ch10 11 ciagi granice

Granica cia

Ostatnia aktualizacja 22 pa´

zdziernika 2012, godz. 23:57

W wielu sytuacjach rozpatrywane sa

tzw. cia

gi liczbowe. Je´sli np. chcemy zdefi-

niowa´c pole ko la, to mo˙zna rozwa˙za´c np. wieloka

ty foremne wpisane w to ko lo o coraz

wie

kszej liczbie bok´ow i m´owi´c, ˙ze pole ko la jest liczba

, kt´ora

mo˙zna przybli˙za´c po-

lami tych wieloka

t´ow, przy czym przybli˙zenie jest tym dok ladniejsze im wie

ksza jest

liczba bok´ow wieloka

ta. Mamy tu wie

c do czynienia z cia

giem p´ol wieloka

t´ow wpi-

sanych w dane ko lo, co oznacza, ˙ze liczbom naturalnym pocza

wszy od 3 przypisane

zosta ly pewne liczby rzeczywiste. Te ostatnie nazywamy wyrazami cia

gu i oznaczamy

na og´o l symbolem a

Inny przyk lad by l rozwa˙zany przez Zenona (490-430 p.n.e) z Elei . Twierdzi l on

mianowicie, ˙ze znany w staro˙zytno´sci biegacz Achilles nie jest w stanie dogoni´c ˙z´o lwia.

Rozwa˙zania te przedstawimy oczywi´scie u˙zywaja

c wsp´o lczesnego je

zyka i stosuja

wsp´o lczesne oznaczenia. Przyjmijmy na przyk lad, ˙ze pocza

tkowa odleg lo´s´c mie

dzy

Achillesem i ˙z´o lwiem r´owna jest 100 m. Dla prostoty przyjmiemy, ˙ze pre

dko´s´c Achil-

lesa jest dziesie

ciokrotnie wie

ksza ni˙z pre

dko´s´c uciekaja

cego ˙z´o lwia. W jakim´s czasie

Achilles przebiegnie 100 m. W tym samym czasie ˙z´o lw przesunie sie

o 10 m, wie

na razie przynajmniej nie zostanie z lapany. Po

tego czasu Achilles przebiegnie

10 m, jednak zn´ow nie dogoni ˙z´o lwia, kt´ory oddali sie

o naste

pny metr. Achilles

przebiegnie metr, a ˙z´o lw oddali sie

o 10 cm itd. Proces ten mo˙zna kontynuowa´c.

Prowadzi to do rozpatrywania coraz d lu˙zszych odcink´ow przebytych przez Achillesa,

czyli liczb: 100 ; 110 ; 111 ; 111,1 ; . . . – czyli cia

gu, kt´orego wyraz o numerze n jest

dany za pomoca

wzoru a

= 100 + 10 + 1 + . . . +

100

n−1

= 111,1 . . . 1 – przy czym w

zapisie dziesie

tnym tej liczby wyste

puje n jedynek. Zenon po prostu nie potrafi l zsu-

mowa´c niesko´

nczenie wielu sk ladnik´ow. Nie operowa l poje

ciem sumy niesko´

nczonej,

nie umiano wtedy takiego poje

cia zdefiniowa´c. Tego rodzaju problemy analizowano

ju˙z wtedy, ale ´scis le definicje matematyczne pojawi ly sie

dopiero w pierwszej po lowie

XIX wieku (Gauss, Cauchy, Bolzano). Oczywi´scie mo˙zna latwo odpowiedzie´c na py-

tanie po przebiegnie

ciu jakiego dystansu Achilles z lapie ˙z´o lwia: 111, 1 . . . =

1000

Na wszelki wypadek podamy formalne rozumowanie, kt´ore mo˙zna by lo zastosowa´c

r´ownie˙z w staro˙zytno´sci, jednak bez jawnego u˙zycia poje

cia sumy niesko´

nczonej, a

wie

c omijaja

c istotny problem matematyczno-filozoficzny.* Oznaczmy dystans prze-

byty przez ˙z´o lwia do momentu zako´

nczenia pogoni przez x . Achilles w tym samym

czasie przebieg l odleg lo´s´c 10x . R´o˙znica tych wielko´sci to 9x = 100 . Sta

d natych-

miast wynika, ˙ze x =

100

, zatem 10x =

1000

. Oczywi´scie problemem istotnym

By ly inne paradoksy zwia,zane z problemem dzielenia w niesko´nczono´s´c na cze,´sci, np. punkt nie ma

d lugo´sci, odcinek sk lada sie, z punkt´ow i ma d lugo´s´c, poruszaja,cy sie, obiekt w niesko´nczenie kr´otkim

czasie nie przebywa ˙zadnej odleg lo´sci, a jednak sie, porusza. Przekonamy sie,, ˙ze dzie,ki poje,ciu granicy

daje sie, w sensowny spos´ob m´owi´c o tego rodzaju kwestiach nie dochodza,c do pozornych sprzeczno´sci.

Granica cia

Micha l Krych

by lo tu obliczenie tzw. granicy cia

gu, czym zajmiemy sie

niebawem.

Rozwa˙zymy jeszcze inny przyk lad. Za l´o˙zmy, ˙ze mamy do czynienia z pewna

ilo´scia

pierwiastka promieniotw´orczego. Niech m oznacza jego mase

. Fizycy twierdza

˙ze ubytek masy pierwiastka promieniotw´orczego jest proporcjonalny do czasu i masy

substancji. Oznaczmy wsp´o lczynnik proporcjonalno´sci przez µ i zastan´owmy sie

jaka

ilo´s´c tego pierwiastka be

dziemy mie´c po czasie t . Na tzw. „zdrowy rozum” masa

w czasie t powinna sie

zmniejszy´c o µ · t · m . Jednak substancja promieniuje bez

przerwy. Mogliby´smy wie

c rozumowa´c w ten sam spos´ob my´sla

c o czasie dwukrotnie

kr´otszym, czyli

. Wtedy masa zmniejszy laby sie

o µ ·

· m . Wobec tego po czasie

masa by laby r´owna m − µ ·

· m = m 1 − µ ·

) . Ta masa zmniejsza laby sie

dalszym cia

gu zgodnie z tym samym prawem, wie

c po czasie

masa pierwiastka

by laby r´owna m 1 − µ ·

) − µ ·

m 1 − µ ·

) = m 1 − µ ·

)

. Mamy wie

c dwa wyniki

1 − µ ·

)

m , je´sli czas „dzielimy ” na p´o l oraz 1 − µ · t

m , je´sli „nie dzielimy”.

Te wyniki sa

r´o˙zne, wie

c podany opis nie mo˙ze by´c dobry. Na domiar z lego, je´sli

czas podzielimy nie na dwie r´owne cze

´sci, to wynik be

dzie jeszcze inny: przy podziale

t =

wywnioskujemy, ˙ze po czasie t masa r´owna jest m 1 − µ ·

)

, przy

podziale t =

wynik to m 1−µ·

)

. Oczywi´scie rezultat nie mo˙ze zale˙ze´c

od tego, w jaki spos´ob opisujemy zjawisko. Mo˙zna wie

c przypu´sci´c, ˙ze zacytowane

prawo fizyki dzia la w przypadku dostatecznie kr´otkiego czasu z b le

dem mniejszym ni˙z

dok ladno´s´c pomiaru. Matematyka obliguje to do zadania pytania: czy kolejne liczby

m 1 − µ · t) , m 1 − µ ·

)

, m 1 − µ ·

)

, m 1 − µ ·

)

, . . . przybli˙zaja

z coraz

wie

ksza

dok ladno´scia

pewna

liczbe

, kt´ora mog laby by´c wtedy uwa˙zana za prawdziwy

wynik?

Pytanie okazuje sie

tym wa˙zniejsze, ˙ze do tego samego pytania prowadzi analiza

oprocentowanego wk ladu bankowego albo np. wyd lu˙zania sie

np. szyn kolejowych

w wyniku wzrostu temperatury lub ich skracania sie

w wyniku spadku tempera-

tury. To prawo fizyczne jest znane ka˙zdemu, kto by l przytomny w czasie lekcji fizyki

w szkole podstawowej lub gimnazjum. Jednak nieliczni uczniowie zauwa˙zaja

problem,

kt´ory opisali´smy wy˙zej. Stosowanie tego prawa w spos´ob opisany w podre

cznikach

szkolny prowadzi do r´o˙znych wynik´ow w zale˙zno´sci od tego czy temperatura zmienia

sie

np. o 20

◦

, czy te˙z o 10

◦

+10

◦

, co oczywi´scie nie mo˙ze by´c prawda

, bowiem wzrost

temperatury nie jest skokowy, lecz odbywa sie

stopniowo. Podsumujmy: opisane wy˙zej

zagadnienia prowadza

do rozpatrywania cia

gu o wyrazie (1+

x
n

)

, w przypadku masy

substancji promieniotw´orczej x = −µ · t . Powy˙zsze rozwa˙zania sugeruja

, ˙ze wzrost

liczby naturalnej n powinien powodowa´c wzrost wyra˙zenia (1 +

x
n

)

przynajmniej

w przypadku x 6= 0 . W istocie rzeczy latwo mo˙zna sie

przekona´c o tym, ˙ze n > −x

Granica cia

Micha l Krych

wzrost taki ma miejsce, wyka˙zemy to niebawem.

Innym rodzajem cia

gu jest tzw. cia

g geometryczny: a

= a

, gdzie a

i q sa

dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczba q jest zwana ilorazem cia

gu geometrycz-

nego, bo w przypadku q 6= 0 jest r´owna ilorazowi dw´och kolejnych wyraz´ow cia

gu. Do

rozpatrywania tego cia

gu prowadza

opisane poprzednio zagadnienia, je´sli nie zmniej-

szamy odcink´ow czasu lub temperatury Liczba ludzi w danym kraju w przypadku

sta lego przyrostu naturalnego zachowuje sie

jak cia

g geometryczny o ilorazie dosy´c

bliskim jedno´sci — dodatni przyrost naturalny oznacza, ˙ze iloraz jest wie

kszy ni˙z 1

za´s ujemny przyrost naturalny — ˙ze iloraz jest mniejszy ni˙z 1 .

Jeszcze innym rodzajem cia

gu jest cia

g arytmetyczny: a

= a

+ nd , gdzie a

oraz d oznaczaja

dowolne liczby rzeczywiste. Liczba d zwana jest r´o˙znica

cia

gu aryt-

metycznego, jest ona r´owna r´o˙znicy dw´och kolejnych wyraz´ow cia

gu. Na prze lomie

XVIII i XIX wieku zaobserwowano, ˙ze ilo´s´c zbo˙za zachowuje sie

jak wyraz cia

arytmetycznego ( n jest numerem roku). Oczywi´scie tego rodzaju obserwacje sa

przy-

bli˙zone, bowiem co jaki´s czas zdarzaja

sie

powodzie, susze i wtedy proces wzrostu

ulega zak l´oceniu. Bywaja

te˙z zak l´ocenia innego rodzaju, np. w XIX zauwa˙zono, ˙ze

stosowanie saletry chilijskiej (nawozy azotowe) zwie

ksza w istotny spos´ob plony. By ly

te˙z inne zak l´ocenia „naturalnego” tempa wzrostu ilo´sci zb´o˙z.

W ksia

˙zce „Liber Abaci” z 1202 r. autorstwa Leonarda z Pizy, zwanego Fibo-

naccim, znajduje sie

naste

puja

ce zadanie: Ile par kr´olik´ow mo˙ze by´c sp lodzonych

przez pare

p lodnych kr´olik´ow i jej potomstwo w cia

gu roku, je´sli ka˙zda para daje

w cia

gu miesia

ca ˙zywot jednej parze, para staje sie

p lodna po miesia

cu, kr´oliki nie

zdychaja

w cia

gu tego roku. Jasne jest, ˙ze po miesia

cu mamy ju˙z dwie pary przy

czym jedna z nich jest p lodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dw´och miesia

cach

˙zyja

ju˙z trzy pary kr´olik´ow: dwie p lodne, jedna jeszcze nie. Po trzech miesia

cach

˙zyje ju˙z pie

´c par kr´olik´ow: trzy p lodne, dwie jeszcze nie. Po czterech miesia

cach jest

ju˙z 8 = 5 + 3 par kr´olik´ow. Kontynuuja

c to poste

powanie stwierdzamy po niezbyt

d lugim czasie, ˙ze po roku ˙zyje ju˙z 377 = 233 + 144 par kr´olik´ow. Naturalnym pro-

blemem jest: znale´z´c wz´or na liczbe

, je´sli a

= 1 , a

= 2 i a

= a

n−1

+ a

n−2

dla

n = 2, 3, 4, . . . . Wz´or taki zosta l znaleziony dopiero po kilkuset latach od napisania

ksia

˙zki przez

Fibonacci’ego i wygla

da tak:

√

n+2

−

1−

√

n+2

√

Dow´od prawdziwo´sci tego wzoru jest prosty i nie wykracza poza program liceum

Granica cia

Micha l Krych

— latwa indukcja. Jednak wa˙zniejsze jest pytanie, jak w og´ole mo˙zna tego rodzaju

hipoteze

sformu lowa´c. Za kilka miesie

cy stanie sie

jasne w jaki spos´ob do takiego

dziwnego rezultatu mo˙zna doj´s´c.

Przejdziemy teraz do ´scis lego zdefiniowania cia

gu.

Definicja 4.1 (cia

gu)

Cia

giem nazywamy dowolna

funkcje

okre´slona

na zbiorze z lo˙zonym ze wszystkich tych

liczb ca lkowitych, kt´ore sa

wie

ksze lub r´owne pewnej liczbie ca lkowitej n

. Warto´s´c

tej funkcji punkcie n nazywamy n -tym wyrazem cia

gu.

