Siła Lorentza

W przestrzeni istnieje pole

magnetyczne o indukcji B. Na
ładunek próbny q

0

poruszający się w

tej przestrzeni z prędkością v działa
siła F wyrażona wzorem

)

(

0

B

v

q

F











(1)

Wartość bezwzględna tej siły wyraża się wzorem:

F q vB



0

sin



x

y

z



F

B

v

F  B

F  v

(1a

)

B

v

q

q <

0

q >

0

q

=0

Wiązka elektronów w polu B

Działanie pola

magnetycznego na

przewodnik z prądem

Prąd jest uporządkowanym ruchem ładunków

elektrycznych, należy się spodziewać, że pole
magnetyczne będzie wywierać siłę na przewodnik,
przez który płynie prąd. Jeżeli w jednostce objętości
przewodnika znajduje się n elektronów, to w
przewodniku o przekroju S i długości l zawartych
jest

N = nSl elektronów.

Na każdy elektron działa siła opisana wzorem

(1 )

.

Wartość wypadkowej siły działającej na przewodnik
wyniesie

F = evBsin nSl

(2)

(3)

Natężenie prądu i można określić jako ładunek
przepływający w jednostce czasu przez przekrój
poprzeczny tego przewodnika S, możemy zapisać to
wzorem

i = enSv

Z porównania wzorów

(2, 3, 4)

otrzymujemy

F = ilBsin

Wzór ten w zapisie wektorowym ma postać

F = i(l  B)

Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć siłę
wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z
prądem.

(4)

(5)

(3a
)

Andrẻ-Marie Ampẻre (1775-1836)

Fizyk i
matematy
k
francuski

Odkrył
związek
magnetyzm
u z
przepływe
m prądu

Prawo Ampere’a

Cyrkulacja wektora natężenia

pola magnetycznego jest równa
sumie algebraicznej natężeń
prądów płynących wewnątrz
konturu całkowania.

I

B

i

1

i

2

i

3

dl

B

C

i = i

1

- i

2

+ i

3

i - suma prądów wewnątrz linii

C

(6)

Bdl =

0

i

C

Przenikalność magnetyczna próżni:



0

= 410

-7

Tm/A

B - wektor indukcji magnetycznej
i - natężenie prądu
dl - wektor przesunięcia (drogi)
wzdłuż
linii C

(7

)

r

d

l

B

B dl = 

0

i = B

dl = B2r

i

B

i

r







0

2

B ||
dl

(8

)

(7a

)

Indukcja magnetyczna wokół

przewodnika z prądem i

F

B

d

l

i

b

i

a

a

b

F

li i

d

b

o a b







2

a

b

b

B

l

i

F











F

i lB

b

b

a



(9)

d

2

i

B

a

a





0



Prawo Biota -
Savarta

P

r

dl

i

i

dB

3

0

4

r

r

l

d

i

B

d

















(10

)

d

B

i

d

l

r









0

2

4

s

i

n

Przykład 1.

Korzystając z prawa Biota - Savarta obliczyć wektor
indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu
leżącego na zewnątrz prostoliniowego, cienkiego,
nieskończenie długiego przewodnika, przez który
płynie prąd o natężeniu i.

(10)

i

dl



d

P

rd


r

sinθ

a

r 

a

dl

rd







sin





B

i

a

d

i

a

i

a















 















0

0

0

0

0

4

4

2

sin

cos

d

B

i

d

l

r









0

2

4

s

i

n

(1
1)

(1
2)

(13)

 

Michael Faraday (1791-1867)

Fizyk i chemik
angielski

Odkrył indukcję
elektromagnetyc
zną i
samoindukcję.

Prawo indukcji
Faradaya

E

d

dt

B





E

L

Indukowana w obwodzie SEM jest równa

szybkości, z jaką zmienia się strumień pola B,
przechodzący przez ten obwód. Znak „-”
dotyczy kierunku indukowanej SEM.

•

•

(14

)

E - Siła

elektromotoryczn

a

Pole B

Jeżeli podane równanie zastosować do
zwojnicy o N zwojach, to w każdym z nich
pojawi się SEM i te siły elektromotoryczne
dodadzą się.

Strumień pola magnetycznego
definiowany jest w sposób następujący:









S

d

B

B





(14

a)

(1
5)

t

N

t

N

E

B

B





















)

(

i

S

S

S

S

S

S

N

N

N

N

N

N

N

S

v

W przewodzie zaczyna
płynąć prąd o natężeniu i.

Powstające pole
przeciwdziała ruchowi
magnesu.

Reguła
Lenza

Linie pola B

wybiegają z bieguna

N

Przykład 2.

Jaka siła elektromotoryczna SEM powstanie w w
obwodzie o kształcie prostokąta przesuwanym z
prędkością v w jednorodnym polu magnetycznym B?

