1. Ciepło właściwe, definicje, związki z entalpią i energią wewnętrzną

Ciepło właściwe – energia termiczna potrzebna do podniesienia temperatury jednej jednostki
masy ciała o jedną jednostkę temperatury. W układzie SI ciepło właściwe podaje się w
dżulach na kilogram razy kelwin:

.

Ciepło właściwe jest to wielkość, która charakteryzuje każdą substancję pod względem
energetycznym.

Ciepło właściwe masowe:
Ciepło właściwe (oznaczane małą literą c) wprowadza się jako współczynnik
proporcjonalności w prawie fizycznym mówiącym, że:

Zmiana energii wewnętrznej (∆E) ciała jest proporcjonalna do masy ciała (m) i zmiany
temperatury (∆t).

Prawo to jest prawem doświadczalnym i spełnione jest z pewnym przybliżeniem oraz pod
warunkiem, że ciało nie zmienia stanu skupienia lub fazy.
Formalnie ciepło właściwe określa wzór:

gdzie:

c - ciepło właściwe, (J/kg K),
m - masa substancji,
Q - ciepło dostarczane do układu,
T - temperatura.

Ciepło właściwe ciał stałych i cieczy jest niezmienną cechą zależną tylko od struktury
chemicznej tych ciał i nie zależy od ich kształtu i rozmiarów. Ciepło właściwe większości
substancji zmienia się jednak nieznacznie ze zmianami temperatury nawet w obrębie jednego
stanu skupienia.
Wprowadza się także, przez analogię, ciepła właściwe odniesione nie do jednostki masy, lecz
do jednostki objętości lub jednego mola substancji. Nazywa się je wówczas odpowiednio
ciepłem właściwym objętościowym lub ciepłem właściwym molowym.

Energia wewnętrzna i entalpia gazów doskonałych i półdoskonałych:

du = c

v

dT

di = c

p

dT

c

p

/ c

v

= (M

c

p

) / (M

c

v

) = κ

Gazy doskonałe:

c

p

= idem, c

v

= idem

Gazy półdoskonałe:
c

p

= c

p

(T), c

v

= c

v

(T)

Ciepło właściwe gazów:
Gaz charakteryzuje się ściśliwością, czyli zmianą np. ciśnienia podczas zmiany objętości
naczynia, w którym zamknięta jest rozpatrywana ilość gazu. Ściśliwość gazów powoduje, że
inną ilość ciepła należy dostarczyć ogrzewając gaz o 1°C przy niezmiennym ciśnieniu, a inną
- przy niezmiennej objętości. W pierwszym przypadku, pozwalamy na pewną ekspansję, czyli
wzrost objętości. Powodujemy więc jakby pewne rozprężanie gazu, a więc jego pewne
ochłodzenie, czyli należy dostarczyć więcej ciepła, aby uzyskać przyrost temperatury o 1°C.
Jeśli ogrzewamy gaz przy niezmiennej objętości, to powodujemy pewne "jakby-sprężanie"
gazu, bo gaz normalnie podczas ogrzewania "chciałby" zwiększyć swoją objętość. Z
rozważań tych wynika, że ciepło właściwe przemiany realizowanej przy stałym ciśnieniu
(przemiana izobaryczna) będzie zawsze większe, niż ciepło właściwe przemiany realizowanej
przy stałej objętości (przemiana izochoryczna).
Różnica obu tych ciepeł jest równa indywidualnej stałej gazowej R, występującej w równaniu
stanu gazu doskonałego:

Natomiast stosunek obu tych ciepeł daje w wyniku wykładnik adiabaty κ:

Ciepło właściwe gazów doskonałych nie zależy od temperatury. Jeśli więc ogrzewamy 1 kg
gazu o 1°C od temperatury 0°C do 1°C, to musimy dostarczyć tyle samo ciepła, co podczas
ogrzewania od 100°C do 101°C. W przypadku gazów rzeczywistych ciepło właściwe
(zarówno c

p

jak i c

v

) jest zależne od temperatury. Rośnie ono wraz z temperaturą, a więc

ogrzewając gaz od 100°C do 101°C musimy dostarczyć więcej ciepła, niż ogrzewając tą samą
ilość gazu od 0°C do 1°C. Zmiana ta komplikuje nieco obliczenia, ponieważ nie możemy
zastosować stałej wartości ciepła właściwego do obliczeń. W takim przypadku musimy
wykorzystać tzw. średnie ciepło właściwe (ciepło przemiany od temperatury t

1

do

temperatury t

2

), określone zależnościami:

gdzie:

i

- średnie ciepła właściwe podczas ogrzewania gazu od temperatury 0°C do

t

x

. Ich zależność od temperatury t

x

dla danego gazu można znaleźć w literaturze.

2. Pierwsza zasada termodynamiki

Pierwsza zasada termodynamiki - jedno z podstawowych praw termodynamiki, jest
sformułowaniem zasady zachowania energii dla układów termodynamicznych. Istnieją różne
sformułowania tej zasady, zależnie od sytuacji:

Sformułowanie dla układu izolowanego:
Energia wewnętrzna układu termodynamicznie izolowanego nie zmienia się, niezależnie od
przemian zachodzących w tym układzie

Sformułowanie dla układu zamkniętego:
Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa sumie pracy wykonanej przez
układ bądź nad układem i ciepła dostarczonego lub oddanego przez układ

Doświadczalną podstawą pierwszej zasady termodynamiki jest doświadczenie Joule'a i
pokrewne mu, które dowodzą równoważności ciepła i pracy mechanicznej przez pokazanie
możliwości identycznej zmiany energii układu termodynamicznego przez dostarczenie ciepła
jak wykonanie pracy.

Zmiana energii wewnętrznej układu ∆U wyrażona jest zależnością:

gdzie:

Q - ciepło dostarczone do układu. Może ono przybierać wartość ujemną,
oznacza wówczas ciepło oddawane przez układ.
W - praca wykonana nad układem. Praca mniejsza od 0 oznacza pracę
wykonaną przez układ.

Ponieważ zarówno ciepło, jak i praca mogą być ujemne, ujemny być może również przyrost
energii wewnętrznej, co oznacza, że energia wewnętrzna układu może się zmniejszać.

Tło historyczne:
Niezależne od siebie rozważania i obserwacje Juliusa Mayera (1842) oraz eksperymenty
Jamesa Joule'a (1843) doprowadziły do sformułowania I zasady termodynamiki w obecnej
postaci. Wcześniej ciepło było traktowane jako zupełnie odrębna wielkość fizyczna. Uznanie
ciepła jako innego niż praca sposobu zmiany energii doprowadziło w naturalny sposób do
włączenie ciepła, jako formy energii, do zasady zachowania energii.

Energia wewnętrzna jako funkcja stanu:
Pierwsza zasada termodynamiki pozwala na zdefiniowanie energii wewnętrznej jako funkcji
stanu:
Dla wszystkich procesów prowadzących od pewnego określonego stanu do drugiego, zmiana
∆U ma zawsze tę samą wartość, choć ilości dostarczanego ciepła i wykonanej pracy są na
ogół różne dla różnych procesów.
W warunkach nieskończenie małych przyrostów, pierwsza zasada termodynamiki jest w tym
przypadku wyrażona następująco:

gdzie δQ i δW są "różniczkami niezupełnymi", tj. zależnymi od drogi; dU zaś jest "różniczką
zupełną", tj. niezależną od sposobu przebiegu procesu.

