Elementy geometrii analitycznej

Znajdziemy teraz wz´or na odleg lo´s´c punktu (x

0

, y

0

) od prostej, wsp´o lrze

,

dne

punkt´ow kt´orej spe lniaja

,

r´ownanie ax+by +c = 0 . Oczywi´scie po to, by to r´ownanie

przedstawia lo prosta

,

trzeba za lo˙zy´c, ˙ze wektor [a, b] nie jest wektorem zerowym, czyli

˙ze [a, b] 6= [0, 0] .

Odleg lo´s´c punkt´ow (x

1

, y

1

) i (x

2

, y

2

) to

p

(x

1

− x

2

)

2

+ (y

1

− y

2

)

2

. Wynika to

natychmiast z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach

(x

1

, y

1

) , (x

1

, y

2

) i (x

2

, y

2

) . Jego pionowy bok ma d lugo´s´c |y

2

− y

1

| , a poziomy

— |x

2

− x

1

| .

W przestrzeni tr´ojwymiarowej odleg lo´s´c punkt´ow (x

1

, y

1

, z

1

) i (x

2

, y

2

, z

2

) jest

r´owna

p

(x

1

− x

2

)

2

+ (y

1

− y

2

)

2

+ (z

1

− z

2

)

2

. W tym przypadku stosujemy wz´or

uzyskany dla punkt´ow p laszczyzny dla znalezienia odleg lo´sci punkt´ow (x

1

, y

1

, z

1

)

i (x

2

, y

2

, z

1

) , a naste

,

pnie twierdzenie Pitagorasa do tr´ojka

,

ta pionowego o wierz-

cho lkach (x

1

, y

1

, z

1

) , (x

2

, y

2

, z

1

) i (x

2

, y

2

, z

2

) .

Przypomnimy twierdzenie kosinus´ow: je´sli a, b, c sa

,

bokami tr´ojka

,

ta o wierz-

cho lkach A, B, C (wierzcho lek A le˙zy naprzeciw boku a itd.), to

c

2

= a

2

+ b

2

− 2ab cos C

— symbol C oznacza jednocze´snie wierzcho lek i ka

,

t mie

,

dzy bokami wychodza

,

cymi

z tego wierzcho lka. Przypomnimy dow´od tego twierdzenia, kt´ore mo˙zna i nale˙zy trak-

towa´c jako uog´olnienie twierdzenia Pitagorasa. Niech D oznacza rzut punktu B na

prosta

,

AC .

∗

Je´sli ka

,

ty C i A nie sa

,

rozwarte, to punkt D le˙zy na odcinku AC

w odleg lo´sci b − a cos C od punktu A . Je´sli ka

,

t A jest rozwarty, to punkt D le˙zy

w odleg lo´sci a cos C − b od punktu A . Wreszcie je´sli ka

,

t C jest rozwarty (tzn.

cos C < 0 ), to punkt D le˙zy w odleg lo´sci b+a cos(π −C) = b−a cos C od punktu A .

Wobec tego AD = |b − a cos C| we wszystkich przypadkach. Podobnie we wszystkich

przypadkach BD = a sin C . Mamy wie

,

c

c

2

= BD

2

+ AD

2

= a

2

sin

2

C + |b − a cos C|

2

=

= a

2

sin

2

C + b

2

− 2ab cos C + a

2

cos

2

C = a

2

+ b

2

− 2ab cos C .

Wobec tego 2ab cos C = a

2

+ b

2

− c

2

. Je´sli C = 0 = (0, 0, 0) , A = (x

1

, y

1

, z

1

) ,

B = (x

2

, y

2

, z

2

) , to zachodzi r´owno´s´c:

2ab cos C = (x

2

1

+ y

2

1

+ z

2

1

) + (x

2

2

+ y

2

2

+ z

2

2

) − (x

1

− x

2

)

2

+ (y

1

− y

2

)

2

+ (z

1

− z

2

)

2

) =

∗ Studenci, kt´orzy nie od razu wyobra˙zaja

, sobie sytuacje, powinni narysowa´

c tr´

ojka,t, zaznaczy´c punkty,

zrozumie´

c o jakich sytuacjach autor tekstu pisze.

