ZAD. 1 . Obliczyć długość podanych wektorów
−
→
a) a = [3 , − 4 , 12] ,
−→
b) P Q, gdzie P (1 , 2 , 3) ,
Q(4 , 6 , 15) ,
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
c) x = 2 a − b + 3 c , gdzie a = [1 , 0 , 2] , b = [0 , 2 , − 3]
c = [1 , − 1 , 2] ,
−
→
−
→
−
→
d) a = 6 p − 8 q , gdzie p ⊥ q i |−
→
p | = |−
→
q | = 1 .
ZAD. 2 . Obliczyć iloczyn skalarny podanych par wektorów
−
→
−
→
a) a = [1 , − 2 , 5] , b = [3 , − 1 , 0] ,
−
→
−
→
−
→ −
→
−
→
−
→
−
→
b) u = 3 i − 2 k , v = − i + 3 j + 7 k .
ZAD. 3 . Obliczyć iloczyn wektorowy podanych par wektorów
−
→
−
→
a) a = [ − 3 , 2 , 0] , b = [1 , 5 , − 2] ,
−
→
−
→
−
→ −
→
−
→
−
→
−
→
b) u = 2 j − 3 k , v = − i + 3 j − 4 k .
−
→
−
→
ZAD. 4 . Wyznaczyć tg α wiedząc, że α jest kątem zawartym pomiędzy wektorami a = [0 , 1 , 2] , b = [2 , − 1 , 0] , ZAD. 5 . Obliczyć pola podanych powierzchni:
−
→
−
→
a) równoległoboku rozpiętego na wektorach a = [1 , 2 , 3] , b = [0 , − 2 , 5] , b) trójkąta o wierzchołkach A(1 , − 1 , 3) ,
B(0 , 2 , − 3) ,
C(2 , 2 , 1) .
ZAD. 6 . Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A( − 3 , 1 , − 1) , B(6 , − 2 , − 5) ,
C(1 , − 2 , − 1) . Obliczyć dłu-
gość wysokości opuczczonej z wierzchołka B na bok AC.
ZAD. 7 . Obliczyć iloczyn mieszany podanych trójek wektorów
−
→
−
→
−
→
a) a = [ − 3 , 2 , 1] , b = [0 , 1 , − 5] , c = [2 , 3 , − 4] ,
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
→ −
→
b) p + q , 2 p − −
→
q , r , jeśli iloczyn mieszany ( p , q , r ) = 3 .
ZAD. 8 . Obliczyć objętość podanych wielościanów:
−
→
−
→
−
→
a) równoległościanu rozpiętego na wektorach a = [0 , 0 , 1] , b = [ − 1 , 2 , 3] , c = [2 , 5 , − 1] , b) czworościanu o wierzchołkach A(1 , 1 , 1) ,
B(1 , 2 , 3) ,
C(2 , 3 , − 1) ,
D( − 1 , 3 , 5) .
ZAD. 9 . Dany jest czworościan o wierzchołkach A(3 , 1 , 1) , B(1 , 4 , 1) ,
C(1 , 1 , 7) ,
D(3 , 4 , 9) . Obliczyć jego
objętość oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D.
ZAD. 10 . Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
−
→
a) punkt A(3 , − 1 , 2) i jest prostopadła do wektora v = [3 , − 1 , 2] ,
−
→
−
→
b) punkt B(1 , 5 , 1) i jest równoległa do wektorów u = [2 , 1 , 6] i v = [ − 3 , 5 , 6] ,
c) punkty M ( − 1 , 2 , 4) , N (2 , 1 , 3) , P (3 , − 1 , 5) ,
−
→
d) punkty A( − 1 , 2 , 4) , B(2 , 1 , 3) i jest równoległa do wektora a = [3 , 1 , 5] , e) punkt A(0 , 2 , 1) i jest równoległa do płaszczyzny o równaniu π : 2 x + y − z − 2 = 0
ZAD. 11 . Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1 , 2 , − 3) , B(2 , 1 , 1) .
ZAD. 12 . Wyznaczyć równanie prostej przechodzacej przez punkt A(2 , 1 , − 2) i równoległej do prostej l :
x = 1 − t,
y = 2 t,
z = 1 + t
.
(
6 x + 2 y − z − 9 = 0 ,
ZAD. 13 . Dana jest prosta l :
Zapisać jej równanie w postaci parametrycznej.
3 x + 2 y + 2 z − 12 = 0 .
ZAD. 14 . Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P (2 , 3 , 1) oraz a) prostopadłej do płaszczyzny π : 5 x − 3 y + 2 z + 1 = 0 ,
x = 1 + t,
b) przechodzącej przez punkt przebicia prostej l :
y = − 2 t,
z płaszczyzną π : 4 x−y+3 z +1 =
z = 1 + 3 t.
0 ,
c). równoległej do płaszczyzn o równaniach π 1 , : 6 x − y + z = 0 i π 2 : x + 3 y − 2 z + 1 = 0 .
x = 9 − 5 t,
d). prostopadłej do prostych l : x = y+1 = z , k : y = 1 − t,
2
− 6
− 5
z = 4 + 10 t.
ZAD. 15 . Napisać równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny π : 4 x − 12 y + 6 z + 5 = 0 i oddalonej od niej o 3.
ZAD. 16 . Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A( − 1 , 3 , 5) i prostopadłej do prostej l : (
2 x − 4 y + 2 z + 8 = 0 ,
x + y − z + 4 = 0 .
x = − 3 + 2 t,
ZAD. 17 . Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste l 1 : x = y = −z, l 2 : y = 3 − 4 t
z = − 1 + 2 t.
ZAD. 18 . Znaleźć rzut punktu A(2 , 3 , − 6) na płaszczyznę π : x + 2 y + z + 4 = 0 .
ZAD. 19 . Znaleźć rzut punktu A(1 , − 2 , 1) na prostą l : x+1 = y+8 = z− 2 .
1
− 1
2
ZAD. 20 . Znaleźć rzut prostej l : x = y− 1 = z+1 na płaszczyznę π : x + y + z = 0 .
2
− 1
2
ZAD. 21 . Znaleźć odległość punktu A(2 , − 1 , 1) od prostej l : x+1 = y− 1 = z .
1
− 1
2
ZAD. 22 . Znaleźć odległość między prostymi:
a) równoległymi: l 1 : x− 1 = y− 3 = z+1 , l
= y = z ,
4
− 2
3
2 : x
4
− 2
3
b) skośnymi : l 1 : x− 9 = y+2 = z , l
= y+2 = z− 2 ,
4
− 3
1
2 : x
2
9
2