Stosujemy oznaczenie (a

) dla oznaczenia cia

gu, kt´orego n -tym wyrazem jest

. Rozpatruja

c wieloka

ty wpisane w okra

g zaczynamy od tr´ojka

ta, w tym przy-

padku najmniejszym numerem wyrazu cia

gu jest liczba n

= 3 (zaczynamy wie

od a

). Rozwa˙zaja

c cia

gi postaci 1 +

x
n

zaczynamy od n

= 1 , czyli od a

Rozpatruja

c cia

g arytmetyczny, geometryczny oraz cia

g Fibonacciego rozpocze

li´smy

od n

= 0 . Oczywi´scie mo˙zna rozpoczyna´c numeracje

od dowolnej liczby ca lkowitej,

r´ownie˙z ujemnej. Terminy cia

g arytmetyczny, cia

g geometryczny u˙zywane be

nie

tylko w przypadku cia

g´ow rozpoczynaja

cych sie

od wyrazu a

, r´ownie˙z w tym przy-

padku n

mo˙ze by´c dowolna

liczba

ca lkowita

. Chodzi jedynie o to, by by ly prawdziwe

r´owno´sci a

= a

n−1

+ d lub — w przypadku cia

gu geometrycznego — a

= a

n−1

· q

dla wszystkich liczb ca lkowitych n ≥ n

. Zazwyczaj jednak numeracje

dziemy roz-

poczyna´c od 0 lub od 1 . Je´sli nie zaznaczymy tego wyra´znie, symbol n oznacza´c

dzie liczbe

ca lkowita

nieujemna

, czyli naturalna

Rozpatrywanie cia

g´ow niesko´

nczonych wymaga precyzji. Wiele os´ob nie mo˙ze

pogodzi´c sie

z tym, ˙ze 1 = 0, 9999 . . . = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + . . . , bo wy-

daje im sie

, ˙ze prawa strona jest mniejsza, cho´c wiedza

jaka mia laby r´o˙znica le-

wej i prawej strony. Om´owimy jeszcze jeden przyk lad, kt´ory w przekonaniu autora

tekstu wyra´znie sugeruje konieczno´s´c dok ladnego zdefiniowania poje

´c, kt´orymi sie

pos lugujemy i wyja´snienia, co wolno, a czego nie wolno robi´c. Rozwa˙zmy sume

s = 1 −

1
2

1
3

−

1
4

1
5

−

1
6

1
7

−

1
8

1
9

−

+ . . .

W sumie wyste

puje niesko´

nczenie wiele sk ladnik´ow. Jest jasne, ˙ze

s = 1−

1
2

1
3

−

1
4

1
5

−

1
6

1
7

−

1
8

1
9

−

+. . . = =(1−

1
2

)+(

1
3

−

1
4

)+(

1
5

−

1
6

)+(

1
7

−

1
8

)+(

1
9

−

)+(

−

)+(

−

)+(

−

)++(

−

. . . > 1 −

1
2

, bo r´o˙znice w nawiasach sa

dodatnie. Podobnie mo˙zna uzasadni´c, ˙ze

Cze,´s´c matematyk´ow uwa˙za, ˙ze liczby naturalne to 1 , 2 ,

. . .

Inni uwa˙zaja,, ˙ze zaczyna´c nale˙zy od 0 .

W momencie pisania tego tekstu autor przychyli l sie, do tej drugiej koncepcji: liczby naturalne s lu˙za,

przede wszystkim do ustalania liczby element´

ow danego zbioru sko´

nczonego, poniewa˙z rozwa˙zamy

niejednokrotnie zbi´

or pusty, wie,c liczbe, 0 uwa˙za´c be,dziemy za naturalna,.

Granica cia

Micha l Krych

s > (1−

1
2

)+(

1
3

−

1
4

) =: s

lub s > (1−

1
2

)+(

1
3

−

1
4

)+(

1
5

−

1
6

)+(

1
7

−

1
8

)+(

1
9

−

) =: s

Rozpatrywana

sume

mo˙zemy te˙z zapisa´c tak:

s = 1 −

1
2

1
3

−

1
4

1
5

−

1
6

1
7

−

1
8

1
9

−

+ . . . =

=1 + (−

1
2

1
3

) + (−

1
4

1
5

) + (−

1
6

1
7

) + (−

1
8

1
9

) + (−

) +

+(−

)+(−

)+. . . < 1 =: s

— ostatnia nier´owno´s´c wynika

z tego, ˙ze sumy we wszystkich nawiasach sa

ujemne. Podobnie jak poprzednio mo˙zemy

wykaza´c wie

cej: s = 1 + (−

1
2

1
3

) + (−

1
4

1
5

) + (−

1
6

1
7

) + (−

1
8

1
9

) + (−

) +

+(−

) + (−

) + . . . < 1 + (−

1
2

1
3

) =: s

Og´olnie, je´sli s

oznacza sume

pierwszych n sk ladnik´ow sumy niesko´

nczonej s ,

to dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c s

< s < s

2n+1

. Jasne jest

te˙z, ˙ze istnieje tylko jedna taka liczba σ , ˙ze s

< σ < s

2n+1

dla wszystkich liczb

naturalnych n . Poprzekszta lcamy jeszcze troche

s = 1 −

1
2

1
3

−

1
4

1
5

−

1
6

1
7

−

1
8

1
9

−

+ . . . =

=1 −

1
2

−

1
4

1
3

−

1
6

−

1
8

1
5

−

1
7

−

1
9

−

+ . . . =

1
2

−

1
4

1
6

−

1
8

−

+ . . . =

1
2

1 −

1
2

1
3

−

1
4

1
5

−

1
6

1
7

−

1
8

1
9

−

+ . . .

1
2

s — zmienili´smy kolejno´s´c

sk ladnik´ow nie pozbywaja

c ani jednego, pogrupowali´smy i w ko´

ncu, po wy la

czeniu

1
2

przed nawias, doprowadzili´smy do r´owno´sci s =

1
2

s , kt´ora mia laby zachodzi´c

pomimo tego, ˙ze

1
2

< s < 1 . Wida´c wie

c, ˙ze je´sli chcemy operowa´c sumami nie-

sko´

nczenie wielu sk ladnik´ow, to musimy zdefiniowa´c dok ladnie poje

cia, np. sumy

niesko´

nczonej, a potem sformu lowa´c i udowodni´c odpowiednie twierdzenia pozwa-

laja

ce na przekszta lcanie sum niesko´

nczonych.

Kluczowym poje

ciem jest granica cia

gu – poje

cia zasygnalizowanego przy okazji

omawiania paradoksu Zenona. Warto stwierdzi´c od razu, ˙ze w definicji pojawi sie

zdanie wielokrotnie z lo˙zone, a takie zdania osobom, kt´ore ich na co dzie´

n nie u˙zywaja

moga

sprawia´c k lopoty. Zreszta

ludzie przez d lugi czas m´owili o granicach nie podaja

precyzyjnej definicji, co prowadzi lo do r´o˙znych nieporozumie´

n, ale poda´c definicje

u˙zyteczna

i jednocze´snie ´scis la

, nie by lo latwo.

Definicja 4.2 (granicy cia

gu)

a. Liczba g nazywana jest granica

cia

gu (a

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnej liczby dodatniej ε > 0 istnieje liczba ca lkowita n

, taka ˙ze je´sli

n > n

, to |a

− g| < ε .

b. +∞ (czytaj: plus niesko´

nczono´s´c) jest granica

cia

gu (a

) wtedy i tylko

wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

taka, ˙ze je´sli n > n

, to a

> M.

Granica cia

Micha l Krych

c. −∞ (czytaj: minus niesko´

nczono´s´c) jest granica

cia

gu (a

) wtedy i tylko

wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

taka, ˙ze je´sli n > n

, to a

< M.

d. Je´sli g jest granica

cia

gu (a

) , sko´

nczona

lub nie, to piszemy g = lim

n→∞

lub

−−−−−→

n→∞

g . Mo˙zna te˙z pisa´c a

→ g , gdy n → ∞ lub kr´otko

→ g . M´owimy, ˙ze cia

g jest zbie˙zny, je´sli jego granica jest sko´

nczona.

Skomentujemy po pierwsze cze

´s´c a. Chodzi tam o to, ˙ze wyrazy cia

gu, kt´orych

numery sa

dostatecznie du˙ze ( n > n

) przybli˙zaja

granice

g z dopuszczalna

dok-

ladno´scia

( |a

− g| < ε ). Stwierdzimy tu wyra´znie, ˙ze przej´scie do naste

pnego

wyrazu nie musi zwie

kszy´c dok ladno´sci przybli˙zenia, przeciwnie chwilowo mo˙ze sie

ta dok ladno´s´c zmniejszy´c, dopiero dostatecznie du˙zy wzrost numeru wyrazu musi

zwie

kszy´c dok ladno´s´c przybli˙zenia (je´sli cia

g jest sta ly, np. a

= 33 dla ka˙zdej

liczby naturalnej n , to b la

d jest zerowy zawsze, niezale˙znie od numeru wyrazu, wie

dok ladno´s´c nie mo˙ze by´c poprawiona). O liczbie ε my´sle´c nale˙zy jako o ma lej liczbie

dodatniej (chodzi o to, ˙ze je´sli dla ma lego ε umiemy wskaza´c moment, od kt´orego

b la

d jest mniejszy ni˙z ε , to od tego momentu nier´owno´s´c jest r´ownie˙z spe lniona

z wie

kszym ε ). Pamie

tajmy r´ownie˙z o tym, ˙ze liczba |x − y| mo˙ze by´c traktowana

jako odleg lo´s´c dw´och punkt´ow prostej. Wobec tego nier´owno´s´c |a

− g| < ε oznacza,

˙ze punkt a

znajduje sie

w przedziale o d lugo´sci 2ε i ´srodku g . W szczeg´olno´sci cia

kt´orego wszystkie wyrazy sa

takie same (lub nawet nie wszystkie, tylko wszystkie od

pewnego momentu, tj. dla dostatecznie du˙zych n sa

identyczne), jest zbie˙zny, przy

czym granica

takiego cia

gu jest wsp´olna warto´s´c jego wyraz´ow.

Cze

sto zamiast m´owi´c istnieje n

, takie ˙ze dla n > n

zachodzi . . . be

dziemy

m´owi´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi . . . lub ˙ze dla prawie wszystkich n za-

chodzi . . . . Tak wie

c dla prawie wszystkich n . . . oznacza dla wszystkich , z wyja

tkiem

sko´

nczenie wielu n . . . .

Podobnie mo˙zna interpretowa´c cze

´s´c b definicji granicy. Tym razem wyraz cia

gu,

kt´orego numer jest dostatecznie du˙zy ( n > n

) powinien by´c blisko plus nie-

sko´

nczono´sci, wie

c ma by´c du˙za

liczba

dodatnia

( a

> M ). Interpretacje

cze

´sci

c pozostawiamy czytelnikom – jest ona w pe lni analogiczna do cze

´sci b. Niekt´orzy

autorzy u˙zywaja

terminu „cia

g jest rozbie˙zny do +∞ ”, a inni m´owia

, ˙ze „cia

g jest

zbie˙zny do +∞ ”. My be

dziemy stosowa´c raczej pierwsza

terminologie

Przyk lad 4.1

0 = lim

n→∞

. Aby przekona´c sie

o prawdziwo´sci tej tezy wystarczy

przyja

´c, ˙ze n

jest dowolna

liczba

ca lkowita

wie

ksza

ni˙z

1
ε

. Mo˙zna wie

c przyja

´c np.

= 2 , n

1/2

= 3 , n

0,41

= 3 , ale mo˙zna te˙z powie

kszy´c niekt´ore z tych liczb lub

Granica cia

Micha l Krych

nawet wszystkie i przyja

´c n

= 10 , n

1/2

= 207 , n

0,41

= 3 . Mamy wie

c mo˙zliwo´s´c

wyboru: liczbe

mo˙zna zawsze zasta

pi´c wie

ksza

Przyk lad 4.2

1
2

= lim

n→∞

2n+3
4n−1

. Wyka˙zemy, ˙ze wz´or ten jest prawdziwy. Bez trudu

stwierdzamy, ˙ze nier´owno´s´c

1
2

−

2n+3
4n−1

−7

2(4n−1)

≤

zachodzi dla dowolnej

liczby ca lkowitej n ≥ 1 . Wystarczy wie

c, by n

6ε

. To zdanie oznacza , ˙ze dla

tak dobranego n

i n > n

prawdziwa jest nier´owno´s´c

1
2

−

2n+3
4n−1

< ε — nie zna-

czy to jednak, ˙ze tylko dla tych liczb ca lkowitych n nier´owno´s´c ta ma miejsce! Nie

musieli´smy rozwia

zywa´c nier´owno´sci, cho´c w tym przypadku by lo to mo˙zliwe — wy-

starczy lo udowodni´c, ˙ze nier´owno´s´c ma miejsce dla wszystkich dostatecznie du˙zych

liczb naturalnych n .

Przyk lad 4.3

Je´sli d > 0 , to +∞ = lim

n→∞

+ nd) . Postaramy sie

wykaza´c,

˙ze r´owno´s´c ta ma miejsce. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

, n

M −a

n > n

, to n >

M −a

, zatem a

= a

+nd > M , co dowodzi prawdziwo´sci r´owno´sci,

kt´ora

dowodzimy.

Wyka˙zemy teraz bardzo u˙zyteczna

nier´owno´s´c.

Twierdzenie 4.3 (Nier´

owno´s´

c Bernoulli’ego)

Za l´o˙zmy, ˙ze n jest liczba

ca lkowita

dodatnia

za´s a > −1 liczba

rzeczywista

. Wtedy

(1 + a)

≥ 1 + na

przy czym r´owno´s´c ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy n = 1 .

Dow´

od. Je´sli n = 1 , to oczywi´scie niezale˙znie od wyboru liczby a ma miejsce

r´owno´s´c. Poniewa˙z (1 + a)

= 1 + 2a + a

≥ 1 + 2a , przy czym r´owno´s´c ma miejsce

wtedy i tylko wtedy, gdy a=0, wie

c teza zachodzi dla n = 2 i wszystkich liczb

rzeczywistych a (nie tylko a > −1 ). Otrzymana

nier´owno´s´c (1 + a)

≥ 1 + 2a

mo˙zemy pomno˙zy´c stronami przez liczbe

dodatnia

(1+a) – tu korzystamy z za lo˙zenia

a > −1 . W wyniku otrzymujemy (1 + a)

≥ (1 + 2a)(1 + a) = 1 + 3a + 2a

≥ 1 + 3a .

Tak˙ze w tym przypadku jest widoczne, ˙ze dla a 6= 0 otrzymujemy nier´owno´s´c ostra

Z tej nier´owno´sci w taki sam spos´ob jak poprzednio wynika, ˙ze

(1 + a)

≥ (1 + 3a)(1 + a) ≥ 1 + 4a + 3a

≥ 1 + 4a .

Teraz w ten sam spos´ob wnioskujemy prawdziwo´s´c twierdzenia dla n = 5 i wszystkich

a > −1 , potem dla n = 6 itd. Og´olnie je´sli (1 + a)

≥ 1 + na dla wszystkich liczb

a > −1 przy ustalonej liczbie naturalnej n , to

(1 + a)

n+1

≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na

≥ 1 + (n + 1)a

Granica cia

Micha l Krych

i zn´ow bez trudu stwierdzamy, ˙ze r´owno´s´c ma miejsce jedynie dla a = 0 . Oczywi´scie

jest to latwe rozumowanie indukcyjne, nazwy nie u˙zyto wcze´sniej, by nie odstrasza´c

tych, kt´orzy jeszcze boja

sie

indukcji.

Twierdzenie 4.4 (Granica cia

gu geometrycznego)

Niech a

= q

. Cia

g ten ma granice

0 , je´sli |q| < 1 , ma granice

1 , je´sli q = 1 , ma

granice

+∞ , je´sli q > 1 . Je´sli q ≤ −1 , to cia

g granicy nie ma.

