Podstawy fizyki kwantowej

I. Promieniowanie cieplne (temperaturowe)

1. Zdolność emisyjna

2. Zdolność absorpcyjna

3. Model ciała doskonale czarnego

4. Prawo Kirchhoffa

5. Badanie zależności zdolności emisyjnej ciała doskonale
czarnego od
długości fali promieniowania i temperatury

6. Prawo Stefana-Boltzmanna

7. Prawo Wiena

8. Analityczna postać zależności

)

,

(

,

T

f

T









Ciała mogą wymieniać energię za pośrednictwem promieniowania
cieplnego.

W stanie równowagi termodynamicznej (stała temperatura) ilość
energii wypromieniowanej przez ciało równa się ilości energii
pochłoniętej.

W celu ilościowego opisu promieniowania cieplnego wprowadzamy pojęcia:
- zdolności emisyjnej
- zdolności absorpcyjnej

Zdolność emisyjna

Zdolnością emisyjną nazywamy stosunek energii wypromieniowanej przez

jednostkę powierzchni, w jednostce czasu, w zakresie długości fali [,  + d]

do tego zakresu długości fali.

gdzie:
d



prom

– ilość energii wypromieniowanej w jednostce czasu przez jednostkę

powierzchni ciała w zakresie długości fali [,  + d].

T

,





T

A

,











d

d

prom

T



,











 m

s

m

J

2

Zdolność absorpcyjna

Zdolnością absorpcyjną ciała nazywamy stosunek energii

pochłoniętej przez jednostkę powierzchni ciała w czasie 1s, w

zakresie długości fali [,  + d] do energii docierającej do jednostki

powierzchni ciała, w czasie 1s,

w tym zakresie długości fali promieniowania.







d

d

poch

T





,

gdzie:
d



poch

– ilość energii pochłoniętej przez jednostkę powierzchni

ciała,
w czasie 1s, w zakresie długości fali [,  + d]
d



– ilość energii docierającej do jednostki powierzchni ciała,

w czasie 1s, w tym samym zakresie długości fali.

Zdolność absorpcyjną wyrażamy w procentach. Ciało, którego
zdolność absorpcyjna równa się A



, T

= 1 (100%) nazywamy ciałem

doskonale czarnym.

Wszystkie ciała występujące w przyrodzie mają zdolność
absorpcyjną mniejszą od 1.

Model ciała doskonale czarnego

W

wyniku

wielokrotnego

odbicia

wewnątrz

komory

promieniowanie zostaje pochłonięte prawie w 100%. Na
zewnatrz otwór wydaje się czarny. (Warstwa sadzy, czarny
aksamit są dobrymi przybliżeniami ciała doskonale czarnego.)
Jeżeli wnętrze komory ogrzejemy do temperatury T, możemy
badać promieniowanie ciała doskonale czarnego w tej
temperaturze T.

Zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego oznaczamy:

T

,





Prawo Kirchhoffa

powierzchnia a idealnie czarna

powierzchnia b ma zdolność

absorpcyjną A

,T

i zdolność emisyjną



,T

T = const

poch

prom

d

d















d

d

T

prom

*

,









d

A

d

T

poch

*

,



d



= energii wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne









d

d

prom

T



,







d

d

poch

T





,









d

d

T

*

,

















d

A

d

T

T

T

*

*

*

,

,

,



T

T

T

A

,

,

,













prawo

Kirchhoffa

Stosunek zdolności emisyjnej danego ciała do jego

zdolności absorpcyjnej jest stały i równy zdolności

emisyjnej ciała doskonale czarnego.

Wnioski z prawa Kirchhoffa

1.Ponieważ

T

T

T

A

,

,

,

*













to jeśli

0

,



T





i

0

,



T

A



2.Ponieważ

T

A

,



nie może być większe od 1, to

T

,





nie może być większe od

T

,





W danej temperaturze T

T

T

,

,











3.Z faktu, że

1

,



T

A



nie wynika, że

T

,





Na przykład w temperaturze pokojowej ciało pokryte czerwoną farbą
pochłania bardzo silnie światło zielone. Jednak nie wypromieniowuje ono
światła o tej częstości, bo

T

,





w temperaturze pokojowej jest prawie równa 0.

