Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-1
Wykład 8
8.
Zasada zachowania energii
8.1
Wstęp
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, Ŝe
W =
∆
E
k
Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypad-
kową: F = F
1
+ F
2
+ F
3
+.......+ F
n
. Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykona-
nych przez poszczególne siły: W = W
1
+ W
2
+ W
3
+...........+ W
n
.
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać
W
1
+ W
2
+ W
3
+...........+ W
n
=
∆
E
k
Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają róŜne siły, pozwoli to na de-
finiowanie róŜnych rodzajów energii.
8.2
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozwaŜmy przykładów dwóch rodzajów sił:
sił zachowawczych
i
sił nie-
zachowawczych
.
Najpierw rozpatrzmy spręŜynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.
Przesuwamy ciało o masie m z prędkością
v
w kierunku spręŜyny, tak jak na rysunku.
ZałoŜenia:
•
ruch na płaszczyźnie odbywa się
bez tarcia,
•
spręŜyna jest idealna tzn. spełnia
ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F
jest siłą wywieraną przez spręŜynę
kiedy jej swobodny koniec jest prze-
mieszczony na odległość x,
•
masa spręŜyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała ener-
gia kinetyczna w układzie spręŜyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.
Przy ściskaniu spręŜyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje aŜ
do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpły-
wem spręŜyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aŜ do wartości jaką ciało miało po-
czątkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania pra-
cy kosztem jego ruchu (kosztem E
k
). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność
ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest
zachowana
. Siła spręŜysta wywiera-
na przez idealną spręŜynę jest
zachowawcza
. Inne siły, które działają w ten sposób tak-
Ŝ
e, np. siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci
z tą samą prędkością i energią kinetyczną.
JeŜeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do połoŜenia początko-
wego i ma inną energię kinetyczną niŜ na początku to oznacza, Ŝe po przebyciu drogi
V
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-2
zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to,
Ŝ
e przynajmniej jedną z działających sił określa się jako
niezachowawczą
.
Aby zilustrować ten przypadek, załóŜmy, Ŝe powierzchnia nie jest idealnie gładka,
Ŝ
e mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu
w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła spręŜystości czy grawitacji) i ciało
wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, Ŝe siła tarcia (i inne działające podob-
nie) są
niezachowawcze
.
MoŜemy przeanalizować zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje
ta siła nad punktem materialnym.
W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez siłę spręŜystą, gdy
spręŜyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszcze-
nia, cos180
°
= -1). Gdy spręŜyna rozpręŜą się praca jest dodatnia (siła i przemieszczenie
jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę spręŜystą
(siłę wypadkową) jest równa zero.
W drugim przykładzie (uwzględniamy tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia
jest ujemna dla kaŜdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).
Ogólnie:
Siła jest zachowawcza, jeŜeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem mate-
rialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest nie-
zachowawcza jeŜeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który po-
rusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru
.
MoŜemy jeszcze trzecim sposobem rozwaŜyć róŜnicę między siłami niezachowawczymi
i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B
do A po innej (2) (patrz rysunek).
JeŜeli siła jest zachowawcza to
W
AB,1
+ W
BA,2
= 0
bo droga zamknięta. MoŜemy to zapisać inaczej
W
AB,1
= - W
BA,2
Ale gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to poniewaŜ
zmieniamy tylko kierunek to
W
AB,2
= -W
BA,2
Skąd otrzymujemy
W
AB,1
= W
AB,2
A
B
1
2
A
B
1
2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-3
Widać z tego, Ŝe praca wykonana przez siłę
zachowawczą
przy przemieszczaniu od A
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć
dowolny kształt
byleby tylko
łączyły te same punkt A i B.
Siłę nazywamy zachowawczą jeŜeli praca wykonana przez nią nad punktem mate-
rialnym poruszającym się między dwoma punktami zaleŜy tylko od tych punktów, a nie
od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeŜeli praca wykonana przez nią
nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zaleŜy od drogi
łączącej te punkty
.
Przedstawione definicje są równowaŜne.
8.3
Energia potencjalna
Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + spręŜyna. Zamiast mówić ciało
się porusza będziemy mówić:
stan układu się zmienia
.
