Przejmowanie ciepła przez konwekcję

t_f­ - śred. temp. płynu otaczającego pow. ścianki
Wymiana ciepła między pow. ciała stałego, a omywającym tę pow. płynem może zachodzić na drodze konwekcji w płynie, promieniowania ciepła i przenikania. Występowanie tych 3 rodzajów nazywamy przejmowaniem ciepła.

Jeżeli przekazywanie ciepła między pow. ciała a omywającym tą pow. płynem wyłącznie przez konwekcję i przenikanie ciepła (w płynie), wtedy zjawisko to=przejmowanie ciepła przez konwekcję.

Strumień przekazywanego ciepła pomiędzy płynem, a pow. ciała stałego, ścianką płaską/walcową/ożebrowaną określa prawo Newtona:

Δt - różnica temp. między temp. pow. ścianki i płynu w dużej odl. (poza warstwą przyścienną)

Wart. wsp. przejm. ciepła przez konwekcję zależy od przyczyny wywołującej ruch płynu na powierzchniach wym. ciepła:

1. od ruchu naturalnego

2. od ruchu wymuszonego

Ruch naturalny cząsteczek płynu na pow. wym. ciepła wywołany jest przez różnicę gęstości płynu w warstwie przyściennej i w dużej odl. od tej warstwy (różnica gęst. wywołana różnicą temp.).

Ruch wymuszony wywołany przez maszyny przepływowe (np. wentylatory, pompy).

α _k dla r. wymuszonego zwykle >> α _k dla r. swobodnego

α _k w obu rodzajach ruchu zależy od rodzaju ruchu płynu (laminarny/przejściowy/turbulentny)

α _k najmniejsze dla laminarnego ponieważ jest uwarstwiony (słabe mieszanie się cząstek płynu; między warstwami przewodzenie ciepła), potem rośnie i największe wart. dla r. burzliwego

Wsp. przejm. ciepła jest uwikłaną f. wielu zmiennych:

c_p - ciep. właściwe przy ciś.=const.

l₁,l₂ - wymiary geom.

λ - wsp. przewodz. płynu w warstwie granicznej-płyn nieruchomy

μ/ν - dynamiczny/kinematyczny wsp. lepkości

φ - wsp. kształtu pow. wymiany ciepła

ρ - gęstość

w - prędkość płynu omyw. ściankę

Określenie α _k drogą analityczną b. trudne (dla wielu przypadków niemożliwe) stąd określa się go doświadczalnie stosując teorię podobieństwa cieplnego lub analizę wymiarową. Teoria podob. ciep. dotycząca przejm. ciep. przez konwek., jest oparta na analizie równań różniczkowych opisujących to zjawisko. Równania te związane są z r. płynu (proces mechaniczny) oraz przekazywaniem ciepła w poruszającym się płynie, a także na granicy pow. ścianki i omywaj. tą pow. płynu. Opis tego zjawiska dotyczy zatem równań r. płynu Naviera-Stokesa i ciągłości przepływającego płynu oraz równania energii Kirchoffa-Fouriera oraz równania różniczk. opisującego wym. na granicy pow. płynu.

Równanie Naviera-Stokesa

Dla płynu ustalonego

(równanie zapisane tylko dla osi x)

1)

w_x - składowa prędkości wzdłuż osi x

ρg - siła masowa

∂p/∂x - gradient ciś. statycznego

pęd jednostki obj. płynu = wywołany siłami: masową, gradientem ciśnienia, lepkości

Równanie ciągłości płynu

2)

Równanie energii w poruszającym się płynie (konwekcja) tzw. rów. Kirchoffa-Fouriera

Dla przepływu nieustalonego

3)

a - dotyczy płynu omywającego pow. ścianki

Gdy płyn nieruchomy otrzymujemy z tego rów. Fouriera

Na granicy ścianki płynu gęstość strum. przejmo. ciep. musi być równa gęst. strum. przewodz. ciep. w warstwie płynu przyklejonej do pow. ścianki - czyli płynu nieruchomego:

∂n - normalna do pow. izotermicznej

4)

Liczby podobieństwa opisujące wym. ciep. drogą przejmowania

Wyznacza się je z teorii podob. cieplnego dotyczącego zjawiska przejm. ciepła, które jest związane z ruchem płynu i przekazywaniem ciepła, stąd w opisie przejm. ciepła. przez konwek. będą to liczby mechaniczne i l. cieplne.

