L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

17

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

Ćwiczenie 17

2

Rys.2. Odkrycie zjawiska Halla. Między
punktami P

1

i P

2

leżącymi naprzeciwko siebie

po obu stronach próbki powstaje napięcie
elektryczne zależne od natężenia prądu I
oraz indukcji zewnętrznego pola magnetycz-
nego.

ĆWICZENIE

17

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

Ryszard Duraj

1.

Wprowadzenie

1.1

Zjawisko Halla

Przyrząd elektroniczny zwany hallotronem, którego będziemy używali do pomiaru pola magne-

tycznego, wykorzystuje

zjawisko Halla

. Efekt ten został odkryty w 1879 roku przez młodego dokto-

ranta Edwina H. Halla podczas badań nad przepływem prądu elektrycznego. Hall zastosował układ
doświadczalny przedstawiony na rysunku 2. Przez cienką folię ze złota przepuszczał prąd o natężeniu

I. Folia umieszczona była w polu magnetycznym o indukcji , prostopadłym do kierunku przepływu
prądu. Między elektrodami P

1

i P

2

umieszczonymi na bocznej powierzchni próbki powstała różnica

potencjałów, którą można było zmierzyć woltomierzem.

Przy odpowiednim doborze punktów P

1

i P

2

, w nieobecności pola magnetycznego napięcie

między nimi było równa zeru. Pojawiało się dopiero po włączeniu pola.

Natura zjawiska Halla została wyjaśniona dopiero kilkanaście lat później, kiedy odkryto elektrony i

wykazano, że są nośnikami prądu w metalach.

Rys.1. E. H. Hall (1855-
1938) – fizyk amerykański,
od 1895 r. profesor na
Uniwersytecie Harvarda.

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

3

Przyjmijmy tzw.

model elektronów swobodnych

, czyli założenie, że nośniki prądu w próbce prze-

wodzącej można uważać za swobodne, klasyczne cząstki, podobne do cząsteczek gazu. Poruszają się

one chaotycznie we wszystkich kierunkach. Pod wpływem pola elektrycznego

x

E

r

związanego z przy-

łożonym napięciem zasilania, elektrony, oprócz swego chaotycznego ruchu, dryfują w kierunku prze-

ciwnym do kierunku pola ze średnią

prędkością unoszenia

x

v

r

. Oczywiście, jest to pewna idealizacja

rzeczywistości. Ich tory przedstawiono poglądowo na rysunku 3a.

Pojawienie się pola magnetycznego

B

r

(rys. 3b) powoduje, że na elektrony dodatkowo działa

siła Lorentza:

Rys.3. Ruch elektronów w zjawisku Halla. Czerwone strzałki oznaczają tory
cząstek. Niebieskie strzałki wektorowe odpowiadają sile Lorentza, pomarańczowe
– sile elektrostatycznej. Pole magnetyczne przedstawione na rysunkach (b) i (c) ma
kierunek prostopadły do płaszczyzny rysunku i zwrócone jest w kierunku czytelni-
ka. Sytuacja (c) odpowiada stanowi równowagi. Między dolną a górną elektrodą
wytwarza się napięcie Halla. Rysunek nie uwzględnia zachodzącego równocześnie
szybkiego, chaotycznego ruchu nośników prądu.

b)

c)

a)

Ćwiczenie 17

4

=

× ,

gdzie q oznacza ładunek elektronu równy –e.

Siła Lorentza zagina tory cząstek w jednym kierunku. Pod jej wpływem, na jednej z bocznych po-

wierzchni próbki gromadzą się elektrony, a na drugiej powstaje ich niedomiar. Oznacza to, że jedna
powierzchnia próbki ładuje się ujemnie, a druga dodatnio. W miarę gromadzenia się elektronów

powstaje coraz silniejsze pole elektryczne

E

r

skierowane prostopadle do kierunku prądu (rys. 3c).

