Siła Lorentza
W przestrzeni istnieje pole
magnetyczne o indukcji B. Na
ładunek próbny q
0
poruszający się w
tej przestrzeni z prędkością v działa
siła F wyrażona wzorem
)
(
0
B
v
q
F
(1)
Siła Lorentza
W przestrzeni istnieje pole
magnetyczne o indukcji B. Na
ładunek próbny q
0
poruszający się w
tej przestrzeni z prędkością v działa
siła F wyrażona wzorem
)
(
0
B
v
q
F
(1)
Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem:
F q vB
0
sin
x
y
z
F
B
v
F B
F v
(1a
)
B
v
q
q <
0
q >
0
q
=0
Wiązka elektronów w polu B
Działanie pola
magnetycznego na
przewodnik z prądem
Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków
elektrycznych, należy się spodziewać, że pole
magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik,
przez który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości
przewodnika znajduje się n elektronów, to w
przewodniku o przekroju S i długości l zawartych
jest
N = nSl elektronów.
Na każdy elektron działa siła opisana wzorem
(1 )
.
Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik
wyniesie
F = evBsin nSl
(2)
(3)
Natężenie prądu i można określić jako ładunek
przepływający w jednostce czasu przez przekrój
poprzeczny tego przewodnika S, możemy zapisać to
wzorem
i = enSv
Z porównania wzorów
(2, 3, 4)
otrzymujemy
F = ilBsin
Wzór ten w zapisie wektorowym ma postać
F = i(l B)
Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę
wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z
prądem.
(4)
(5)
(3a
)
Andrẻ-Marie Ampẻre (1775-1836)
Fizyk i
matematy
k
francuski
Odkrył
związek
magnetyzm
u z
przepływe
m prądu
Prawo Ampere’a
Cyrkulacja wektora natężenia
pola magnetycznego jest równa
sumie algebraicznej natężeń
prądów płynących wewnątrz
konturu całkowania.
I
B
i
1
i
2
i
3
dl
B
C
i = i
1
- i
2
+ i
3
i - suma prądów wewnątrz linii
C
(6)
Bdl =
0
i
C
Przenikalność magnetyczna próżni:
0
= 410
-7
Tm/A
B - wektor indukcji magnetycznej
i - natężenie prądu
dl - wektor przesunięcia (drogi)
wzdłuż
linii C
(7
)
r
d
l
B
B dl =
0
i = B
dl = B2r
i
B
i
r
0
2
B ||
dl
(8
)
(7a
)
Indukcja magnetyczna wokół
przewodnika z prądem i
F
B
d
l
i
b
i
a
a
b
F
li i
d
b
o a b
2
a
b
b
B
l
i
F
F
i lB
b
b
a
(9)
d
2
i
B
a
a
0
Prawo Biota -
Savarta
P
r
dl
i
i
dB
3
0
4
r
r
l
d
i
B
d
(10
)
d
B
i
d
l
r
0
2
4
s
i
n
Przykład 1.
Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor
indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu
leżącego na zewnątrz prostoliniowego, cienkiego,
nieskończenie długiego przewodnika, przez który
płynie prąd o natężeniu i.
(10)
i
dl
d
P
rd
r
sinθ
a
r
a
dl
rd
sin
B
i
a
d
i
a
i
a
0
0
0
0
0
4
4
2
sin
cos
d
B
i
d
l
r
0
2
4
s
i
n
(1
1)
(1
2)
(13)
Michael Faraday (1791-1867)
Fizyk i chemik
angielski
Odkrył indukcję
elektromagnetyc
zną i
samoindukcję.
Prawo indukcji
Faradaya
E
d
dt
B
E
L
Indukowana w obwodzie SEM jest równa
szybkości, z jaką zmienia się strumień pola B,
przechodzący przez ten obwód. Znak „-”
dotyczy kierunku indukowanej SEM.
•
•
(14
)
E - Siła
elektromotoryczn
a
Pole B
Jeżeli podane równanie zastosować do
zwojnicy o N zwojach, to w każdym z nich
pojawi się SEM i te siły elektromotoryczne
dodadzą się.
Strumień pola magnetycznego
definiowany jest w sposób następujący:
S
d
B
B
(14
a)
(1
5)
t
N
t
N
E
B
B
)
(
i
S
S
S
S
S
S
N
N
N
N
N
N
N
S
v
W przewodzie zaczyna
płynąć prąd o natężeniu i.
Powstające pole
przeciwdziała ruchowi
magnesu.
Reguła
Lenza
Linie pola B
wybiegają z bieguna
N
Przykład 2.
Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w
obwodzie o kształcie prostokąta przesuwanym z
prędkością v w jednorodnym polu magnetycznym B?
i
v
l
x
F
1
F
2
F
3
F
2
= F
3
B
B
=Blx
Blv
dt
dx
Bl
Blx
dt
d
dt
d
SEM
B
)
(
B F SEM i
F
1
0
(16
)
(1
7)
Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie
płynąć prąd o natężeniu i.
R
Blv
R
SEM
i
Siła F
1
przeciwdziałająca przesuwaniu się
obwodu:
F
ilB
B l v
R
1
0
2 2
90
sin
Moc tracona:
P
F v
Blv
R
1
2
(
)
F
1
=il B
(18)
(1
9)
(2
0)
Siła elektromotoryczna indukowana
w zmiennym polu magnetycznym
r
E
B
Szybkość zmian
pola B:
d
dt
B
(21
)
(22)
ponieważ
zwó
j
Zmienne pole
magnetyczne
wytwarza pole
elektryczne E
Indukcyjność
Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o
N zwojach:
Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej
od wszelkich materiałów magnetycznych jest
proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego
przez cewkę.
L - indukcyjność, współczynnik
proporcjonalności między natężeniem
prądu a strumieniem pola magnetycznego
cewki
(14a
)
(23)
t
N
t
N
E
B
B
)
(
Li
B
E
d N
dt
L
di
dt
L
B
(
)
Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM
można przedstawić następująco:
A stąd indukcyjność
L
L
E
di
dt
L
Jednostką
indukcyjności jest
(2
4)
(25
)
A
s
V
[H]
henr
1
Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza.
a)
b)
W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b)
rośnie. E
L
- siła elektromotoryczna w obu
przypadkach przeciwdziała zmianie prądu.
i
i
E
L
E
L
Wyobraźmy sobie,
że nawinęliśmy
cewkę.
Zauważamy różne
kierunki siły
elektromotorycznej
E
L
.
a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana
SEM musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli
prąd wzrasta, indukowana SEM musi mieć kierunek
przeciwny.
Obliczanie indukcyjności
cewki.
L
N
i
B
Indukcyjność ściśle
nawiniętej cewki:
Dla długiego solenoidu
o długości l, przekroju
S i ilości zwojów na
jednostkę długości n:
N
nlBS
B
Na podstawie
prawa Ampere’a
można wykazać, że
indukcja B
solenoidu wynosi:
B
ni
0
(26
)
(27)
(28
)
B dl = B dl= Bh = nµ
0
ih
B = nµ
0
i
h
Przekró
j cewki
n - ilość
zwojów na
jednostkę
długości
Indukcja solenoidu
Wstawiając B do
wyrażenia na strumień
B
i
przekształcając
otrzymujemy L solenoidu:
N
n liS
B
0
2
L
N
i
n lS
B
0
2
Obwód RL
R - wartość
oporu
L - indukcyjność
E - SEM baterii
E
L
- SEM cewki
i - natężenie
prądu
(2
9)
(30)
E
i
R
L
E
L
Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy
równanie obwodu w postaci
Rozwiązaniem równania różniczkowego
(31)
jest
gdzie
L
R
nazywamy stałą czasową
(3
1)
(32
)
(33
)
(34
)
i
e
E
R
t
(
)
1
iE
R
i
dt
di
Li
2
E
iR
E
L
E
iR
dt
di
L
(32a)
Równanie
(32)
po
pomnożeniu przez i.
Składniki mają wymiar
mocy.
Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu
magnetycznym dW
B
/dt:
dW
dt
Li
di
dt
B
W
dW
Lidi
Li
B
B
W
i
B
0
0
2
1
2
dW
B
= Lidi
Po scałkowaniu tego
wyrażenia otrzymamy
całkowitą energię pola
magnetycznego zawartą w
cewce o indukcyjności L.
(35)
(36
)
Iloczyn prądu i
napięcia na cewce
Przykład 3
Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego w
B
cewki o długości l i przekroju S.
B
ni
0
L =
0
n
2
lS
w
W
Sl
B
B
w
Li
Sl
B
1
2
2
Po uwzględnieniu tych związków
otrzymujemy gęstość energii pola
magnetycznego w
B
.
w
B
B
1
2
2
0
(37
)
(37a
)
(38)
Indukcja wzajemna
E
i
1
i
2
E
2
Nawijamy teraz
dwie cewki,
umieszczamy je
w blisko siebie.
Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie
oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i
1
płynący w jednej
cewce utworzy strumień pola magnetycznego
obejmującego drugą cewkę.
