„Nawet w dziecięcych

zabawach są rzeczy, które

zainteresowałyby

największego matematyka.”

Gottfried Wilhelm von Leibniz

LICZBY NA OSI LICZBOWEJ.

Oś liczbowa to najprostszy sposób na
dokładne podanie położenia przedmiotu,
który może poruszać się tylko po linii prostej,
jest to także najprostszy sposób na graficzne
przedstawienie miejsca, które dana liczba
zajmuje wśród innych.

OŚ LICZBOWA.

Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym

zwrotem, punktem zerowym (0) oraz

ustaloną jednostką.

Punkt początkowy 0 dzieli oś liczbową na
dwie części:
- dodatnią – na prawo od zera, znajdują się
tu wszystkie liczby większe od 0 a więc
dodatnie
- ujemną – na lewo od 0, znajdują się tu
wszystkie liczby mniejsze od 0 a więc
ujemne

WSPÓŁRZĘDNA PUNKTU

NA OSI.

Liczbę

odpowiadającą

pewnemu

punktowi

zaznaczonemu na osi liczbowej nazywamy
współrzędną tego punktu.
Przykład:

Punkt A ma współrzędną 2

(co można zapisać jako A = 2)

.

Punkt B ma współrzędną -8

(co można zapisać jako B = -8)

.

Punkt C ma współrzędną -3

(co można zapisać jako C = -3).

LICZBY PRZECIWNE NA OSI.

Pary liczb przeciwnych to na przykład: 1 i -1,
5 i -5, 100 i -100 itp.
Na osi liczbowej liczby przeciwne są
jednakowo oddalone od zera.

WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA

LICZBY.

Wartością bezwzględną liczby a

nazywamy odległość na osi liczbowej tej

liczby od zera.

Wartość bezwzględna liczby a oznaczamy

symbolem |a|.

WARTOŚĆ

BEZWZGLĘDNA LICZBY.

Wartością bezwzględną liczby dodatniej jest
ta sama liczba dodatnia.
Wartością bezwzględną liczby 0 jest 0.
Wartością bezwzględną liczby ujemnej jest
liczba do niej przeciwna.

Wartość bezwzględna dowolnej liczby

jest zawszę liczbą nieujemną.

WARTOŚĆ

BEZWZGLĘDNA LICZBY.

Przykłady:
|12| = 12
|-124| = 124
|0| = 0
|-3,5| = 3,5
|1,75| = 1,75
|-0,25| = 0,25

LICZBY WYMIERNE I

NIEWYMIERNE.

Liczba wymierna to taka, którą da się łatwo
zmierzyć i zaznaczyć na osi liczbowej (każda,
którą da się zapisać w postaci ułamka
zwykłego). Liczby niewymierne są trudne do
zaznaczenia na osi liczbowej i możemy
podać jedynie przybliżone miejsce ich
położenia.

JAK ZAZNACZAĆ LICZBY

WYMIERNE NA OSI

LICZBOWEJ?

Na przykład: zaznacz na osi liczbowej .

Aby zaznaczyć na osi tę liczbę przestrzeń
między jednostkami dzielimy na 3 równe
części a następnie zaznaczamy 2 pełne
jednostki i 2 części z trzech mniejszych:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 1.
Odczytaj z osi współrzędne punktów.

Punkt A oddalony jest o dwie jednostki w lewo
więc:
A = -2
B = -1
Punkt C leży w połowie jednostki więc:
C = -0,5
D = 2
E = 2,5

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 2.
Wymień liczby całkowite, których odległość
od zera jest mniejsza od 3.

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, których
odległość od zera jest równa 3, a więc liczby
3 i -3:

Liczby całkowite, których odległość od zera
jest mniejsza od 3 to wszystkie całkowite
pomiędzy zaznaczonymi, a więc: -2, -1, 0, 1,
2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 3.
Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające
warunek
|x| = 3.

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej
warunek
|x| = 3 oznacza, że odległość liczby x od
zera ma być równa 3, a więc liczby o które
nam chodzi to 3 i -3:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 4.
Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające
warunek
|x| < 3.

Tak jak w zadaniu 2 warunek |x| = 3
oznacza, że odległość liczby x od zera ma
być równa 3, a więc warunek |x| < 3
oznacza, że odległość tych liczb od zera ma
być mniejsza niż 3, są to więc wszystkie
liczby pomiędzy 3 i -3, bez 3 i -3, a
zaznaczamy to tak:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 5.
Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające
warunek
|x| ≥ 1.

Warunek |x| = 1 oznacza, że odległość liczby
x od zera ma być równa 1, a więc warunek |
x| ≥ 1 oznacza, że odległość tych liczb od
zera ma być większa bądź równa 1, są to
więc wszystkie liczby większe od 1 i
mniejsze od -1 wraz z 1 i -1, a zaznaczamy
to tak:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 6.
Wykonaj obliczenia:
|-5 – 4| = |-9| = 9

|0 – 2,5| = |-2,5| = 2,5

|6| + |-6| = 6 + 6 = 12

|4 + (-4)| = |0| = 0

|-5 · 3| = |-15| = 15

|-2,5| · (-4) = 2,5 · (-4) = -10

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

Zadanie 7.
Znajdź brakującą liczbę:
|x| + 2 = 6
Rozwiązanie równania x + 2 = 6 jest oczywiste:
x = 4. Wartość bezwzględna sprawia, że 4
dostaniemy zarówno kiedy x = 4 jak i x = -4 i
to są właśnie brakujące liczby.
|3 + y| = 8
Rozwiązanie y = 5 nasuwa się samo, ale
pamiętajmy, że wynik będzie prawidłowy, także
kiedy pod wartością bezwzględną otrzymamy
-8, czyli kiedy y = -11. Brakujące liczby to: y =
5 oraz y = -11