SKALARY I WEKTORY

SKALARY

   Skalarem nazywamy wielkość
całkowicie określoną przez jedną
liczbę.

Przykłady wielkości fizycznych skalarnych:
masa – m, temperatura – T, energia –
E, potencjał elektryczny – V, praca – W,
gęstość – ρ, ładunek elektryczny – q, czas
– t

WEKTORY

Wielkości, które wymagają do
pełnego określenia podania:
wartości, kierunku, zwrotu, oraz
punktu przyłożenia nazywamy
wektorami.

Obrazem geometrycznym wektora
jest odcinek skierowany. Wektor
oznacza się pogrubioną literą lub
literą ze strzałką (kreską) nad literą.

Przykłady wielkości fizycznych
wektorowych:
prędkość - υ, przyspieszenie - a, siła - F,
pęd – p, natężenie pola elektrycznego -
E, wektor indukcji magnetycznej – B,
położenie (wektor wodzący punktu
materialnego) - r.

Wektory A i B są równe, jeżeli maja
równe długości, ten sam kierunek i
zgodne zwroty. Wektory różniące się
tylko zwrotem nazywają się wektorami
przeciwnymi: |A| = |-A|.

DZIAŁANIA NA WEKTORACH

DODAWANIE WEKTORÓW

Sumę wektorów można znaleźć
geometryczną metodą zwaną metodą
równoległoboku.
Z jednego punktu wykreślamy wektory A i B.
W równoległoboku zbudowanym na tych
wektorach - przekątna wychodząca ze
wspólnego punktu jest poszukiwaną

sumą:

C = A + B.

Dodawanie wektorów jest przemienne:

A + B = B + A

Odejmowanie wektora definiuje się jako

dodawanie wektora przeciwnego:

A – B = A + (-B)

A – B = D

Poszukiwaną różnicą wektorów jest druga

przekątna równoległoboku, przy czym

B – A = -D

Wektory można również dodawać
metodą wieloboku (metodą trójkąta przy
sumie dwu wektorów).

Z dowolnego punktu wykreśla się wektor
A, z końca wektora A wykreśla się wektor
B. Wektor C, którego początek pokrywa się
z początkiem wektora A, zaś koniec z
końcem wektora B, nazywa się sumą
wektorów A i B.

Podobnie tworzy się sumę n wektorów.
Sumą danych n wektorów nazywa się
wektor wypadkowy łączący początek

pierwszego wektora z końcem ostatniego.

Na przykład

Gdy ciało podlega równocześnie
dwom (kilku) niezależnym
przemieszczeniom - mówi się o
składaniu ruchów lub o dodawaniu
wektorów reprezentujących dane
przemieszczenia.

Podobnie, jeśli na ciało działa n
niezależnych sił – należy znaleźć siłę
wypadkową, czyli sumę wektorową
wszystkich n sił











n

i

i

F

F

1

SKŁADOWE WEKTORA

Każdy wektor można rozłożyć na dowolną

ilość wektorów składowych.

Rozkładanie jest to działanie odwrotne do

składania.

Np. wektor A można w trójwymiarowej

przestrzeni,w prawoskrętnym
prostokątnym układzie współrzędnych
rozłożyć na składowe A

x,

A

y,

A

z,

przy czym:

A = A

x

+ A

y

+ A

z,

A = A

x

+ A

y

+ A

z

lub A = i A

x

+ j A

y

+ k A

z

gdzie i, j, k - wersory, czyli jednostkowe

wektory skierowane wzdłuż osi x, y lub z,
odpowiednio, lub A = [A

x,

A

y

, A

z

]

A

x

, A

y

, A

z

– to współrzędne końca wektora A,

(jeśli współrzędne początku wektora wynoszą (0,0,0),

czyli gdy początek wektora znajduje się w początku
układu odniesienia). Inaczej, A

x

jest rzutem

prostokątnym wektora A

na oś x-ów, A

y

- rzutem

wektora A

na oś y-ów, A

z

- rzutem A

na oś z-ów

.

y

z

i

j

k

x

Długość wektora A wynosi

A= A = ( A

x

2

+ A

y

2

+ A

z

2

)

0.5

.

Kierunek wektora A w układzie (x,y,z)

podaje się poprzez tzw. cosinusy
kierunkowe:

cosα = A

x

/A, cosβ = A

y

/A,

cosγ = A

z

/A ,

gdzie α,β,γ – to kąty jakie tworzy wektor A z

odpowiednimi osiami, (z osią x-ów, y-ów
oraz z-ów, odpowiednio).

Składowe sumy (różnicy) wektorów

są równe sumie (różnicy) składowych wektorów. Dla

dwu wektorów A i B, wypadkowy wektor C:

C=A ± B=[A

x

± B

x,

A

y

± B

y

, A

z

±

A

z

] =[C

x,

C

y

, C

z

]

Na przykład wektor wodzący punktu na

płaszczyźnie można przedstawić następująco:
r = r

x

+r

y

= x + y = i x + j y

Długość wektora: r = ( x

2

+ y

2

)

0.5

.

Cosinusy kierunkowe wynoszą :
cosα = x/r, cosβ = y/r.

Jak łatwo zauważyć, wystarczy wyznaczyć jeden z kątów, gdyż

drugi jest uzupełnieniem do kąta prostego

.

 

MNOŻENIE WEKTORA PRZEZ

SKALAR

W wyniku mnożenia wektora A przez skalar λ

dostajemy wektor λA.

