Mechanika analityczna

Kolokwium 1

27 marca 2015 r.

1. Sformułuj następujące zagadnienie wariacyjne. Dana jest jednorodna lina o długości

` i masie m. Lina ta może być rozpięta między punktami A i B jak na rysunku,
przy czym odległość AB < `. Wyznaczyć równanie ekstremali zagadnienia pole-
gającego na minimalizacji momentu bezwładności liny względem osi x. Nazwij typ
zagadnienia.

2. Napisać równanie Eulera-Lagrange’a dla funkcjonału w postaci:

I [z(x, y)] =

Z Z

D







∂

2

z

∂x

2

+

∂

2

z

∂y

2

!

2

− 2(1 − µ)





∂

2

z

∂x

2

∂

2

z

∂y

2

−

∂

2

z

∂x∂y

!

2











dD

gdzie µ jest parametrem, zaś D jest pewnym obszarem stałym.

3. Wyznaczyć ekstremale funkcjonału:

I [y(x), z(x)] =

π

2

Z

0



2yz + (y

0

)

2

(z

0

)

2



dx

spełniające warunki brzegowe:

(

y(0) = −1
z(0) = 1











y



π

2



=

π

2

4

− 1

z



π

2



=

π

2

4

+ 1

oraz warunek dodatkowy:

y

0

+ z

0

= 4x.