Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

1/69

A

B

X

Y=Y

0

Z=Z

0

dA

Z

P

Y

P

y

P

z

P

Pole powierzchni:





A

dA

A

Momenty statyczne:

Osiowe momenty bezwładności:

Dewiacyjny moment bezwładności:

dA

z

S

A

P

YP







dA

y

S

A

P

ZP







dA

z

J

A

2

P

YP







dA

y

J

A

2

P

ZP







dA

z

y

J

P

A

P

YPZP









Osiowe momenty bezwładności są zawsze

większe od zera

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

2/69

Moment dewiacyjny figury z osią symetrii

0

dA

z

y

J

A

P

P

YPZP











Z

P

Y

P

dA

y

P

z

P

dA

-y

P

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

3/69

Środek ciężkości przekroju pręta

Z

P

Y

P

Y

0

Z

0

y

C

sc

z

C

















n

i

i

i

n

i

i

Pi

i

C

A

y

A

y

1

1

A

S

y

ZP

C



A

S

z

YP

C



















n

i

i

i

n

i

i

Pi

i

C

A

z

A

z

1

1

Oś środkowa - oś, względem której moment statyczny wynosi zero

Środek ciężkości – punkt przecięcia się dwóch osi środkowych

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

4/69

Z

P

Y

P

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

5/69

Z

P

Y

P

A

1

A

2

A

3

sc

1

sc

2

sc

3

y

P1

y

P2

y

P3

z

P

1

z

P

2

z

P

3

3

2

1

3

P

3

2

P

2

1

P

1

C

A

A

A

y

A

y

A

y

A

y

















3

2

1

3

P

3

2

P

2

1

P

1

C

A

A

A

z

A

z

A

z

A

z

















Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

6/69

Z

P

Y

P

A

1

sc

1

A

2

sc

2

A

3

sc

3

y

P1

y

P2

y

P3

z

P

1

z

P

3

z

P

2

3

2

1

3

P

3

2

P

2

1

P

1

C

A

A

A

y

A

y

A

y

A

y

















3

2

1

3

P

3

2

P

2

1

P

1

C

A

A

A

z

A

z

A

z

A

z

















Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

7/69

Właściwości środka ciężkości:

1. Środek ciężkości może znajdować się w punkcie poza przekrojem pręta.

2. Jeżeli przekrój posiada jedną oś symetrii to środek ciężkości

znajduje się na

niej.

3. Jeżeli przekrój posiada dwie osie symetrii to środek ciężkości znajduje się w punkcie
ich przecięcia.

4. Jeżeli przekrój posiada więcej niż dwie osie symetrii to wszystkie osie przecinają się
w środku ciężkości.

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

8/69

sc

1

sc

2

sc

sc

1

sc

2

sc

3

sc

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

9/69

Twierdzenie Steinera

Y

0

Z

0

sc

Z

Y

y

C

z

C

A

z

J

J

2

C

0

Y

Y







A

y

J

J

2

C

0

Z

Z







A

z

y

J

J

C

C

0

Z

0

Y

YZ

























n

i

1

i

i

2

i

0

i

0

Y

0

Y

A

z

J

J

















n

i

1

i

i

2

i

0

i

0

Z

0

Z

A

y

J

J



















n

i

1

i

i

i

0

i

0

i

0

iZ

0

Y

0

Z

0

Y

A

z

y

J

J

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

10/69

A

1

A

2

A

3

sc

Y

0

Z

0

sc

1

Z

01

Y

01

sc

2

Z

02

Y

02

sc

3

Z

03

Y

03

y

01

y

02

y

03

z

01

z

02

z

03

3

2

03

03

Y

2

2

02

02

Y

1

2

01

01

Y

0

Y

A

z

J

A

z

J

A

z

J

J



















3

2

03

03

Z

2

2

02

02

Z

1

2

01

01

Z

0

Z

A

y

J

A

y

J

A

y

J

J



















3

03

03

03

Z

03

Y

2

02

02

02

Z

02

Y

1

01

01

01

Z

01

Y

0

Z

0

Y

A

z

y

J

A

z

y

J

A

z

y

J

J

























Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

11/69

A

1

A

2

A

3

sc

Y

0

Z

0

sc

1

Z

01

Y

01

sc

2

Z

02

Y

02

sc

3

Z

03

Y

03

y

01

y

02

y

03

z

0

1

z

0

3

z

02









3

2

03

03

Y

2

2

02

02

Y

1

2

01

01

Y

0

Y

A

z

J

A

z

J

A

z

J

J



























3

2

03

03

Z

2

2

02

02

Z

1

2

01

01

Z

0

Z

A

y

J

A

y

J

A

y

J

J



























3

03

03

03

Z

03

Y

2

02

02

02

Z

02

Y

1

01

01

01

Z

01

Y

0

Z

0

Y

A

z

y

J

A

z

y

J

A

z

y

J

J

























Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

12/69

Transformacja układu współrzędnych

Y

0

Z

0

Y

0'

