DIFFERENTIAL EQUATIONS

 

 

 

 

 

 

In most cases, the family of functions will depend in 
some way on a constant C, and the graphs of these 
functions will form a family of curves that fill up the (t, 
y) plane, but do not touch each other, as in the 
following figure. 

Example:

The general solution of

is

 

 

Graph of solution

 

 

 

 

 

 

has more than one solution

. One is simply  y(x) = 0, the second one  is obtained by

separating the variables. This leads to

The two solutions y = 0 and y = (x/5)

5

 both satisfy the initial condition y(0) = 0

 

 

4

1

5

/

4

5

4

)'

(











y

y

y

f

The derivative of the previous example is not continuous

 

 

SEPARABLE EQUATIONS

 

 

1.

 

 

)

(

)

(

'

,

)

(

)

(

y

h

y

K

where

C

t

G

y

K







We find the antiderivatives of both sides

If it is possible, solve for y as a function of x  y(x).

The general solution is the family of all solutions found above. 
It will usually depend on C.

If an initial value y

0

(x) = y

0  

is given, use it to find the constant C and 

the particular solution of the problem.

1.cd

2.

3.

 

 

Example 1

 

 

Example 2

 

 

 

 

 

 

FIRST ORDER LINEAR 

DIFFERENTIAL EQAUTIONS

 

 

(*)

(*)

(*)

 

 

The above equation has separable variables, because it 
can be written

0

)

(

)

(

'









y

x

p

dx

dy

y

x

p

y

y

x

p

dx

dy

)

(





 

 

 

 

 

 

VARIATION OF CONSTANTS

 

 

 

 

c

t

t

C

t

t

C

t

t

t

C

RHS

LHS

t

RHS

t

t

C

t

t

C

t

t

t

C

t

t

C

y

t

y

LHS















































6

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

3

)

3

)(

(

)

(

'

3

'

6

5

2

3

2

3

3

1

4

3

1

The particular solution is  x(t) = C t

-3

 ,  

Step 2

Take   

3

)

(

)

(





t

t

C

t

y

3

3

3

6

1

6

1

)

6

(

)

(

t

c

t

t

c

t

t

y









General solution is