Podstawy mechaniki
płynów - biofizyka
układu krążenia
9 listopada, 2007
Ciecze i gazy to płyny
• Zmieniają kształt pod wpływem znikomo
małych sił
• Nie posiadają sprężystości kształtu,
posiadają sprężystość objętości
• Stan stały - duże moduły sprężystości
objętościowej i postaciowej
• Stan ciekły - mniejszy moduł sprężystości
objętościowej, bardzo mały postaciowej
• Stan gazowy – mały moduł sprężystości
objętościowej brak postaciowej
Płyny doskonałe charakteryzują
się brakiem ściśliwości i brakiem
lepkości
• Ruch płynów nazywamy przepływem
• Przepływ jest stacjonarny, gdy w
określonym punkcie przestrzeni prędkość
przepływu jest stała niezależnie od czasu
• Przepływ jest laminarny gdy wszystkie
cząstki płynu poruszają się po torach
równoległych do siebie
Hydromechanika
(hydrostatyka,
hydrodynamika)
• Gazy w odróżnieniu od cieczy muszą
znajdować się w stanie sprężonym i
odznaczają się dużą ściśliwością
• Nie będziemy wnikać w budowę
molekularną ale będziemy płyny
traktować jako ośrodki ciągłe to
znaczy, że gęstość jest ciągłą funkcją
współrzędnych przestrzennych
Hydrostatyka
• Prawo Pascala: Ciśnienie rozchodzi się we
wszystkich kierunkach jednakowo, także w
cieczach nieściśliwych i nieważkich
• Ciśnienie hydrostatyczne: p
h
= ρ
c
hg
• Ciśnienie na pewnej głębokości h jest
większe od ciśnienia zewnętrznego p
z
o ciężar słupa cieczy o wysokości h
• Ciśnienie rośnie liniowo z głębokością
i nie zależy od kształtu naczynia
Ciśnienie całkowite
•p
c
= p
z
+ ρ
c
hg
• p
c
– ciśnienie całkowite [Pa]
• p
z
– ciśnienie zewnętrzne [Pa]
• ρ
c
– gęstość cieczy [kg/m
3
]
• h – wysokość słupa cieczy [m]
• g – przyspieszenie ziemskie [kgm/s
2
]
Ciśnienie aerostatyczne
• Ciśnienie powietrza zmienia
się wykładniczo wraz z
wysokością h
• e ≈ 2,718…
• ρ
0
– gęstość powietrza w 273
K
• p
0
= 1,013251·10
5
N/m
2
0
0
0
p
hg
a
e
p
p
Prawo Archimedesa:
na ciało
zanurzone w cieczy działa siła
wyporu równa ciężarowi wypartej
przez to ciało cieczy
• Q = Vρg (ciężar ciała) ρ – gęstość ciała
• W = Vρ
0
g (siła wyporu) ρ
0
– gęstość cieczy
• R = W – Q (siła wypadkowa)
• ρ > ρ
0
; R < 0 ciało tonie
• ρ=ρ
0
; R=0 ciało pływa na dowolnej głębokości
• ρ < ρ
0
; R>0 ciało pływa częściowo zanurzone
Prawo Torricellego
2
R
2
r
2R»2r
gh
v
2
h
Miary przepływu
• Strumień masy Φ
m
= m/t [kg/s]
• Strumień objętości Φ
V
= V/t [m
3
/s]
• Strumień energii Φ
E
= E/t [J/s]
Prawo ciągłości strumienia
• równanie ciągłości masy
S
1
v
1
ρ
1
Δ
t
S
2
v
2
ρ
2
Δt
v
1
S
1
ρ
1
Δt = v
2
S
2
ρ
2
Δt
ρ
1
= ρ
2
v
1
S
1
= v
2
S
2
=
const
Prawo Bernouliego
(przepływ ustalony, ciecz doskonała)
•p + ½ρv
2
+ ρgh = const
• p – ciśnienie statyczne
• ½ρv
2
– ciśnienie dynamiczne
• ρgh – ciśnienie hydrostatyczne
• Suma energii kinetycznej, potencjalnej
i ciśnienia jednostki masy (lub
objętości) ustalonego przepływu
cieczy doskonałej jest wielkością stałą
Rozkład prędkości cieczy w
rurze
v
Współczynnik lepkości
x
v
S
F
F
V
0
x
∆x
v+∆v
v
S – powierzchnia
płyty
∆v/∆x – stosunek
spadku prędkości do
przyrostu głębokości
η – współczynnik
proporcjonalności
dx
dv
S
F
Współczynnik lepkości
Współczynnik proporcjonalności η
nazywamy dynamicznym
współczynnikiem lepkości cieczy lub
współczynnikiem tarcia
wewnętrznego
η
[Ns/m
2
]≡[Pas]≡[kg/
ms]
P (puaz) ≡
[Ns/10m
2
]
Krew
• Krew stanowi zawiesinę erytrocytów
(krwinki czerwone), leukocytów
(krwinki białe) i trombocytów (płytki
krwi) w plazmie i jest środowiskiem
zapewniającym transport
różnorodnych substancji w
organiźmie. Krew rozprowadza
przede wszystkim gazy oddechowe
tlen i dwutlenek węgla.
