znych długo´sciach

geograficznych obserwuj ˛

a inny prawdziwy czas słoneczny.

Punkt ten pełni tu rol˛e gwiazdy o zerowej rektascensji i deklinacji.

Nie jest to ´scisłe, bowiem istnieje drobna ró˙znica pomi˛edzy dob ˛

a gwiazdow ˛

a i okresem rotacji Ziemi.

Czy˙zby?!

Mo˙ze warto zastanowi´c si˛e czy rzeczywi´scie tak jest. Czy zdania — istnieje jedna przestrze´n i jeden czas, istnieje

przestrze´n absolutna, absolutny czas — s ˛

a usprawiedliwione we współczesnej fizyce i astronomii.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Rysunek 3.9: Przyczyny nierównomierno´sci skali prawdziwego czasu słonecznego:a) liniowy i
k ˛

atowy ruch Ziemi (

) po elipsie ze Sło ´ncem w ognisku

jest niejednostajny: w peryheluim ruch

przebiega szybciej ni˙z w aphelium, b) trajektoria pozornego rocznego ruchu Sło ´nca, ekliptyka

jest nachylona do równika

pod k ˛

atem

. Oba efekty powoduj ˛

a nierównomierne

przyrosty rektascensji Sło ´nca na tyle du˙ze, ˙ze wyklucza to wykorzystanie prawdziwego czasu
słonecznego do regulacji ˙zycia cywilnego mieszka´nców Ziemi.

Aby powi ˛

aza´c czas słoneczny z gwiazdowym wystarczy zastosowa´c równanie (3.31), traktuj ˛

Sło ´nce jako punkt

, wówczas dla obserwatora w

b˛edzie

Miejs o

pra

wdziwy

zas

sone zn

(3.33)

W przeci ˛

agu roku rektascensja Sło ´nca powi˛eksza si˛e o

, i dlatego, na co wskazuje równanie

(3.33), w czasie jednego roku, liczba dób gwiazdowych jest o jeden wi˛eksza ani˙zeli liczba dób
słonecznych.

Pomijaj ˛

ac małe efekty precesyjne, czas gwiazdowy zale˙zy tylko od rotacji Ziemi wokół osi

i jest skal ˛

a w wysokim stopniu regularn ˛

a. Prawdziwy czas słoneczny, dodatkowo zale˙zy jeszcze

od rektascensji Sło ´nca, ta za´s od ruchu orbitalnego Ziemi. Zło˙zenie ruchu wirowego i orbital-
nego Ziemi ma powa˙zny wpływ na regularno´s´c prawdziwego czasu słonecznego. By ten wpływ
prze´sledzi´c, najpierw przypomnijmy sobie tre´s´c trzech praw Keplera:

1. Orbita planety jest elips ˛

a, Sło ´nce znajduje si˛e w jednym z ognisk tej elipsy.

2. Planeta porusza si˛e w taki sposób, ˙ze jej promie´n wodz ˛

acy zakre´sla równe powierzchnie w

równych intrwałach czasu.

3. Trzecia pot˛ega półosi wielkiej orbity planety jest proporcjonalna do kwadratu jej orbitalnego

okresu obiegu.

Pierwsze dwa prawa wykorzystane zostan ˛

a natychmiast. Rysunek 3.9a, ilustruje elips˛e orbity

Ziemii,

oznacza Sło ´nce, odcinek

o´s wielk ˛

a elipsy. Punkt

, perihelium, to punkt w którym

w styczniu Ziemia znajduje si˛e najbli˙zej Sło ´nca, punkt

, aphelium to punkt najwi˛ekszego odd-

alenia Ziemi od Sło ´nca. Długo´s´c półosi orbity ziemskiej wybrano na jednostk˛e długo´sci w as-
tronomii, tzw. jednostka astronomiczna

(AU

)