Dow´

od. W przypadku q = 0 oraz q = 1 teza jest oczywista, bo cia

g jest sta ly

(jego wyrazy nie zale˙za

od numeru). Za l´o˙zmy teraz, ˙ze 0 < |q| < 1 . Niech ε > 0

dzie liczba

rzeczywista

. Je´sli n

−1

|q|

−1

jest liczba

ca lkowita

i n > n

, to

♣

|q|

1 +

|q|

− 1

≥ 1 + n

|q|

− 1

> 1 +

1
ε

− 1 =

1
ε

Z otrzymanej nier´owno´sci wynika, ˙ze dla n > n

zachodzi

|q|

1
ε

, czyli |q

| < ε ,

a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

= 0 .

Kolejny przypadek to q > 1 . Mamy teraz q

= (1 + (q − 1))

≥ 1 + n(q − 1) .

Wobec tego, je´sli n > n

i n

M −1

q−1

, to q

> 1 + (M − 1) = M . Jasne jest wie

˙ze lim

n→∞

= +∞ .

Pozosta l przypadek ostatni: q ≤ −1 . W tym przypadku mamy q

≤ −1 dla

ka˙zdej liczby ca lkowitej nieparzystej n oraz q

≥ 1 dla ka˙zdej liczby ca lkowitej pa-

rzystej n . Gdyby istnia la sko´

nczona granica g , to wyrazy cia

gu o dostatecznie du˙zych

numerach le˙za lyby w odleg lo´sci mniejszej ni˙z 1 od granicy g — to natychmiastowa

konsekwencja istnienia granicy sko´

nczonej. Je´sli jednak odleg lo´sci q

i q

n+1

od gra-

nicy g sa

mniejsze od 1 , to odleg lo´s´c mie

dzy nimi jest mniejsza ni˙z 1 + 1 = 2 , co

oznacza, ˙ze |q

− q

n+1

| < 2 . To jednak nie jest mo˙zliwe, bowiem jedna z liczb q

n+1

jest mniejsza lub r´owna −1 , a druga wie

ksza lub r´owna 1 . Sta

d za´s wynika,

˙ze odleg lo´s´c mie

dzy q

i q

n+1

nie jest mniejsza ni˙z 1 − (−1) = 2 *. Otrzymali´smy

sprzeczno´s´c, wie

c cia

g granicy sko´

nczonej nie ma. +∞ granica

tego cia

gu te˙z nie jest,

bowiem wtedy wyrazy cia

gu o dostatecznie du˙zych numerach musia lyby by´c wie

ksze

od 0 (przyjmujemy M = 0 ), a tak nie jest, bo te, kt´orych numery sa

nieparzyste,

ujemne. Analogicznie −∞ nie jest granica

tego cia

gu, bo wyrazy o numerach

parzystych sa

dodatnie, co wyklucza to, ˙ze wyrazy o dostatecznie du˙zych numerach

ujemne (i w tym przypadku przyjmujemy M = 0 ).

Wykazali´smy wie

c, ˙ze cia

g nie ma ani granicy sko´

nczonej ani niesko´

nczonej, co

♣

Nie u˙zywamy tu logarytmu, bo chcemy pokaza´

c, ˙ze konkretne oszacowania mo˙zna uzyska´

c bardzo

elementarnie. Gdyby´smy jednak zechcieli go u˙zy´

c, to mogliby´smy napisa´

c n

>(log

ε)/(log

|q|) ,

przyp. log

|q|<0 .

Mo˙zna to rozumowanie zapisa´

c wzorami: 2≤|q

−q

n+1

|≤|q

−g|+|g−q

n+1

|<1+1=2 dla dostatecznie

du˙zych n .

Granica cia

Micha l Krych

ko´

nczy badanie granicy cia

gu geometrycznego.

Cia

gi monotoniczne i ´sci´sle monotoniczne, cia

gi ograniczone

Definicja 4.5 (cia

g´

ow monotonicznych)

Cia

g (a

) nazywamy niemaleja

cym (rosna

cym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ka˙zdego numeru n zachodzi nier´owno´s´c a

≤ a

n+1

( a

< a

n+1

). Podobnie cia

g nie-

rosna

cy (maleja

cy) to taki, ˙ze dla ka˙zdego numeru n zachodzi nier´owno´s´c a

≥ a

n+1

( a

> a

n+1

). Cia

gi niemaleja

ce i nierosna

ce maja

wsp´olna

nazwe

: cia

gi monoto-

niczne. Cia

gi rosna

ce i maleja

ce nazywamy cia

gami ´sci´sle monotonicznymi.

W niekt´orych podre

cznikach stosowana jest nieco inna terminologia: cia

gi niema-

leja

ce zwane sa

tam rosna

cymi, a rosna

ce – ´sci´sle rosna

cymi. Jest oczywi´scie oboje

tne,

kt´ora z dwu koncepcji jest stosowana, je´sli tylko jest to robione konsekwentnie. Mo˙zna

te˙z, dla uniknie

cia nieporozumie´

n, m´owi´c o cia

gach niemaleja

cych i ´sci´sle rosna

cych.

Cia

g geometryczny zaczynaja

cy sie

od wyrazu a

= q jest monotoniczny w

przypadku q ≥ 0 : dla q = 0 oraz dla q = 1 cia

g geometryczny jest sta ly, wie

niemaleja

cy i jednocze´snie nierosna

cy. W przypadku 0 < q < 1 jest on maleja

cy,

dla q > 1 jest on rosna

cy. Cia

g arytmetyczny jest rosna

cy, gdy jego r´o˙znica d jest

dodatnia, maleja

cy – gdy d < 0 , sta ly (wie

c jednocze´snie niemaleja

cy i nierosna

cy),

gdy d = 0 .

Definicja 4.6 (cia

g´

ow ograniczonych)

Cia

g (a

) nazywany jest ograniczonym z g´ory wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

liczba rzeczywista M , taka ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c:

≤ M . Analogicznie (a

) jest ograniczony z do lu wtedy i tylko wtedy, gdy ist-

nieje liczba rzeczywista m taka, ˙ze dla ka˙zdego n zachodzi nier´owno´s´c a

≥ m .

Cia

g ograniczony z g´ory i z do lu nazywamy ograniczonym. Cia

giem nieograniczonym

nazywamy ka˙zdy cia

g, kt´ory nie jest ograniczony.

Cia

g (n) jest ograniczony z do lu np. przez −13 lub 0 , ale nie jest ograniczony

z g´ory, wie

c jest nieograniczony. Cia

g (−1)

jest ograniczony z g´ory np. przez 1 lub

przez

√

1000 oraz z do lu, np przez −1 , ale r´ownie˙z przez −13 .

Cia

g (a

) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba nieujemna

M , taka ˙ze |a

| ≤ M dla ka˙zdego n . Jest oczywisty wniosek z definicji cia

gu ogra-

niczonego: M musi by´c tak du˙ze, by liczba −M by la ograniczeniem dolnym cia

) i jednocze´snie liczba M by la jego ograniczeniem, g´ornym.

Przyk lad 4.4

Cia

g (1 +

x
n

)

Wypiszmy przybli˙zenia dziesie

ciu pierwszych wyraz´ow cia

Granica cia

Micha l Krych

w przypadku x = 1 :

oraz w przypadku x = −4 :

1 +

1
1

= 2

1 +

−4

= −3

1 +

1
2

9
4

= 2, 25

1 +

−4

= 1

1 +

1
3

64
27

≈ 2, 37

1 +

−4

−1

≈ −0, 37

1 +

1
4

625
256

≈ 2, 44

1 +

−4

= 0

1 +

1
5

7776
3125

≈ 2, 49

1 +

−4

3125

≈ 0, 00032

1 +

1
6

117649

46656

≈ 2, 52

1 +

−4

729

≈ 0, 0014

1 +

1
7

2097152

823543

≈ 2, 55

1 +

−4

2187

823543

≈ 0, 0027

1 +

1
8

43046721
16777216

≈ 2, 56

1 +

−4

256

≈ 0, 0039

1 +

1
9

1000000000

387420489

≈ 2, 58

1 +

−4

1953125

387420489

≈ 0, 0050

1 +

25937424601
10000000000

≈ 2, 59

1 +

−4

59049

9765625

≈ 0, 0060

Latwo mo˙zna przekona´c sie

, ˙ze cia

g o wyrazie a

= (1 +

x
n

)

nie jest ani geo-

metryczny , ani arytmetyczny z wyja

tkiem jednego przypadku: x = 0 .

Wyka˙zemy, ˙ze je´sli n > −x 6= 0 , to a

n+1

> a

, czyli ˙ze cia

g ten jest

rosna

cy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest rosna

cy. Gdy x < 0 ,

to mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze pocza

tkowe wyrazy zmieniaja

znak, wie

c o monotoniczno´sci

nie mo˙ze by´c nawet mowy. Je´sli jednak wszystkie wyrazy cia

gu sa

dodatnie, to jest

niemaleja

cy. Wyka˙zemy to. Z nier´owno´sci n > −x wynika od razu nier´owno´s´c n+1 >

−x . Z pierwszej z nich wnioskujemy, ˙ze 1 +

x
n

> 0 , z drugiej — ˙ze 1 +

n+1

> 0 .

Nier´owno´s´c a

< a

n+1

r´ownowa˙zna jest nier´owno´sci

1 +

x
n

1 +

n+1

a ta — dzie

ki temu, ˙ze 1 +

x
n

> 0 — nier´owno´sci

n+1

(

)

n+x

Skorzystamy teraz z nier´owno´sci Bernoulli’ego, by udowodni´c, ˙ze ostatnia nier´owno´s´c

ma miejsce dla n > −x . Mamy

n+1

1 −

(n+x)(n+1)

n+1

≥ 1 − (n + 1)

(n+x)(n+1)

= 1 −

n+x

Dla jasno´sci nale˙zy jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze liczba

−x

(n+x)(n+1)

, pe lnia

ca role

a w nier´ow-

no´sci Bernoulli’ego, jest wie

ksza od −1 — jest to oczywiste w przypadku x ≤ 0 , bo

w tym przypadku jest ona nieujemna, za´s dla x > 0 jej warto´s´c bezwzgle

dna, czyli

(n+x)(n+1)

jest mniejsza od

n+1

< 1 . Wykazali´smy wie

c, ˙ze od momentu, w kt´orym

wyra˙zenie (1 +

x
n

) staje sie

dodatnie, cia

g zaczyna rosna

´c (gdy x = 0 jest sta ly).

Dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli x > 0 , to wyrazy cia

gu sa

dodatnie, je´sli za´s x < 0 , to sa

one dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzystego, o ile n > −x .

Pozostaje pytanie: czy w przypadku x > 0 wzrost wyrazu cia

gu (1 +

x
n

)

jest

nieograniczony, czy te˙z dla ustalonego x znale´z´c mo˙zna liczbe

wie

ksza

od wszyst-

Granica cia

Micha l Krych

kich wyraz´ow tego cia

gu. Wyka˙zemy, ˙ze cia

(1 +

x
n

)

jest ograniczony z g´ory

dla dowolnej liczby rzeczywistej x . Dla ujemnych x tak jest, bo od pewnego miej-

sca, jak to stwierdzili´smy wcze´sniej, wyrazy cia

gu sa

dodatnie i mniejsze od 1 . Je´sli

n > x > 0 , to 1 +

x
n

1−

(

1−

)

(

1−

)

. Wyra˙zenie

(

1−

)

maleje wraz

ze wzrostem n (gdy rozpatrujemy n > x ), bo licznik nie zmienia sie

, a mianow-

nik — jak to wykazali´smy wcze´sniej — ro´snie. Wynika sta

d, ˙ze je´sli n(x) jest naj-

mniejsza

liczba

ca lkowita

wie

ksza

od x , to wszystkie wyrazy cia

gu sa

mniejsze ni˙z

1−

n(x)

n(x)−x

n(x)

Np. n(1) = 2 , zatem wszystkie wyrazy cia

gu 1 +

mniejsze ni˙z

2−1

= 4 .

W przypadku x = −4 wszystkie wyrazy cia

gu pocza

wszy od pia

tego sa

dodatnie i

mniejsze od 1, rozwa˙zywszy cztery pierwsze przekonujemy sie

o tym, ˙ze najwie

kszym

wyrazem cia

gu jest wyraz drugi, r´owny 1 , a najmniejszym — pierwszy, r´owny −3 .

W istocie rzeczy z tego, co zosta lo napisane wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej

k ≥ n(x) liczba

(

1−

)

k−x

jest ograniczeniem g´ornym cia

gu 1 +

x
n

—

zache

camy do samodzielnego uzasadnienia tego prostego stwierdzenia.

Wyka˙zemy teraz naste

pujace

Twierdzenie 4.7 (o istnieniu granicy cia

gu monotonicznego)

Ka˙zdy cia

g monotoniczny ma granice

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze cia

g (a

) jest niemaleja

cy, tzn. dla ka˙zdego n zachodzi

nier´owno´s´c a

≤ a

n+1

. Je´sli cia

g nie jest ograniczony z g´ory, to dla ka˙zdej liczby rze-

czywistej M istnieje liczba naturalna n

taka, ˙ze a

≥ M . Wtedy dla ka˙zdej

liczby naturalnej n ≥ n

zachodzi nier´owno´s´c a

≥ a

≥ M . Wobec tego

lim

n→∞

= +∞ . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia

g (a

) jest ograniczony z g´ory przez liczbe

. Dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 0 mamy wie

c a

≤ a

≤ b

. Je´sli w prze-

dziale

, b

, znajduja

sie

jakiekolwiek wyrazy cia

gu (a

) , to przyjmujemy

i b

= b

. Je´sli w przedziale

, b

wyraz´ow cia

gu (a

) nie ma,

to przyjmujemy c

= a

i b

. W obu przypadkach otrzymujemy prze-

dzia l [c

, b

] ⊆ [a

, b

] dwa razy kr´otszy od przedzia lu [a

, b

] zawieraja

cy prawie

wszystkie wyrazy cia

gu (a

) . W taki sam spos´ob otrzymujemy przedzia l [c

, b

] ⊆

, b

] dwa razy kr´otszy od przedzia lu [c

, b

] , czyli cztery razy kr´otszy od prze-

dzia lu [a

, b

] zawieraja

cy prawie wszystkie wyrazy cia

gu (a

) . Powtarzaja

c te

kon-

strukcje

wielokrotnie okre´slamy zste

puja

cy cia

g przedzia l´ow domknie

tych [c

, b

]

taki, ˙ze ka˙zdy przedzia l [c

, b

] jest dwa razy kr´otszy od swego poprzednika (i

Granica cia

Micha l Krych

jest w nim zawarty). Niech g be

dzie punktem wsp´olnym wszystkich przedzia l´ow

, b

] , n = 1, 2, . . . . Jasne jest, ˙ze ta cze

´s´c wsp´olna sk lada sie

z tylko jednej liczby

(je´sli g

6= g

, to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c

− g

| >

−a

= b

− c

). Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

= g . Niech ε > 0 . Istnieje

liczba naturalna m taka, ˙ze b

− c

< ε . Niech a

∈ [c

, b

] . Wtedy r´ownie˙z

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . ∈ [c

, b

] i oczywi´scie g ∈ [c

, b

] . Ka˙zde dwa punkty prze-

dzia lu [c

, b

] sa

odleg le o nie wie

cej ni˙z b

− c

< ε , w szczeg´olno´sci odleg lo´s´c

g od ka˙zdego z punkt´ow a

, a

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . jest mniejsza ni˙z ε . Oznacza to,

˙ze lim

n→∞

= g . Je´sli cia

g (a

) jest nierosna

cy, to mo˙zna ju˙z udowodniona

cze

´s´c

twierdzenia zastosowa´c do cia

gu (−a

) , kt´ory jest niemaleja

cy. Ma on zatem jaka

´s

granice

g . Bez trudu wykazujemy, ˙ze lim

n→∞

= −g .