1

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

=2(x

1

x

2

+ y

1

y

2

+ z

1

z

2

) , zatem ab cos C = x

1

x

2

+ y

1

y

2

+ z

1

z

2

. Pora na okre´slenie

iloczynu skalarnego.

Definicja 1.1 (iloczynu skalarnego)

Iloczynem skalarnym ~u · ~v wektor´ow ~u = [u

1

, u

2

, u

3

] ~v = [v

1

, v

2

, v

3

] nazywamy

liczbe

,

u

1

v

1

+ u

2

v

2

+ u

3

v

3

.

Z tekstu poprzedzaja

,

cego definicje

,

wynika jasno, ˙ze iloczyn skalarny dw´och wek-

tor´ow jest r´owny iloczynowi ich d lugo´sci i kosinusa ka

,

ta mie

,

dzy nimi. Jest wie

,

c r´ow-

ny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektor´ow jest r´owny ~0 lub gdy kosinus ka

,

ta

mie

,

dzy nim i jest r´owny 0 , czyli gdy mno˙zone wektory sa

,

prostopad le. By nie lama´c

sobie je

,

zyka przyjmujemy, ˙ze wektor zerowy jest prostopad ly do ka˙zdego wektora.

Iloczynowi skalarnemu przys luguje wiele w lasno´sci algebraicznych, kt´ore czynia

,

go

wielce u˙zytecznym. Wymienimy najwa˙zniejsze z nich.

IS 0. ~u · ~u = ~0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~u = ~0 = [0, 0, 0)] ;

IS 1. ~u · ~v = ~v · ~u — iloczyn skalarny jest przemienny;

IS 2. ~u · (~v

1

+ ~v

2

) = ~u · ~v

1

+ ~u · ~v

2

— iloczyn skalarny jest rozdzielny wzgle

,

dem

dodawania wektor´ow;

IS 3. (t~u) · ~v = t(~u · ~v) = ~u · (t~v) dla dowolnej liczby t ∈ R i dowolnych wektor´ow

~u, ~v ;

IS 4. s(t~u) = (st)~u dla dowolnych s, t ∈ R i dowolnego wektora ~u ;

IS 5. (s + t)~u = s~u + t~u dla dowolnych s, t ∈ R i dowolnego wektora ~u ;

IS 6. |~u · ~v| ≤ k~uk · k~vk , gdzie k~uk :=

√

~u · ~u , przy czym r´owno´s´c zachodzi wtedy

i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektor´ow ~u, ~v jest zerowy lub gdy istnieje

liczba t taka, ˙ze ~u = t~v , ta nier´owno´s´c nazywana jest nier´owno´scia

,

Schwarza,

czasem Schwarza–Cauchy’ego.

Oczywi´scie mno˙zymy wektor przez liczbe

,

mno˙za

,

c ka˙zda

,

wsp´o lrze

,

dna

,

wektora

przez te

,

liczbe

,

:

t~u = t · [u

1

, u

2

, u

3

] = [tu

1

, tu

2

, tu

3

] .

Wszystkie wymienione w lasno´sci wynikaja

,

od razu z definicji dzia la´

n na wektorach.

Jedyny problem to nier´owno´s´c Schwarza, kt´ora wynika natychmiast z geometrycznej

interpretacji iloczynu skalarnego i z tego, ˙ze −1 ≤ cos α ≤ 1 . Mo˙zna ja

,

te˙z udowodni´c

nieco inaczej. Podamy dwa takie dowody, oba w nieco og´olniejszej sytuacji.

Pierwszy dow´

od nier´

owno´sci Schwarza

Wyka˙zemy, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb rzeczywistych

2

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

x

1

, x

2

, . . . , x

n

, y

1

, y

2

, . . . , y

n

zachodzi nier´owno´s´c

(x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

)

2

≤ (x

2

1

+ x

2

2

+ · · · + x

2

n

)(y

2

1

+ y

2

2

+ · · · + y

2

n

) .