Widzieliśmy, Ŝe gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem ro-
ś
nie tak, Ŝe wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy
działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia
energii stanu
lub
energii potencjalnej
E
p
. Mówimy, Ŝe jeŜeli energia kinetyczna układu zmieni się o war-
tość
∆
E
k
to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna E
p
(stanu) tego
układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną
co do znaku, tak Ŝe suma tych zmian jest równa zeru
∆
E
k
+
∆
E
p
= 0
Innymi słowy, kaŜda zmiana energii kinetycznej E
k
jest równowaŜona przez równą co
do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E
p
układu, tak Ŝe ich
suma pozostaje przez cały czas stała
E
k
+ E
p.
= const.
(8.1)
Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która moŜe być całko-
wicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie moŜna więc wiązać energii
potencjalnej z siłą niezachowawczą.
W przykładzie ze spręŜyną (bez tarcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje,
a zlokalizowana w spręŜynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii
W =
∆
E
k
więc dla zachowawczej siły F
W =
∆
E
k
= -
∆
E
p
Stąd
∫
−
=
−
=
∆
x
x
p
x
x
F
W
E
0
d
)
(
(8.2)
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-4
MoŜemy więc zapisać zaleŜność między siłą i energią potencjalną
x
x
E
x
F
p
d
)
(
d
)
(
−
=
(8.3)
Trzeba zwrócić uwagę, Ŝe naprawdę potrafimy tylko policzyć
∆
E
p
a nie E
p
samą. Po-
niewaŜ
∆
E
p
= E
pB
– E
pA
. śeby znaleźć E
pB
trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość
E
pA
pA
x
x
pA
p
pB
E
x
x
F
E
E
E
+
−
=
+
∆
=
∫
0
d
)
(
Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), Ŝeby
E
p
było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
•
grawitacyjna energia potencjalna (w pobliŜu powierzchni Ziemi)
Ruch wzdłuŜ osi y
F(y) = -mg
F jest stała. Przyjmujemy, Ŝe dla y = 0, E
p
(0) = 0.
Wtedy
∫
∫
=
−
−
=
+
−
=
y
y
p
p
mgy
y
mg
E
y
y
F
y
E
0
0
d
)
(
)
0
(
d
)
(
)
(
Sprawdzenie
mg
y
mgy
y
y
E
F
p
−
=
−
=
−
=
d
)
(
d
d
)
(
d
•
energia potencjalna spręŜyny
Ruch wzdłuŜ osi x
F(x) = -kx
Przyjmujemy dla x = 0, E
p
(0) = 0.
Wtedy
2
d
)
(
2
0
kx
x
kx
E
x
p
=
−
−
=
∫
Sprawdzenie:
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-5
kx
x
kx
x
x
E
F
p
−
=
−
=
−
=
d
2
d
d
)
(
d
2
8.3.1
Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powyŜej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawita-
cyjną w pobliŜu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, Ŝe siła grawitacji jest stała.
Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną
masy m znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od
ś
rodka Ziemi.
Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A
do stanu B moŜemy zapisać jako
AB
pA
pB
p
W
E
E
E
−
=
−
=
∆
skąd
pB
AB
pB
E
W
E
+
−
=
ś
eby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w
punkcie odniesienia A i policzyć pracę W
AB
.
Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o
r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, Ŝe Ziemia i masa m znajdują się od
siebie w nieskończonej odległości. Temu połoŜeniu (r
∞
) przypisujemy zerową ener-
gię potencjalną, E
pA
= 0. Zwróćmy uwagę, Ŝe stan zerowej energii jest równieŜ stanem
zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odnie-
sienia
0
)
(
+
−
=
∞
r
p
W
r
E
Musimy teraz obliczyć pracę
r
W
∞
−
. PoniewaŜ znamy siłę
2
r
m
M
G
F
Z
−
=
to moŜemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje
kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)
r
Mm
G
r
Mm
G
r
r
Mm
G
r
F
W
r
E
r
r
r
r
p
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
∞
∞
∞
∞
∫
∫
d
d
)
(
2
(8.4)
Energia potencjalna ma wartość równo zeru w nieskończoności (punkt odniesienia)
i maleje w miarę zmniejszania się
r. Oznacza to, Ŝe siła jest przyciągająca. Wzór ten jest
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-6
prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności
do
r.
Widzimy, Ŝe
z polem siły grawitacji wiąŜe się przestrzenny rozkład energii E(r)
dany równaniem (8.4)
.
Omawiając na Wykładzie 6 pole grawitacyjne przedstawialiśmy siłę działającą na
umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn
natęŜenia pola i masy
tego obiektu.