Oddziałuje ono na elektrony siłą elektrostatyczną:

=

W ciągu krótkiego czasu (rzędu 10

-14

s) wartości obu sił zrównują się i tory elektronów przestają

się zaginać. Między bocznymi powierzchniami próbki ustala się

napięcie Halla

. Sytuację tę przedsta-

wia schematycznie rysunek 4:

Rozpatrując warunek opisanej powyżej równowagi (patrz Uzupełnienie) można obliczyć powsta-

jące napięcie Halla:

U

nq h

I B

R

I B

h

H

H

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

1

1

=

, (1)

gdzie n oznacza koncentrację nośników prądu o ładunku q, h - grubość próbki (patrz rys.2), I -

natężenie prądu przepływającego przez próbkę, B - wartość indukcji pola magnetycznego.

Rys.4. Siły działające na elektron w stanie równowagi. Pole magnetyczne ma indukcję

r

B

,

natężenie prądu elektrycznego wynosi I. Prędkość unoszenia nośników prądu jest równa

r

v

x

.

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

5

Stała R

H

= 1/nq jest nazywana

stałą Halla

. Jak widać, jej znak zależy od znaku nośników prą-

du. W przypadku elektronów q = -e, co daje R

H

<0.

Dla niektórych materiałów otrzymujemy jednak dodatnią wartość R

H

. Mówimy wtedy o

ano-

malnym efekcie Halla.

Tłumaczymy go obecnością w próbce dodatnich nośników prądu -

dziur

. Do-

kładniejsze informacje można znaleźć w literaturze [1].

Ważnym parametrem jest

ruchliwość

nośników u. Wielkość tę definiujemy jako współczynnik

proporcjonalności między prędkością nośników v a wartością pola elektrycznego w próbce:

v

u E

= ⋅

.

W wielu ciałach występują zarówno elektrony jak i dziury. Dokładniejsze rozważania

uwzględniające ten fakt prowadzą do następującego wzoru na stałą Halla:

R

nk

p

e nk

p

H

=

+

-

(

+ )

2

2

,

gdzie k =u

n

/u

p

oznacza stosunek ruchliwości elektronów do ruchliwości dziur, n - koncentrację

elektronów, p - koncentrację dziur.

Eksperymentalne wyznaczanie stałej Halla pozwala uzyskać informacje m. in. o koncentracji no-

śników prądu , określić ich typ i ruchliwość .

1.2

Budowa i zastosowanie hallotronu

Efekt Halla jest podstawą działania elementu elektronicznego zwanego hallotronem.











Hallotrony wykorzystuje się przede wszystkim do wykrywania pola magnetycznego i pomiaru in-

dukcji magnetycznej, zwłaszcza w maszynach elektrycznych.

Ponadto mogą być zastosowane m. in.

•

do pomiaru natężeń silnych prądów

•

mocy prądów stałych, zmiennych i szybkozmiennych,

•

jako elementy komputerów,

•

w urządzeniach przekształcających prąd stały na zmienny,

•

w elektronice samochodowej (np. w czujniku położenia wału korbowego).

Rys.5. Hallotrony KSY-14

Ćwiczenie 17

6

Zapiszmy wzór (1) w postaci:

B

I

B

I

h

R

U

H

H

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

γ

, (2)

gdzie:

γ

=

R

h

H

nazywa się

stałą hallotronu

.

Aby uzyskać dużą wartość stałej

γ

do wykonania hallotronów stosuje się najczęściej cienkie war-

stwy z półprzewodników typu n naparowane na ceramiczne podłoże. Wykorzystywane są następu-
jące materiały: german, krzem, antymonek indu, arsenek indu, selenek rtęci, tellurek rtęci. Wykonane
z tego samego materiału hallotrony nie zawsze posiadają identyczne parametry. Dlatego każdy hallo-
tron posiada indywidualną charakterystykę. Trudno jest praktycznie tak umieścić elektrody do po-
miaru napięcia Halla, aby znajdowały się na jednej powierzchni ekwipotencjalnej. W związku z tym,
nawet w nieobecności pola magnetycznego, między tymi elektrodami istnieje zazwyczaj pewne na-
pięcie U

R

zwane

napięciem asymetrii

, proporcjonalne do natężenia prądu zasilającego hallotron. Mie-

rzone napięcie wynosi zatem:

U

U

U

I B

R I

H

R

=

+

+

=

⋅

⋅

γ

W układach pomiarowych napięcie asymetrii kompensuje się zazwyczaj elektronicznie za pomocą

odpowiednio włączonego potencjometru. Można także zmierzyć je wcześniej i odjąć od napięcia U
w celu wyznaczenia U

H

.