Przenosza

,

c wszystkie wyra˙zenia na prawa

,

strone

,

, wymna˙zaja

,

c wszystko otrzymu-

jemy sume

,

iloczyn´ow typu x

2

i

y

2

j

, 1 ≤ i, j ≤ n , od kt´orej odejmujemy sume

,

ilo-

czyn´ow postaci x

2

i

y

2

i

, 1 ≤ i ≤ n oraz podwojona

,

sume

,

wszystkich iloczyn´ow

postaci x

i

y

i

x

j

y

j

, 1 ≤ i 6= j ≤ n . Jasne jest ˙ze po odje

,

ciu znikna

,

iloczyny po-

staci x

2

i

y

2

i

, 1 ≤ i ≤ n . Reszta to suma wyra˙ze´

n postaci x

2

i

y

2

j

− 2x

i

x

j

y

i

y

j

+ x

2

j

y

2

i

,

1 ≤ i < j ≤ n . Poniewa˙z x

2

i

y

2

j

− 2x

i

x

j

y

i

y

j

+ x

2

j

y

2

i

= (x

i

y

j

− x

j

y

i

)

2

, wie

,

c ta suma jest

liczba

,

nieujemna

,

. Za l´o˙zmy, ˙ze 0 =

P

1≤i<j≤n

(x

i

y

j

− x

j

y

i

)

2

. Wtedy x

i

y

j

= x

j

y

i

dla 1 ≤ i < j ≤ n . Je´sli y

i

6= 0 6= y

j

, to mo˙zemy napisa´c

x

i

y

i

=

x

j

y

j

. Wo-

bec tego wszystkie ilorazy postaci

x

i

y

i

sa

,

r´owne. Oznaczmy ich wsp´olna

,

warto´s´c

przez t . Niech y

i

6= 0 = y

j

. Poniewa˙z x

i

y

j

= x

j

y

i

, wie

,

c x

j

= 0 i wobec tego

r´ownie˙z w tym przypadku zachodzi wz´or x

j

= ty

j

. Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze je´sli

(x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

)

2

= (x

2

1

+ x

2

2

+ · · · + x

2

n

)(y

2

1

+ y

2

2

+ · · · + y

2

n

) i co najmniej

jedna z liczb y

1

, y

2

, . . . , y

n

jest r´o˙zna od 0 , to istnieje liczba rzeczywista t taka, ˙ze

x

i

= ty

i

dla i = 1, 2, . . . , n . Jasne jest, ˙ze je´sli taka liczba t istnieje, to nier´owno´s´c

Schwarza staje sie

,

r´owno´scia

,

. W ten spos´ob zako´

nczyli´smy pierwszy dow´od.

Drugi dow´

od nier´

owno´sci Schwarza, kt´orego nie be

,

dzie go na wyk ladzie.

Jasne jest, ˙ze je´sli zdefiniujemy iloczyn skalarny w przestrzeni n –wymiarowej wzo-

rem

~x · ~y = [x

1

, x

2

, . . . , x

n

] · [y

1

, y

2

, . . . , y

n

] = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

,

to be

,

da

,

mu przys lugiwa´c w lasno´sci IS0 – IS5. Za l´o˙zmy, ˙ze ~y 6= ~0 , tzn., ˙ze co naj-

mniej jedna ze wsp´o lrze

,

dnych wektora ~y jest r´o˙zna od 0 . Niech

f (t) = (~x+t~y)·(~x+t~y) = (~x·~x)+t(~x·~y)+t(~y·~x)+t

2

(~y·~y) = (~x·~x)+2t(~x·~y)+t

2

(~y·~y) .

dla ka˙zdej liczby t ∈ R . Funkcja f jest wielomianem kwadratowym, kt´orego wszyst-

kie warto´sci sa

,

nieujemne, zatem jego wyr´o˙znik nie mo˙ze by´c dodatni. Mamy wie

,

c

0 ≥ ∆ = 4(~x · ~y)

2

− 4(~x · ~x)(~y · ~y) = 4 (~x · ~y)

2

− (~x · ~x)(~y · ~y)

,

a to oznacza, ˙ze nier´owno´s´c Schwarza jest prawdziwa. Oczywi´scie je´sli (~x · ~y)

2

=

(~x · ~x)(~y · ~y) , to wielomian kwadratowy ma dok ladnie jeden pierwiastek (podw´ojny),

a to oznacza, ˙ze istnieje liczba rzeczywista t taka, ˙ze 0 = f (t) = (~x + t~y) · (~x + t~y) ,

czyli ~x = −t~y . Zako´

nczyli´smy drugi dow´od nier´owno´sci Schwarza.