Stwierdziliśmy, Ŝe jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę.
Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezaleŜniliśmy nasz
opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.
Podobnie moŜemy postąpić z energią potencjalną. ZauwaŜmy, Ŝe zgodnie z wyraŜe-
niem (8.4) moŜemy ją przedstawić jako iloczyn masy
m i pewnej funkcji V(r)
)
(
)
(
r
mV
r
E
p
=
(8.5)
Funkcję V(r) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek
grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy
r
M
G
m
r
E
r
V
p
−
=
=
)
(
)
(
(8.6)
Jak juŜ wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją.
Przy opisie zjawisk elektrycznych równieŜ będziemy się posługiwali pojęciem pola
(elektrycznego), jego natęŜenia i potencjału.
Przykład 1
Skorzystajmy teraz z wyraŜenia na grawitacyjną energię potencjalną, Ŝeby znaleźć
prędkość jaką naleŜy nadać obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniósł się on na
wysokość
h nad powierzchnię Ziemi Stosując zasadę zachowania energii otrzymujemy
)
(
)
(
h
R
E
R
E
E
Z
p
Z
p
k
+
=
+
czyli
h
R
m
M
G
R
m
M
G
m
Z
Z
Z
Z
+
−
=
−
2
2
v
a po przekształceniach
+
−
=
h
R
R
GM
Z
Z
1
1
2
v
JeŜeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału dostatecznie duŜej energii kinetycz-
nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna będzie malała w
trakcie oddalania się, a potencjalna rosła.
Przykład 2
Teraz spróbujemy obliczyć jaką prędkość naleŜy nadać obiektowi na Ziemi aby
uciekł on z Ziemi na zawsze.
Praca potrzebna na przeniesieni ciała o masie m z powierzchni Ziemi do nieskończono-
ś
ci wynosi
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-7
E
p
(R
Z
) = -GM
Z
m/R
Z
JeŜeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału energii kinetycznej większej wtedy
ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddala-
nia się ciała, a potencjalna rosła. Krytyczna prędkość początkowa
v
0
(prędkość ucieczki)
dana jest wzorem
s
km
R
M
G
czyli
R
m
M
G
m
Z
Z
Z
Z
2
.
11
2
,
2
1
0
2
0
≅
=
=
v
v
Oczywiście pominęliśmy inne siły jak siły grawitacyjne wywierane przez KsięŜyc czy
Słońce itp. Ta prędkość ucieczki nosi nazwę
drugiej prędkości kosmicznej
. Natomiast
pierwszą prędkością kosmiczną
nazywamy
najmniejszą
moŜliwą prędkość jaką musi
mieć punkt materialny swobodnie krąŜący po orbicie wokół Ziemi.
Na poruszający się po orbicie obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodko-
wa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równowaŜą się
2
r
m
M
G
r
m
Z
=
2
v
i stąd znajdujemy
r
GM
Z
=
v
Pierwszej prędkości kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybliŜe-
niu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy wartość
v
= 7.9 km/s.
8.4
Zasada zachowania energii
Gdy działają siły zachowawcze to
W =
∆
E
k
= E
kB
– E
kA
oraz
W = -
∆
E
p
= - (E
pB
– E
pA
)
więc
- (E
pB
– E
pA
) = E
kB
– E
kA
czyli
E
kA
+ E
pA
= E
kB
+ E
pB
(8.7)
Równania (8.1, 8.4) nazywa się
zasadą zachowania energii mechanicznej
.
Mówi ona, Ŝe dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia
potencjalna jest równa E
p
, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie
działają inne siły).
Przykład 3
Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie linę, której wytrzymałość na
zerwanie jest 25 razy większa niŜ jego własny cięŜar (F
liny
= 25mg). Lina (nylonowa)
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-8
podlega prawu Hooke'a aŜ do zerwania, które następuje gdy lina wydłuŜy się o 25%
w stosunku do długości początkowej. Czy wyposaŜony w taką linę wspinacz przeŜyje
spadek (niezaleŜnie od wysokości)?