1.3

Solenoid jako źródło pola magnetycznego

Często używanymi źródłami pola magnetycznego są solenoidy (cewki) z prądem o odpowiednim

natężeniu. Jeżeli zależy nam na uzyskaniu pola o dużej indukcji, problemem jest chłodzenie solenoi-
du. Coraz częściej używa się, o ile jest to możliwe, cewek nadprzewodzących.

a)

b)

Rys.6. Przykłady zastosowań hallotronów: a) pomiar silnych prądów, b) przemysłowy czujnik
przepływu. Czerwony pręt na rys. b) jest magnesem.

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

7

W przypadku nieskończenie długiego solenoidu całkowite pole magnetyczne zawarte jest w jego

wnętrzu, jest polem jednorodnym i z prawa Ampere’a wynika wzór:

=

gdzie: B [T] – indukcja w środku solenoidu,
n [m

-1

] – ilość zwojów przypadająca na jednostkę długości solenoidu,

I [A]– natężenie prądu płynącego przez solenoid,

Wzór ten jest dobrym przybliżeniem dla długich solenoidów w porównaniu z ich średnicą. W in-

nym przypadku do obliczenia indukcji magnetycznej trzeba użyć prawa Biota-Savarta. Konfiguracja
pola magnetycznego przypomina przedstawioną na rysunku 7:

Jak widać, pole wychodzi poza obszar wnętrza solenoidu i nigdzie nie można go uważać za w peł-

ni jednorodne.

Rys.7. Schemat konfiguracji pola magnetycznego wytwarzanego przez sole-
noid o skończonej długości, przez który płynie prąd o natężeniu I

Rys.8. Schemat solenoidu wraz z oznaczeniami do obliczania jego

pola magnetycznego.

Ćwiczenie 17

8

Wprowadzając oznaczenia jak na rysunku 8 otrzymujemy z obliczeń:

B

I N

L

a

a

z

s

=

⋅

−

µ

0

2

1

2

cos

cos

gdzie:

(3)

Dla z = 0 (środek solenoidu) otrzymujemy:

B

I N

r

L

z

s

0

0

2

2

4

=

+

µ

(4)

2.

Metoda pomiaru

Układ pomiarowy zastosowany w ćwiczeniu przedstawiony jest na rysunku:

Rys.3. Schemat układu pomiarowego.

,

)

+

2

/

(

)

+

2

/

(

cos

2

2

1

z

L

r

z

L

a

+

−

=

2

2

2

)

-

2

/

(

)

-

2

/

(

cos

z

L

r

z

L

a

+

=

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

9

Hallotron przymocowany do długiej linijki znajduje się wewnątrz solenoidu. Można go prze-

mieszczać zarówno wzdłuż osi solenoidu , jak i wzdłuż jego poziomej średnicy, odczytując na skalach
położenie względem geometrycznego środka solenoidu.

Zaciski prądowe hallotronu połączone są w szereg z zasilaczem i potencjometrem do regulacji

prądu I. W obwodzie tym znajduje się także miliamperomierz do pomiaru tego prądu. Do zacisków
napięciowych dołączony jest woltomierz cyfrowy (multimetr) służący do pomiaru napięcia Halla.

Nawinięty na korpusie walcowym solenoid zasilany jest przy pomocy regulowanego zasilacza

prądu stałego. W jego obwodzie znajduje się także amperomierz do pomiaru prądu I

S

.

Tabela 1. Dane solenoidu

Wartość indukcji magnetycznej w geometrycznym środku solenoidu można zapisać:

B = k

.

I

s

(5)

gdzie empiryczna wartość współczynnika proporcjonalności k wynosi:

k = 0,01380 T/A

(6)

Parametr

Oznaczenie

Wartość

Promień

r

5,0 cm

Długość

L

18,8 cm

Ilość warstw

k

11

Ilość zwojów w każdej

warstwie

n

218

Całkowita liczba zwojów

N

2398

Średnica drutu Cu

d

0,65 mm

Ćwiczenie 17

10

3.