Długość wektora B wynosi B =│λA│ = λA.
Kierunek wektora B jest zgodny z kierunkiem

wektora A,

zwrot zgodny lub przeciwny ze zwrotem A
(dla λ dodatniego lub ujemnego, odpowiednio).
Jeśli każdą składową wektora A pomnożymy przez

stałą λ, to nowy wektor ma składowe:

B = λA = [λA

x,

λA

y

, λA

z

] = [B

x

, B

y

, B

z

]

Przykłady z fizyki

pęd p

:

p = m υ

siła F:

F = m a

moment siły M:
M = I ε
gdzie m – masa jest wielkością skalarną, I – moment

bezwładności jest skalarem, υ – prędkość jest

wielkością wektorową, a - przyspieszenie jest

wektorem, ε – przyspieszenie kątowe.

ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW

Iloczynem skalarnym wektorów A i B nazywamy

iloczyn długości tych wektorów i cosinusa

(mniejszego) kąta zawartego między nimi:

A ∙ B = AB cosφ = C

Iloczyn

skalarny wektorów jest skalarem (liczbą).

Kropka jest często używanym symbolem skalarnego

mnożenia wektorów

.

Mnożenie skalarne jest przemienne, tzn

.

A ∙ B = B ∙ A

oraz rozdzielne względem dodawania

A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C

Według geometrycznej interpretacji

iloczyn skalarny jest długością jednego wektora
przez długość rzutu drugiego wektora na pierwszy.
Z definicji iloczynu skalarnego wynika:
A ∙ B = (i A

x

+ j A

y

+ k A

z

) (i B

x

+ j B

y

+ k B

z

) =

A

x

B

x

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

gdyż
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = j · k = k · i = 0

Gdy mnożone wektory są

prostopadłe względem siebie

(φ = π/2) to A ∙ B = 0.
Jeśli obydwa wektory iloczynu są jednakowe, to A ∙ A = A

2

.

Przykłady iloczynu skalarnego w
fizyce

Praca
ΔW = F ·Δs = F Δs cosφ

gdzie F jest wektorem siły, Δs jest tzw. przesunięciem
skierowanym (czyli wielkością wektorową), φ jest kątem
zawartym między wektorem siły i wektorem przesunięcia

.

Energia kinetyczna
E

k

= m υ

2

/ 2 = m υ

2

/ 2

gdzie m - masa; υ – wektor prędkości ciała, przy czym υ ∙ υ =

υ

2

, gdyż kąt między mnożonymi wektorami φ = 0 (a więc

cosφ = 0).

ILOCZYN WEKTOROWY

WEKTORÓW

Iloczynem wektorowym wektorów A i B jest wektor

D, który jest prostopadły do wektorów A i B (do

płaszczyzny w której leżą) i tworzy z nimi układ

prawoskrętny:
A x B = D

Długość wektora D = AB sinφ,

gdzie φ oznacza kąt zawarty między mnożonymi wektorami; jest
zatem równa polu równoległoboku o bokach A oraz B.
Mnożenie wektorowe często oznacza się symbolem x.

Kierunek i zwrot wektora D znajduje się za pomocą

reguły

prawej śruby (korkociągu).

i

A B

r

r

�

A B

r

r



A

r

B

r

�

B

A

r

r

Mnożenie wektorowe nie jest przemienne

A x B = - B x A
ale jest rozdzielne względem dodawania

A x (B + C) = A x B + A x C

Iloczyn wektorowy można zapisać

:

A x B= (i A

x

+j A

y

+k A

z

) x (i B

x

+j B

y

+k B

z

)

=

i(A

y

B

z

–A

z

B

y

)+j(A

z

B

x

–A

x

B

z

) +k(A

x

B

y

– A

y

B

x

) =

i D

x

+ j D

y

+ k D

z

lub zapisać za pomocą wyznacznika

 

gdzie

i x i = j x j = k x k =

0

i x j = k
j x k = i
k x i = j

Iloczyny wektorowe w fizyce

Przykładem relacji wektorowej pomiędzy

wektorami w fizyce jest np.

• moment siły M = r x F (r – wektor

wodzący, zwany ramieniem siły F),

• moment pędu K = r x p (p – pęd),
• wektor indukcji magnetycznej B F =

q (υ x B) (siła F działająca na cząstkę o

ładunku q poruszającą się z prędkością υ

w polu magnetycznym o wektorze

indukcji magnetycznej B).

Iloczyn mieszany

A

x

(B

x

C) = B (A · C) - C (A · B)

 

    

POLE SIŁ

Źródłem pola (przestrzeni w której na ciała

działają siły) jest cząstka materialna o

określonych właściwościach.

Pole jako przestrzeń nabywa właściwości od

obiektów fizycznych, czyli źródeł.

Jeśli na jakieś ciało działa pole sił, to ciało to

również wytwarza własne pole sił tego

samego rodzaju.

Oddziaływanie wzajemne dwóch ciał odbywa

się wg schematu: cząstka – pole – cząstka.

Pole skalarne, pole wektorowe

Przestrzeń w której dla każdego punktu

został zdefiniowany wg określonego

prawa skalar (wektor) nazywamy polem

skalarnym (wektorowym).

Np. pole temperatury czy pole potencjału

elektrycznego są polami potencjalnymi,

gdyż T(x,y,z) oraz V(x,y,z) są funkcjami

skalarnymi. Zaś pole elektryczne jest

polem wektorowym, bo E(x,y,z), czyli

natężenie pola elektrycznego jest funkcją

wektorową.

Przykłady pól w fizyce

źródłem pola grawitacyjnego jest

masa ciała – więc siła grawitacyjna

działa na masę innego ciała

źródłem pola elektrycznego jest

ładunek cząstki – siła elektryczna

działa na ładunek innej cząstki

źródłem pola magnetycznego jest

ładunek w ruchu (prąd elektryczny),

lub stały magnes