Krew
• Krew jest płynem nie spełniającym warunków
Newtona, jest to płyn plastyczno-lepki
• Lepkość krwi zależy od:
• hematokrytu (stosunek objętości krwinek
do objętości krwi)
• temperatury
• przekroju naczynia
η
powietrza
= 17,8·10
-6
η
wody
=
10·10
-4
η
krwi
= 20·10
-4
[kg/ms]
Temperatura a lepkość krwi
•Lepkość krwi podobnie jak
innych płynów wykładniczo
zależy od temperatury
•W temperaturze 0
o
C krew
jest 2,5 razy bardziej lepka
niż w temperaturze 37
o
C
Serce
• Rytmiczne skurcze i rozkurcze serca
wymuszają ruch krwi w układzie krążenia
• Serce stanowi rodzaj pompy, która nie
zużywa energii do napełniania
(przedsionki i komory napełniają się w
sposób bierny), serce zużywa energię
podczas opróżniania
• Nie jest pompą ssąco-tłoczącą, nie
wytwarza podciśnienia podczas
napełniania. Ciśnienie w komorach jest
zawsze dodatnie
Fala tętna
• Rytmiczne skurcze serca wprowadzają
do układu tętniczego zarówno dużego
jak i płucnego, w odstępach około 0,8 s,
takie same objętości krwi około 70 cm
3
(pojemność wyrzutowa serca w
spoczynku). Dzięki dużemu oporowi
obwodowemu krew ta nie od razu
zostaje włączona w obieg krążenia, lecz
rozciąga podatne ściany tętnicy
głównej, dzięki czemu tuż za sercem
tworzy się wybrzuszenie, które
rozchodzi się w kierunku obwodowym w
postaci fali tętna
Liczba Reynoldsa
•
Eksperymenty pokazują, że w pewnych
warunkach przepływ laminarny przechodzi w
turbulentny (burzliwy)
•R
e
= vdρ/η
• v – prędkość cieczy,
• d – średnica rury,
• ρ – gęstość cieczy
• η - współczynnik lepkości
• R
e
< 2000 (2300) przepływ
laminarny
• R
e
> 3000 przepływ turbulentny
• 2000 (2300) < R
e
< 3000 charakter
nieustalony
Siły aero- i
hydrodynamiczne
• Siły aero- i hydrodynamiczne wynikają
z lepkości płynu opływającego
przeszkodę - opór tarcia oraz z
różnicy ciśnień przed i za przeszkodą
powstającej w wyniku opływu
turbulentnego – opór ciśnienia
• O tym który rodzaj oporu przeważa,
decyduje kształt i położenie ciała
względem kierunku ruchu
Siła oporu aero- i
hydrodynamicznego
R
a,h
=
½ρC
x
(α)Sv
2
gdzie:
ρ – gęstość płynu [kg/m
3
]
C
x
(α) – współczynnik kształtu
zależny od kierunku opływu [-]
S – pole powierzchni przekroju
czołowego [m
2
]
v – prędkość płynu względem
obiektu
Opór ciał o różnym kształcie
24 20 8 6 2
1
v
2r
S = const, ρ = const, v
2
= const
Zmienia się kształt czyli C
x
Przyjęto, że opór kształtu opływowego jest
równy 1
Siła i moc oporu
aero- i hydrodynamicznego
R
a,h
=
½ρC
x
(α)Sv
2
Dla tego samego obiektu poruszającego się
w określonym płynie siła oporu zależy od
kwadratu prędkości natomiast moc od
prędkości w trzeciej potędze:
R
a,h
= kv
2
P
a,h
=
kv
3
Ciśnienie hydrostatyczne
krwi
(
wg. Jaroszyka)
Schemat układu krwionośnego
(wg. Jaroszyka)
Przepływ krwi w
układzie krwionośnym
(wg Jaroszyka)
(wg Jaroszyka)
Prędkości przepływu
krwi
10 μm
Odkształcenia krwinki w zależności od prędkości przepływu
Siły i momenty sił działające na
jacht żaglowy w ruchu
• Siły i momenty aerodynamiczne
• Siły i momenty hydrodynamiczne
• Siły i momenty grawitacyjne
• Siły i momenty hydrostatyczne
Składowe siły aerodynamicznej
działającej na jacht żaglowy w
płaszczyźnie poziomej
A
A – siła
aerodynamiczna
X
A
– siła napędowa
Y
A
– siła dryfu
W – prędkość wiatru
X
A
Y
A
W
żagie
l
Zadanie na „6”
Z jaką siłą F
a
i mocą P
a
wiatr
napędza jacht żaglowy typu Ω, o
powierzchni żagli 15 m
2
płynący
pełnym wiatrem z prędkością
v
j
= 4 w (węzły)? Wiatr wieje z
prędkością v
w
= 7 m/s. Współczynnik
aerodynamiczny jachtu z żaglami
przy wietrze od rufy,
c
x
= 1,2.