Wykonanie ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyk hallotronu – zależności napięcia Halla od natę-

żenia prądu płynącego przez hallotron w stałym polu magnetycznym, a następnie zależności napięcia
Halla od indukcji magnetycznej przy stałym prądzie zasilającym hallotron. Na podstawie tych pomia-
rów można wyznaczyć stałą hallotronu

γ

i użyć tego przyrządu do znalezienia doświadczalnego

rozkładu pola magnetycznego wzdłuż osi solenoidu.

W czasie pomiarów prąd solenoidu I

S

włącza się specjalnym przyciskiem tylko na kilkusekundowy

okres czasu, potrzebny do odczytu napięcia na woltomierzu cyfrowym, aby nie dopuścić do przegrza-
nia zwojów.

4.

Przebieg pomiarów

4.1

Wyznaczanie charakterystyki U

H

= f ( I ) przy

B = const

1.

Posługując się skalą na linijce umieszczamy hallotron w geometrycznym środku solenoidu.

2.

Wartość natężenia prądu zasilającego solenoid ustawiamy na stałą wartość I

s

=I

s0

podaną

przez prowadzącego ćwiczenie.

3.

Odczyty napięcia U wykonujemy mniej więcej co 0,5 mA dla ok. 10 różnych natężeń prądu I
zasilającego hallotron. Za każdym razem notujemy najpierw wartość pojawiającą się na wol-
tomierzu przed włączeniem pola. Jest to napięcie asymetrii U

R

. Aby obliczyć napięcie Halla,

trzeba od wartości napięcia U, odczytanej na woltomierzu cyfrowym po włączeniu pola, każ-
dorazowo odjąć U

R

. Wyniki notujemy w tabelce:

Tabela 2. Charakterystyka hallotronu U

H

=f(I) dla B=const=B

0

4.2

Wyznaczanie charakterystyki U

H

= f ( B ) przy

I = const

1.

Podobnie, jak w poprzednim przypadku umieszczamy hallotron w środku solenoidu.

2.

Wartość natężenia prądu zasilającego hallotron ustawiamy na stałą wartość I=I

0

podaną

przez prowadzącego ćwiczenie.

3.

Zapisujemy wartość napięcia asymetrii U

R

odpowiadającą nastawionej wartości natężenia

prądu hallotronu.

I

s0

[mA] =

B

0

[mT]

= k * I

s0

=

L.p.

Natężenie prądu

hallotronu I

[mA]

Napięcie asy-

metrii U

R

[mV]

Napięcie hallotronu U

po włączeniu pola

[mV]

Napięcie Halla

U

H

= U - U

R

[mV]

1.

2.

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

11

4.

Odczyty napięcia U wykonujemy mniej więcej co 0,2 A dla ok. 10 różnych natężeń prądu I

s

zasilającego solenoid. Za każdym razem od napięcia U odczytanego na woltomierzu odejmu-
jemy napięcie asymetrii, aby obliczyć napięcie Halla. Wpisując dane do tabelki przemnażamy
wartości prądu solenoidu przez współczynnik k , co daje nam wartości indukcji magnetycznej
w miejscu hallotronu .

Tabela 3. Charakterystyka hallotronu U

H

= f(B) dla I=const=I

0

I

0

[mA]

=

U

R

[mV] =

L.p.

Natężenie prądu

solenoidu I

s

[mA]

Indukcja w środku

solenoidu B

= k * I

s

[mT]

Napięcie hallotronu
U po włączeniu pola
[mV]

Napięcie Halla

U

H

= U - U

R

[mV]

1.

2.

4.3

Wyznaczanie rozkładu pola magnetycznego wzdłuż osi so-
lenoidu przy pomocy hallotronu

1.

Ustawiamy stałe wartości prądu zasilającego hallotron I = I

0

oraz prądu zasilającego soleno-

id I

s

= I

s0

i zapisujemy je. Odczytujemy wartość napięcia asymetrii.

2.

Poluzowujemy śruby uchwytów mocujących linijkę z hallotronem,

3.