. Odległo´s´c ta wynosi w jednostkach układu SI

1:496

Niech punkt

(rysunek 3.9a) oznacza poło˙zenie Ziemi w momencie równonocy wiosennej,

tzn. w chwili gdy obraz Sło ´nca na tle gwiazd znajduje si˛e w punkcie

. Niech punkt

przed-

stawia poło˙zenie Ziemi w jaki´s czas pó´zniej, obraz Sło ´nca przemie´sci si˛e wówczas w poło˙zenie

. K ˛

jest zatem długo´sci ˛

a ekliptyczn ˛

Sło ´nca. Pr˛edko´s´c k ˛

atowa Ziemi w ruchu or-

bitalnym nie jest stała, co łatwo wydedukowa´c z

prawa Keplera, a to oznacza, ˙ze długo´s´c

ekliptyczna Sło ´nca nie zmienia si˛e jednostajnie na przestrzeni roku. Najszybciej zmienia si˛e w
styczniu, najwolniej w czerwcu w czasie przej´scia Ziemi przez aphelium. Niejednorodno´sci w

3.10 Skala czasu słonecznego prawdziwego i ´sredniego

tempie zmiany długo´sci Sło ´nca z oczywistych wzgl˛edów s ˛

a przyczyn ˛

a zmian w tempie przyrostu

jego rektascensji, a to z kolei poci ˛

aga nierównomierno´sci w skali prawdziwego czasu słonecznego,

co łatwo wywnioskowa´c z równania (3.33).

Inn ˛

a przyczyna nieregularno´sci w przyrostach rektascensji Sło ´nca jest nachylenie ekliptyki

do równika. Niech sfera z rysunku 3.9b, przedstawia geocentryczn ˛

a sfer˛e niebiesk ˛

a z ekliptyk ˛

i równikiem — koło

i koło

odpowiednio. Punkty

oznaczj ˛

a poło˙zenia na

ekliptyce o najwi˛ekszej i najmniejszej deklinacji

(Æ

). S ˛

a to tzw. punkty przesilenia letniego

i przesilenia zimowego.

Niech Sło ´nce znajduje si˛e na ekliptyce w punkcie

(

;

)

. Koło wielkie

przecina

równik w punkcie

. W trójk ˛

acie sferycznym

mamy

Stosuj ˛

ac tego trójk ˛

ata odpowiedni wzór cotangensowy otrzymamy

tan

(3.34)

Wynika st ˛

ad, ˙ze rektascensja Sło ´nca nie zmienia si˛e jednostajnie z jego długo´sci ˛

a: przyrosty rek-

tascensji s ˛

a najmniejsze w okresie równonocy, najwi˛eksze w czasie przesile´n.

I wła´snie z powodu wyra´znie nierównomiernych przyrostów rektascensji, prawdziwe Sło ´nce

nie nadaje si˛e jako wzorzec skali czasu cywilnego, która powinna by´c skal ˛

a o du˙zej regularno´sci.

Do tego celu wykorzystuje si˛e obiekt zwany sło ´ncem dynamicznym definiowany pogl ˛

adowo

w nast˛epuj ˛

acy sposób. Niech

oznacza moment przej´scia Ziemi przez peryhelium, na rysunku

3.9a prawdziwe Sło ´nce znajduje si˛e wówczas na sferze w punkcie

. Dalej niech

oznacza

´sredni ˛

a k ˛

atow ˛

a pr˛edko´s´c Ziemi na orbicie, czyli

360

. Wyobra´zmy sobie fikcyjny obiekt

poruszj ˛

acy si˛e po ekliptyce z pr˛edko´sci ˛

a k ˛

atow ˛

, w taki sposób, ˙ze przez punkt

przechodzi

w tej samej chwili co sło ´nce prawdziwe.

Ten fikcyjny obiekt nazwano dynamicznym sło ´ncem

´srednim.
Przypu´s´cmy, ˙ze w pewnej chwili

prawdziwe Sło ´nce znajduje si˛e w

a sło ´nce dynamiczne jest

(rysunek 3.9b). Je´sli czas wyra˙zony jest w latach to poło˙zenie sło ´nca dynamicznego da si˛e

wyznaczy´c za pomoc ˛

a formuły

n(t

)

A zatem pomysł z dynamicznym sło ´ncem usuwa nieregularno´sci w przyrostach długo´sci eklipty-
cznej Sło ´nca. Niestety nie usuwa wpływów nachylenia ekliptyki do równika.