Z

0'

a)

a>0

Y

0

Z

0

Y

0'

Z

0'

b)

a<0









a

a



















2

J

2

2

J

J

2

J

J

J

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

0

Y

sin

cos

'









a

a



















2

J

2

2

J

J

2

J

J

J

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

0

Z

sin

cos

'









a

a















2

J

2

2

J

J

J

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

cos

sin

'

'

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

13/69

Główne momenty bezwładności





0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

gl

J

J

J

2

2

tg











a









gl

0

Z

0

Y

gl

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

Ygl

2

J

2

2

J

J

2

J

J

J

a

a



















sin

cos









gl

0

Z

0

Y

gl

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

Zgl

2

J

2

2

J

J

2

J

J

J

a

a



















sin

cos

2

0

Z

0

Y

2

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

2

1

J

2

J

J

2

J

J

J























/









Zgl

Ygl

1

J

J

J

max









Zgl

Ygl

2

J

J

J

min

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

14/69

Niezmienniki momentów bezwładności

Zgl

Ygl

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

1

J

J

J

J

J

J

I













'

'

Zgl

Ygl

2

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

2

0

Z

0

Y

0

Z

0

Y

2

J

J

J

J

J

J

J

J

I

















'

'

'

'

Niezmiennik – wielkość fizyczna, która nie zmienia wartości

przy obrocie układu współrzędnych

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

15/69

Momenty bezwładności prostokąta

Z=Z

0

=Z

gl

Y=Y

0

=Y

gl

b

h

h

2

h

2

b

2

b

2











A

2

Ygl

0

Y

Y

dA

z

J

J

J

d

z

dz

b

dA





z















2

h

2

h

2

Ygl

0

Y

Y

dz

b

z

J

J

J















2

h

2

h

2

Ygl

0

Y

Y

dz

z

b

J

J

J

2

h

2

h

3

Ygl

0

Y

Y

3

z

b

J

J

J























12

h

b

24

h

24

h

b

J

J

J

3

3

3

Ygl

0

Y

Y





























Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

16/69

Momenty bezwładności prostokąta

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

b

h

b

2

b

2

h

2

h

2

12

wymiar

wymiar

J

3

2

1

oś





12

h

b

J

J

3

Ygl

0

Y







12

b

h

J

J

3

Zgl

0

Z







0

J

0

Z

0

Y



Wymiar

1

– wymiar równoległy do osi

Wymiar

2

– wymiar prostopadły do osi

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

17/69

Momenty bezwładności trójkąta prostokątnego

36

wymiar

wymiar

J

3

2

1

oś





36

h

b

J

J

3

Ygl

0

Y







36

b

h

J

J

3

Zgl

0

Z







Z=Z

0

Y=Y

0

b

h

h

3

2

3

h

b

3

2
3

b

Wymiar

1

– wymiar równoległy do osi

Wymiar

2

– wymiar prostopadły do osi

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

18/69

Moment dewiacyjny trójkąta prostokątnego

72

h

b

J

2

2

0

Z

0

Y





Z

0

Y

0

dodatnia

dodatnia

ujemna

ujemna









A

0

0

0

Z

0

Y

dA

z

y

J

Z=Z

0

Y=Y

0

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

19/69

Momenty bezwładności trójkąta równoramiennego

36

h

b

J

J

3

0

Y

Y







48

b

h

J

J

3

0

Z

Z







0

J

0

Z

0

Y



Z=Z

0

=Z

gl

Y=Y

0

=Y

gl

b

h

h

3

2

3

h

b

2

b

2

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

20/69

Momenty bezwładności przekroju kołowego

Z=Z

0

=Z

gl

Y=Y

0

=Y

gl

R

4

R

J

J

J

4

Ygl

0

Y

Y











4

R

J

J

J

4

Zgl

0

Z

Z











0

J

0

Z

0

Y



Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

21/69

Momenty bezwładności połówki koła

Z=Z

0

=Z

gl

Y=Y

0

=Y

gl

R

R

R

e

R

4244

0

3

R

4

e











,



4

Ygl

0

Y

Y

R

1098

0

J

J

J









,

8

R

J

J

J

4

Zgl

0

Z

Z











0

J

0

Z

0

Y



Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

22/69

Momenty bezwładności ćwiartki koła

R

4244

0

3

R

4

e











,



4

0

Y

Y

R

05488

0

J

J







,

4

0

Z

Z

R

05488

0

J

J







,

R

R

Z=Z

0

Y=Y

0

e

e

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

23/69

Moment dewiacyjny ćwiartki koła

4

0

Z

0

Y

R

01647

0

J



 ,

Z

0

Y

0

dodatnia

dodatnia

ujemna

ujemna









A

0

0

0

Z

0

Y

dA

z

y

J

Z=Z

0

Y=Y

0

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

24/69

Momenty bezwładności blachownicy dwuteowej

4,

0

20,0

28

,0

4,

0

2,0

[cm]