Wykonujemy serię odczytów napięcia U dla różnych położeń z hallotronu względem geome-
trycznego środka solenoidu. Pomiary wykonujemy co 2 cm. Położeniom na lewo od środka
odpowiada ujemna wartość z, na prawo – dodatnia.

4.

Wyniki notujemy w tabelce:

Tabela 4. Zależność napięcia Halla od położenia hallotronu

I [mA] =

I

s

[mA] =

U

R

[mV] =

L.p.

Położenie wzgl.

środka solenoidu

z [cm]

Napięcie hallotronu

po włączeniu pola

U [mV]

Napięcie Halla

U

H

= U - U

R

[mV]

1.

2.

Ćwiczenie 17

12

5.

Obliczenia

1.

Rysujemy wykresy zależności U

H

(I) oraz U

H

(B). Na podstawie wzoru (2) spodziewamy się za-

leżności liniowych. Do punktów doświadczalnych dopasowujemy zatem proste metodą regre-
sji liniowej (najlepiej przy pomocy komputera). Przyjmijmy, że w pierwszym przypadku nachy-
lenie dopasowanej prostej wynosi a

1

±u(a

1

), w drugim przypadku a

2

±u(a

2

). Niepewności stan-

dardowe nachyleń podaje zazwyczaj program komputerowy.

2.

Na podstawie znajomości nachyleń wykresów możemy obliczyć zarówno z pierwszego jak i z
drugiego wykresu stałą hallotronu

γ

:

=

=

=

3.

Jako ostateczną wartość stałej hallotronu przyjmujemy średnią arytmetyczną obu wartości:

=

+

2

4.

Obliczamy niepewność standardową stałej hallotronu

=

+

, przy

czym:

=

!

+

"

#$

$

oraz

=

!

+

"

$$

$

. Obliczanie

niepewności odczytu z mierników cyfrowych

oraz

należy skonsultować z

prowadzącym ćwiczenie.

5.

Używając wyznaczonej stałej

γ

przeliczamy wartości napięcia Halla z tabeli 4 na indukcję ma-

gnetyczną B w miejscu hallotronu.

6.

Rysujemy wykres B(z) – rozkład pola magnetycznego wzdłuż osi solenoidu . Wielkości punk-
tów pomiarowych (prostokąty błędów) powinny odpowiadać ±u(B) oraz ±u(z).

6.

Dyskusja wyników

W ramach dyskusji należy podać ewentualne przyczyny błędów systematycznych mogących

wpłynąć na wyniki.

Bardziej zaawansowani studenci mogą obliczyć (np. przy pomocy Excela) teoretyczny rozkład pola

wzdłuż osi solenoidu ze wzorów (3), bazując na danych solenoidu podanych w tabeli 1. To pozwala
porównać rozkład doświadczalny z teoretycznym i przedyskutować różnice.

7.

Uzupełnienie: wyprowadzenie wzoru na napięcie Halla

W warunkach równowagi siły Lorentza i siły elektrostatycznej zachodzi równość:

x

qv

Eq =

a stąd:

Badanie pola magnetycznego za pomocą hallotronu

13

B

v

E

x

=

(7)

Pole elektryczne E

jest związane z potencjałem Halla U

H

w następujący sposób:

d

U

E

H

=

(8)

Łatwo wykazać, z definicji natężenia prądu, że:

I

nqSv

x

=

gdzie: n - ilość nośników w jednostce objętości próbki (koncentracja),
S - pole powierzchni przekroju próbki.
W naszym przypadku S = hd , zatem:

I

nqhdv

x

=

stąd:

v

I

nqhd

x

=

(9)

Podstawiając równania (8) i (9) do równania (7) otrzymujemy:

U

d

I

nqhd

B

H

=

⋅

,

skąd:

U

nq h

I B

R

I B

h

H

H

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

1

1

=

.

8.

Literatura

[1] D.Halliday, R.Resnick, J.Walker: Podstawy fizyki, t.4, PWN, Warszawa 2003, s.192-194.

[2] C.Kittel: Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999, s.187-190.

[3] F.Kaczmarek: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 1982,
s.227-232,

[4] A. Januszajtis: Fizyka dla politechnik t.II. Pola, PWN, Warszawa 1986, s.292-294.