PoniewaŜ
F
liny
= k(0.25l)
więc
25mg = k(0.25l)
skąd
k = 25mg/0.25l
czyli
k = 100mg/l
Przed spadkiem (punkt W)
E
pw
= mg(h + l)
Po spadku (punkt S)
E
ps
= mg(h - l - y) + ky
2
/2
PoniewaŜ w punktach W i S energia kine-
tyczna wspinacza jest równa zeru, więc
E
pw
= E
ps
czyli
mg(h + l) = mg(h - l - y) +ky
2
/2
Uwzględniając k = 100 mg/l otrzymujemy
mgl = -mgl - mgy + (1/2)(100mg/l)y
2
co daje
50y
2
– ly - 2l
2
= 0
Rozwiązanie fizyczne: y = 0.21l mieści się w granicy wytrzymałości 0.25l.
Oszacujmy teraz maksymalne przyspieszenie
F
wyp
= ky - mg
więc
ma = ky - mg
skąd
a = ky/m - g = 20g
DuŜe ale lina musi być spręŜysta Ŝeby "złagodzić" hamowanie.
A co z zachowaniem energii w przypadku gdy działa siła niezachowawcza?
Dla sił zachowawczych
∑
=
∆
Z
k
W
E
pnkt. ubezpieczenia
ubezpieczający
wspinacz
l
h
W
S
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-9
lub
∑
=
∆
+
∆
0
p
k
E
E
Wielkość po lewej stronie to po prostu zmiana całkowitej energii mechanicznej
∆
E. Za-
tem równanie to ma postać
∆
E = 0.
JeŜeli oprócz kilku sił zachowawczych działa siła niezachowawcza (np. tarcie) to wtedy
∑
∆
=
+
k
Z
NZ
E
W
W
czyli
∑
=
∆
+
∆
NZ
p
k
W
E
E
co jest równowaŜne
NZ
W
E
=
∆
Widać, Ŝe siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest
siłą rozpraszającą czyli dysypatywną).
Co stało się ze "straconą" energią mechaniczną?
Zostaje ona przekształcona na
energię wewnętrzną
U
, która objawia się wzrostem tem-
peratury. U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Więcej o energii wewnętrz-
nej powiemy w dalszych rozdziałach. Uogólnijmy naszą dyskusję
F
wyp
= F
zew
+ F
Z
+ F
NZ
Z twierdzenia o pracy i energii wynika, Ŝe praca wykonana przez siłę wypadkową jest
równa zmianie energii kinetycznej.
k
NZ
Z
zew
E
W
W
W
∆
=
+
+
co jest równowaŜne
W
zew
-
∆
E
p
-
∆
U =
∆
E
k
czyli
W
zew
=
∆
E
k
+
∆
E
p
+
∆
U
(8.8)
Z równania (8.5) wynika, Ŝe
kaŜda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny
równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost
energii wewnętrznej
.
Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko
zachowanie energii
(całkowitej)
.
Wynika z niego, Ŝe
energia moŜe być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie mo-
Ŝ
e być wytwarzana ani niszczona
; energia całkowita jest wielkością stałą.
Przykład 4
Energia i biologia.
Przykładowo, na wykładzie z fizyki osoby śpiące zuŜywają energię w tempie około
80 J/s, a osoby uwaŜające ok. 150W. Łagodne ćwiczenia 500 W intensywne 1000 W ale
tylko 100 W na zewnątrz ciała jako energia mechaniczna (Człowiek moŜe wykonywać
pracę mechaniczną tylko z mocą 100 W).
Jak długo trzeba ćwiczyć (np. gimnastyka łagodna 500W) aby stracić (spalić) 500 g
tłuszczu?
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
8-10
Tłuszcz zawiera ok. 40000 J/g. Stąd 500 g tłuszczu zawiera 2·10
7
J. PoniewaŜ P = E/t
więc t = E/P = 2·10
7
J/ 500W = 11 h
Ile kalorii musi zawierać poŜywienie aby utrzymać się przy Ŝyciu?
Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy się nie śpi, średnio 110 W.
E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·10
6
J
PoniewaŜ 1 kilokaloria = 4180 J więc E = 2260 kcal (często mylona z cal).
Przykład 5
Energia i samochód.
Samochód jedzie z prędkością 100 km/h i zuŜywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka
moc jest potrzebna do utrzymania tej stałej prędkości?
1 litr benzyny - 3.7*10
7
J więc P = (8·3.7·10
7
J)/(3600s) = 7·10
4
W = 70 kW.
Dla porównania w mieszkaniu zuŜywamy około 1 - 1.5 kW energii elektrycznej.
Samochód zuŜywa kilkadziesiąt razy więcej.