Ten dow´od zosta l zamieszczony po to, by studenci mogli zrozumie´c, jak mo˙zna

przeprowadza´c rozumowania matematyczne. Nie nale˙zy uczy´c sie

go na pamie

´c, warto

go jednak go przemy´sle´c.

Zauwa˙zmy jedynie, ˙ze gdyby´smy ograniczyli sie

do liczb wymiernych, tj. u lamk´ow

o ca lkowitych licznikach i mianownikach, to twierdzenie nie by loby prawdziwe — ist-

nieja

bowiem cia

gi liczb wymiernych, kt´orych granice sa

niewymierne. Twierdzenie

to podaje wie

c istotna

informacje

o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Chodzi

o to mianowicie, ˙ze nie ma w nim dziur, geometrycznie jest to ca la prosta. Wypro-

wadzili´smy to twierdzenie z lematu o przedzia lach zste

puja

cych, bo by l on jedynym

do tej pory twierdzeniem m´owia

cym w istocie rzeczy, ˙ze „mie

dzy” liczbami rzeczy-

wistymi ˙zadnych luk nie ma w odr´o˙znieniu od dziurawego zbioru liczb wymiernych.

Mie

dzy ka˙zdymi dwiema r´o˙znymi liczbami wymiernymi c i d znajduje sie

liczba

niewymierna, np. c +

d−c

√

— jej niewymierno´s´c wynika latwo z tego, ˙ze

√

2 > 1 jest

liczba

niewymierna

, za´s c 6= d sa

wymierne. Jest te˙z jasne, ˙ze le˙zy ona mie

dzy c

i d — od punktu c przesuwamy sie

w kierunku punktu d o wektor

d−c

√

, kt´orego

d lugo´s´c jest mniejsza ni˙z odleg lo´s´c |c − d| punkt´ow c i d .

Z twierdzenia tego wynika np. od razu, ˙ze cia

g geometryczny, kt´orego zbie˙zno´s´c

zbadali´smy wcze´sniej ma granice

w przypadku q ≥ 0 . Nie wynika natomiast istnienie

tej granicy w przypadku q < 0 , bo w przypadku ujemnego ilorazu cia

g geometryczny

nie jest monotoniczny. Z tego twierdzenia wynika r´ownie˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby rze-

czywistej x cia

(1 +

x
n

)

ma granice

— nie zawsze jest on monotoniczny, ale

zawsze jest monotoniczny od pewnego momentu, co w oczywisty spos´ob r´ownie˙z wy-

starcza, bowiem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´ow cia

gu nie ma wp lywu na istnienie

lub warto´s´c granicy, bowiem w definicji granicy mowa jest jedynie o wyrazach cia

gu,

Granica cia

Micha l Krych

kt´orych numery sa

dostatecznie du˙ze, zatem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´ow cia

mo˙ze jedynie mie´c wp lyw na znaczenie s l´ow dostatecznie du˙ze.

Oznaczenie 4.8 (wa˙znej granicy)

exp(x) oznacza´c be

dzie w dalszym cia

gu granice

cia

gu (1 +

x
n

)

, tzn.

exp(x) = lim

n→∞

1 +

x
n

Wobec tego symbol exp oznacza funkcje

, kt´ora jest okre´slona na zbiorze wszystkich

liczb rzeczywistych, jej warto´scia

w punkcie x jest liczba dodatnia lim

n→∞

1 +

x
n

Obliczanie granic i stwierdzanie zbie˙zno´sci cia

Sformu lujemy teraz kilka twierdze´

n, kt´ore u latwiaja

obliczanie granic, ich sza-

cowanie lub stwierdzanie ich istnienia. Potem poka˙zemy jak mo˙zna je stosowa´c. W

ko´

ncu udowodnimy cze

´s´c z nich, tak by wyja´sni´c mechanizm dowodzenia. Najpierw

zdefiniujemy niekt´ore dzia lania z u˙zyciem symboli ±∞ . Przypominamy, ˙ze nie sa

liczby rzeczywiste, lecz nowe obiekty.

Definicja 4.9 (dzia la´

n z u˙zyciem ±∞ )

−(+∞) = −∞ , +(+∞) = +∞ , −(−∞) = +∞ , +(−∞) = −∞ .

+∞ ± a = ±a + (+∞) = +∞

−∞ ± a = ±a + (−∞) = −∞ dla ka˙zdej liczby

rzeczywistej a.

+∞+(+∞) = +∞ , −∞+(−∞) = −∞ , +∞−(−∞) = +∞ , −∞−(+∞) = −∞ .

+∞ · a = +∞ i −∞ · a = −∞ dla ka˙zdego a > 0 .

(+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞ .

+∞ · a = −∞ i −∞ · a = +∞ dla ka˙zdego a < 0 .

±∞

= 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a.

±∞

= ±∞ ·

1
a

dla dowolnej liczby a 6= 0 .

+∞

= +∞ , a

−∞

= 0 dla dowolnej liczby a > 1 .

+∞

= 0 i a

−∞

= +∞ dla dowolnej liczby 0 < a < 1 .

−∞ < a < +∞ dla dowolnej liczby rzeczywistej a .

−∞ < +∞ .

ln(+∞) = +∞ , ln 0 = −∞ .

Twierdzenie 4.10 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

, lim

n→∞

i okre´slona jest ich suma, to istnieje

granica lim

n→∞

) i zachodzi wz´or: lim

n→∞

) = lim

n→∞

+ lim

n→∞

A2. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

, lim

n→∞

i okre´slona jest ich r´o˙znica, to ist-

nieje granica lim

n→∞

−b

) i zachodzi: lim

n→∞

−b

) = lim

n→∞

− lim

n→∞

Granica cia

Micha l Krych

A3. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

, lim

n→∞

i okre´slony jest ich iloczyn, to ist-

nieje granica lim

n→∞

· b

) i zachodzi: lim

n→∞

· b

) = lim

n→∞

· lim

n→∞

A4. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

, lim

n→∞

i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje

granica lim

n→∞

i zachodzi wz´or lim

n→∞

lim

n→∞

lim

n→∞

. ×

Zanim udowodnimy to twierdzenie, sformu lujemy naste

pne.

Twierdzenie 4.11 (o szacowaniu)

N1. Je´sli C < lim

n→∞

, to dla dostatecznie du˙zych numer´ow n zachodzi nie-

r´owno´s´c C < a

N2. Je´sli C > lim

n→∞

, to dla dostatecznie du˙zych numer´ow n zachodzi nie-

r´owno´s´c C > a

N3. Je´sli lim

n→∞

< lim

n→∞

, to dla dostatecznie du˙zych numer´ow n zachodzi

nier´owno´s´c b

< a

N4. Je´sli b

≤ a

dla dostatecznie du˙zych numer´ow n , to zachodzi nier´owno´s´c

lim

n→∞

≤ lim

n→∞

. ×

Wniosek 4.12 (z twierdzenia o szacowaniu — jednoznaczno´s´

c granicy)

Cia

g ma co najwy˙zej jedna

granice

Dow´

od. Gdyby mia l dwie np. g

< g

, to wybra´c mogliby´smy liczbe

C le˙za

mie

dzy g

i g

: g

< C < g

. Wtedy dla dostatecznie du˙zych n by loby jednocze´snie

< C (zob. N2) oraz a

> C (zob. N1), co oczywi´scie nie jest mo˙zliwe.

Wniosek 4.13 (

z tw. o szacowaniu — ograniczono´

s´

c cia

gu o granicy sko´

nczonej)

Je´sli granica lim

n→∞

jest sko´

nczona, to istnieja

liczby rzeczywiste C, D takie, ˙ze dla

wszystkich n zachodzi nier´owno´s´c C < a

< D , czyli cia

g (a

) jest ograniczony

z do lu liczba

C za´s z g´ory liczba

D . ×

Twierdzenie 4.14 (o trzech cia

gach)

Je´sli a

≤ b

≤ c

dla dostatecznie du˙zych n i cia

gi (a

) oraz (c

) maja

r´owne

granice, to cia

g (b

) te˙z ma granice

i zachodzi wz´or

lim

n→∞

= lim

n→∞

= lim

n→∞

. ×

Definicja 4.15 (podcia

gu)

Je´sli (n

) jest ´sci´sle rosna

cym cia

giem liczb naturalnych, to cia

g (a

) nazywany

jest podcia

giem cia

gu (a

) .

Granica cia

Micha l Krych

Na przyk lad cia

g a

, a

, . . . , czyli cia

g (a

) jest podcia

giem cia

gu (a

)

— w tym przypadku n

= 2k . Cia

g a

, a

, . . . jest podcia

giem cia

) — w tym przypadku n

jest k –ta

liczba

pierwsza

. Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c,

ale zapewne starczy powiedzie´c, ˙ze chodzi o wybranie niesko´

nczenie wielu wyraz´ow

wyj´sciowego cia

gu bez zmiany kolejno´sci w jakiej wyste

powa ly.

Jest jasne, ˙ze je´sli g jest granica

cia

gu, to jest r´ownie˙z granica

ka˙zdego jego

podcia

gu, wynika to od razu z definicji granicy i definicji podcia

gu. Latwe w dowodzie

jest te˙z twierdzenie pozwalaja

ce na zbadanie sko´

nczenie wielu podcia

g´ow danego

cia

gu, w la´sciwie wybranych, i wnioskowanie istnienia granicy z istnienia wsp´olnej

granicy wybranych podcia

g´ow.

Twierdzenie 4.16 (o scalaniu) *

Za l´o˙zmy, ˙ze z cia

gu (a

) mo˙zna wybra´c dwa podcia

gi (a

) i (a

) zbie˙zne do

tej samej granicy g , przy czym ka˙zdy wyraz cia

gu (a

) jest wyrazem co najmniej

jednego z tych podcia

g´ow, tzn. dla ka˙zdego n istnieje m , takie ˙ze n = k

lub

n = l

. Wtedy ta wsp´olna granica obu tych podcia

g´ow jest granica

cia

gu (a

) :

lim

n→∞

= g . ×

Sformu lujemy teraz bardzo wa˙zne twierdzenie, kt´ore be

dzie wielokrotnie stoso-

wane w dowodach.

Twierdzenie 4.17 (Bolzano – Weierstrassa)

Z ka˙zdego cia

gu mo˙zna wybra´c podcia

g, kt´ory ma granice

(sko´

nczona

lub nie). ×

Wniosek 4.18 (z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa)

Cia

g ma granice

wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego podcia

g´ow,

kt´ore maja

granice, sa

r´owne. ×

Naste

pne twierdzenie, w zasadzie ju˙z cze

´sciowo udowodnione, wykaza l A.Cauchy,

jeden z tw´orc´ow analizy matematycznej. ×

Twierdzenie 4.19 (Cauchy’ego) Cia

g (a

) ma granice

sko´

nczona

wtedy i tylko

wtedy, gdy spe lniony jest naste

puja

cy warunek Cauchy’ego:

(wC)

dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba naturalna n

˙ze je´sli k, l > n

, to |a

− a

| < ε . ×

Twierdzenie to, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy cia

gu monotonicz-

nego, pozwala czasem stwierdzi´c istnienie granicy bez ustalania jej warto´sci, co jest

bardzo wa˙zne w licznych przypadkach. Pozwala ono te˙z wykazywa´c nieistnienie gra-

nic — w istocie rzeczy wykazuja

c, ˙ze cia

g geometryczny o ilorazie q ≤ −1 nie ma

Ta nazwa to pomys l autora, kt´

ory ma nadzieje,, ˙ze nie jest to ca lkiem g lupi termin.

Granica cia

Micha l Krych

granicy, wykazywali´smy, ˙ze nie spe lnia on warunku Cauchy’ego, role

ε pe lni la tam

liczba 2 .

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna stosowa´c twierdzenia, kt´ore sformu lowali´smy wcze´s-

niej. Przyk lady 4.8 — 4.13 sa

wa˙zne, wyniki tam opisane be

p´o´zniej wykorzysty-

wane.

Przyk lad 4.5

Rozpoczniemy od przyk ladu ju˙z om´owionego, ale teraz cia

g zba-

damy inaczej. Zajmiemy sie

mianowicie cia

giem

2n+3
4n−1

. Udowodnili´smy poprzed-

nio, ˙ze granica

cia

gu jest liczba

1
2

nie wyja´sniaja

c, ska

d wiedzieli´smy, ˙ze akurat ta

liczba ma by´c granica

. Zauwa˙zmy, ˙ze zar´owno licznik jak i mianownik maja

granice,

mianowicie +∞ . Jeste´smy wie

c w sytuacji niedobrej:

+∞
+∞

. W tym przypadku mo˙zna

jednak bez trudu przekszta lci´c wyra˙zenie okre´slaja

ce wyraz cia

gu:

2n+3
4n−1

2 +

4 −

Teraz mo˙zemy zastosowa´c twierdzenie o granicy sumy cia

g´ow (A1), potem o granicy

r´o˙znicy cia

g´ow (A2), by stwierdzi´c, ˙ze lim

n→∞

(2 +

) = 2 + lim

n→∞

= 2 + 0 = 2 oraz

lim

n→∞

(4 −

) = 4 − lim

n→∞

= 4 − 0 = 4 — wiemy ju˙z przecie˙z, ˙ze lim

n→∞

= 0 ,

zatem lim

n→∞

= 3 · lim

n→∞

= 3 · 0 = 0 . Teraz mamy do czynienia z ilorazem, kt´orego

licznik ma granice

2 , za´s mianownik — granice

4 , wie

c r´o˙zna

od 0 , co umo˙zliwia

skorzystanie z twierdzenia o granicy ilorazu (A4). Z niego wynika od razu, ˙ze granica

jest

2
4

1
2

. Oczywi´scie nic wie

cej ju˙z robi´c nie trzeba, bo twierdzenie o arytmetycz-

nych w lasno´sciach granicy gwarantuje zar´owno istnienie granic, jak i odpowiednie

r´owno´sci.

