1

Podstawowe charakterystyki

• Miary tendencji centralnej
 Średnie
 Modalna
 Mediana

ZAGADNIENIA OMAWIANE NA 
ĆWICZENIACH

2

• Miary zmienności
Wariancja
Odchylenie standardowe
Współczynnik zmienności
• Miary asymetrii
Skośność

 Błąd standardowy
Zadania do wykonania

3

Podstawowa  analiza  danych  powinna  doprowadzić  do 
zwięzłego  przedstawienia  ogólnej  charakterystyki  istotnych 
właściwości 

badanej 

zbiorowości. 

Parametry 

tak 

charakteryzują 

zbiorowość, 

że 

porównanie 

różnych 

zbiorowości  statystycznych  można  sprowadzić  do  ich 
porównań.  Podstawowe  zadania  tych  parametrów  opisowych 
to :

• określenie przeciętnego rozmiaru i rozmieszczenia wartości 
zmiennej. Dokonujemy tego przez obliczenie miar położenia.

•  określenie  granic  obszaru  zmienności  wartości  zmiennej. 
Dokonujemy tego przez obliczenie miar zmienności.

• określenie skupienia i spłaszczenia (w stosunku do kształtu 
krzywej normalnej) oraz stopnia zmiany od idealnej symetrii. 
Dokonujemy  tego  przez  obliczenie  miar  asymetrii  i 
koncentracji.

STATYSTYKA OPISOWA

4

Podstawowe charakterystyki

• Miary tendencji centralnej

Wskaźnik struktury – wartość średnia

Średnia  arytmetyczna  jest  najlepszą  miarą  charakteryzującą  rozkład  cechy  i 
dlatego  jest  miarą  najczęściej  używaną.  Obliczanie  jej  opiera  się  na 
wszystkich  obserwacjach  i  ma  ogromne  znaczenie  teoretyczne  i  praktyczne. 
Jedyną  poważniejszą  jej  wadą  jest  to,  że  duży  wpływ  na  nią  wywierają 
najmniejsza  i  największa  wartość  badanego  szeregu,  czyli  tzw.  skrajne 
wartości cechy

 

Wzór:

Wyróżniamy  również  inne  rodzaje  średnich  m.in.  średnią  geometryczną  i 
średnią harmoniczną. 

Obie  te  średnie  są  mniejsze  lub  równe  średniej  arytmetycznej,  przy  czym 
równość  zachodzi  tylko  dla  identycznych  wszystkich  wartości.  Średnią 
geometryczną stosujemy, gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie (np. średnie 
tempo  zmian).  Średnie  te  są  rzadziej  wykorzystywane  w  problemach 
statystycznych w biologii i medycynie.

___

1

n

i

i

N

x

x







5

Modalna

Wynik najczęściej występujący – wartość madalna

 

  Jest  to  wartość  cechy  statystycznej,  która  w  rozkładzie  empirycznym 

występuje  najczęściej.  Oznaczona  jest  symbolem  M

o

.  W  szeregach 

szczegółowych  i  rozdzielczych  jest  to  wartość  cechy,  której  odpowiada 
największa  liczebność.  Można,  więc  łatwo  określić  przedział,  w  którym 
modalna występuje.

 

Wzór:

 

gdzie 

x

o

  –  dolna  granica  przedziału,  w  którym  występuje 

modalna,

n

m

 – liczebność przedziału modalnej,

n

m-1

 – liczebność klasy poprzedzającej przedział modalnej,

n

m+1

  –  liczebność  klasy  następującej  po  przedziale 

modalnej,

k

m

 – rozpiętość przedziału klasowego modalnej.

 



 



1

1

1

*

m

m

o

o

m

m

m

m

m

n n

x

k

M

n n

n n



















6

Znalezienie klasy o największej liczebności nie jest sprawą trudną, określona 
jest  przez  wyraźny  punkt  –  szczyt  reprezentujący  największą  liczbę 
obserwacji. Jeśli histogram ma 2,  3 lub więcej szczytów, to mówimy, że jest 
bimodalny,  trimodalny  itd.  To  świadczy  o  niejednorodności  badanej 
zbiorowości.

Przykład 3

W  tabeli  umieszczono  liczbę  pacjentów  pogrupowanych  według  czasu 
działania pewnego leku.