3. Bilans energii układów zamkniętych układów stacjonarnych, bilans
energii powierzchniowej

Bilans energii:

dla dowolnego układu:

E

d

= ∆E

u

+ E

w

dla procesu elementarnego o czasie trwania dτ:

E

d

dτ = dE

u

+ E

w

dτ

dla procesu przepływowego ustalonego (E

u

= idem):

Ė

d

= Ė

w

gdzie:

E

d

, E

w

– energia doprowadzona do układu i wyprowadzona;

∆E

u

– przyrost energii układu;

Ė

d

, Ė

w

– strumień energii doprowadzonej i wyprowadzonej;

4. Opisać podstawy wymiany ciepła przez przewodzenie

Przewodzenie ciepła jest to przekazywanie energii wewnętrznej między bezpośrednio
stykającymi się częściami jednego ciała lub różnych ciał. W płynach przekazywana jest
energia kinetyczna atomów i cząsteczek, a w ciałach stałych energia drgań atomów w sieci
krystalicznej i w ruchu swobodnych elektronów. Wyłącznie przez przewodzenie odbywa się
wymiana ciepła w ciałach stałych nieprzenikliwych dla promieniowania termicznego oraz w
płynach, gdy nie występują przemieszczenia względem siebie makroskopowych części płynu
(np. gdy płyn jest ogrzewany od góry).

Przewodzenie ciepła – proces wymiany ciepła między częściami ciała o różnej temperaturze,
polegający na przekazywaniu energii ruchu bezładnego cząsteczek w wyniku ich zderzeń.
Proces prowadzi do wyrównania temperatury w różnych fragmentach ciała.
Za przewodnictwo cieplne nie uznaje się przekazywanie energii w wyniku uporządkowanego
(makroskopowego) ruchu cząstek.
Ciepło płynie tylko wtedy, gdy występuje różnica temperatur od temperatury wyższej do
temperatury niższej, a z dobrym przybliżeniem dla większości substancji ilość energii
przekazanej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu jest proporcjonalna do różnicy
temperatur, co opisuje równanie różniczkowe Fouriera:

Wzór ten dla jednorodnego przewodzenia ciepła przez cienką ściankę prostopadle do jej
powierzchni w kierunku x przyjmuje postać:

gdzie:

Q - natężenie przepływu ciepła (ilość ciepła wymieniona w jednostce czasu)
λ - współczynnik przewodzenia ciepła
A - powierzchnia wymiany ciepła
T - temperatura

Dla ustalonego przepływu ciepła przez ścianę płaską, po scałkowaniu, równanie Fouriera
wygląda tak:

gdzie:

∆T - różnica temperatur po obu stronach przewodnika ciepła
d - grubość ścianki przewodnika ciepła

Dla ustalonego przepływu ciepła przez ściankę cylindryczną rury, przyjmuje postać:

gdzie:

d

2

, d

1

- odpowiednio średnica po stronie chłodniejszego i cieplejszego medium.

L - długość rury

5. Opisać podstawy konwekcyjnej wymiany ciepła

Konwekcja - proces przenoszenia ciepła wynikający z makroskopowego ruchu materii w
objętości dowolnej substancji, np. powietrza, wody, piasku itp. Czasami przez konwekcję
rozumie się również sam ruch materii związany z różnicami temperatur, który prowadzi do
przenoszenia ciepła. Ruch ten precyzyjniej nazywa się prądem konwekcyjnym.

Konwekcja jako proces:
Konwekcja jest jednym z kilku mechanizmów transportu energii cieplnej (wymiany ciepła),
np. przenoszenie za pomocą dyfuzji molekularnej, dyfuzji turbulencyjnej, adwekcja
(przenoszenie, konwekcja) ciepła. Konwekcja jest wydajnym sposobem przekazywania
ciepła, ale jednocześnie silnie zależnym od substancji i warunków w jakich zachodzi.
Konwekcja w atmosferze i wodzie ma duże znaczenie w kształtowaniu klimatu i pogody na
Ziemi.

Wyróżnia się:

Konwekcję swobodną (naturalną)- ruch cieczy lub gazu jest wywołany różnicami

gęstości substancji znajdującej się w polu grawitacyjnym.

Konwekcję wymuszoną - ruch cieczy lub gazu wywoływany jest działaniem urządzeń

wentylacyjnych, pomp itp.