Przyk lad 4.6

Rozwa˙zymy naste

pny prosty przyk lad: lim

n→∞

−100n

−333978) .

Wyka˙zemy mianowicie, ze cia

g ten ma granice

+∞ . Czytelnik zechce zwr´oci´c uwage

na to, ˙ze na pewno pierwszych 100 wyraz´ow to liczby ujemne — nie twierdzimy

wcale, ˙ze tylko 100 , ale n

− 100n

= n

(n − 100) ≤ 0 dla n ≤ 100 , a od tej liczby

odejmujemy jeszcze 333978 , wie

c te wyrazy sa

ujemne, a o znaku dalszych nic nie

m´owimy. Zapiszmy wyraz cia

gu w postaci n

(1 −

100

−

333978

) . Oczywi´scie

lim

n→∞

= ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) =

= (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) = +∞

na mocy twierdzenia o granicy iloczynu (A3). Na mocy twierdzenia o granicy ilorazu

(A4) stwierdzamy, ˙ze lim

n→∞

100

= 0 oraz lim

n→∞

333978

= 0 . Mo˙zemy wie

c zastosowa´c

twierdzenie o granicy r´o˙znicy (A2) dwukrotnie, by stwierdzi´c, ˙ze

lim

n→∞

1 −

100

−

333978

= 1 − 0 − 0 = 1 .

Granica cia

Micha l Krych

Nasz cia

g zosta l wie

c przedstawiony jako iloczyn dw´och cia

g´ow, z kt´orych pierwszy

˙zy do +∞ a drugi do liczby dodatniej, do 1 . Z definicji mno˙zenia symboli nie-

sko´

nczonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy iloczynu wynika, ˙ze jego

granica

jest +∞ .

Oczywi´scie i w tym przypadku mo˙zna posta

pi´c nieco inaczej. Mo˙zemy napisa´c nie-

r´owno´s´c:

− 100n

− 333978 ≥ n

− 334078n

= n

(n − 334078)

— otrzymali´smy cia

g, kt´ory jest iloczynem dw´och cia

g´ow: (n − 334078) i (n

) . Oba

˙za

do +∞ , wie

c ich iloczyn da

˙zy do +∞ · +∞ = +∞ .

Przyk lad 4.7

Pokazali´smy wcze´sniej, ˙ze wyraz cia

gu geometrycznego o ilorazie

z przedzia lu (−1, 1) jest zbie˙zny do 0 . Poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten sam rezul-

tat bez szacowa´

n stosuja

c w zamian twierdzenie o istnieniu granic pewnych cia

g´ow.

Za l´o˙zmy na pocza

tek, ˙ze 0 ≤ q < 1 . Wtedy oczywi´scie q

n+1

≤ q

, wie

c cia

g jest

nierosna

cy, zatem ma granice

. Oznaczmy ja

symbolem g . Poniewa˙z wszystkie wy-

razy cia

gu le˙za

w przedziale (0, 1) , wie

c granica le˙zy w przedziale [0, 1] . Jest jasne,

˙ze je´sli granica

cia

gu jest liczba g , to ka˙zdy jego podcia

g jest te˙z zbie˙zny do g .

Wobec tego g = lim

n→∞

n+1

= lim

n→∞

(q · q

) = q · lim

n→∞

= q · g , czyli g = qg . Sta

poniewa˙z q 6= 1 , natychmiast wynika, ˙ze g = 0 . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze −1 < q < 0 .

Wtedy −|q|

≤ q

≤ |q|

. Z ju˙z udowodnionej cze

´sci twierdzenia i z twierdzenia

o trzech cia

gach wynika, ˙ze 0 = lim

n→∞

(−|q|

) = lim

n→∞

= lim

n→∞

|q|

= 0 .

W ten sam spos´ob mo˙zna rozwa˙zy´c przypadek q > 1 . Cia

g (q

) jest ´sci´sle rosna

cy,

wie

c ma granice

g . Spe lniona musi by´c r´owno´s´c g = qg , co jest mo˙zliwe jedynie

wtedy, gdy g = 0 lub g = ±∞ . Wiemy oczywi´scie, ˙ze g > 0 — granica rosna

cego

cia

gu liczb dodatnich musi by´c wie

ksza ni˙z 0 , wobec tego g = +∞ . W przypadku

q ≤ −1 cia

g nie ma granicy, bo mo˙zemy wybra´c podcia

g, kt´ory ma granice

≤ −1 ,

np. q

2n−1

= q · (q

)

oraz podcia

g, kt´ory ma granice

≥ 1 , np. q

= (q

)

istnienie podcia

g´ow o r´o˙znych granicach przeczy istnieniu granicy cia

gu, zar´owno

sko´

nczonej jak i niesko´

nczonej.

Przyk lad 4.8

Niech a > 0 be

dzie liczba

rzeczywista

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

√

a = 1.

Podobnie jak w poprzednich przypadkach poka˙zemy dwie metody. Tym razem za-

czniemy od sposobu z mniejsza

liczba

rachunk´ow, czyli „bardziej teoretycznego”.

Za l´o˙zmy, ˙ze a > 1 . Cia

√

jest w tym przypadku ´sci´sle maleja

cy, jego wy-

razy sa

wie

ksze ni˙z 1 , wie

c ma granice

g , sko´

nczona

, kt´ora nie mo˙ze by´c mniejsza

ni˙z 1 . Ka˙zdy podcia

g tego cia

gu jest zbie˙zny do g . Mie

dzy innymi g = lim

n→∞

√

a .

Granica cia

Micha l Krych

Skorzystamy teraz z twierdzenia o iloczynie granic:

= g · g = lim

n→∞

√

a · lim

n→∞

√

a = lim

n→∞

(

√

= lim

n→∞

√

a = g ,

zatem g

= g . Sta

d wynika, ˙ze g = 0 < 1 lub g = 1 (ju˙z wiemy, ˙ze g nie jest

r´owne ±∞ ). Poniewa˙z pierwsza mo˙zliwo´s´c zosta la wcze´sniej wykluczona, wie

c zo-

staje druga, czyli g = 1 .

Dla a = 1 teza jest prawdziwa w oczywisty spos´ob. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze 0 < a < 1 .

Mamy lim

n→∞

√

a = lim

n→∞

1/a

lim

n→∞

1/a

1
1

= 1 — skorzystali´smy z twier-

dzenia o ilorazie granic oraz z ju˙z udowodnionej cze

´sci tezy.

Teraz udowodnimy, ˙ze lim

n→∞

√

a = 1 w przypadku a > 1 , za pomoca

szacowa´

Niech ε be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

dodatnia

. Chcemy wykaza´c, ˙ze dla do-

statecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c |

√

a − 1| < ε , czyli ˙ze

1 − ε <

√

a < 1 + ε . Poniewa˙z a > 1 , wie

c nier´owno´s´c podw´ojna sprowadza sie

nier´owno´sci

√

a < 1 + ε , czyli do nier´owno´sci a < (1 + ε)

. Ta z kolei wynika z

nier´owno´sci a < 1+nε , bo 1+nε < (1+ε)

— nier´owno´s´c Bernoulli’ego. Wystarczy

wie

c, by n

a − 1

. To ko´

nczy dow´od.

Uwaga 4.20

Nie rozwia

zywali´smy nier´owno´sci

√

a < 1 + ε , bo wymaga loby

to zastosowania logarytm´ow, n >

log a

log (1 + ε)

, wskazali´smy jedynie moment, od

kt´orego nier´owno´s´c jest prawdziwa, nie troszcza

c sie

o to, co sie

dzieje w przypadku

wcze´sniejszych n .

Uwaga 4.21 Zauwa˙zmy, ˙ze w definiuja

c pote

o wyk ladniku rzeczywistym wyka-

zali´smy, ˙ze dla ka˙zdej liczby a > 1 i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

√

a < 1 +

a−1

. Sta

d wynika, ˙ze je˙zeli n ≥ 2

, to 1 <

√

a ≤

√

a < 1 +

a−1

. Maja

dane ε > 0 dobieramy m ∈ N tak, ˙ze 1 +

a−1

< 1 + ε , wie

c dla n > 2

mamy

√

a < 1 + ε . Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

√

a = 1 .

Przyk lad 4.9

Teraz wyka˙zemy, ˙ze granica

cia

√

jest liczba 1 . Zacznijmy

od wypisania kilku pierwszych wyraz´ow cia

gu:

√

1 = 1 ,

√

2 ,

√

3 ,

√

4 =

√

2 , . . . .

Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze

√

3 >

√

2 — mo˙zna np. podnie´s´c te

nier´owno´s´c

obustronnie do pote

gi 6 . Oznacza to, ˙ze

√

2 <

√

3 >

√

4 . Wynika sta

d, ˙ze cia

ten nie jest maleja

cy ani rosna

cy. Nie wyklucza to monotoniczno´sci od pewnego miej-

sca. Udowodnimy wie

c , ˙ze lim

n→∞

√

n = 1 korzystaja

c z definicji granicy cia

gu, inny

spos´ob poka˙zemy p´o´zniej.

Niech ε be

dzie dodatnia

liczba

dodatnia

. Poniewa˙z wszystkie wyrazy cia

gu sa

wie

ksze

Granica cia

Micha l Krych

lub r´owne od 1 , wie

c wystarczy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zacho-

dzi nier´owno´s´c

√

n < 1 + ε , czyli n < (1 + ε)

. Tym razem nier´owno´s´c Ber-

noulli’ ego jest niewystarczaja

ca, ale poniewa˙z ε > 0 , wie

c dla n ≥ 2 mamy

(1 + ε)

≥ 1 +

ε +

. Wystarczy wie

c, ˙zeby n <

n(n−1)

czyli

+ 1 < n , co ko´

nczy dow´od.

Teraz poka˙zemy, jak mo˙zna uzyska´c ten sam wynik bez szacowa´

n. Nier´owno´s´c

n+1

√

n + 1 <

√

n jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci n >

n+1

1 +

. Ot´o˙z

wykazali´smy wcze´sniej, ˙ze cia

g 1 +

jest ograniczony. Wobec tego nier´owno´s´c

n > 1 +

zachodzi dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n —

nie mamy powodu ustala´c w tej chwili, od kt´orego momentu jest ona prawdziwa.

Wobec tego cia

g (

√

n) jest maleja

cy od pewnego momentu, jest te˙z ograniczony z

do lu przez liczbe

1 , a co zatem idzie zbie˙zny. Oznaczmy przez g jego granice

. Ka˙zdy

podcia

g tego cia

gu, np.

√

2n jest zbie˙zny do tej samej granicy g . Wobec tego

= g · g = lim

n→∞

√

2n · lim

n→∞

√

2n = lim

n→∞

√

= lim

n→∞

√

2 ·

√

= lim

n→∞

√

2 ·

√

n = 1 · g .

Otrzymali´smy r´owno´s´c g

= g a poniewa˙z 1 ≤ g < +∞ , wie

c g = 1 , co ko´

nczy

dow´od. Okaza lo sie

, ˙ze r´ownie˙z w tym przypadku mo˙zna omina

´c rachunki, wymaga lo

to tylko nieco wie

cej zachodu ni˙z poprzednio, bo cia

g nie jest monotoniczny, a tylko

maleja

cy od pewnego momentu.

Przyk lad 4.10

Niech k be

dzie dowolna

liczba

ca lkowita

dodatnia

, q liczba

rze-

czywista

wie

ksza

od 1 . Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

= 0 . Niech r = 1 − q . Oczywi´scie

r > 0 . Za l´o˙zmy, ˙ze n > k + 1 . Mamy wtedy

= (1 + r)

= 1 +

r +

+ · · · +

k+1

+ · · · +

n
n

k+1

Wobec tego

0 <

(

k+1

)

k+1

(k+1)!

n(n−1)·...·(n−k)r

k+1

(k+1)!

n(1−

)(1−

)·...·(1−

k+1

−−−−→

n→∞

0 ,

a sta

d i z twierdzenia o trzech cia

gach teza wynika od razu.*

Przyk lad 4.11

Niech a

i niech q oznacza dowolna

liczbe

rzeczywista

Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

= 0 .

Z definicji cia

gu (a

) wynika, ˙ze a

q·q·q·...·q

1·2·3·...·n

. Iloraz

|q|

maleje wraz ze wzrostem

Na prze lomie XVIII i XIX w. angielski ekonomista Th.R.Malthus twierdzi l, ˙ze liczba ludno´sci wzrasta

jak cia,g geometryczny, za´s ilo´s´c ˙zywno´sci jak cia,g arytmetyczny, tzw. prawo Malthusa. Wynika loby

sta,d i z tego, co w la´snie wykazali´smy, ˙ze ilo´s´c ˙zywno´sci przypadaja,ca na jedna, osobe, maleje w czasie

i to do 0 , co prawda w bardzo d lugim, bo w przypadku liczby ludno´sci q≈1 , ale to i tak nie wygla,da lo

dobrze.

Granica cia

Micha l Krych

liczby n . Jest nawet lim

n→∞

|q|

= 0 . Oznacza, to ˙ze je´sli n jest du˙ze, to wyraz a

n+1

jest znikomo ma la

cze

´scia

wyrazu a

. Sta

d powinna wynika´c zbie˙zno´s´c cia

gu do 0 .

Rzeczywi´scie, niech m ≥ 2|q| be

dzie liczba

naturalna

i niech n > m . Wtedy

0 <

|q|

m + 1

|q|

m + 2

· . . . ·

|q|

1
2

n−m

Ostatnie wyra˙zenie da

˙zy do 0 , bo jest to wyraz cia

gu geometrycznego o ilorazie

1
2

Stosujemy twierdzenie o trzech cia

gach. Z niego wynika, ˙ze lim

n→∞

= 0 . Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 4.12

lim

n→∞

= 0 . Wynika to sta

d, ˙ze 0 <

· . . . ·

n
n

≤

i tego, ˙ze lim

n→∞

= 0 . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 4.13

Je˙zeli k > 1 jest liczba

naturalna

, x

, x

, . . . sa

liczbami

nieujemnymi i lim

n→∞

= g , to lim

n→∞

√

g . Je´sli bowiem

√

jest pod-

cia

giem zbie˙znym do granicy x cia

√

, to na mocy twierdzenia o granicy

iloczynu cia

g´ow zachodzi x

lim

n→∞

√

= lim

n→∞

= g . Poniewa˙z x ≥ 0 ,

jako granica cia

gu liczb nieujemnych, wie

c x =

√

g . Wykazali´smy wie

c, ˙ze wszyst-

kie te podcia

gi cia

√

, kt´ore maja

granice, sa

zbie˙zne do

√

g . Z wniosku z

twierdzenia Bolzano – Weierstrassa wynika, ˙ze granica

cia

√

jest

√

g . To

twierdzenie z latwo´scia

mo˙zna rozszerzy´c na przypadek cia

gu liczb ujemnych i pier-

wiastka stopnia nieparzystego.