Liczymy  modalną.  Jak  wynika  z  tabeli  –  modalna  znajduje  się  w  czwartym 
przedziale.

Arkusz programu 

Microsoft Excel

Arkusz programu 

Microsoft Excel



 



81 39

23

*5 25,386

81 39

81 35

o

M



 









7

Mediana

Wartość środkowa – mediana (jeśli uporządkujemy posiadane wartości od 
największej do najmniejszej i wybierzemy wartość środkową)

        To wartość jednostki położonej w zbiorowości w ten sposób, że dzieli 

zbiorowość na dwie równe części.

         Wyznaczenie  Me  musi  poprzedzić  ustalenie  jej  pozycji.  Jest  to 

przedział,  dla  którego  liczebność  skumulowana  jest  mniejsza  lub  równa 
liczbie n/2 (gdzie n to liczebność zbiorowości.

Wzór:

 

 

 

gdzie: m – numer klasy, w której występuje Me,

x

m

 – dolna granica tej klasy,

n

m

 – liczebność tej klasy,

k

m

 – rozpiętość tej klasy

 – liczebność skumulowana do przedziału poprzedzającego klasę, w 

której występuje      Me.

1

1

2

m

m

e

m

i

i

m

n

k

x

n

M

n

























1

1

m

i

i

n







8

Mediana  obok  średniej  arytmetycznej  jest  najczęściej  stosowanym  parametrem 
statystycznym. Wartość mediany nie zależy od wartości krańcowych. Możemy ją 
wyznaczać nawet wtedy, gdy nie wszystkie obserwacje są dokładnie znane, np. z 
szeregów,  w  których  występują  nie  zamknięte  przedziały  klasowe.  Mediana 
wysuwa  się  na  czoło  w  zastosowaniu  do  wszystkich  wzrokowo  uchwytnych,  a 
trudno  mierzalnych  wielkości.  Mediany  używamy  również  do  analizy  cech 
jakościowych.

 

Przykład 4

Wykorzystując dane z poprzedniego przykładu obliczyć medianę.

Me = 23 + 5/81 * [201/2-72] = 24,759

Oznacza  to,  że  dla  połowy  pacjentów  czas  działania  leku  nie  przekracza  24,75 
minut i dla takiej samej liczby pacjentów nie mniejszy od tej wartości. 

9

 

•Miary rozproszenia (zmienności)

Najprostszą miarą jest odchylenie średnie (przeciętne) do jego wyliczenia 
dodajemy do siebie wartości bezwzględne różnic między kolejnymi pomiarami 
i średnią a następnie dzielimy sumę tych różnic przez liczbę pomiarów.

Najpowszechniej 

używaną 

miarą 

rozproszenia 

jest 

odchylenie 

standardowe, jest ono większe od odchylenia przeciętnego, gdyż na nie mają 
większy wpływ wartości skrajne, tzn. bardzo odbiegające od średniej; dlatego 
odchylenie  średnie  bywa  lepsza  miarą  rozproszenia  niż  odchylenie 
standardowe.

Teoretycznie miarą odchylenia jest wariancja, a odchylenie standardowe jest 
jej  pierwiastkiem.  Do  obliczania  odchylenia  wykorzystujemy  wszystkie  dane, 
to znaczy wszystkie wartości zarejestrowane w trakcie pomiarów.

Wariancją zmiennej X nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń 
poszczególnych  wartości  zmiennej  od  średniej  arytmetycznej  całej 
zbiorowości:

Wzór:

 

 

2

__

2

1

1

n

i

i

N

x x

s























10

Pierwiastek 

kwadratowy 

z 

wariancji 

zwany 

jest 

odchyleniem 

standardowym i określony jest wzorem:

 

  

Gdzie: 

        

- suma kwadratów odchyleń

        

- suma kwadratów tych pomiarów

        

- kwadrat sumy pomiarów

        

N - elementy zbioru

Współczynnik zmienności

Za  pomocą  tego  współczynnika  można  porównywać  zmienność  pomiarów 
różniących  się  średnią,  na  przykład  zmienność  osobników  z  gatunków 
różniących się wymiarami.