By w pełni wyeliminowa´c nierównomierno´sci wprowadzono jeszcze jeden obiekt, tzw. fik-

cyjne sło ´nce ´srednie. Jest to punkt poruszaj ˛

acy si˛e ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

po równiku i przechodz ˛

acy

przez punkty równonocy jednocze´snie ze sło ´ncem dynamicznym.

Je´sli w momencie

, fikcyjne sło ´nce znajduje si˛e w

(rysunek 3.9b) wówczas na mocy

definicji obu sło ´nc

. Fikcyjne sło ´nce jest punktem o jednostajnie zmieniaj ˛

acej si˛e

rektascensji, nadaje si˛e zatem jako zjawisko do realizacji skali czasu słonecznego pozbawionej za-
sadniczych nieregularno´sci. Jest to skala ´sredniego czasu słonecznego, definiowana analogicznie
jak skala czasu prawdziwego, tzn. za pomoc ˛

a równania

Miejs o

redni

zas

sone zn

(3.35)

I podobnie do równania (3.33), czas gwiazdowy i czas ´sredni słoneczny zwi ˛

azane s ˛

a zale˙zno´sci ˛

Miejs o

redni

zas

sone zn

(3.36)

Na mocy symetrii to samo ma miejsce w chwili gdy Ziemia przechodzi przez aphelium.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Ró˙znica pomi˛edzy czasem słonecznym prawdziwym i ´srednim nosi nazw˛e równania czasu. Na
rysunku 3.9b odpowiada ona łukowi

, a z pomoc ˛

a równa´n (3.33) i (3.36) mo˙zna j ˛

a przedstawi´c

jako

Rwnanie

zasu

(3.37)

Ró˙znica (3.37) zmienia si˛e w zło˙zony sposób osi ˛

agaj ˛

ac w maksimum warto´s´c około

minut, co

uzasadnia potrzeb˛e wprowadzenia czasu ´sredniego.

Równania definiuj ˛

ace skale czasu słonecznego zawieraj ˛

a słowo "miejscowy". Ma ono pod-

kre´sla´c, ˙ze miara czasu zdefiniowana tymi równaniami zale˙zy od długo´sci geograficznej obserwa-
tora. Jest to analogiczna zale˙zno´s´c jak w przypadku miejscowego czasu gwiazdowego.

Czas ´sredni słoneczny dla południka Greenwich nazwano czasem uniwersalnym

)

. Za

pomoc ˛

a równa´n (3.27), (3.35) łatwo pokaza´c, ˙ze dla obserwatora w miejscu o wschodniej długo´sci

geograficznej

, b˛edzie

Miejs o

redni

zas

sone zn

(3.38)

Skale czasu słonecznego miejscowego u˙zywane s ˛

a bardzo rzadko. W ˙zyciu codziennym wyma-

gana jest synchronizacja czasu na dostatecznie du˙zym obszarze. Z tego wzgl˛edu powierzchnia
kuli ziemskiej podzielona została na strefy czasowe oddzielone od siebie tzw. południkami stan-
dardowymi. Wewn ˛

atrz ka˙zdej strefy obowi ˛

azuje ten sam czas słoneczny ´sredni, zwany czasem

strefowym,

Czas

strefo

(3.39)

gdzie

jest wschodni ˛

a długo´sci ˛

a standardowego południka danej strefy.

Południki standardowe rozmieszczone s ˛

a równomiernie co

w długo´sci i dlatego pomi˛edzy

dwoma s ˛

asiednimi strefami ró˙znica czasów wynosi zawsze jedn ˛

a godzin˛e.

