Elekrostatyka

Podstawowe pojęcia i prawa:

ładunek, siła, natężenie pola,

energia potencjalna, potencjał,

prawo Coulomba, prawo

Gaussa

Istnienie ładunków elektrycznych stwierdzono
doświadczalnie.

Zasada zachowania ładunku

Całkowity ładunek układu odosobnionego jest
stały

.

Jednostka w układzie SI 1 C = 1A•1s ładunek
przenoszony przez prąd o natężeniu 1A w czasie 1 s.

Ładunek elementarny (ziarnistość ładunku) 1e = 1.603
•10

-19

C

Prawo

Coulomba

21

21

2

12

0

2

1

21

r

r

r

4

q

q

F









F

21

- siła jaką ładunek q

1

działa na ładunek q

2

r

21

-

wektor łączący

ładunek q

1

z ładunkiem

q

2

(1
)

Przenikalność elektryczna
próżni:



0

12

885 10







.

F

m

Oddziaływanie ładunków ze
sobą świadczy o istnieniu pola,
które charakteryzujemy
wektorem natężenia pola E,
będącym stosunkiem siły F
działającej na próbny ładunek
dodatni q do wielkości tego
ładunku.

Ładunek q

1

wytwarza pole w otaczającej go

przestrzeni, pole oddziałuje na ładunek q

2

,

przejawia się to jako siła, której działanie doznaje
ładunek. Sytuacja symetryczna - każdy ładunek
znajduje się w polu wytworzonym przez drugi
ładunek.

ładunek



pole



ładunek

(2)

q

F

E







Siły elektrostatyczne działają wzdłuż linii sił pola

elektrostatycznego. Zależność pomiędzy liniami sił a
wektorem natężenia pola elektrycznego jest
następująca:

1. Styczna do linii sił w dowolnym punkcie wyznacza
kierunek pola E w tym punkcie.

2. Linie sił wykreśla się tak, że liczba linii na jednostkę
powierzchni przekroju jest proporcjonalna do wielkości
pola E.

a)

b)

Linie sił pola elektrycznego wytworzonego przez a)
dodatnio naładowaną kulę, b) - ujemnie
naładowaną.

+

-

-

-

-

Rozkład pola elektrycznego wokół a) ładunków
różnoimiennych, b) - jednoimiennych

a)

b)

Znajdowanie pola elektrycznego w danym punkcie:
obliczanie pola elektrycznego E

n

pochodzącego od

każdego ładunku, a następnie wektorowe
dodawanie natężeń pola w celu znalezienia
wypadkowego pola E.

E = E

1

+ E

2

+ E

3

....= E

n

n = 1, 2, 3,.......

+

Prawo Gaussa



0



E

= q

Strumień pola
elektrycznego
przechodzącego przez
powierzchnię Gaussa

Całkowity ładunek
zamknięty wewnątrz
powierzchni Gaussa

(3)

Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym.

S

d
S

d
S

dS

dS

dS

S - powierzchnia
Gaussa

q

1

q

2

q

3

q

4

dS  S, w każdym

punkcie
powierzchni

Linia pola E

Def. Strumienia pola E:









S

d

E

E





(4)

Strumień pola elektrycznego 

E

przechodzący

przez powierzchnię zamkniętą, zwaną
powierzchnią Gaussa, obejmującą wewnątrz
ładunki jest proporcjonalny do sumy tych
ładunków. Współczynnikiem proporcjonalności
jest przenikalność elektryczna próżni 

0

.

Postać całkowa tego prawa może też być
zapisane w sposób następujący:







q

S

d

E





0



(3a)

Prawo
Gaussa

dS jest wektorem, którego wartość jest równa
powierzchni bardzo małego elementu powierzchni
Gaussa, q jest sumą wszystkich ładunków wewnątrz
tej powierzchni.

Związek prawa Gaussa z prawem

Coulomba.

r

E

q

Pojedynczy ładunek q
umieszczamy
wewnątrz powierzchni
Gaussa.

dS

Dla przypadku pokazanym na rysunku:





0

0

E ds

EdS q











Pole E jest stałe na powierzchni kuli, więc



0

E ds q





gdzie całka równa jest powierzchni kuli

stąd

2

0

1

r

q

4

E









0

2

4

E

r

q

(

) 

(5)

(6)

(7)

(8)

F = E q

0

co oznacza,
że

otrzymujemy prawo
Coulomba.