Mo˙zna te˙z wykaza´c to twierdzenie korzystaja

c z latwej do uzasadnienia nier´owno´sci

√

x −

√

≤

|x − y|

Przyk lad 4.14

Teraz kilka s l´ow wyja´sniaja

cych dlaczego pewne dzia lania z u˙zy-

ciem symboli niesko´

nczonych sa

zdefiniowane, a inne — nie. Wypiszmy kilka r´owno´sci

latwych do dowodu:

lim

n→∞

n − (n −

)

= lim

n→∞

= 0 , co sugeruje, ˙ze powinno by´c +∞ − (+∞) = 0 ;

lim

n→∞

(n − (n − 1)) = lim

n→∞

1 = 1 , co sugeruje, ˙ze powinno by´c +∞ − (+∞) = 1 ;

lim

n→∞

n − (n −

)

= lim

n→∞

= +∞ , zatem powinno by´c +∞ − (+∞) = +∞ ;

lim

n→∞

(n − (2n)) = lim

n→∞

(−n) = −∞ , zatem powinno by´c +∞ − (+∞) = −∞ .

Okazuje sie

wie

c, ˙ze z tego, ˙ze dwa cia

gi da

˙za

do +∞ , nic nie wynika na temat

warto´sci granicy ich r´o˙znicy. Przyja

wszy a

= n i b

= n + (−1)

przekonujemy sie

z latwo´scia

, ˙ze mo˙ze sie

te˙z zdarzy´c, ˙ze lim

n→∞

= +∞ , lim

n→∞

= +∞ , natomiast

Granica cia

Micha l Krych

r´o˙znica (a

− b

) cia

g´ow (a

) i (b

) granicy w og´ole nie ma, w tym przypadku

jest ona cia

giem geometrycznym o ilorazie −1 . Innymi s lowy na podstawie tego,

˙ze dwa cia

gi maja

granice

+∞ , nic o istnieniu granicy ich r´o˙znicy lub jej warto´sci

w przypadku, gdy granica istnieje, powiedzie´c nie mo˙zna! To samo dotyczy innych

symboli nieoznaczonych np.

0
0

±∞
±∞

, 1

±∞

, 0

. . . Zache

camy czytelnika do samo-

dzielnego wymy´slenia odpowiednich przyk lad´ow w celu lepszego zrozumienia tych

kwestii.

Uwaga 4.22 (o cie

˙zkim ˙zyciu studenta) Wielu student´ow miewa lo w przesz lo´sci

— przysz lo´s´c nie jest autorowi znana — k lopoty z symbolami nieoznaczonymi; wg.

autora samodzielne wymy´slenie kilku przyk lad´ow ilustruja

cych niemo˙zno´s´c rozsze-

rzenia definicji dzia la´

n z u˙zyciem niesko´

nczono´sci to jedna z najpewniejszych dr´og

uniknie

cia tego rodzaju trudno´sci.

Ostatnia rzecz, o kt´orej wspomnie´c wypada przed przej´sciem do dowod´ow, to

twierdzenie o przenoszeniu sie

nier´owno´sci na granice

(N4). Ot´o˙z mo˙zna by pomy´sle´c,

˙ze je´sli dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi ostra nie-

r´owno´s´c b

< a

, to r´ownie˙z w granicy nier´owno´s´c jest ostra. Tak mo˙ze by´c, ale nie

musi. ´

Swiadczy´c mo˙ze o tym naste

puja

cy przyk lad: a

, b

— wobec

tego a

< b

dla n = 1, 2, 3, . . . i jednocze´snie lim

n→∞

= 0 = lim

n→∞

Opuszczone dowody

Przejdziemy teraz do dowod´ow twierdze´

n sformu lowanych na pocza

tku tego roz-

dzia lu. Zaczniemy od nier´owno´sci. Zache

camy student´ow do przejrzenia przynajmniej

cze

´sci dowod´ow i do lo˙zenia stara´

n w celu zrozumienia wnioskowania. Wnioskowanie

to jedna z najwa˙zniejszych rzeczy w matematyce. Rozpowszechniany pogla

d, ˙ze jest

to potrzebne tylko matematykom, jest tylko w pewnym sensie prawdziwy. Bez za-

poznania sie

z metodami stosowanymi w matematyce nie spos´ob zapewne zrozumie´c

sformu lowa´

n wielu twierdze´

n i wobec tego trudno je stosowa´c, na pewno grozi to

b le

dami i zmusza student´ow do zbe

dnego zapamie

tywania jakich´s szczeg´o l´ow, kt´ore

z punktu widzenia os´ob, kt´ore zrozumia ly podstawowe kwestie sa

po prostu oczywi-

ste i w og´ole o nich nie warto wspomina´c. Poza tym cze

´s´c dowod´ow m´owi o tym,

jak nale˙zy poste

powa´c w r´o˙znych sytuacjach: dow´od twierdzenia o granicy iloczynu

lub ilorazu cia

g´ow to po prostu opis podstawowej (i najprostszej) metody szacowania

iloczynu lub ilorazu.

Dow´

od twierdzenia o szacowaniu

Zaczniemy od N1. Przypomnijmy, ˙ze liczba

C jest mniejsza od granicy cia

gu (a

) . Mamy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych

Granica cia

Micha l Krych

n zachodzi nier´owno´s´c C < a

. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze granica lim

n→∞

jest nie-

sko´

nczona. Jest ona wie

ksza od liczby rzeczywistej C , wie

c lim

n→∞

= +∞ (bo

−∞ < C ). Z definicji od razu wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M , np. dla

M = C , pocza

wszy od pewnego momentu, zachodzi nier´owno´s´c a

> M = C .

Przejd´zmy do naste

pnego przypadku: granica lim

n→∞

jest sko´

nczona. Przyj-

mijmy ε = lim

n→∞

− C . Z definicji od razu wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n

zachodzi nier´owno´s´c |a

− lim

n→∞

| < ε , wie

c a

> lim

n→∞

− ε = C .

W taki sam spos´ob udowodni´c mo˙zna N2 — trzeba jedynie zmieni´c kierunki

niekt´orych nier´owno´sci i zasta

pi´c +∞ przez −∞ .

Teraz za l´o˙zmy, ˙ze lim

n→∞

< lim

n→∞

. Niezale˙znie od tego, czy granice sa

sko´

czone czy nie, istnieje liczba C taka, ˙ze lim

n→∞

< C < lim

n→∞

. Na mocy ju˙z

udowodnionej cze

´sci twierdzenia dla dostatecznie du˙zych n zachodza

nier´owno´sci

< C oraz C < a

. Z nich wynika od razu, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb

naturalnych n mamy b

< a

, co ko´

nczy dow´od cze

´sci N3.

Za l´o˙zmy, ˙ze od pewnego momentu zachodzi nier´owno´s´c b

≤ a

, chcemy nato-

miast wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

≤ lim

n→∞

. Je´sli tak nie jest, to lim

n→∞

> lim

n→∞

. Sta

jednak wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c

> a

sprzeczna z za lo˙zeniem. Zako´

nczyli´smy dow´od twierdzenia o szacowaniu.

Z udowodnionego w la´snie twierdzenia ju˙z wcze´sniej wywnioskowali´smy, ˙ze je´sli

cia

g ma granice

, to tylko jedna

Teraz udowodnimy, ˙ze cia

g zbie˙zny do granicy sko´

nczonej jest ograniczony za-

r´owno z g´ory jak i z do lu. Niech c i d be

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze

c < lim

n→∞

< d . Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb

naturalnych n , powiedzmy wie

kszych od odpowiednio dobranej liczby m , zachodzi

nier´owno´s´c c < a

< d . Wystarczy teraz przyja

´c, ˙ze C jest najmniejsza

z liczb a

, . . . , a

, c , by dla wszystkich liczb naturalnych n by lo C ≤ a

. Analogicznie

przyjmujemy, ˙ze D jest najwie

ksza

z liczb a

, a

, . . . , a

, d — wtedy a

≤ D

dla wszystkich liczb naturalnych n . Dow´od tego wniosku zosta l zako´

nczony.

Uwaga 4.23 Ten dow´od jest bardzo prosty. Prosze

jednak zwr´oci´c uwage

na to,

˙ze spo´sr´od sko´

nczenie wielu liczb mo˙zna zawsze wybra´c najmniejsza

a spo´sr´od nie-

sko´

nczenie wielu niekoniecznie, np. w´sr´od liczb 1,

1
2

1
3

, . . . najmniejszej nie ma!

Uwaga 4.24 (o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego)

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze cia

g (c

) ma granice

wtedy i tylko wtedy, gdy cia

g (−c

) ma

Granica cia

Micha l Krych

granice

, niezale˙znie od tego, czy granica ta jest sko´

nczona, czy niesko´

nczona oraz ˙ze

zachodzi wtedy r´owno´s´c

lim

n→∞

(−c

) = − lim

n→∞

Ta bardzo prosta uwaga wielokrotnie pozwoli nam na zmniejszenie liczby przy-

padk´ow rozwa˙zanych w dowodach.

Teraz zajmiemy sie

twierdzeniem o arytmetycznych w lasno´sciach granicy cia

gu.

Udowodnimy, ˙ze suma granic dw´och cia

g´ow jest granica

sumy tych cia

g´ow. Za l´o˙zmy,

˙ze g

= lim

n→∞

i g

= lim

n→∞

. Nale˙zy rozwa˙zy´c trzy przypadki: g

, g

liczbami

rzeczywistymi, g

jest liczba

rzeczywista

za´s g

jest symbolem niesko´

nczonym, g

, g

symbolami niesko´

nczonymi tego samego znaku.

Rozpoczniemy od granic sko´

nczonych, przypadku znanego pewnej cze

´sci stu-

dent´ow ze szko ly. Niech ε be

dzie dodatnia

liczba

rzeczywista

i niech n

dzie

taka

liczba

naturalna

, ˙ze dla n > n

zachodzi nier´owno´s´c |a

− g

| <

ε
2

. Niech

− g

| <

ε
2

dla n > n

, gdzie n

jest odpowiednio dobrana

liczba

naturalna

Wtedy dla n > n

:= max(n

, n

) zachodza

obydwie nier´owno´sci, zatem

+ b

− (g

+ g

)| ≤ |a

− g

| + |b

− g

| <

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze dla dostatecznie du˙zych numer´ow n r´o˙znica (a

+ b

) − (g

+ g

)

ma warto´s´c bezwzgle

dna

mniejsza

ni˙z ε , wie

c lim

n→∞

+ b

) = g

+ g

. Dow´od

twierdzenia o granicy sumy cia

g´ow w tym przypadku zosta l zako´

nczony.

Zajmiemy sie

teraz naste

pnym przypadkiem: niech liczba g be

dzie granica

cia

) , czyli g = lim

n→∞

i niech +∞ = lim

n→∞

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

) = +∞ .

Niech M be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

. Istnieje liczba naturalna n

M −g+1

taka,

˙ze dla n > n

M −g+1

zachodzi nier´owno´s´c b

> M −g+1 . Istnieje te˙z liczba naturalna

taka, ˙ze dla n > n

zachodzi nier´owno´s´c |a

− g| < 1 . Niech n

dzie wie

ksza

z liczb n

M −g+1

i n

. Dla n > n

obie nier´owno´sci zachodza

, wie

+ b

= b

+ g + (a

− g) ≥ b

+ g − |a

− g| > (M − g + 1) + g − 1 = M .

Wykazali´smy , ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c

+ b

> M , wie

c lim

n→∞

+ b

) = +∞ . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Je´sli wie

c cia

g (a

) ma granice

sko´

nczona

i lim

n→∞

= −∞ , to na mocy po-

przednio wykazanej cze

´sci twierdzenia o granicy sumy cia

g −a

+(−b

)

ma granice

i zachodzi r´owno´s´c lim

n→∞

(−a

− b

) = − lim

n→∞

+ lim

n→∞

(−b

) = +∞ , co w ´swietle

uwagi poprzedzaja

cej to zdanie oznacza, ˙ze granica lim

n→∞

+ b

) istnieje i jest

Granica cia

Micha l Krych

r´owna −∞ . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Kolej na ostatni przypadek: obie granice sa

r´owne +∞ lub obie sa

r´owne −∞ .

Z uwagi o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego wynika, ˙ze dow´od przeprowadzi´c wystarczy

zak ladaja

c, ˙ze lim

n→∞

= +∞ = lim

n→∞

. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

to istnieja

takie liczby naturalne n

M/2

oraz n

M/2

, ˙ze je´sli n > n

M/2

, to a

za´s je´sli n > n

M/2

, to b

. Przyjmijmy, ˙ze n

jest wie

ksza

z liczb n > n

M/2

n > n

M/2

. Wtedy zachodza

obie nier´owno´sci i wobec tego a

+ b

= M ,

wie

c dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c a

+ b

> M ,

a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

+ b

) = +∞ . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z uwagi o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego i twierdzenia o granicy sumy (A1) wynika

od razu twierdzenie o granicy r´o˙znicy (A2).

Zajmiemy sie

teraz iloczynem. Podobnie jak poprzednio jest wiele przypadk´ow,

kt´orych liczbe

mo˙zna zredukowa´c stosuja

c uwage

o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego do

naste

puja

cych: obie granice sa

sko´

nczone, obie granice sa

r´owne +∞ , jedna granica

jest dodatnia

liczba

rzeczywista

a druga jest niesko´

nczona, np. +∞ .

Rozpoczniemy od rozpatrzenia granicy iloczynu dw´och cia

g´ow, kt´orych gra-

nice sa

sko´

nczone. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze ka˙zdy z tych cia

g´ow jest

ograniczony, wie

c istnieje liczba K

> 0 taka, ˙ze |a

| ≤ K

i istnieje te˙z liczba

taka, ˙ze |b

| < K

dla ka˙zdej liczby naturalnej n . Przyjmuja

c, ˙ze K to

wie

ksza z liczb K

, K

znajdujemy liczbe

, kt´orej nie przekracza warto´s´c bezwzgle

dna

˙zadnego wyrazu kt´oregokolwiek z dw´och rozpatrywanych cia

g´ow: |a

|, |b

| ≤ K .

Niech g

= lim

n→∞

, g

= lim

n→∞

. Z twierdzenia o szacowaniu wnioskujemy, ˙ze

r´ownie˙z |g

|, |g

| ≤ K . Niech ε oznacza dowolna

liczbe

dodatnia

. Istnieje wtedy

liczba naturalna n

, taka ˙ze je´sli n > n

, to |a

− g

| <

i jednocze´snie

− g

| <

. Wtedy

− g

| = |(a

− g

+ g

− g

)| ≤ |a

− g

| · |b

| + |g

| · |b

− g

| <

· K + K ·

= ε .

Udowodnili´smy wie

c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n odleg lo´s´c liczby a

od liczby

jest mniejsza ni˙z ε , co oznacza, ˙ze g

= lim

n→∞

· lim

n→∞

, a to w la´snie by lo

naszym celem.