Uwaga 1.2 (o niestandardowych iloczynach skalarnych)

W drugim dowodzie mniej przekszta lcali´smy. W dodatku w samym dowodzie korzy-

stali´smy jedynie z w lasno´sci IS0 – IS5. Wynika sta

,

d, ˙ze je´sli zdefiniujemy iloczyn

3

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

w jakikolwiek inny spos´ob, ale tak, ˙ze w lasno´sci IS0–IS5 be

,

da

,

spe lnione, to r´ownie˙z

w lasno´s´c IS6 be

,

dzie spe lniona. Przyk lad takiej sytuacji mo˙zemy bez trudu poda´c.

Mo˙zna przyja

,

´c, ˙ze iloczynem skalarnym wektor´ow [x

1

, x

2

] i [y

1

, y

2

] jest np. liczba

2x

1

y

1

+ x

1

y

2

+ x

2

y

1

+ x

2

y

2

, sens geometryczny jest znacznie mniej oczywisty ni˙z

poprzednio i nie be

,

dziemy tej kwestii analizowa´c, powiemy tylko, ˙ze na p laszczy´znie

mo˙zna wprowadza´c uk lady wsp´o lrze

,

dnych nieprostoka

,

tnych, ˙ze jednostki na osiach

nie musza

,

by´c r´ownej d lugo´sci. Iloczyny skalarne mo˙zna te˙z definiowa´c w innych

zbiorach, np. zbiorach, kt´orych elementami sa

,

funkcje.

Pierwszy dow´od podali´smy, by studenci widzieli, ˙ze wymy´slenie dowodu tak pro-

stej w lasno´sci jest w ich zasie

,

gu. Drugi, by m´oc powiedzie´c, ˙ze po pewnym czasie,

ludziom udaje sie

,

lepiej zrozumie´c uzyskane twierdzenie, cze

,

sto rozszerzy´c zakres jego

stosowalno´sci i na og´o l upro´sci´c dow´od. Nie nale˙zy sie

,

wie

,

c dziwi´c, ˙ze na pomys l prze-

prowadzenia kr´otkiego dowodu mo˙zna nie wpa´s´c od razu. Te kr´otkie rozumowania to

cze

,

sto efekt dosy´c d lugich rozmy´sla´

n.

Je´sli co najmniej jedna z liczb a, b jest r´o˙zna od 0 , to zbi´or wektor´ow [x, y] *

prostopad lych do wektora [a, b] jest opisany r´ownaniem ax + by = 0 . Oczywi´scie

ko´

nce tych wektor´ow tworza

,

prosta

,

prostopad la

,

do wektora [a, b] . Wobec tego:

je´sli [a, b] 6= [0, 0] , to r´

ownanie ax + by + c = 0 opisuje prosta

,

prostopad la

,

do

wektora [a, b] . Prosta ta jest r´

ownoleg la do prostej o r´

ownaniu ax + by = 0 .

Stwierdzenie 1.3

Je´sli co najmniej jedna z trzech liczb a, b, c jest r´o˙zna od 0 , to r´ownanie (liniowe)

ax + by + cz = 0 opisuje zbi´or wektor´ow prostopad lych do wektora [a, b, c] . Jest

wie

,

c to r´ownanie p laszczyzny przechodza

,

cej przez pocza

,

tek uk ladu wsp´o lrze

,

dnych.

Wobec tego: je´sli (a, b, c) 6= (0, 0, 0) , to r´

ownanie ax + by + cz + d = 0 opisuje

p laszczyzne

,

prostopad la

,

do wektora (a, b, c) . P laszczyzna ta jest r´

ownoleg la

do p laszczyzny o r´

ownaniu ax + by + cz = 0 .