Ilość przekazanego ciepła przez konwekcję zależy od szybkości ruchu płynu, dlatego w celu
zwiększenia przekazywania ciepła w komputerach, chłodnicach samochodowych itp. stosuje
się wentylatory zwiększające szybkość przepływu powietrza.

Prąd konwekcyjny:
Każda konwekcja wynika z istnienia prądu konwekcyjnego. W konwekcji naturalnej prąd ten
powodowany różnicą gęstości pomiędzy obszarami o różnej temperaturze w płynie. W stanie
stacjonarnym prądy konwekcyjne tworzą zamknięte pętle - komórki konwekcyjne. Komórka
konwekcyjna, w danych warunkach (różnicy temperatur, lepkości płynu) ma pewne
minimalne rozmiary. Jeżeli objętość, w której znajduje się płyn, jest mniejsza od minimalnego
rozmiaru komórki konwekcyjnej, wówczas prąd konwekcyjny nie powstaje i zjawisko
konwekcji nie zachodzi. Efekt ten ma kluczowe znaczenie w konstruowaniu materiałów
izolacyjnych, w których występują przestrzenie wypełnione powietrzem.

Przykłady ruchów konwekcyjnych:

gorące gazy unoszące się do góry nad płomieniem

śreżoga - rozedrgane powietrze tworzące wrażenie mgły w gorący i upalny dzień (np.

nad rozgrzanym asfaltem)

delikatny ruch wody podczas podgrzewania (widoczny w naczyniu jako ruszająca się

delikatna "mgiełka").

Prądy konwekcyjne w atmosferze są przyczyną powstawania niektórych rodzajów chmur (gł.
chmur kłębiastych: cumulus i cumulonimbus).

Zjawiska, w których występuje konwekcja: Prądy termiczne, Cyrkulacja powietrza, Ruchy
konwekcyjne astenosfery, Prąd morski, Energia prądów morskich, pływów i falowania

6. Opisać podstawy wymiany ciepła przez promieniowanie

Promieniowanie termiczne polega na wysyłaniu przez ciała o temperaturze wyższej od
temperatury zera bezwzględnego fal elektromagnetycznych, takich samych jak fale
promieniowania świetlnego, lecz obejmujących cały zakres długości fal od zera do
nieskończoności lub selektywnie tylko niektóre długości fal. W wyniku promieniowania
termicznego energia wewnętrzna ciała przekształca się w energię radiacyjną (promieniowania
elektromagnetycznego), która po napotkaniu innych ciał lub innych części tego samego ciała
częściowo lub całkowicie jest pochłaniana i przekształcana w energię wewnętrzną. Jeżeli
ilość energii wypromieniowanej jest różna od ilości energii pochłoniętej przez powierzchnię,
to powstaje radiacyjna wymiana ciepła (wymiana ciepła przez promieniowanie). Cechą
charakterystyczną radiacyjnej wymiany ciepła jest to, że nie odbywa się ona między ciałami
stykającymi się, lecz między ciałami rozdzielonymi ośrodkiem przenikliwym dla
promieniowania termicznego lub nawet próżnią.

Radiacyjna wymiana ciepła może odbywać się również między bezpośrednio stykającymi
się częściami o różnych temperaturach ośrodka emitującego, pochłaniającego i
rozpraszającego promieniowanie, tzw. ośrodka optycznie czynnego.

Często przewodzenie ciepła, konwekcyjna i radiacyjna wymiana ciepła występują
jednocześnie, lecz w praktyce inżynierskiej na ogół jeden z tych rodzajów wymiany ciepła
przeważa nad pozostałymi i może być rozpatrywany odrębnie.

Promieniowanie cieplne (termiczne) to promieniowanie, które emituje ciało mające
temperaturę większą od zera bezwzględnego. Promieniowanie to jest falą elektromagnetyczną
o określonym widmie częstotliwości. Przykładem promieniowania cieplnego jest podczerwień
emitowana przez wszystkie ciała w naszym otoczeniu (mające temperaturę zbliżoną do
temperatury pokojowej).