Teraz zajmiemy sie

granica

iloczynu cia

g´ow, z kt´orych jeden ma granice

sko´

nczo-

i dodatnia

, a granica

drugiego jest +∞ . Niech g

= lim

n→∞

dzie liczba

dodat-

nia

i niech +∞ = lim

n→∞

. Niech M be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

. Z twierdze-

nia o szacowaniu wynika, ˙ze istnieje liczba naturalna n

taka, ˙ze je´sli n > n

, to

1
2

> 0 i b

2|M |

> 0 . Wtedy a

1
2

2|M |

= |M | ≥ M . Dow´od w tym

Granica cia

Micha l Krych

przypadku zosta l zako´

nczony. Rozpatrzymy teraz iloczyn cia

g´ow (a

) i (b

) przy

za lo˙zeniu, ˙ze lim

n→∞

= +∞ = lim

n→∞

. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

, to

istnieje liczba naturalna n

, taka ˙ze dla n > n

zachodza

nier´owno´sci a

> 1+|M |

i b

> 1+|M | . Wtedy dla n > n

mamy a

> (1+|M |)

> 2·|M | ≥ |M | ≥ M ,

co dowodzi r´owno´sci +∞ = lim

n→∞

. Twierdzenie o granicy iloczynu cia

g´ow zo-

sta lo w ten spos´ob udowodnione.

Pozosta la ostatnia cze

´s´c — twierdzenie o granicy ilorazu. Zn´ow zaczniemy od

granic sko´

nczonych. Niech g

= lim

n→∞

i niech 0 6= g

= lim

n→∞

. Wyka˙zemy,

˙ze lim

n→∞

. Niech ε be

dzie dowolna

liczba

dodatnia

. Z poczynionych za lo˙ze´

wynika, ˙ze istnieje taka liczba naturalna n

, ˙ze je´sli n > n

, to

| >

, |a

− g

| <

ε·|g

, |b

− g

| <

ε·|g

4(|g

|+1)

Dla n > n

mamy wie

−

−g

≤

−g

|+|g

−g

− g

| +

2|g

− b

| < ε .

Twierdzenie zosta lo udowodnione w przypadku granic sko´

nczonych.

Je´sli lim

n→∞

= +∞ a cia

g (b

) ma granice

sko´

nczona

i r´o˙zna

od 0 , to cia

ma granice

sko´

nczona

i r´o˙zna

od 0 – wynika to z ju˙z udowodnionej cze

´sci twier-

dzenia o granicy ilorazu. Mo˙zna zastosowa´c twierdzenie o granicy iloczynu cia

g´ow:

lim

n→∞

= lim

n→∞

= lim

n→∞

· lim

n→∞

= +∞ · lim

n→∞

. Ten ostatni iloczyn

jest oczywi´scie dobrze okre´slony.

Ostatni przypadek: granica cia

gu (a

) jest sko´

nczona a granica cia

gu (b

) jest

niesko´

nczona. W tym przypadku cia

g (a

) jest ograniczony, tzn. istnieje liczba

K > 0 , taka ˙ze dla ka˙zdego n zachodzi nier´owno´s´c |a

| < K . Je´sli ε > 0 , to istnieje

liczba naturalna n

, taka ˙ze je´sli n > n

, to |b

| >

. Wtedy

< K ·

= ε .

Wykazali´smy wie

c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n iloraz

ma warto´s´c bezwzgle

dna

mniejsza

ni˙z ε , a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

= 0 . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 4.25 (o ilorazie z ograniczonym licznikiem)

Z dowodu twierdzenia o granicy ilorazu wynika natychmiast, ˙ze je´sli cia

g (a

) jest

ograniczony i lim

n→∞

| = +∞ , to lim

n→∞

= 0 — nie zak lada sie

tu, ˙ze cia

g (b

)

w og´ole ma granice

, starczy za lo˙zy´c, ˙ze cia

g jego warto´sci bezwzgle

dnych ma granice

niesko´

nczona

, o cia

gu (a

) te˙z nie trzeba zak lada´c, ˙ze jest zbie˙zny — wystarcza

ograniczono´s´c.

Nie za lo˙zyli´smy, ˙ze g

6=0 , wie,c w mianowniku umie´scili´smy |g

|+1 , by na pewno mianownik by l

r´

o˙zny od 0 .

Granica cia

Micha l Krych

Teraz zajmiemy sie

twierdzeniem o trzech cia

gach. Wiemy, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna a

≤ b

≤ c

oraz ˙ze cia

gi a

i c

maja

wsp´olna

granice

g . Mamy dowie´s´c, ˙ze ta wsp´olna granice jest r´ownie˙z granica

cia

) . Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze granica g jest sko´

nczona. Niech ε > 0 be

dzie dowolna

liczba

. Istnieje taka liczba naturalna n

, ˙ze |a

− g| < ε i |c

− g| < ε dla n > n

Wynika sta

d, ˙ze g − ε < a

≤ b

≤ c

< g + ε , zatem |b

− g| < ε . Udowodnili´smy

wie

c, ˙ze g = lim

n→∞

. Teraz mo˙zemy sie

zaja

´c przypadkiem granicy niesko´

nczonej.

Jak zwykle wystarczy zaja

´c sie

jedna

z dwu niesko´

nczono´sci, tym razem dla odmiany

g = −∞ . Niech M be

dzie liczba

rzeczywista

. Poniewa˙z lim

n→∞

= −∞ , wie

c istnieje

liczba naturalna n

, taka ˙ze dla n > n

zachodzi nier´owno´s´c b

≤ c

< M , wie

w szczeg´olno´sci b

< M . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 4.26 (o trzech cia

gach w przypadku granic niesko´

nczonych)

Z dowodu wynika, ˙ze w przypadku granicy niesko´

nczonej, np. r´ownej −∞ , u˙zycie

jednego z dw´och zewne

trznych cia

g´ow, w tym przypadku cia

gu (a

) , jest zbe

dne.

Prawdziwe jest wie

c twierdzenie: je´sli dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

≤ c

i cia

g (c

) ma granice

−∞ , to r´ownie˙z cia

g (b

) ma granice

−∞ i — ana-

logicznie — je´sli dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c a

≤ b

i granica

cia

gu (a

) jest +∞ , to r´ownie˙z +∞ = lim

n→∞

Dow´

od twierdzenia o scalaniu. Ten dow´od jest bardzo prosty. Za l´o˙zmy, ˙ze gra-

nica g jest sko´

nczona i niech ε > 0 . Istnieja

liczby n

i n

, takie ˙ze dla n > n

zachodzi nier´owno´s´c |a

− g| < ε , dla n > n

zachodzi nier´owno´s´c |a

− g| < ε .

Poniewa˙z k

→ ∞ i l

→

∞

, wie

c istnieje n

, takie ˙ze je´sli n > n

i m jest

tak dobrane, ˙ze a

= a

lub a

= a

, to m > n

oraz m > n

i wobec tego

−g| < ε . To oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

. Nieznaczne modyfikacje tego rozumowania

dadza

dow´od w przypadku granicy niesko´

nczonej.

Dow´

od twierdzenia Bolzano – Weierstrassa. Je´sli cia

g (a

) nie jest ogra-

niczony z g´ory, to mo˙zna z niego wybra´c podcia

g ´sci´sle rosna

cy: niech n

= 1 ;

poniewa˙z cia

g jest nieograniczony z g´ory, wie

c w´sr´od wyraz´ow naste

puja

cych po a

wie

ksze od a

; niech n

dzie numerem jednego z nich — mamy wie

c n

> n

oraz a

> a

; poniewa˙z cia

g (a

) jest nieograniczony z g´ory, wie

c w´sr´od wy-

raz´ow, kt´ore naste

puja

po a

jest wyraz wie

kszy ni˙z a

, wybierzmy jeden z nich

i przyjmijmy, ˙ze n

jest jego numerem; mamy wie

c n

> n

oraz a

> a

; pro-

ces ten mo˙zna kontynuowa´c nieograniczenie. Ca lkowicie analogicznie poste

pujemy

w przypadku cia

gu nieograniczonego z do lu z tym, ˙ze teraz wybieramy podcia

g ´sci´sle

maleja

cy. Cia

g monotoniczny ma, jak wiemy, granice

. Pozosta l do rozpatrzenia przy-

Granica cia

Micha l Krych

padek cia

gu ograniczonego (z g´ory i z do lu).

Niech c, d be

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze dla ka˙zdego liczby naturalnej n

zachodzi nier´owno´s´c c ≤ a

≤ d , c jest ograniczeniem dolnym cia

gu (a

) a d —

g´ornym. Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna przyja

´c, ˙ze cia

g (a

) nie zawiera pod-

cia

gu sta lego — je´sli zawiera, to ten w la´snie podcia

g jest zbie˙zny. Dalej zak ladamy,

˙ze (a

) nie zawiera podcia

gu sta lego, wie

c ˙ze ka˙zda liczba mo˙ze wysta

pi´c jako wyraz

cia

gu jedynie sko´

nczenie wiele razy. Zreszta

to za lo˙zenie nie jest istotne dla rozu-

mowania przeprowadzanego poni˙zej, jednak pozwala unikna

´c pyta´

n o szczeg´o lowa

interpretacje

u˙zywanych sformu lowa´

n. Niech n

= 1 , c

= c , d

= d . Jedna

z po l´owek przedzia lu [c, d] (lub obie) zawiera niesko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

, niech [c

, d

] be

dzie ta

w la´snie po l´owka

(je´sli np. w przedziale

c+d

jest nie-

sko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

gu (a

) , to przyjmujemy c

= c

= c i d

c+d

je´sli w przedziale

c+d

jest sko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

gu (a

) , to w przedziale

c+d

, d

musi by´c ich niesko´

nczenie wiele, w tym przypadku przyjmujemy c

c+d

i d

= d

= d ) i niech n

> n

dzie takim numerem, ˙ze a

∈ [c

, d

] . Powta-

rzamy przeprowadzone rozumowanie w odniesieniu do przedzia lu [c

, d

] i wyraz´ow

cia

gu naste

puja

cych po a

. W wyniku tego otrzymujemy liczbe

naturalna

> n

oraz liczby rzeczywiste c

, d

takie, ˙ze c

≤ a

≤ d

. Dla j = 1, 2, 3 mamy wobec

tego c

≤ a

≤ d

i d

− c

d−c

oraz c

≤ c

i d

≥ d

. Kontynuuja

to poste

powanie otrzymujemy niemaleja

cy cia

g (c

) oraz nierosna

cy cia

g (d

) , przy

czym d

−c

d−c

. Cia

gi te maja

granice, bo sa

monotoniczne. Granice te sa

r´owne,

bo lim

n→∞

− c

) = lim

n→∞

· (d − c) = 0 . Poniewa˙z c

≤ a

≤ d

dla ka˙zdej liczby

naturalnej j , wie

c — na mocy twierdzenia o trzech cia

gach — cia

g (a

) te˙z ma te

sama

granice

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Dow´

od wniosku z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa Udowodnimy teraz,

˙ze z cia

gu (a

) , kt´ory nie ma granicy mo˙zna wybra´c dwa podcia

gi maja

ce r´o˙zne

granice. Za l´o˙zmy,˙ze cia

g (a

) zawiera podcia

g o granicy +∞ . Poniewa˙z +∞ nie

jest granica

cia

gu (a

) , wie

c istnieje liczba rzeczywista B , taka ˙ze dla niesko´

nczenie

wielu n zachodzi nier´owno´s´c a

< B . Niech a

oznacza podcia

g cia

gu (a

) z lo˙zony

z tych wszystkich wyraz´ow cia

gu a

, kt´ore sa

mniejsze ni˙z B . Na mocy twierdze-

nia Bolzano–Weierstrassa mo˙zna z cia

gu (a

) wybra´c podcia

g kt´ory ma granice

g . Oczywi´scie g ≤ B . Wobec tego w tym przypadku istnieja

dwa podcia

gi: jeden

o granicy +∞ , drugi o granicy g ≤ B < +∞ , co ko´

nczy dow´od w tym przypadku.

Je´sli cia

g (a

) zawiera podcia

g o granicy −∞ , to teza wynika z poprzednio udowod-

nionego fragmentu: cia

g (−a

) zawiera dwa podcia

gi o r´o˙znych granicach. Pozosta l

do rozpatrzenia przypadek cia

gu (a

) , kt´ory nie zawiera podcia

g´ow o granicach nie-

Granica cia

Micha l Krych

sko´

nczonych. Poniewa˙z cia

g (a

) nie zawiera podcia

gu o granicy +∞ , wie

c jest

ograniczony z g´ory, a poniewa˙z nie zawiera podcia

g´ow zbie˙znych do −∞ , wie

c jest

ograniczony r´ownie˙z z do lu. Mamy wie

c do czynienia z cia

giem ograniczonym. Mo˙zna

ze´

n wybra´c podcia

g zbie˙zny do granicy g . Poniewa˙z g nie jest granica

cia

gu (a

) ,

wie

c istnieje ε > 0 , takie ˙ze poza przedzia lem (g −ε, g +ε) znajduje sie

niesko´

nczenie

wiele wyraz´ow cia

gu. Wybieramy z tych w la´snie wyraz´ow podcia

g zbie˙zny. Ma on

oczywi´scie granice

6= g , dok ladniej odleg lo´s´c mie

dzy granicami tych podcia

g´ow nie

mo˙ze by´c mniejsza ni˙z ε . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 4.27 (o odleg lo´sci do ±∞ ) Z punktu widzenia zbie˙zno´sci wyr´o˙znianie

granic niesko´

nczonych jest nieco sztuczne, zwia

zane g l´ownie z tym, ˙ze nie wprowa-

dzili´smy poje

cia odleg lo´sci od ±∞ . To mo˙zna zrobi´c i to w ten spos´ob, by cia

zbie˙zny wg. definicji podanych przez nas poprzednio do pewnej granicy, by l takim

cia

giem, ˙ze odleg lo´s´c jego wyrazu od granicy da

˙zy do 0 . Niech f (x) =

√

1+x

dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej x oraz f (+∞) = 1 i f (−∞) = −1 . Mo˙zna bez trudu wy-

kaza´c, ˙ze lim

n→∞

= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

f (x

) = f (g) , a to ma miejsce

wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

|f (x

)−f (g)| = 0 . Wida´c wie

c, ˙ze po przyje

ciu, ˙ze od-

leg lo´scia

punkt´ow x i y prostej uzupe lnionej niesko´

nczono´sciami jest |f (x) − f (y)| ,

dzie mo˙zna rozpatrywa´c wy la

cznie cia

gi o wyrazach z przedzia lu [−1, 1] — zamiast

cia

gu (x

) mo˙zna rozwa˙za´c cia

g (f (x

)) . Wada

tego podej´scia jest np. to, ˙ze przy

przej´sciu od x do f (x) liczbie x + y odpowiada f (x + y) 6= f (x) + f (y) .