• Podobieństwo cieplne - występuje wśród zjawisk, w których zachodzi podob. geometr. i fizyczne (fizyczne dotyczy mechaniki płynu i przekazywania ciepła). Zjawiska te muszą być opisane tymi samymi rów. Różniczkowymi i muszą należeć do tego samego rodzaju zjawisk. Warunkiem podob. fiz. jest zachowanie podob. geom. układów. Zjawiska są opisane przez bezwymiarowe wielkości kryterialne (liczby podob.).

• Podob geom.:

podobne geometrycznie jeśli odpowiednie wym. geom. są do siebie proporcjonalne:

C­₁ - stała podob. geom.

Jeśli spełnione podob. geom. musi być spełnione fizyczne:

Przyjmując, że dowolna wielk. fizyczna (np. temp) opisana jest symbolem φ, wtedy zjawiska fiz. w ukł. podob. geom., będą podobne fiz. jeśli:

C_φ - stała podob. fiz.

Równanie to oznacza, że w odpowiadających sobie pkt. Dwóch ukł. podob. geom. odpowiednie wielk. fiz. opisujące przejm. ciep., będą do siebie proporcj.

Liczby podob. mechanicznego

Charakteryzują ruch płynu w ukł. podob. i wyznacza się je na podst. analizy rów. ruchu:

Dla 1-go ukł:

1.

Dla 2-go ukł:

2.

Zgodnie z def. podob., aby układy były podob. fizycznie, musi być zachowane podob. wszystkich pól wielk. fiz. występujących w tych rów.:

Stąd wynika, że zmienne ukł. 2 można zastąpić zmiennymi ukł. 1:

3.

Aby oba ukł. były do siebie podobne, rów. 1. i 3. muszą być identyczne. Tożsamość tych równań wynika z zależności:

Stąd:

Liczba Froude'a:

Liczba Eulera-opisuje stosunek ciś. Statycznego (p) do dynamicznego (ρw²):

Liczba Reynolds'a

l - char. wymiar liniowy charakteryzujący podob. geom. ukł.

w - char. prędkość płynu różna dla różnych przypadków konwekcji

p - ciś. statyczne

ρw² - ciś. Dynamiczne przepływającego płynu

μ/ν - dynamiczny/kinematyczny wsp. lepkości

Inne liczby podob. mech. określa się z kombinacji powyższych liczb podob. mech.

Liczba Graschoffa - określa rodzaj ruchu przy konwekcji swobodnej, wyznacza się z komb. l. Fr i Re z uwzgl. Δt

β - wsp. rozszerzalności objętościowej płynu (dla gazów β=1/T₀­; dla płynów z tablic dla t₀)

Liczby podob. cieplnego

Liczby te charakteryzują przekazywanie ciepła i wyznacza się je poprzez analizę rów. opisujących przejmowanie ciepła przez konwekcję (rów. 3) i 4)):

4.

5.

Zgodnie z def. podob., aby układy były podob. fizycznie, musi być zachowane podob. wszystkich pól wielk. fiz. występujących w tych rów.:

6.

Aby oba ukł. były do siebie podobne, rów. 4. i 5. muszą być identyczne. Tożsamość tych równań wynika z zależności:

τ - czas określający wym. ciepła (l. Fouriera stosowana jest zatem do nieustalonej wym. ciepła. Charakteryzuje przekazywanie ciepła drogą przewodzenia w zmiennym czasie)

w - prędk. char.

α - wsp. przejm. ciepła przez konwek.

λ - wsp. przewodzenia ciepła w warstwie płynu przyklejonego do ścianki

Drogą doświadczalną dla konw. swobodnej określa się rów. opisujące następującą kombinację l. podob. i wsp. stałych:

C - stały wsp.

n_i - wsp. potęgowe

Nie ma l. Re

Dla konw. wymuszonej określa się rów. obejmujące następujące zależności:

Sens fizyczny l. podob.:

Re - charakteryzuje stosunek sił bezwładności do sił lepkości płynu rzeczywistego

Gr - określa rodzaj ruchu przy konw. swobodnej. Jest miarą stos. sił wyporu w polu grawitacyjnym ziemskim do sił lepkości

Nu - miara stos. ciepła przekazywanego drogą przejmowania przy konw. do ciepła przekazywanego drogą przewodzenia w płynie

Pr - określa il. ruchu w płynie lepkim do il. ciepła przekazywanego drogą przewodzenia

---