 

Wzór

__

s

CV

X



2

1

x

s

N











2

2

2

X

x

X

N











2

x



2

X







2

X



11

Jeśli  rozkład  danej  cechy  jest  jednomodalny  i  symetryczny,  to  średnia  i 
odchylenia  są  w  zasadzie  wystarczającymi  charakterystykami  tego 
rozkładu.  Jeśli  natomiast  nie  jest  on  symetryczny,  czyli  średnia  nie 
pokrywa się z medianą, to nazywamy go asymetrycznym:

     Lewostronnie, jeśli mediana jest większa od średniej
     Prawostronnie, jeśli mediana jest mniejsza od średniej

• Miary asymetrii

Są  sytuacje,  w  których  badanie  średniego  poziomu  zmiennej  i 
rozproszenia  jej  wartości  nie  wskazuje  na  istnienie  różnic  między 
badanymi zbiorowościami. Obserwacja zaś rozkładów tych cech wyklucza 
podobieństwo rozważanych zbiorowości.

 

Przykład 5 

Badano czas reakcji na lek w trzech grupach 100-osobowych. W tabeli są 
umieszczone dane.

Oblicz średnią arytmetyczną i wariancje.

12

Wynik: oba te parametry są jednakowe dla wszystkich grup i wynoszą:

X = 35, s

2

 = 120

Mimo to występują różnice – widać to wyraźnie na histogramach. 

Wnioski:  w  grupie  2  u  większości  osób  czas  reakcji  na  lek  jest  niższy  od 
przeciętnego, natomiast w grupie trzeciej u większości osób czas reakcji na 
lek  jest  wyższy  od  przeciętnego.  Związane  jest  to  oczywiście  z  asymetrią 
rozkładu. 

Asymetrię  można  określić  porównując  średnią  arytmetyczną  z  medianą  i 
modalną.

Można wyróżnić trzy przypadki:

X  = Me = Mo – dla rozkładu symetrycznego

X  > Me > Mo – dla rozkładu o asymetrii prawostronnej

X  < Me < Mo – dla rozkładu o asymetrii lewostronnej

13

Dla  określenia  odchylenia  od  symetrii  rozkładu  stosuje  się  mierniki 
asymetrii.  Typowym  przykładem  jest  parametr  nazywany  skośnością 
rozkładu.  Przyjmuje  on  wartości  ujemne  dla  rozkładu  asymetrycznego 
lewostronnie,  dodatnie  dla  rozkładu  asymetrycznego  prawostronnie, 
natomiast dla rozkładów symetrycznych jest równa zero. Jeśli s (skośność) 
< 0,3 to uważamy asymetrię za nieznaczną.

Kiedy stosować średnią a kiedy inne wskaźniki?

Istnieje prosta reguła.

     Jeśli rozkład jest jednomodalny i względnie symetryczny – stosujemy 

średnią;

      Jeśli  rozkład  jest  jednomodalny,  ale  niesymetryczny  –  stosujemy 

medianę;

     Jeśli rozkład jest wielomodalny– stosujemy modalną;

14

    Błąd standardowy [standard error of the mean]

Określony jest wzorem:

Błąd  standardowy  (SEM)  wskazuje  na  prawdopodobną  odległość  uzyskanej 
średniej od rzeczywistej średniej populacyjnej.

Wielkość  SEM  jest  zależna  od  liczebności  badanej  grupy,  dlatego  w  dużych 
grupach SEM jest zwykle mniejsze. 

SEM jako taki jest trudny do interpetacji. Ze względu na mniejszą wartość od 
odchylenia  standardowego  często  jest  wykorzystywany  do  prezentacji 
wyników,  które  "stają  się"  przez  to  ładniejsze.  Poprawia  to  samopoczucie 
badacza i ma "wywierać" dobre wrażenie na pozostałych. 

Uważa  się,  że  jeśli  obok  średniej  podano  SEM  wówczas  powinna  znaleźć  się 
również liczba przypadków, np. średnia wielkość lewej komory w rozkurczu 47 
mm,  SEM  ±  7  mm,  liczba  przebadanych  9.  SEM  odpowiada  ilorazowi  SD  i 
pierwiastka z liczby przypadków. 

Wynik  W  opisanym  przykładzie  SD  jest  więc  równy  21  mm.  O  ileż  mniej 
"atrakcyjny"  jest  wynik  47  ±  21  mm  (średnia±SD)  niż  47±7  mm 
(średnia±SEM).

Zadania do wykonania

 

*

N