Dow´

od. (twierdzenia Cauchy’ego) Zajmiemy sie

warunkiem Cauchy’ego. Je-

˙zeli cia

g ma granice

sko´

nczona

g i ε > 0 , to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych

n zachodzi nier´owno´s´c |a

− g| <

ε
2

. Je´sli wie

c liczby naturalne k i l sa

dostatecznie

du˙ze, to

− a

| = |a

− g + g − a

| ≤ |a

− g| + |g − a

| <

ε
2

= ε .

Wykazali´smy wie

c, ˙ze z istnienia granicy sko´

nczonej wynika warunek Cauchy’ego.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia

g spe lnia warunek Cauchy’ego. Istnieje wtedy n

, takie ˙ze dla

k, l > n

mamy |a

− a

| < 1 . Niech l = n

+ 1 i niech k > l . Wtedy zachodzi

nier´owno´s´c |a

| − |a

| ≤ |a

− a

| < 1 , zatem |a

| < |a

| + 1 . Znaczy to, ˙ze cia

) jest ograniczony. Wybierzmy z cia

gu (a

) podcia

g zbie˙zny (a

) . Niech g

oznacza jego granice

. Wyka˙zemy, ˙ze g jest granica

ca lego cia

gu. Je´sli ε > 0 , to dla

dostatecznie du˙zych k, l, m zachodza

nier´owno´sci |a

− a

| <

ε
2

oraz |a

− g| <

ε
2

. Poniewa˙z m, l sa

wybierane dowolnie, byle by ly dostatecznie du˙ze, i n

≥ m ,

wie

c mo˙zna wybra´c je tak, by l = n

. Wtedy dla dostatecznie du˙zego k zachodzi

nier´owno´s´c |a

− g| ≤ |a

− a

| + |a

− g| <

ε
2

= ε , co oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

Granica cia

Micha l Krych

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Troche

zada´

n do domu i na ´

cwiczenia

1. 01 Czy prawda

jest, ˙ze nier´owno´s´c 3

− 2,999

< 10000 zachodzi dla wszystkich

liczb n ∈ N ?

1. 02 Oblicz sze´s´c pocza

tkowych wyraz´ow cia

gu, kt´orego wyraz og´olny wyra˙za sie

wzorem:

a) a

+2n+1

b) b

= 1 −

c) c

= cos(n · 90

◦

) ,

d) d

= (−1)

3−n

, e) u

= [sin(n · 45

◦

)]

f) v

n+2

1. 03 Kt´ore wyrazy cia

gu (a

) sa

r´owne zeru

a) a

= n

− 5n − 6 , b) a

−30n+200

+n−1

c) a

= n

− n − 20 ?

1. 04 Kt´ore wyrazy cia

gu (a

) sa

r´owne liczbie: 1, −2 , 0, je˙zeli:

= 3n − 5 ,

= n − n

1. 05 Kt´ore wyrazy cia

gu (a

) sa

r´owne liczbie:

1
2

3
5

7
4

, je˙zeli

2n−1

3n−2

n+1

1. 06 Cia

g (a

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym: a

n+1

= a

+ 8n , przy czym

= 1 . Wykaza´c, ˙ze a

= (2n − 1)

1. 07 Cia

g (b

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym: b

n+1

= b

+ 2n + 1 , przy czym

= 1 . Wykaza´c, ˙ze b

= n

1. 08 Cia

g (x

) okre´slony jest wzorem rekurencyjnym:

= 2

n+1

= x

1
3

= 1

n+1

= 2x

(

3
2

n+1

4
3

(

= 0; x

= −

1
2

n+2

= (x

)

· x

n+1

W ka˙zdym z tych przypadk´ow poda´c wz´or og´olny na jego wyraz i uzasadni´c jego

poprawno´s´c.

1. 09 Zbada´c, kt´ore wyrazy podanych cia

g´ow sa

wie

ksze od danej liczby M :

a) a

= 3n + 4 , M = 1000 ;

b) b

= n

− 1 , M = 730 ;

c) c

10n

, M = 4 ;

d) d

2n+5
2n+3

, M =

3
4

1. 10 Zbada´c, kt´ore wyrazy podanych cia

g´ow sa

mniejsze od danej liczby m :

a) a

, m =

100

;

b) b

, m = 0,001, c) c

100n

100+n

, m =

23
53

1. 11 Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnych liczb rzeczywistych

a, b zachodza

r´owno´sci:

(i) (a + b)

= a

n−1

b +

n−2

+ · · · +

n−2

n−1

+ b

gdzie

c(c−1)(c−2)... c−(k−1)

dla ka˙zdego c ∈ R i ka˙zdego k ∈ {1, 2, 3, . . .} ,

Granica cia

Micha l Krych

(ii) a

− b

= (a − b) a

n−1

+ a

n−2

b + a

n−3

+ · · · + ab

n−2

+ b

n−1

(iii) a

2n+1

+ b

2n+1

= (a + b) · a

− a

2n−1

b + a

2n−2

− a

2n−3

+ · · · + a

2n−2

− ab

2n−1

+ b

1. 12 Niech wyrazy cia

gu (a

) spe lniaja

r´ownanie: a

n+1

= qa

. Wykaza´c, ˙ze dla

dowolnej liczby naturalnej n zachodzi r´owno´s´c a

= a

n−1

. Udowodni´c, ˙ze

wz´or

+ a

+ ... + a

= a

1 − q

zachodzi dla dowolnej liczby q 6= 1 i dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1 .

1. 13 Zapisa´c liczbe

0,12345123451234512345 . . . = 0, (12345) jako iloraz dwu liczb

ca lkowitych.

1. 14 Co jest wie

ksze: liczba 1 czy liczba 0,99999 . . . = 0,(9) ? — odpowied´z dok ladnie

uzasadni´c.

1. 15 Dowie´s´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi r´owno´s´c a

n+1

= qa

+p ,

gdzie p oraz q sa

dowolnymi, niezale˙znymi od n liczbami rzeczywistymi, to

dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi r´owno´s´c a

1−q

+ (a

−

1−q

n−1

W szczeg´olno´sci, je´sli a

1−q

, to wyraz cia

gu (a

) jest niezale˙zny od n .

1. 16 Wykaza´c, ˙ze cia

g (a

) jest zbie˙zny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cia

g (|a

jest zbie˙zny do 0 .

1. 17 Wykaza´c, ˙ze iloczyn (a

) cia

gu (a

) zbie˙znego do 0 i cia

gu ograniczonego

) jest cia

giem zbie˙znym do liczby 0 .

1. 18 Znale´z´c wszystkie takie liczby naturalne n , ˙ze

1
7

1. 19 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n > k , to

n+666

−13

1. 20 Znale´z´c wszystkie takie liczby naturalne n , ˙ze

√

+ 1 − n <

1
7

1. 21 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

+15n+2007

−2006n+13

− 2

1
4

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 22 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

+5n

1,2

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 23 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

sin n

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 24 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

sin n

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 25 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

sin(1/n)

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 26 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

sin(1/n)

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

Granica cia

Micha l Krych

1. 27 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c sin

− sin

n+1

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 28 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c sin

− sin

n+1

; lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 29 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

√

n + 2 −

√

n <

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 30 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

√

n + 2 −

√

n <

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 31 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

> n

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 32 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

< n

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 33 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

1
3

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 34 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

1
3

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 35 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 36 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c n! <

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 37 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c n! >

√

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 38 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c n! < 100

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 39 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c n! > 1 +

lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 40 Wskaza´c jaka

kolwiek liczbe

naturalna

k taka

, ˙ze je´sli n ≥ k , to zachodzi

nier´owno´s´c ln n <

√

n lub wykaza´c, ˙ze taka liczba nie istnieje.

1. 41 Wykaza´c, ˙ze dla n > 1000000 zachodzi nier´owno´s´c

√

2 < 1.000001 .

1. 42 Wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodza

nier´owno´sci:

n! > 1000000

oraz 1.000001

> n

1000000

. W obu przypadkach sprawdzi´c, ˙ze

dla n = 2, 3, 4, 5 zachodzi nier´owno´s´c przeciwna i wskaza´c liczbe

(nie szuka´c

najmniejszej!) taka

, ˙ze dla n > n

zachodza

nier´owno´sci wypisane w pierwszym

zdaniu.

1. 43 W kraju dotknie

tym ostrym kryzysem inflacja wynosi 5% miesie

cznie. Oblicz

wska´znik inflacji rocznej z dok ladno´scia

do 1%. Do oszacowania mo˙zna u˙zy´c

Granica cia

Micha l Krych

dwumian Newtona.

1. 44 Zak ladaja

c, ˙ze ´sredni przyrost naturalny na Ziemi r´owny jest 1,3% rocznie ob-

liczy´c po jakim czasie liczba ludzi na planecie sie

podwoi.

1. 45 Wypisa´c trzy pierwsze wyrazy cia

gu (a

) . Obliczy´c granice

cia

gu (a

) , o ile

istnieje, je´sli a

α.

1+n+3n

−n+13

;

β.

1+n+3n+n

−n+13

;

γ.

1+n+3n

−n

+13

;

δ.

√

n + 13 −

√

n ;

n +

√

n −

√

n ;

n +

√

n −

√

n ;

√

+ sin n ;

√

− 2

;

e. 1 +

n + 1

cos

nπ

;

f. sin n ;

+ n + 1000

1000

+ 999n − 1

;

ln n

+ n + 1000

ln (n

1000

+ 999n − 1)

;

− 2

+ n

· 2

;

+ 2

· sin n

n+1

+ n

2002

10 · 11 · 12 · .... · (n + 9)

1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)

;

√

n! ;

m. 1 −

1
2

1 −

1
3

... 1 −

;

n. 1 −

1 −

... 1 −

;

p. lim

n→∞

;

√

1 + 2

(−1)

;

√

+ 2

+ · · · + n

;

√

+ · · · +

√

;

+···+n

−n+13

u. lim

n→∞

1 +

− 1

, tu k ∈ N ;

v. lim

n→∞

(−2)

n+1

1. 46 Znale´z´c granice

lim

n→∞

cia

gu (a

) , o ile istnieje, je´sli a

(1)

1 +

n+2

(2) 0.999999 +

(3)

+5n−3

+13

(4) 1.000001 +

(5)

1000000

(6)

100000

1.000001

(7)

1 + sin

;

(8)

1 +

sin n

1. 47 Wykaza´c, ˙ze cia

g (a

) ma granice

i zbada´c, czy jest ona sko´

nczona, czy jest

r´owna 0 , je´sli cia

g (a

) zdefiniowany jest wzorem a

(a)

n+1

n+2

+ · · · +

n+n

(b) 1 +

1·2

2·3

+ · · · +

n(n+1)

(c)

+ · · · +

(d)

1
1

1
2

1
3

+ · · · +

(e)

√

6 + a

n−1

dla n = 1, 2, 3, . . . przy czym a

jest tu dowolna

liczba

rzeczy-

wista

nieujemna

, znale´z´c lim

n→∞

(e)

1
2

n−1

dla n = 1, 2, 3, . . . przy czym a

jest tu dowolna

liczba

Granica cia

Micha l Krych

rzeczywista

dodatnia

, znale´z´c lim

n→∞

Wskaz´owka: wykaza´c, ˙ze a

n+1

≥

√

5 oraz a

n+1

≥ a

n+2

dla n = 0, 1, 2 . . . .

(g)

∗

1 +

. . . 1 +

Wskaz´owka: skorzysta´c z tego, ˙ze 1 + x ≤ e

dla ka˙zdej liczby x .

(h)

∗

1 −

. . . 1 −

, czy lim

n→∞

= 0 ?

Wskaz´owka: wykaza´c, ˙ze dla x < 1 zachodzi nier´owno´s´c

1 − x =

1 +

1−x

≥ e

−x/(1−x)

1. 48 Znale´z´c granice

lim

n→∞

cia

gu (a

) , je´sli a

(1)

1 +

√

;

(2)

1 +

√

;

(3)

ln n

;

(10)

1 −

;

(11)

1 −

√

;

(12)

1 +

−n+1

;

(4)

−1

, gdzie b

oznacza n − ty wyraz pewnego cia

gu zbie˙znego do 0 ,

przy czym b

6= 0 dla n = 1, 2, . . .

Wskaz´owka: dla x < 1 zachodzi nier´owno´s´c 1 + x ≤ e

≤

1−x

;

(5)

√

2−1

1/n

;

(6)

√

;

(7)

n − ln n ;

(8)

+···+n

−

;

(9)

(n+1)

(n+2)

+ · · · +

(2n)

;

1. 49 Znale´z´c granice

cia

gu (a

) , je´sli a

oraz a

n+1

(1)

sin a

;

(2)

−a

1
2

;

(3)

− 1

– istnienie poszukiwanej granicy nale˙zy oczywi´scie wykaza´c!

1. 50 Czy lim

n→∞

istnieje? Je´sli ta granica istnieje, to czy jest sko´

nczona?

(1) a

√

+ · · · +

√

;

(2)

+ · · · +

;

(3) a

1
2

2·2

3·3

+ · · · +

n·n

;

(4) a

1
2

+ · · · +

;

(5)

= 1 +

1
2

−

1
3

−

1
4

1
5

1
6

−

1
7

−

1
8

+ · · · +

4n−3

4n−2

−

4n−1

−

1. 51 Znale´z´c lim

n→∞

dla q ∈ (−1, 1) , je´sli ta granica istnieje.

1. 52 Znale´z´c lim

n→∞

1 + q + q

+ · · · + q

n−1

dla q ∈ (−1, 1) , je´sli ta granica istnieje.

1. 53 Znale´z´c lim

n→∞

1+2q +3q

+· · ·+nq

n−1

dla q ∈ (−1, 1) , je´sli ta granica istnieje.

1. 54 Niech a

√

2 , a

2 +

√

2 , a

2 +

√

2 , . . . Wykaza´c, ˙ze cia

) ma sko´

nczona

granice

1. 55 Niech x ∈ R be

dzie liczba

dodatnia

. W zale˙zno´sci od x znale´z´c

lim

n→∞

(1 + x)(1 + x

)(1 + x

) · . . . · (1 + x

) .

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Ciagi,granica i ciaglosc funkcji
11. Zagadnienia granic poznania II, Archiwum, Filozofia
ciagi-granice-przyklady
11 Zagadnienia granic poznania IIid 12272 ppt
3 Indukcja matematyczna, ciągi granice
Ciągi, granica ciągu
W03 Ciągi c.d, granice
11 Zagadnienia granic poznania II
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji
ch10 11 geoman
5 Ciagi,granica i ciaglosc funkcji
11. Zagadnienia granic poznania II, Archiwum, Filozofia
3 Matematyka ciągi i granice ciągu
5 Ciagi,granica i ciaglosc funkcji
3 Indukcja matematyczna, ciągi granice
ciągi granice

więcej podobnych podstron