Definicja 1.4 (iloczynu wektorowego)

Iloczynem wektorowym ~u×~v wektor´ow ~u = [u

1

, u

2

, u

3

)] i ~v = [v

1

, v

2

, v

3

] nazywamy

wektor

[u

2

v

3

− u

3

v

2

, u

3

v

1

− u

1

v

3

, u

1

v

2

− u

2

v

1

] .

Ze wzgle

,

du na to, ˙ze iloczyn wektorowy jest cze

,

sto stosowany, wypada wspo-

mnie´c, ˙ze wielko´sci postaci u

1

v

2

− u

2

v

1

nazywane sa

,

wyznacznikami drugiego stop-

*

M´

owia,c wektor [x,y] mamy na my´sli wektor zaczynaja,cy sie, w punkcie 0=(0,0) , kt´orego ko´ncem

jest punkt (x,y) .

4

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

nia. Piszemy u

1

v

2

− u

2

v

3

=









u

1

u

2

v

1

v

2







 . Definiujemy te˙z wyznaczniki wy˙zszych stopni,

np. trzeciego:













u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3













= u

1









v

2

v

3

w

2

w

3







 − u

2









v

1

v

3

w

1

w

3







 + u

3









v

1

v

2

w

1

w

2







 =

= u

1

v

2

w

3

− u

1

v

3

w

2

+ u

2

v

3

w

1

− u

2

v

1

w

3

+ u

3

v

1

w

2

− u

3

v

2

w

1

.

O wyznacznikach opowiemy wie

,

cej w jednym z naste

,

pnych wyk lad´ow. Teraz

zauwa˙zmy tylko, ˙ze oznaczaja

,

c e

1

=



1

0
0



, e

2

=



0

1
0



, e

3

=



0

0
1



mo˙zemy napisa´c:

~u × ~v =













e

1

e

2

e

3

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3













= e

1









u

2

u

3

v

2

v

3







 − e

2









u

1

u

3

v

1

v

3







 + e

3









u

1

u

2

v

1

v

2







 =

=









u

2

u

3

v

2

v

3







 , −









u

1

u

3

v

1

v

3







 ,









u

1

u

2

v

1

v

2









!

W odr´o˙znieniu od iloczynu skalarnego dw´och wektor´ow, kt´ory jest liczba

,

(czyli

skalarem), iloczyn wektorowy jest wektorem. Wyka˙zemy jest jest on wektorem prosto-

pad lym do obu czynnik´ow jednocze´snie oraz ˙ze jego d lugo´s´c to pole r´ownoleg loboku

rozpie

,

tego przez mno˙zone wektory. By wykaza´c prostopad lo´s´c wystarczy obliczy´c ilo-

czyn skalarny:

~u · (~u × ~v) = [u

1

, u

2

, u

3

] · [u

2

v

3

− u

3

v

2

, u

3

v

1

− u

1

v

3

, u

1

v

2

− u

2

v

3

] =

=, u

1

u

2

v

3

− u

1

u

3

v

2

+ u

2

u

3

v

1

− u

2

u

1

v

3

+ u

3

u

1

v

2

− u

3

u

2

v

1

= 0 .

R´owno´s´c ~v · (~u × ~v) = ~0 sprawdzamy w taki sam spos´ob. Sprawdzimy najpierw,

˙ze kwadrat pola r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez wektory ~u oraz ~v r´owny jest

(~u · ~u)(~v · ~v) − (~u · ~v)

2

. Skorzystamy z tego, ˙ze pole r´ownoleg loboku jest iloczy-

nem boku przez wysoko´s´c do niego prostopad la

,

. Znajdziemy najpierw taka

,

liczbe

,

t ∈ R , ˙ze wektor ~u − t~v oka˙ze sie

,

prostopad ly do wektora ~v . Oznacza to, ˙ze wektor

t~v be

,

dzie rzutem wektora ~u na prosta

,

wyznaczona przez wektor ~v i wobec tego

wektor ~u − t~v be

,

dzie wysoko´scia

,

r´ownoleg loboku prostopad la

,

do „boku” ~v . Ma

by´c spe lniona r´owno´s´c ~v · (~u − t~v) = 0 , czyli ~v · ~u − t~v · ~v = 0 . Je´sli ~v 6= ~0 , to

t =

~

u·~

v

~

v·~

v

. Niech P oznacza pole r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez wektory ~u i ~v .