0

,



T





,

0

1

*

0

,





T





Wnioski z prawa Kirchhoffa

1.Ponieważ

T

T

T

A

,

,

,

*













to jeśli

0

,



T





i

0

,



T

A



2.Ponieważ

T

A

,



nie może być większe od 1, to

T

,





nie może być większe od

T

,





W danej temperaturze T

T

T

,

,











jest duże.

Badanie zależności

)

,

(

,

T

f

T









za pomocą bolometru

dR ~ dT ~ d



prom

- długość fali promieniowania, której odpowiada
maksymalna zdolność emisyjna.

,

max

T

l

c

l

=

Wnioski z eksperymentu

1. Całkowita energia wypromieniowana w jednostce czasu przez
jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego (w całym zakresie
długości fali) jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi jego
temperatury bezwzględnej (T).

4

T

T







prawo Stefana-Boltzmanna

gdzie:
 - stała Stefana-Boltzmanna;  = 5,67 *

10

-8

4

2

sK

m

J

J. Stefan – fiz. austriacki (doświadczalnik)
L. Boltzmann – fiz. niemiecki (teoretyk)

2. Dla każdej temperatury istnieje taka
długość fali, w przypadku której
zdolność emisyjna osiąga wartość
maksymalną. Z wzrostem temperatury
długość fali

max

,



T







staje się coraz mniejsza.

2

Analiza krzywych doświadczalnych
wskazała na prostą zależność:

T

b

T



max

,







prawo Wiena

gdzie:
b – stała; b = 2,898 * 10

-3

m

.

K

Długość fali, na którą przypada maksymalna zdolność emisyjna
ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalna do
temperatury bezwzględnej.

przykład:
Maksymalna zdolność emisyjna w przypadku promieniowania Słońca
przypada w przybliżeniu na długość fali równą 530 nm. Traktując
Słońce jako ciało doskonale czarne można obliczyć, że temperatura
zewnętrznych warstw Słońca wynosi około 5400 K.

Poszukiwanie analitycznej postaci zależności

)

,

(

,

T

f

T









doprowadziło do wniosku, że modelu falowego promieniowania nie można
zastosować w przypadku emisji promieniowania ciała doskonale czarnego.
W 1901 r. Max Planck wysunął hipotezę, według której ciało doskonale czarne
emituje promieniowanie

nie w sposób ciągły, lecz w postaci skończonych

porcji energii – kwantów energii.

Słowo kwant pochodzi z jęz. łacińskiego

quantum

, co oznacza

ilość

.

Wielkość określonej porcji energii – kwantu – jest wprost proporcjonalna do
częstości promieniowania (M. Planck).





h



0

gdzie:



0

– energia kwantu

h – stała Plancka; h = 6,62 * 10

-34

J

.

s

 – częstość promieniowania

Ciało promieniujące emituje energię



równą (dla dowolnej częstości)  = 

0

*n,

gdzie n to całkowita liczba dodatnia.

Analityczna postać zależności

)

,

(

,

T

f

T









Energia wypromieniowana równa się całkowitej wielokrotności

kwantu.

Przy powyższym założeniu Planck otrzymał wzór określający zdolność

emisyjną ciała doskonale czarnego jak funkcję długości fali i temperatury.

1

1

2

5

2

,















kT

hc

T

e

hc

wzór Plancka

(*)

W celu znalezienia zależności emisyjnej od częstości promieniowania i temperatury

)

,

(

,

T

f

T









korzystamy ze wzoru:





c



zatem:







d

c

d

2



Przechodząc od  do  trzeba wyrażenie

(*)

pomnożyć przez

2



c

.

Zatem

1

1

*

*

2

2

5

5

2

,





kT

h

T

e

c

c

hc













Stąd

1

2

3

2

,





kT

h

T

e

c

h











wzór Plancka

Ze wzoru Plancka możemy obliczyć energię







0

,









d

T

T

Otrzymujemy wówczas prawo Stefana-Boltzmanna.

Jeśli obliczymy max funkcji

)

,

(

,

T

f

T









,

0

,









d

d

T

, to otrzymamy wzór Wiena.

Wnioski z teorii zgodne są z wynikami doświadczeń przy założeniu,

że promieniowanie emitowane jest porcjami – kwantami energii.