Jeżeli zmienimy prąd i
1
w czasie, to w drugiej cewce
pojawi się siła elektromotoryczna E. Zjawisko to
nazywamy
indukcją wzajemną
.
Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem
elektrycznym, która obejmuje strumień
21
. Definiujemy
indukcję wzajemną cewki 2 względem 1 jako:
M
N
i
21
2
21
1
M
21
i
1
= N
2
21
Po zróżniczkowaniu względem
czasu otrzymamy:
M
d
i
d
t
N
d
d
t
2
1
1
2
2
(38
)
(39
)
Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem
Faradaya siłą elektromotoryczną E
2
pojawiającą się w
cewce 2 dzięki zmianom prądu w cewce 1.
Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło
napięcia z obwodu cewki 1, a umieścimy je w
obwodzie cewki 2, która teraz wytworzy strumień
12
,
to w obwodzie cewki 1 pojawi się SEM.
E
M
di
dt
1
12
2
SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do
szybkości zmian prądu w drugiej cewki.
Zwykle też
M
21
= M
12
= M
E
M
di
dt
2
21
1
E
M
di
dt
1
12
2
(40)
(41
)
Indukowane pole
magnetyczne, pełne prawo
Ampere’a
i
+ -
E
R
B
Pole elektryczne E i
indukowane pole
magnetyczne B w trakcie
ładowania kondensatora
płaskiego.
Prąd i
dopływa
do
okładek
Pole
magnetyczne
jest
wytwarzane
przez
zmienny
strumień
pola
elektryczneg
o
przepływ
prądu
Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół
przewodnika z prądem zakładano, że strumień pola
elektrycznego jest równy zeru.
o
E
d
dt
To wyrażenie ma wymiar
prądu i nosi nazwę prądu
przesunięcia.
(42
)
B dl
i
d
dt
E
0 0
0
Prąd przesunięcia
B dl
i
i
p
0
(
)
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na
utrzymanie zasady ciągłości prądu.
E
q
S
0
dE
dt
S
dq
dt
S
i
1
1
0
0
Różniczkuje
my po czasie
i
d
dt
d ES
dt
S
dE
dt
p
E
o
0
0
(
)
(42a
)
(43
)
(4
4)
(45)
Prąd przesunięcia jest
równy prądowi
przewodzenia w
obwodzie
zewnętrznym.
Przykład 4.
Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o
okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm,
pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt
=10
12
V/(m•s).
dt
dE
R
dt
d
i
E
p
2
0
0
i
C
N m
V m s
A
p
( .
/ (
))( )( .
) (
/ (
))
.
89 10
50 10
10
007
12
2
2
2 2
12
i
i
S
S
i
p
0
0
1
)
(
(46)
(47
)
WEKTORY
MAGNETYCZNE
• B - Indukcja magnetyczna –
wszelkie prądy
• H – Natężenie pola magnetycznego
– prądy rzeczywiste
• M – Namagnesowanie (dipolowy
moment magnetyczny na
jednostkę objętości)
M
H
B
0
0
Związek między
wektorami
magnetycznymi
indukcj
a
natężenie
pola
namagnesowa
nie
(48
)
Indukcja magnetyczna
B
)
(
0
B
v
q
F
Def. Jeżeli dodatni ładunek próbny
porusza się w stronę punktu P z
prędkością v i jeżeli na ten ładunek
działa siła F, to w punkcie p istnieje
pole B, gdzie B jest wektorem
spełniającym związek:
Prawo Ampera może być
zapisane w sposób
następujący:
gdzie H jest wektorem zależnym tylko
od prądów rzeczywistych. W próżni
obowiązuje zależność
(50)
, dla
materiałów magnetycznych
(51)
, µ
m
– przenikalność magnetyczna ośrodka.
H
B
o
H
B
m
0
(49)
(50
)
(51)
i
l
d
H
W obecności materiałów
magnetycznych prawo Ampera
może być zapisane z
uwzględnieniem i
M
- prądu
magnesującego:
M
i
i
l
d
B
0
Równoważna postać równania po
uwzględnieniu wektora
magnetyzacji M:
l
d
M
i
l
d
B
0
0
(52)
(48
)
Równania Maxwella
• Prawo Gaussa dla
elektryczności
• Prawo Gaussa dla
magnetyzmu
• Prawo indukcji
Faradaya
• Prawo Ampere’a
dt
d
l
d
E
B
q
s
d
E
0
0
s
d
B
)
(
0
0
i
dt
d
l
d
B
E
(54
)