(9)

(10)

Umieśćmy drugi ładunek punktowy q

0

w

punkcie, w którym wyznaczyliśmy E.
Wielkość siły działającej na q

0

wynosi:

Potencjał

elektryczny

Pole elektryczne wokół ładunków można opisać
za pomocą wektora pola E oraz za pomocą
pewnej funkcji skalarnej zwanej potencjałem.
Aby wyznaczyć różnicę potencjałów między
punktami A i B, przesuwamy ładunek próbny q

0

z

A do B, mierząc pracę W

AB

.

Praca ta może być dodatnia, ujemna, lub
równa zeru

V

V

W

q

A

B

AB





0

(11)

Jednostką potencjału jest 1V (wolt)

Zwykle punkt A wybiera się w dużej odległości od
innych i przyjmuje potencjał za równy zeru. Wtedy
można opuścić wskaźniki i napisać

V

W

q



0

Jeżeli chcemy znaleźć pracę W

AB

, to korzystamy z

podstawowej zależności (siła F pomnożona
skalarnie przez przesunięcie dl)

W

F dl

q E dl

AB

A

B

A

B













0

(12)

(13)

C

J

1

1V

•

B

•

A

F

d
l

E

Ładunek próbny przesuwa się od punktu A do B w
jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E pod
wpływem zewnętrznej siły F, gdzie F = - q

0

E.

Następnie otrzymujemy

Jeżeli punkt A leży w nieskończoności i potencjał w
nieskończoności jest równy zeru, to potencjał V w
punkcie B jest równy:











B

l

d

E

V





(14)

(15)













B

A

AB

A

B

dl

E

q

W

V

V

0

Potencjał od ładunku

punktowego

Obliczmy różnicę potencjałów miedzy

punktami A i B przyjmując, że ładunek q
przesuwany jest ruchem jednostajnym wzdłuż
linii radialnej z punktu A do B.

Jeżeli kierunek ruchu jest przeciwny do

kierunku pola, to E•dl = Ecos180

0

dl = - Edl.

Jeżeli jeszcze przesuw jest taki, że dl = - dr, to
Edl = Edr.

•

•

A

dl

F

q

0

q

B

Ładunek próbny q

0

porusza się pod

wpływem zewnętrznej siły F od punktu A do B
w polu elektrycznym wytworzonym przez
ładunek q.

E

Edl = Ecos180

0

dl = - Edl. Wstawiając to do

równania

(14)

i korzystając z

(8 )

otrzymujemy

(16)

























A

B

r

r

A

B

r

r

4

q

r

dr

4

q

V

V

B

A

1

1

0

2

0





B

A

B

r

r

A

B

r

4

q

r

r

4

q

r

dr

4

V

V

B

A

0

0

2

0

1

1

πε

q































0

(17
)

Przyjmując, że punkt A leży w nieskończoności, V

A

= 0 i opuszczając wskaźnik B otrzymujemy
potencjał ładunku punktowego

r

q

4

V

0

1





(18)

Potencjał pochodzący od układu ładunków
otrzymujemy obliczając kolejne potencjały V

n

i

następnie sumując otrzymane wartości.

V

V

n

n





n

n

n

r

q

4

V

0

1





gdzi
e

(20
)

(19
)

Potencjalna energia

elektrostatyczna

Chcąc zwiększyć odległość

dwóch jednoimiennych ładunków
elektrycznych q

1

i q

2

musimy

wykonać z zewnątrz pracę
dodatnią.

q

1

q

2

Wykonana praca zostaje
zmagazynowana w układzie
ładunków i stanowi energię
potencjalną.

r

12

Jeżeli przesuniemy q

2

do nieskończoności, to

potencjał elektryczny wytworzony przez ładunek
q

1

w punkcie w którym znajduje się ładunek q

2

jest następujący:

r

q

4

V

1

0

1





Do przeniesienia ładunku q

2

z nieskończoności

do pierwotnego położenia potrzebna jest praca
W:

2

Vq

W 

Stąd wynika, że praca
równa energii
potencjalnej U wynosi

12

2

1

0

4

1

r

q

q

U

W







(21)

(22)

Przykład
Proton zbliża się do jądra o dużej masie M i ładunku
ze. W odległości nieskończenie wielkiej energia
protonu jest równa 0.5Mv

2

, v <<c (c - prędkość

światła). Tor ekstrapolowany liniowo od dużych
odległości do małych przechodzi przez minimum
odległości b od cząstki ciężkiej, tak jak na rysunku.
Jaka jest odległość największego zbliżenia s dla
rzeczywistej orbity? Przyjąć, że masa ciężkiego
jądra M = 207 m, aby pominąć energię odrzutu.



b

s

M

m

m = 1.67 • 10

-27

kg

M = 344.02 • 10

-27

kg

Z = 82
e = 1.6 • 10

-19

C

G = 6.67 • 10

-11

N • m

2

•

kg

-2



0

12

885 10







.