Mamy P = k~vk · k~u −

~

u·~

v

~

v·~

v

~vk . Wobec tego zachodza

,

r´owno´sci

P

2

= k~vk

2

· k~u −

~

u·~

v

~

v·~

v

~vk

2

= ~v · ~v

(~u −

~

u·~

v

~

v·~

v

~v) · (~u −

~

u·~

v

~

v·~

v

~v)

=

= ~v · ~v

~u · ~u −

~

u·~

v

~

v·~

v

~u · ~v −

~

u·~

v

~

v·~

v

~v · ~u + (

~

u·~

v

~

v·~

v

)

2

~v · ~v

=

= ~v · ~v

~u · ~u − 2

~

u·~

v

~

v·~

v

~u · ~v + (

~

u·~

v

~

v·~

v

)

2

~v · ~v

= k~vk

2

k~uk

2

− (~u · ~v)

2

.

5

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

Wz´or wykazali´smy. Z pierwszego dowodu nier´owno´sci Schwarza wynika wz´or

k~vk

2

k~uk

2

− (~u · ~v)

2

= (u

2

v

3

− u

3

v

2

)

2

+ (u

3

v

1

− u

1

v

3

)

2

+ (u

1

v

2

− u

2

v

3

) = k~u × ~vk

2

.

Udowodnili´smy, ˙ze kwadrat pola r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez wektory ~u, ~v r´ow-

ny jest kwadratowi d lugo´sci iloczynu wektorowego. Mo˙zemy otrzymany wz´or prze-

pisa´c w postaci

k~vk

2

k~uk

2

= (~u · ~v)

2

+ k~u × ~vk

2

.

Ten wz´or to w zasadzie „ jedynka trygonometryczna”. Je´sli bowiem ϕ oznacza ka

,

t

mie

,

dzy ~u i ~v , to ~u · ~v = k~uk · k~vk cos ϕ oraz k~u × ~vk = k~uk · k~vk sin ϕ , bo pole

r´ownoleg loboku to iloczyn bok´ow i sinusa ka

,

ta mie

,

dzy nimi.

Zadania

1. 01

Znale´z´c odleg lo´s´c punkt´ow (

1
2

, −7) i (

7
2

, −3) .

1. 02

Znale´z´c odleg lo´s´c punkt´ow (

1
2

, −7, −9) i (

7
2

, −3, 3) .

1. 03

Niech A = (a

1

, a

2

) , B = (b

1

, b

2

) i C = (0, 0) . Korzystaja

,

c z twierdzenia

Pitagorasa udowodni´c, ˙ze ka

,

t mie

,

dzy bokami AC i BC tr´ojka

,

ta ABC jest

prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

b

1

+ a

2

b

2

= 0 .

1. 04

Niech A = (a

1

, a

2

, a

3

) , B = (b

1

, b

2

, b

3

) i C = (0, 0, 0) . Korzystaja

,

c z twierdze-

nia Pitagorasa udowodni´c, ˙ze ka

,

t mie

,

dzy bokami AC i BC tr´ojka

,

ta ABC jest

prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

= 0

1. 05

Znale´z´c r´ownanie prostej r´ownoleg lej do prostej x − 7y + 5 = 0 przechodza

,

cej

przez punkt (1, 1) .

1. 06

Znale´z´c odleg lo´s´c punktu (1, 1) od prostej x − 7y + 5 = 0 .

1. 07

Jaki warunek spe lniaja

,

liczby a, b , je´sli wektor [a, b] jest prostopad ly do wekto-

ra [3, −5] ?

1. 08

Jaki warunek spe lniaja

,

liczby a, b, c , je´sli wektor [a, b, c] jest prostopad ly do

wektora [1, 2, 3] ?

1. 09

Jaki warunek spe lniaja

,

liczby a, b, c , je´sli wektor [a, b, c] jest prostopad ly do

wektor´ow [1, 2, 3] i [3, 2, 1] ?

1. 10

Czy punkty (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) le˙za

,

na jednej prostej?

1. 11

Czy punkty (1, 2) , (2, 4) , (3, 9) le˙za

,

na jednej prostej?