To co powiedziano powy˙zej bynajmniej nie wyczerpuje zagadnienia czasu w astronomii. W

celu wyznaczenia i przechowywania czasu z najwy˙zsz ˛

a precyzj ˛

a astronomowie utworzyli tzw.

słu˙zb˛e czasu, specjalistyczne laboratoria, w których pocz ˛

atkowo wykorzystywano obserwacje

gwiazd, pó´zniej konstruowano precyzyjne chronometry, zegary wahadłowe a˙z wreszcie zbudowano
zegary kwarcowe i atomowe. Dzi˛eki precyzyjnym obserwacjom czasu pokazano, ˙ze wirowy ruch
Ziemi wykorzystywany w definicji skali czasu gwiazdowego i słonecznego zawiera sporo drob-
nych nierównomierno´sci trudnych do dokładnego modelowania.

3.11

Macierzowe transformacje współrz˛ednych astronomicz-
nych

Układ ekliptyczny i układ równikowy

Niech dane s ˛

a współrz˛edne równikowe

(;

)

punktu

oraz odpowiadaj ˛

ace im współrz˛edne ek-

liptyczne

(;

)

. Poniewa˙z prostok ˛

atny układ ekliptyczny ró˙zni si˛e od układu równikowego o

dodatni

obrót o k ˛

wokół osi

(patrz rysunek 3.10), transformacja od współrz˛ednych równi-

kowych do współrz˛ednych ekliptycznych ma posta´c

;

p(")

;Æ

(3.40)

Za dodatnie obroty uwa˙zamy takie, które przebiegaj ˛

a w kierunku antyzegarowym.

3.11 Macierzowe transformacje współrz˛ednych astronomicznych

x, x

Rownik

Elkiptyka

Rysunek 3.10: Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych równikowych i ekliptycznych.

Transformacja odwrotna dana jest formuł ˛

a macierzow ˛

;Æ

;

(3.41)

W wyprowadzeniu formuły (3.41) skorzystali´smy z własno´sci ortogonalnalno´sci macierzty

)

Układ horyzontalny i godzinny

Prostok ˛

atny lewoskr˛etny odpowiednik sferycznego układu współrz˛ednych horyzontalnych ilus-

truje rysunek 3.11.

Niech gwiazda

ma współrz˛edne horyzontalne

(A;

, układ ten znajduje

si˛e na powierzchni Ziemi w miejscu o szeroko´sci geograficznej

. Współrz˛ednymi gwiazdy w

układzie godzinnym s ˛

(H ;

)

. Jak mo˙zna zauwa˙zy´c z rysunku 3.11, transformacja współrz˛e-

dnych horyzontalnych

[x;

;

℄

we współrz˛edne godzinne

;

℄

jest zło˙zeniem obrotów

układu horyzontalnego wokół osi osi z o k ˛

180

, a nast˛epnie wokół nowej y o k ˛

(90

)

Transformacja ma zatem posta´c

H;Æ

)r(180

)

A;h

(3.42)

Transformacj ˛

a odwrotn ˛

a b˛edzie

A;h

180

)q(90

)

H;Æ

(3.43)

Układ godzinny i równikowy

Rysunku 3.12 ilustruje prostok ˛

atne i sferyczne warianty układów współrz˛ednych godzinnych i

równikowych. Poło˙zenie gwiazdy

w pewnym momencie czasu gwiazdowego

dane jest jako

Przypominamy o braku standardu je´sli chodzi o definicj˛e tego układu. St ˛

ad podana transformacja dotyczy układu

horyzontalnego zdefiniowanego na potrzeby niniejszego wykładu.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

90-

Horyzont

Rysunek 3.11: Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych horyzontalnych i godzinnych.

Rownik

Rysunek 3.12: Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych godzinnych i równikowych.

para

(;

)

oraz

(H ;

)

. Deklinacja

nie wymaga transformacji, natomiast do współrz˛ednych

azymutalnych

mo˙zemy stosowa´c zwi ˛

azek (3.31). W ten sposób problem transformacji

współrz˛ednych z układu równikowego do układu godzinnego wyczerpuje si˛e.

