Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów”

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów”

Arkusz 0

Arkusz 0

1: Charakterystyki przekrojowe

1: Charakterystyki przekrojowe

1. Definicje, twierdzenia, wzory

Podstawy teoretyczne związane z charakterystykami geometrycznymi należy opanować na podstawie pierwszych
ćwiczeń oraz dostępnej literatury. Zwracam uwagę na to, że w książkach oznaczenia i indeksy mogą być inne niż przyjęte
na ćwiczeniach. Na ćwiczeniach oś pozioma ma indeks y, zaś pionowa z.

• Pojęcia, które należy znać: moment statyczny, moment bezwładności, moment dewiacji, biegunowy
moment bezwładności, promień bezwładności.

• Obliczanie współrzędnych środka ciężkości figury.

• Własności osi symetrii figury.

• Twierdzenie Steinera.

• Wzory na momenty bezwładności i dewiacji dla prostych figur geometrycznych (prostokąt, trójkąt,
ćwiartka koła, koło) w osiach stycznych i centralnych.

Źródła: notatki z ćwiczeń, [1], [3].

2. Charakterystyki geometryczne przekrojów symetrycznych

Przykład stanowią zadania rozwiązane na ćwiczeniach.

Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów symetrycznych złożonych z podstawowych
figur prostych. Zastosowanie w praktyce tw. Steinera.

Jako poszerzające wiedzę z ćwiczeń można rozwiązać zadania: 7.2 / str. 80 i 7.7 / str 82 z książki [2].

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

3. Charakterystyki geometryczne przekrojów niesymetrycznych

Zadanie 1
Dla zadanego kątownika obliczyć jego główne centralne momenty bezwładności

Przed przystąpieniem do obliczeń, wybrany zostaje podstawowy układ odniesienia yz. Następnie należy przyjąć podział
na figury proste: duży prostokąt o bokach 4 i 5 cm, oraz mały prostokąt o bokach 2,5 oraz 4 cm, który będzie
odejmowany od prostokąta dużego, w ten sposób uzyskując kształt kątownika.

(1) Moment statyczny

S

y

=

[

(

4

⋅5

)

⋅

(

1

2

⋅5

)

] [

(

2,5

⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅4

)

]

= 50 20 = 30 cm

3

S

z

=

[

(

4

⋅5

)

⋅

(

1
2

⋅4

)

] [

(

2,5

⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅2,5

)

]

= 50 20 = 30 cm

3

(2) Położenie środka ciężkości

y

c

=

S

z

4

⋅5 2,5⋅4

= 2,75 cm

z

c

=

S

y

4

⋅5 2,5⋅4

= 3cm

(3) Centralne momenty bezwładności

Aby obliczyć centralny moment bezwładności, należy zauważyć, że żaden z boków przyjętych figur nie jest styczny do
tych osi, ani też ich środki ciężkości nie leżą na osiach centralnych całego układu. W związku z tym, należy skorzystać z
twierdzenia Steinera. Można to zrobić na dwa sposoby. Albo „przenosić się” ze środka ciężkości każdej małej figury (tutaj:
dwóch prostokątów) osobno do punktu C (rozw. a); albo najpierw obliczyć moment bezwładności całej figury w osiach
zewnętrznych (tutaj: yz) i dopiero potem całość „przenieść” do C (rozw. b).

a)

I

y

C

=

[

4

⋅5

3

12

+

(

4

⋅5

)

⋅

(

1
2

⋅5 3

)

2

] [

2,5

⋅4

3

12

+

(

2,5

⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅4 3

)

2

]

= 23,34 cm

4

I

z

C

=

[

5

⋅4

3

12

+

(

4

⋅5

)

⋅

(

1

2

⋅4 2,75

)

2

] [

4

⋅2,5

3

12

+

(

2,5

⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅2,5 2,75

)

2

]

= 10,21 cm

4

I

y

C

z

C

=

[

0

+

(

4

⋅5

)

⋅

(

1
2

⋅5 3

)

⋅

(

1
2

⋅4 2,75

)

] [

0

+

(

2,5

⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅4 3

)

⋅

(

1
2

⋅2,5 2,75

)

]

= 7,5 cm

4

b)

I

y

=

[

4

⋅5

3

3

] [

2,5

⋅4

3

3

]

= 113,34 cm

4

stąd:

I

y

C

= I

y

A

⋅z

C

2

= 113,34 10⋅3

2

= 23,34cm

4

I

z

=

[

5

⋅4

3

3

] [

4

⋅2,5

3

3

]

= 85,84cm

4

stąd:

I

z

C

= I

z

A

⋅y

C

2

= 85,84 10⋅2,75

2

= 10,21cm

4

I

yz

=

[

4

2

⋅5

2

4

] [

2,5

2

⋅4

2

4

]

= 75,00 cm

4

stąd:

I

y

C

z

C

= I

yz

A

⋅y

C

⋅z

C

= 75 10⋅2,75⋅3

2

= 7,5 cm

4

(4) Główne centralne momenty i osie bezwładności

I

1

=

I

y

C

+ I

z

C

2

+

√

(

I

y

C

I

z

C

2

)

2

+ I

y

C

z

C

2

= 26,75 cm

4

oraz

I

2

=

I

y

C

+ I

z

C

2

√

(

I

y

C

I

z

C

2

)

2

+ I

y

C

z

C

2

= 6,81 cm

4

Kierunki głównych centralnych osi bezwładności:

φ

1

= arctan

(

I

y

C

I

1

I

y

C

z

C

)

= 24 deg

φ

2

= φ

1

+ 90 deg = 114 deg

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

Arkusz 01: Charakterystyki przekrojowe. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Podstawy wytrzymałości materiałów” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów niesymetrycznych złożonych z podstawowych
figur prostych. Zastosowanie w praktyce tw. Steinera. Obliczanie położenia głównych centralnych osi
bezwładności.

Jako poszerzające wiedzę można rozwiązać zadania: 7.11 / str. 84 i 7.12 / str 86 z książki [2] oraz zadanie
2.3.1 / str. 17 z książki [1].

4. Charakterystyki geometryczne przekrojów z kształtowników

W pracy projektowej często używa się przekrojów stalowych typowych. Przekroje takie, wykonywane przez huty jako
wyroby o stypizowanych wymiarach, mają stablicowane wielkości charakterystyk geometrycznych (np. [4]).

Zadanie 2
Zadanie, które należy przygotować na ćwiczenia to zadanie: 2.3.2 / str. 19 z książki [1]

• Płynne obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów z kształtowników.
• Umiejętność korzystania z tablic.

5. Literatura

[1] Bodnar A. „Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych”, wydanie drugie

poszerzone i poprawione, Kraków 2004

[2] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[3] Bąk R., Burczyński T. "Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego", Wydawnictwo WNT,

Warszawa 2001

[4] Bogucki W., Żyburtowicz M. „Tablice do projektowania konstrukcji metalowych”, wyd. Arkady
[5] Programy komputerowe do obliczania charakterystyk geometrycznych przekrojów.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3