1. 12

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach (3, 5) , (5, 8) i (0, 0) . Czy ten tr´ojka

,

t jest

prostoka

,

tny, ostroka

,

tny czy rozwartoka

,

tny?

1. 13

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach (3, 5, 8) , (5, 8, 13) i (0, 0, 0) .

6

Elementy geometrii analitycznej

Micha l Krych

1. 14

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1) i (10, −5, −1) . Czy

ten tr´ojka

,

t jest prostoka

,

tny, ostroka

,

tny czy rozwartoka

,

tny?

1. 15

Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego na tr´ojka

,

cie o wierzcho lkach (2, 1) , (5, 5)

i (1, 8) ? Czy ten tr´ojka

,

t jest prostoka

,

tny, ostroka

,

tny czy rozwartoka

,

tny?

1. 16

Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego na tr´ojka

,

cie o wierzcho lkach (2, 1) , (3, 5)

i (8, 13) ? Czy ten tr´ojka

,

t jest prostoka

,

tny, ostroka

,

tny czy rozwartoka

,

tny?

1. 17

Znale´z´c punkt, w kt´orym przecinaja

,

sie

,

wysoko´sci tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach

(2, 1) , (3, 5) oraz (8, 13) .

1. 18

Znale´z´c punkt przecie

,

cia ´srodkowych tr´ojka

,

ta (´srodek cie

,

˙zko´sci) o wierzcho lkach

(2, 1) , (3, 5) i (8, 13) .

1. 19

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja

,

cej naste

,

puja

,

ce trzy punkty (3, −1, 2) ,

(0, 2, 1) i (−3, 2, 2) .

1. 20

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja

,

cej naste

,

puja

,

ce trzy punkty (−1, 2, 0) ,

(0, 3, 1) i (10, −5, −1) .

1. 21

Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego na tr´ojka

,

cie o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1)

i (10, −5, −1) .

1. 22

Znale´z´c punkt przecie

,

cia wysoko´sci tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach (−1, 2, 0) , (0, 3, 1)

i (10, −5, −1) .

1. 23

Znale´z´c punkt przecie

,

cia ´srodkowych tr´ojka

,

ta (´srodek cie

,

˙zko´sci), kt´orego wierz-

cho lkami sa

,

punkty (−1, 2, 0) , (0, 3, 1) i (10, −5, −1) .

1. 24

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny przechodza

,

cej przez punkty (2, 7, −1) i (4, 1, 2)

r´ownoleg lej do wektora (1, 0, 0) . Ile jest takich p laszczyzn?

1. 25

Wykaza´c, ˙ze ~x · (~y · ~z) = (~x · ~y) · ~z wtedy i tylko wtedy, gdy wektory ~x i ~z sa

,

r´ownoleg le albo oba wektory ~x i ~z sa

,

prostopad le do wektora ~y .

1. 26

Znale´z´c odleg lo´s´c punktu 0 = (0, 0, 0) od p laszczyzny 4x − 3y + 12z − 39 = 0 .

1. 27

Znale´z´c odleg lo´s´c punktu A = (−1, 3, 1) od p laszczyzny 4x − 3y + 12z − 39 = 0 .

1. 28

Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek AB w stosunku:

1 : 1 ,

1 : 3 ,

2 : 3 ,

je´sli A = (1, −2, 3) ,

B = (21, −22, −37) .

1. 29

Znale´z´c iloczyn wektorowy ~v × ~

w wektor´ow ~v = [1, 2, 3] i ~

w = [1, −2, 3] .

1. 30

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu, kt´orego wierzcho lkami sa

,

punkty A = (1, 2, 0) ,

B = (4, 3, 0) , C = (1, 1, 1) i D = (2, 3, 1) .

1. 31

Znale´z´c ´srodek kuli opisanej na czworo´scianie o wierzcho lkach A = (1, 2, 0) ,

B = (4, 3, 0) , C = (1, 1, 1) i D = (2, 3, 1) .

1. 32

Znale´z´c ka

,

t mie

,

dzy p laszczyznami 2x − y − z − 1 = 0 i x + y − 2z = 0 .

7