       

       

       

       

       

       

       

       

       

i

v

l

x

F

1

F

2

F

3

F

2

= F

3

B



B

=Blx

Blv

dt

dx

Bl

Blx

dt

d

dt

d

SEM

B

















)

(

B  F  SEM  i

F

1



0

(16

)

(1
7)

Jeżeli opór obwodu wynosi R, to w obwodzie zacznie
płynąć prąd o natężeniu i.

R

Blv

R

SEM

i





Siła F

1

przeciwdziałająca przesuwaniu się

obwodu:

F

ilB

B l v

R

1

0

2 2

90





sin

Moc tracona:

P

F v

Blv

R





1

2

(

)

F

1

=il  B

(18)

(1
9)

(2
0)

     

     

     

     

     

     

     

     

    



Siła elektromotoryczna indukowana

w zmiennym polu magnetycznym






 

 
 





   

 

r

E

B

Szybkość zmian
pola B:

d

dt

B



(21

)

(22)

 

ponieważ

zwó

j

Zmienne pole



magnetyczne

wytwarza pole
elektryczne E

Indukcyjność

Siła elektromotoryczna indukowana w cewce o
N zwojach:

Strumień pola magnetycznego cewki oddalonej
od wszelkich materiałów magnetycznych jest
proporcjonalny do natężenia prądu i płynącego
przez cewkę.

L - indukcyjność, współczynnik
proporcjonalności między natężeniem
prądu a strumieniem pola magnetycznego
cewki

(14a

)

(23)

t

N

t

N

E

B

B





















)

(

Li

B





E

d N

dt

L

di
dt

L

B





(

)



Korzystając z prawa Faradaya indukowaną SEM
można przedstawić następująco:

A stąd indukcyjność
L

L

E

di
dt

L



Jednostką
indukcyjności jest

(2
4)

(25

)

A

s

V

[H]

henr

1





Kierunek SEM można otrzymać z reguły Lenza.

a)

b)

W przewodzie a) prąd maleje, a w przewodzie b)
rośnie. E

L

- siła elektromotoryczna w obu

przypadkach przeciwdziała zmianie prądu.

i

i

E

L

E

L

Wyobraźmy sobie,
że nawinęliśmy
cewkę.
Zauważamy różne
kierunki siły
elektromotorycznej
E

L

.

a) Aby zapobiec zmniejszeniu się prądu, indukowana
SEM musi mieć ten sam kierunek co prąd. b) Jeżeli
prąd wzrasta, indukowana SEM musi mieć kierunek
przeciwny.

Obliczanie indukcyjności

cewki.

L

N

i

B





Indukcyjność ściśle
nawiniętej cewki:

Dla długiego solenoidu
o długości l, przekroju
S i ilości zwojów na
jednostkę długości n:

N

nlBS

B

 

Na podstawie
prawa Ampere’a
można wykazać, że
indukcja B
solenoidu wynosi:

B

ni





0

(26

)

(27)

(28

)

B dl = B dl= Bh = nµ

0

ih

B = nµ

0

i

h

Przekró

j cewki

n - ilość
zwojów na
jednostkę
długości

Indukcja solenoidu

Wstawiając B do
wyrażenia na strumień 

B

i

przekształcając
otrzymujemy L solenoidu:

N

n liS

B

 



0

2

L

N

i

n lS

B









0

2

Obwód RL

R - wartość
oporu

L - indukcyjność

E - SEM baterii

E

L

- SEM cewki

i - natężenie
prądu

(2
9)

(30)

E 

i 

R

L

E

L

Na podstawie II prawa Kirchoffa zapisujemy
równanie obwodu w postaci

Rozwiązaniem równania różniczkowego

(31)

jest

gdzie





L

R

 nazywamy stałą czasową

(3
1)

(32
)

(33
)

(34
)

i

e

E

R

t







(

)

1



iE

R

i

dt

di

Li





2

E

iR

E

L





E

iR

dt

di

L





(32a)

Równanie

(32)

po

pomnożeniu przez i.
Składniki mają wymiar
mocy.

Szybkość z jaką gromadzi się energia w polu
magnetycznym dW

B

/dt:

dW

dt

Li

di
dt

B



W

dW

Lidi

Li

B

B

W

i

B











0

0

2

1

2

dW

B

= Lidi

Po scałkowaniu tego
wyrażenia otrzymamy
całkowitą energię pola
magnetycznego zawartą w
cewce o indukcyjności L.

(35)

(36
)

Iloczyn prądu i
napięcia na cewce

Przykład 3

Wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego w

B

cewki o długości l i przekroju S.

B

ni





0

L =



0

n

2

lS

w

W

Sl

B

B



w

Li

Sl

B



1

2

2

Po uwzględnieniu tych związków
otrzymujemy gęstość energii pola
magnetycznego w

B

.

w

B

B



1

2

2

0



(37
)

(37a
)

(38)

Indukcja wzajemna

E

i

1

i

2

E

2

Nawijamy teraz
dwie cewki,
umieszczamy je
w blisko siebie.