Jednak, jak mawiaj ˛

a bracia poznaniacy, poniewa˙z porz ˛

adek musi by´c, st ˛

ad nic dziwnego, ˙ze

dla porz ˛

adku, podajemy macierzow ˛

a wersj˛e tej transformacji. Zatem, je´sli

[x;

;

℄

b˛ed ˛

a skład-

owymi wersora kierunku obiektu wzgl˛edem układu godzinnego to składowe tegoi wersora wzgl˛e-
dem układu równikowego daj ˛

a si˛e obliczy´c jako

;Æ

H;Æ

(3.44)

W przypadku transformacji odwrotnej, od

(;

)

(H ;

)

nale˙zy posłu˙zy´c si˛e

H;Æ

r(S

)

;Æ

(3.45)

3.12 Dygresja. Nastawianie teleskopów

θ−90

Rownik galaktyczny

90−δ

Rysunek 3.13: Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych równikowych i galaktycznych, ilustracja k ˛

atów

Eulera

(;

;

pozwalaj ˛

acych na transformacje jednego układu w drugi.

Układ równikowy i galaktyczny

Układy współrz˛ednych równikowych

(;

)

i galaktycznych

;

pokazane s ˛

a na rysunku 3.13.

Warto´sci parametrów definiuj ˛

acych układ galaktyczny wzgl˛edem równikowego podano za po-

moc ˛

a równa´n (3.23). Mo˙zna by i tym razem spróbowa´c odgadn ˛

a´c warto´sci k ˛

atów i obroty jakie

musieliby´smy zło˙zy´c by uzyska´c formuły transformacyjne pomi˛edzy tymi układami. Ale nie jest
to wcale takie proste, dlatego skorzystamy ze znanej postaci transformacji, w której wykorzystano
k ˛

aty Eulera.

A zatem do ustalenia pozostało nam jedynie, ile wynosz ˛

a k ˛

aty Eulera pomi˛edzy tymi układami,

i tym celu posłu˙zymy si˛e rysunkiem 3.13, na którym k ˛

aty Eulera zaznaczono symbolami

;

Widzimy, ˙ze

360

(

)

, natomiast

. St ˛

po˙z ˛

adana transformacja

(;

)

;

ma posta´c

l;b

r(90

)p(90

)r(

)

;Æ

(3.46)

Transformacje odwrotna dana jest formuł ˛

;Æ

r(270

)p(Æ

)r(

)

l;b

(3.47)

3.12

Dygresja. Nastawianie teleskopów

Na koniec tego rozdziału po´swi˛ecimy nico uwagi problemowi ustawienia teleskopu astronomicznego
w jakim´s wybranym kierunku.

Przyjmujemy, jak to zreszt ˛

a cz˛esto ma miejsce, ˙ze dane s ˛

a współrz˛edne

(;

)

interesuj ˛

acej

nas np. gwiazdy, zaczerpni˛ete z katalogu.

Chc ˛

ac ustawi´c teleskop na t˛e gwiazd˛e najpierw musimy przeliczy´c jej współrz˛edne równi-

kowe na współrz˛edne godzinne, co wymaga znajomo´sci czasu gwiazdowego w miejscu obserwacji
w przewidywanym momencie obserwacji. Je´sli dane obserwatorium posiada zegar gwiazdowy,
wymagany czas mo˙zna odczyta´c bezpo´srednio, je˙zeli nie, trzeba dokona´c stosownych oblicze´n.

Na tym etapie ignorujemy konieczne w takich wypadkach uwzgl˛ednienie we współrz˛ednych katalogowych wpływów:

ruchu własnego, precesji, nutacji, aberracji i paralaksy rocznej oraz refrakcji. B˛edzie o nich mowa w dalszych rozdziałach.

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Dysponuj ˛

ac współrz˛ednymi godzinnymi, konieczno´s´c dalszej transformacji uzale˙zniona jest

od rodzaju monta˙zu teleskopu. Wi˛ekszo´s´c teleskopów optycznych wyposa˙zona jest w monta˙z
równikowy. Jest to monta˙z, w którym o´s główna narz˛edzia (o´s polarna teleskopu) znajduje si˛e
w płaszczy´znnie południka miejsca obserwacji i skierowana jest ku biegunowi ´swiata. W takim
ustawieniu nachylenie osi instrumentu do płaszczyzny horyzontu jest równe szeroko´sci geogra-
ficznej miejsca obserwacji. Podczas obrotu teleskopu wokół tej osi, o´s optyczna obiektywu za-
kre´sla na sferze równole˙zniki. A zatem monta˙z równikowy pozwala na łatwe ”´sledzenie” obiektu
poruszaj ˛

acego si˛e po równole˙zniku wskutek ruchu dobowego sfery.