sc

18

,0

18

,0

10,0

10,0

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

25/69

Momenty bezwładności blachownicy dwuteowej

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

sc

Z

01

Y

01

sc

1

Z

02

Y

02

sc=sc

2

Z

03

Y

03

sc

3

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

4,

0

14

,0

[cm]

2,0

16

,0

16

,0

cm

0

16

z

cm

0

0

y

01

01

,

,

,







cm

0

0

z

cm

0

0

y

02

02

,

,

,





cm

0

16

z

cm

0

0

y

03

03

,

,

,









 

4

2

3

2

3

2

3

Ygl

0

Y

cm

44830

0

4

0

20

0

16

12

0

4

0

20

0

28

0

2

0

0

12

0

28

0

2

0

4

0

20

0

16

12

0

4

0

20

J

J



































,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

 

4

2

3

2

3

2

3

Zgl

0

Z

cm

5352

0

4

0

20

0

0

12

0

20

0

4

0

28

0

2

0

0

12

0

2

0

28

0

4

0

20

0

0

12

0

20

0

4

J

J

































,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

26/69

Momenty bezwładności blachownicy dwuteowej

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

sc

Z

01

Y

01

sc=sc

1

Z

02

Y

02

sc

2

Y

03

Z

03

sc

3

4,

0

14

,0

4,

0

14

,0

36

,0

20,0

[cm]

9,0

9,0

2,0

cm

0

0

z

z

z

03

02

01

,







4

3

3

2

3

2

3

2

3

Ygl

0

Y

cm

44830

12

0

28

0

9

2

12

0

36

0

20

0

28

0

9

0

0

12

0

28

0

9

0

28

0

9

0

0

12

0

28

0

9

0

36

0

20

0

0

12

0

36

0

20

J

J





































































,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

27/69

Momenty bezwładności blachownicy dwuteowej

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

s

g

h

h

S





12

h

g

s

12

h

s

J

J

3

S

3

Ygl

0

Y













Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

28/69

Momenty bezwładności blachownicy teowej

4,

0

20,0

28

,0

2,0

[cm]

Z

0

=Z

P

10,0

10,0

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

29/69

Momenty bezwładności blachownicy teowej

Z

0

=Z

P

sc

1

sc

2

Y

P

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

14

,0

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

cm

0

2

2

0

4

z

1

P

,

,





2,

0

cm

0

18

2

0

28

0

4

z

2

P

,

,

,







18

,0

cm

588

8

z

0

28

0

2

0

20

0

4

0

18

0

28

0

2

0

2

0

20

0

4

z

C

C

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,





















Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

30/69

Momenty bezwładności blachownicy teowej

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

14

,0

8,

58

8

Z

0

=Z

gl

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

Y

0

=Y

gl

23

,4

1

sc

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

31/69

Momenty bezwładności blachownicy teowej

Y

0

=Y

gl

sc

Z

0

=Z

gl

sc

1

Z

01

Y

01

sc

2

Z

02

Y

02

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

14

,0

[cm]

4,

0

28

,0

8,

58

8

C

Pi

oi

y

y

y





cm

588

6

588

8

0

2

y

01

,

,

,









cm

412

9

588

8

0

18

y

02

,

,

,







6,

58

8

9,

41

2

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

32/69

Momenty bezwładności blachownicy teowej

cm

588

6

z

cm

0

0

y

01

01

,

,

,







cm

412

9

z

cm

0

0

y

02

02

.

,

,









4

2

3

2

3

Ygl

0

Y

cm

12200

0

28

0

2

412

9

12

0

28

0

2

0

4

0

20

588

6

12

0

4

0

20

J

J



























,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

14

,0

6,

58

8

Y

0

=Y

gl

sc

1

sc

2

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

9,

41

2

sc

Z

0

=Z

gl

Z

01

Y

01

Z

02

Y

02

8,

58

8

4

2

3

2

3

Zgl

0

Z

cm

2685

0

28

0

2

0

0

12

0

2

0

28

0

4

0

20

0

0

12

0

20

0

4

J

J

























,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

18/69

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

18/69

Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Dr inż. Janusz Dębiński

18/69