Dwie cewki umieszczone blisko siebie mogą na siebie
oddziaływać wzajemnie. Stały prąd i

1

płynący w jednej

cewce utworzy strumień pola magnetycznego 

obejmującego drugą cewkę.

Jeżeli zmienimy prąd i

1

w czasie, to w drugiej cewce

pojawi się siła elektromotoryczna E. Zjawisko to
nazywamy

indukcją wzajemną

.

Cewka 2 jest oddzielnym zamkniętym obwodem
elektrycznym, która obejmuje strumień 

21

. Definiujemy

indukcję wzajemną cewki 2 względem 1 jako:

M

N

i

21

2

21

1





M

21

i

1

= N

2



21

Po zróżniczkowaniu względem
czasu otrzymamy:

M

d

i

d

t

N

d

d

t

2

1

1

2

2





(38
)

(39
)

Prawa strona tego równania jest zgodnie z prawem
Faradaya siłą elektromotoryczną E

2

pojawiającą się w

cewce 2 dzięki zmianom prądu w cewce 1.

Jeżeli zamienimy cewki rolami - odłączymy źródło
napięcia z obwodu cewki 1, a umieścimy je w
obwodzie cewki 2, która teraz wytworzy strumień 

12

,

to w obwodzie cewki 1 pojawi się SEM.

E

M

di

dt

1

12

2



SEM w jednej z cewek jest proporcjonalna do
szybkości zmian prądu w drugiej cewki.
Zwykle też

M

21

= M

12

= M

E

M

di

dt

2

21

1



E

M

di

dt

1

12

2



(40)

(41

)

Indukowane pole

magnetyczne, pełne prawo

Ampere’a

i

+ -









E

R

B

Pole elektryczne E i
indukowane pole
magnetyczne B w trakcie
ładowania kondensatora
płaskiego.

Prąd i
dopływa
do
okładek









Pole
magnetyczne
jest
wytwarzane
przez

zmienny

strumień

pola

elektryczneg

o

przepływ
prądu

Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół
przewodnika z prądem zakładano, że strumień pola
elektrycznego jest równy zeru.



o

E

d

dt



To wyrażenie ma wymiar
prądu i nosi nazwę prądu
przesunięcia.

(42

)

B dl

i

d

dt

E

 





 





0 0

0

Prąd przesunięcia

B dl

i

i

p











0

(

)

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na
utrzymanie zasady ciągłości prądu.

E

q

S





0

dE

dt

S

dq

dt

S

i





1

1

0

0





Różniczkuje
my po czasie

i

d

dt

d ES

dt

S

dE

dt

p

E

o













0

0



(

)

(42a

)

(43

)

(4
4)

(45)

Prąd przesunięcia jest
równy prądowi
przewodzenia w
obwodzie
zewnętrznym.

Przykład 4.

Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o
okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm,
pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt
=10

12

V/(m•s).

dt

dE

R

dt

d

i

E

p

2

0

0













i

C

N m

V m s

A

p

















( .

/ (

))( )( .

) (

/ (

))

.

89 10

50 10

10

007

12

2

2

2 2

12



i

i

S

S

i

p

















0

0

1

)

(





(46)

(47

)

WEKTORY

MAGNETYCZNE

• B - Indukcja magnetyczna –

wszelkie prądy

• H – Natężenie pola magnetycznego

– prądy rzeczywiste

• M – Namagnesowanie (dipolowy

moment magnetyczny na
jednostkę objętości)

M

H

B







0

0









Związek między

wektorami

magnetycznymi

indukcj

a

natężenie

pola

namagnesowa

nie

(48

)

Indukcja magnetyczna

B

)

(

0

B

v

q

F











Def. Jeżeli dodatni ładunek próbny
porusza się w stronę punktu P z
prędkością v i jeżeli na ten ładunek
działa siła F, to w punkcie p istnieje
pole B, gdzie B jest wektorem
spełniającym związek:

Prawo Ampera może być
zapisane w sposób
następujący:

gdzie H jest wektorem zależnym tylko
od prądów rzeczywistych. W próżni
obowiązuje zależność

(50)

, dla

materiałów magnetycznych

(51)

, µ

m

– przenikalność magnetyczna ośrodka.

H

B

o





H

B

m





0



(49)

(50

)

(51)

i

l

d

H











W obecności materiałów
magnetycznych prawo Ampera
może być zapisane z
uwzględnieniem i

M

- prądu

magnesującego:





M

i

i

l

d

B









0







Równoważna postać równania po
uwzględnieniu wektora
magnetyzacji M:













l

d

M

i

l

d

B









0

0





(52)

(48

)

Równania Maxwella

• Prawo Gaussa dla

elektryczności

• Prawo Gaussa dla

magnetyzmu

• Prawo indukcji

Faradaya

• Prawo Ampere’a











dt

d

l

d

E

B





q

s

d

E











0









0

s

d

B





)

(

0

0

i

dt

d

l

d

B

E



















(54

)