By nastawi´c teleskop o takim monta˙zu na dany obiekt musimy wcze´sniej odpowiednio wyreg-

ulowa´c jego nastawcze koła deklinacyjne i godzinne. Robi si˛e to raz na zawsze z pomoc ˛

a stosow-

nej metodyki. Je´sli narz˛edzie jest porz ˛

adnie zjustowane, chc ˛

ac obserwowa´c dany obiekt nastaw-

iamy na kole deklinacyjnym wymagan ˛

a deklinacj˛e a na kole godzinnym narz˛edzia nastawiamy k ˛

godzinny gwiazdy. Koła deklinacyjne i godzinne najcz˛e/sciej s ˛

a wyposa˙zone w stosowne podzi-

ałki k ˛

atow ˛

a i czasow ˛

a odpowiednio.

Istniej ˛

a jednak i inne monta˙ze. Np. absolutne narz˛edzia astrometryczne takie jak koła połud-

nikowe czy instrumenty przej´sciowe, posiadaj ˛

a monta˙z typu horyzontalnego. W instrumencie

przej´sciowym obserwowane jest wył ˛

acznie przej´scie gwiazd przez południk obserwatora. Narz˛edzie

posiada tylko jedn ˛

a o´s mechaniczn ˛

a zorientowan ˛

a wzdłu˙z kierunku wschód-zachód, a o´s optyczna

takiego instrumentu zakre´sla na sferze koło wielkie odpowiadaj ˛

ace południkowi obserwatora. Gdy

gwiazda przechodzi przez południk, czyli w chwili gdy jej k ˛

at godzinny równa si˛e zeru, moment

przej´scia w czasie gwiazdowym jest równy rektascensji gwiazdy.

Podobnie wygl ˛

ada sprawa w przypadku teleskopów radiowych. Stosuje si˛e w nich monta˙ze

równikowe i typu horyzontalnego. W przypadku bardzo du˙zych narz˛edzi s ˛

a one wyposa˙zone

w łatwiejszy do zrealizowania technicznie pełny monta˙z horyzontalny. Dla nastawienia takich
teleskopów musimy dokona´c dodatkowej transformacji współrz˛ednych godzinnych w horyzon-
talne.

Obecnie teleskopy niemal zawsze nastawiane s ˛

a automatycznie. Odpowiednia mechanika,

i elektronika, a tak˙ze stosowne oprogramowanie komputerowe pozwalaj ˛

a na automatyczne pre-

cyzyjne prowadzenie teleskopu umo˙zliwiaj ˛

ac wielogodzinn ˛

a obserwacj˛e bardzo słabych obiek-

tów.

3.13 Zadania

3.13

Zadania

1. Podaj wzór na odległo´s´c punktów na sferycznej powierzchni Ziemi w kilometrach.

2. Samolot startuje w Limie kieruj ˛

ac si˛e wprost na Rzym. Oblicz przebyt ˛

a odległo´s´c w kilo-

metrach, a tak˙ze podaj długo´s´c geograficzn ˛

a samolotu, w momencie gdy przelatywał nad

równikiem. Współrz˛edne geograficzne Limy i Rzymu wynosz ˛

a, odpowiednio:

(12

)

(41

;

)

3. Oblicz długo´s´c najkrótszej drogi powietrznej z San Francisco

(37

;

122

)

Tokio

(35

;

139

)

. Wyznacz kierunek w jakim samolot powinien wystartowa´c w San

Francisco oraz oblicz współrz˛edne geograficzne najbardziej północnego punktu tej drogi.