Promieniowanie większości ciał, z wyjątkiem rozrzedzonych gazów i barwników, jest do
siebie zbliżone posiadając wiele wspólnych cech. Fizycy wprowadzili pojęcie ciało doskonale
czarne, którego emisja w danej temperaturze jest największa ze wszystkich ciał.

Promieniowanie tła też charakteryzuje się widmem zbliżonym do promieniowania cieplnego.

7.8.9.10. Wyprowadzić równanie jednowymiarowego przewodzenia ciepła w
płycie, walcu, kuli oraz postać ogólna

Równanie przewodzenia ciepła , warunki przewodzenie ciepła jest to przekazywanie energii
wewnętrznej miedzy bezpośrednio stykającymi się częściami jednego ciała lub rożnych ciał.
Założenie - jednowymiarowe pole temp, parametry termofizyczne ciała nie zależą od
współrzędnych przestrzennych, ani od czasu - ciało izotropowe.
Dla kierunku x, y, z:
W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma 3 składowe q

x

q

z

q

y

:

q

x

= - λ(dt/dx)

q

y

= - λ(dt/dy)

q

z

= - λ(dt/dz)

gdy λ jest const. i brak wewnętrznych źródeł ciepła q

v

=0, równanie to sprowadza się do

równania różniczkowego Fouriera:













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

⋅

∇

=

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

z

t

y

t

x

t

a

t

a

t

τ

gdzie:

a – dyfuzyjność cieplna (współczynnik wyrównywania ciepła)
a= λ/ρCp[m

2

/h]

Jednowymiarowe równanie różniczkowe nieustalonego przewodzenia ciepła można
przedstawić w ogólnej postaci:

∂T / ∂t = a(∂T

2

/∂l

2

) + (k/l)(∂T/∂l)

gdzie:

k=2, l=r dla kuli;

k=1, l=r dla walca;

k=0, l=x dla płaskiej płyty.

Równanie różniczkowe nieustalonego przewodzenia ciepła w ciałach stałych daje
najogólniejszy związek między temperaturą, czasem i współrzędnymi przestrzeni, który musi
być spełniony dla każdego pola temperatury w ciele stałym. Aby z dowolnie dużej liczby
rozwiązań wybrać tylko rozwiązanie odpowiadające rozpatrywanemu zjawisku, należy
określić warunki jednoznaczności rozwiązania tego równania. Warunki jednoznaczności
rozwiązania równania różniczkowego muszą być tak sformułowane, aby istniało tylko jedno
rozwiązanie równania różniczkowego, zależne w sposób ciągły od warunków granicznych.
Wtedy postawiony problem jest sformułowany poprawnie.
Do warunków jednoznaczności rozwiązania różniczkowego nieustalonego przewodzenia
ciepła w ciałach stałych należą:

warunki geometryczne, określają kształt i wymiary ciała;

warunki fizyczne, określające właściwości fizyczne substancji, z której utworzone

jest ciało;

rozkład wydajności wewnętrznych źródeł ciepła w czasie i przestrzeni;

warunki początkowe, określające rozkład temperatury w początkowej chwili; w

szczególnym przypadku może to być warunek stałej temperatury w każdym punkcie
ciała lub warunek periodycznej zmiany temperatury;

warunki brzegowe, określające warunki wymiany ciepła na powierzchniach

zewnętrznych ciała; warunki początkowe i warunki brzegowe nazywane są łącznie
warunkami granicznymi;

11. Wyprowadzić warunki brzegowe wymiany ciepła













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

a

T

τ

Rozwiązanie powyższego równania zależy od warunków brzegowych.
Kąt nachylenia stycznej do krzywej rozkładu temperatury przy powierzchni ciała stałego
można wyznaczyć z następującej funkcji:

α

λ

λ

ϕ

p

s

s

T

-

T

q

x

T

-

tg

=

=













∂

∂

=

Interpretacja graficzna trzech rodzajów warunków brzegowych związanych z przejmowaniem
ciepła:

a) warunek brzegowy pierwszego rodzaju
b) warunek brzegowy drugiego rodzaju
c) warunek brzegowy trzeciego rodzaju

Punkt kierujący O, przez który przechodzą wszystkie styczne do krzywych rozkładu
temperatury przy powierzchni ciała stałego, znajdują się w odległości λ/α od powierzchni.
W praktyce rozróżnia się trzy rodzaje warunków brzegowych związanych z przejmowaniem
ciepła na powierzchni ciała stałego:
a) warunek brzegowy pierwszego rodzaju – znany jest rozkład temperatury we wszystkich

punktach powierzchni ciała (T

s

), nie znana jest gęstość strumienia a więc i kąt ϕ;

b) warunki brzegowe drugiego rodzaju – znany jest rozkład gęstości strumieni ciepła q, a

zatem kąt ϕ, we wszystkich punktach powierzchni ciała, nie znana jest temperatura
ścianki T

s

;

c) warunki brzegowe trzeciego rodzaju – dana jest temperatura płynu T

p

otaczającego

ciało stałe oraz współczynnik przejmowania ciepła α, nie znana jest temperatura
powierzchni ścianki T

s

.

12. Wyprowadzić rozwiązanie stacjonarnego przewodzenia ciepła w płycie

Stacjonarne przewodzenie przez ściankę płaską przy

const

=

λ

Rozważmy stacjonarne przewodzenie ciepła przez jednorodną płaską ścianę o grubości d i
powierzchni S. Temperatury na zewnętrznych powierzchniach ścianki są stałe i wynoszą odpowiednio
T

w1

i T

w2

(rys. 2). W takim wypadku przewodzenie ciepła odbywa się wyłącznie w jednym kierunku

(w poprzek ścianki) jest to więc przypadek jednowymiarowy, dla którego prawo Fouriera (1) ma
następującą postać:

dx

dT

q

λ

−

=

(2)

Rozwiązujemy równanie (2) bezpośrednio całkując stronami:

dT

qdx

λ

−

=

∫

∫

−

=

d

T

T

w

w

dT

qdx

0

2

1

λ

(

)

1

2

w

w

T

T

qd

−

−

=

λ

(

)

const

T

T

d

q

w

w

=

−

=

2

1

λ

(5)

Strumień ciepła przepływającego przez całą ściankę wynosi zatem:

(

)

2

1

w

w

T

T

d

S

Sq

Q

−

=

=

λ

(6)

Widzimy, że ilość ciepła przewodzonego przez ścianę (np. budynku) w jednostce czasu jest
proporcjonalna do:

pola powierzchni ściany S

współczynnika przewodzenia ciepła λ

różnicy temperatur obu powierzchni ściany

(

)

2

1

w

w

T

T

−

i odwrotnie proporcjonalna do grubości ściany d.

Kierunek przepływu ciepła określony jest przez kierunek i zwrot wektora Q

ρ

(rys. 2).

Z równań (2) i (5) wynika także, że rozkład temperatury w ściance jest prostoliniowy:

x

d

T

T

T

x

T

w

w

w

1

2

1

)

(

−

+

=

,

zaś gradient temperatury w dowolnym punkcie ścianki jest taki sam i wynosi :

(

)

const

d

T

T

T

grad

w

w

=

−

=

/

1

2

.

x

d

0

T

T

w1

T

w2

Q

x

d

0

T

T

w1

T

w2

Q

Rys. 2 Rozkład temperatury w jednorodnej ściance płaskiej o grubości

d. Temperatury na

zewnętrznych powierzchniach ścianki są stałe i wynoszą odpowiednio

T

w1

i

T

w2

. Wektor

Q

ρ

(strumień ciepła) określa kierunek przepływu ciepła.