GEOMETRIA ANALITYCZNA

ZAD. 1. Obliczyć długość podanych wektorów

a) −

→

a = [3, −4, 12],

b)

−→

P Q, gdzie P (1, 2, 3),

Q(4, 6, 15),

c) −

→

x = 2−

→

a −

−

→

b + 3−

→

c , gdzie −

→

a = [1, 0, 2],

−

→

b = [0, 2, −3]

−

→

c = [1, −1, 2],

d) −

→

a = 6−

→

p − 8−

→

q , gdzie p ⊥ q i |−

→

p | = |−

→

q | = 1.

ZAD. 2. Obliczyć iloczyn skalarny podanych par wektorów

a) −

→

a = [1, −2, 5],

−

→

b = [3, −1, 0],

b) −

→

u = 3

−

→

i − 2

−

→

k , −

→

v = −

−

→

i + 3

−

→

j + 7

−

→

k .

ZAD. 3. Obliczyć iloczyn wektorowy podanych par wektorów

a) −

→

a = [−3, 2, 0],

−

→

b = [1, 5, −2],

b) −

→

u = 2

−

→

j − 3

−

→

k , −

→

v = −

−

→

i + 3

−

→

j − 4

−

→

k .

ZAD. 4. Wyznaczyć tg α wiedząc, że α jest kątem zawartym pomiędzy wektorami −

→

a = [0, 1, 2],

−

→

b = [2, −1, 0],

ZAD. 5. Obliczyć pola podanych powierzchni:

a) równoległoboku rozpiętego na wektorach −

→

a = [1, 2, 3],

−

→

b = [0, −2, 5],

b) trójkąta o wierzchołkach A(1, −1, 3),

B(0, 2, −3),

C(2, 2, 1).

ZAD. 6. Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A(−3, 1, −1),

B(6, −2, −5),

C(1, −2, −1). Obliczyć dłu-

gość wysokości opuczczonej z wierzchołka B na bok AC.

ZAD. 7. Obliczyć iloczyn mieszany podanych trójek wektorów

a) −

→

a = [−3, 2, 1],

−

→

b = [0, 1, −5], −

→

c = [2, 3, −4],

b) −

→

p + −

→

q , 2−

→

p − −

→

q , −

→

r , jeśli iloczyn mieszany (−

→

p , −

→

q , −

→

r ) = 3.

ZAD. 8. Obliczyć objętość podanych wielościanów:

a) równoległościanu rozpiętego na wektorach −

→

a = [0, 0, 1],

−

→

b = [−1, 2, 3], −

→

c = [2, 5, −1],

b) czworościanu o wierzchołkach A(1, 1, 1),

B(1, 2, 3),

C(2, 3, −1),

D(−1, 3, 5).

ZAD. 9. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(3, 1, 1),

B(1, 4, 1),

C(1, 1, 7),

D(3, 4, 9). Obliczyć jego

objętość oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D.

ZAD. 10. Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez

a) punkt A(3, −1, 2) i jest prostopadła do wektora −

→

v = [3, −1, 2],

b) punkt B(1, 5, 1) i jest równoległa do wektorów −

→

u = [2, 1, 6] i −

→

v = [−3, 5, 6],

c) punkty M (−1, 2, 4), N (2, 1, 3), P (3, −1, 5),

d) punkty A(−1, 2, 4), B(2, 1, 3) i jest równoległa do wektora −

→

a = [3, 1, 5],

e) punkt A(0, 2, 1) i jest równoległa do płaszczyzny o równaniu π : 2x + y − z − 2 = 0

ZAD. 11. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2, −3),

B(2, 1, 1).

ZAD. 12. Wyznaczyć równanie prostej przechodzacej przez punkt A(2, 1, −2) i równoległej do prostej l :







x = 1 − t,
y = 2t,
z = 1 + t

.

ZAD. 13. Dana jest prosta l :

 6x + 2y − z − 9 = 0,

3x + 2y + 2z − 12 = 0.

Zapisać jej równanie w postaci parametrycznej.

ZAD. 14. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P (2, 3, 1) oraz

a) prostopadłej do płaszczyzny π : 5x − 3y + 2z + 1 = 0,

b) przechodzącej przez punkt przebicia prostej l :







x = 1 + t,
y = −2t,
z = 1 + 3t.

z płaszczyzną π : 4x−y+3z+1 =

0,

c). równoległej do płaszczyzn o równaniach π

1

, : 6x − y + z = 0 i π

2

: x + 3y − 2z + 1 = 0.

d). prostopadłej do prostych l :

x
2

=

y+1

−6

=

z

−5

, k :







x = 9 − 5t,
y = 1 − t,
z = 4 + 10t.

ZAD. 15. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny π : 4x − 12y + 6z + 5 = 0 i oddalonej od

niej o 3.

ZAD. 16. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(−1, 3, 5) i prostopadłej do prostej l :

 2x − 4y + 2z + 8 = 0,

x + y − z + 4 = 0.

ZAD. 17. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste l

1

: x = y = −z, l

2

:







x = −3 + 2t,
y = 3 − 4t
z = −1 + 2t.

ZAD. 18. Znaleźć rzut punktu A(2, 3, −6) na płaszczyznę π : x + 2y + z + 4 = 0.

ZAD. 19. Znaleźć rzut punktu A(1, −2, 1) na prostą l :

x+1

1

=

y+8

−1

=

z−2

2

.

ZAD. 20. Znaleźć rzut prostej l :

x
2

=

y−1

−1

=

z+1

2

na płaszczyznę π : x + y + z = 0.

ZAD. 21. Znaleźć odległość punktu A(2, −1, 1) od prostej l :

x+1

1

=

y−1

−1

=

z
2

.

ZAD. 22. Znaleźć odległość między prostymi:

a) równoległymi: l

1

:

x−1

4

=

y−3

−2

=

z+1

3

, l

2

:

x

4

=

y

−2

=

z
3

,

b) skośnymi : l

1

:

x−9

4

=

y+2

−3

=

z
1

, l

2

:

x
2

=

y+2

9

=

z−2

2

,