4. W miejscu o szeroko´sci geograficznej

41:

dokonano obserwacji gwiazdy. Wyz-

naczono jej współrz˛edne horyzonlane:

57:

57;

137:

. Oblicz k ˛

at godzinny i

deklinacj˛e tej gwiazdy.

5. Radioteleskop o monta˙zu horyzontalnym znajduje si˛e w miejscu o długo´sci

i szeroko´sci

. Na dat˛e

1985

, stycze´n

, planowana jest ob-

serwacja radio´zródła 3C273 o współrzednych równikowych

(

38:

)

Wyznacz stosown ˛

a nastaw˛e dla tego teleskopu na zaplanowany moment czasu.

6. Poka˙z, ˙ze dla danego obserwatora o

gwiazdy znajduj ˛

a si˛e bez przerwy nad horyzon-

tem je˙zeli ich deklinacje spełniaj ˛

a warunek

Wyprowad´z analogiczny warunek na to by gwiazdy znajdowały si˛e zawsze pod horyzontem
tego obserwatora.

7. Poka˙z, ˙ze odległo´s´c zenitalna

, północnego bieguna ekliptyki dana jest wzorem

ar os

( os

sin

)

gdzie

jest lokalnym czasem gwiazdowym.

8. Je´sli podstawowe parametry sferycznego układu współrz˛ednych galaktycznych wynosz ˛

27:4

123

Oblicz nachylenie płaszczyzny równika galaktycznego do ekliptyki. Poka˙z, ˙ze Sło ´nce prze-
chodzi przez t˛e płaszczyzn˛e, w przybli˙zeniu w trakcie obu przesile´n. Wyznacz galaktyczne
długo´sci punktów przej´scia sło ´nca przez płaszczyzn˛e równika galaktycznego.

9. Poka˙z, ˙ze azymut gwiazd okołopolarnych mo˙ze przyjmowa´c dowolne warto´sci dla gwiazd,

dla których

, natomiast dla gwiazd, dla których

, azymut musi by´c mniejszy od

ar sin

( os

)

10. Niech współrz˛edne

(x;

;

)

odniesione s ˛

a do standardowego równikowego układu pros-

tok ˛

atnego. Przemie´s´cmy o´s

tego układu do punktu o współrz˛ednych

(;

)

z pomoc ˛

odpowiednich transformacji obrotu: rotacja o k ˛

wokół oryginalnej osi

, plus rotacja

o k ˛

wokół osi

— rezultatu z wcze´sniejszego obrotu. Poka˙z, ˙ze nowe współrz˛edne

;

)

s ˛

a powi ˛

azane ze starymi poprzez nast˛epuj ˛

ace równania :

sin

Astronomiczne układy współrz˛ednych

Poka˙z, ˙ze prawdziwa jest transformacja odwrotna:

sin

11. Skale czasu gwiazdowego i słonecznego maj ˛

a ró˙zne jednostki. Czy zatem w równaniu

wi ˛

a˙z ˛

acym obie te skale

Miejs o

redni

zas

sone zn

gdzie

jest miejsowy czas gwiazdowy, nie nale˙załoby wprowadzi´c odpowiednich współczyn-

ników uwzgl˛edniaj ˛

acych t˛e ró˙znic˛e? Uzasadnij odpowied´z.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
układy współrzędnych w astronomii geodezyjnej
Układy współrzędnych
Układy współrzędnych
Układy współrzędnych stosowane w Polsce i ich relacje względem globalnego układu WGS84, Kartografia
ASTRONOMIA UKŁADY03
Uklady wspolrzednych i ich zastosowanie w geodezji, Politechnika Rzeszowska, geodezja
C01a pf10 wektory uklady wspolrzednych transformacje
13 Układy współrzędnych stosowane w geodezji
8 Układy współrzędnych w Polsce - skrót, Kartografia matematyczna
24 Układy współrzędnych płaskich i systemy wysokości
03 Nieliniowe uklady operacyjne (2)
Astronomia uklady ruch dobowy wykl 3 materialy(1)
04 Astronomiczne układy odniesienia
Kadaj R Polskie uklady wspolrzednych

więcej podobnych podstron