F

m

Siły zewnętrzne nie działają, spełnione jest
prawo zachowania energii i prawo zachowania
momentu pędu. Proton znajdzie się w polu
grawitacyjnym jądra oraz polu
elektrostatycznym.

Które z tych pól w sposób istotny wpłynie na
jego tor?

Prawo zachowania energii po uwzględnianiu
pola grawitacyjnego

s

Mm

G

mv

mv

s





2

2

2

2

v – początkowa
prędkość protonu
s – odległość
największego
zbliżenia
v

S

= prędkość w tej

odległości

Prawo zachowania energii po uwzględnianiu
pola elektrostatycznego

s

ze

mv

mv

s

2

0

2

2

4

1

2

2







Porównajmy energie potencjalne. Wystarczy
porównać współczynniki przy 1/s.

63

10

85

.

3







GmM

26

2

0

10

88

.

8

4

1







ze



Energia elektrostatyczna jest 10

37

razy większa.

Oddziaływanie grawitacyjne można pominąć.
Należy też zauważyć, że różne są znaki energii
potencjalnych dla tego przypadku.

Na podstawie prawa zachowania momentu
pędu otrzymujemy równanie

s

mvb

v

s

mv

mvb

s

s





stąd

Wstawiamy do równania prawa
zachowania energii

0

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

2

1

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2











v

m

s

ze

s

mv

s

ze

mv

mv

s





Mnożymy przez
s, otrzymujemy

Obliczanie pojemności,

kondensatory

Kondensator tworzą dwa całkowicie

odizolowane od otoczenia przewodniki o równych,
lecz różnoimiennych ładunkach. Jeżeli między tymi
przewodnikami istnieje różnica  V, to

współczynnik proporcjonalności między wartością
ładunku q i  V nazywamy pojemnością.

(23)

C
=

Q

V

(23a
)

Q = CV

Przykład 1

Wyznaczyć pojemność kondensatora płaskiego o
powierzchni okładek S i d - odległości okładek.

-
Q

+Q

S

S

d

y

Przekrój prostopadłościanu,
który tworzy powierzchnię
Gaussa

Pole E

Korzystając z prawa Gaussa
wyznaczamy natężenie pola
elektrycznego E, następnie różnicę
potencjałów między okładkami
kondensatora.



0



E

= 

0

ES = Q



















d

d

Ed

Edy

l

d

E

V

0

0





(24)

(25)

S

Q

E

0





V Ed



Przykład 2

Wyznaczyć pojemność kondensatora
cylindrycznego o długości l i promieniach
okładek a, b, c.

Zakładamy, że kondensator jest bardzo długi l >> c.
Za powierzchnię Gaussa przyjmujemy cylinder o
promieniu r, długości l, umieszczony współosiowo z
cylindrami, które tworzą kondensator.

Uwaga! Dobór powierzchni Gaussa ma na celu
ułatwienie obliczeń.

C

Q

V

Q

Ed

SE

Ed

S

d















0

0

(26)

(27
)

a

b

c

r

Ładunek + Q i - Q jest
równomiernie rozłożony
na powierzchni.

Przez powierzchnię
boczną walca o promieniu
r przechodzi niezerowy
strumień pola E, przez
podstawy - zerowy. Stąd

-
Q

+
Q

a

b

ln

l

Q

r

dr

l

Q

Edr

dl

E

V

b

a

b

a

b

a

0

0

2

2























(25
)

(28)

(29)

(3a
)

E







Q

S

d

E





0



 

Q

E

rl











2

0

lr

Q

E

0

2





Przekrój
przez
powierzchni
ę Gaussa

a

b

ln

l

Q

V

0

2







a

b

ln

l

V

Q

C

0

2









Podobnie jak w
przykładzie 1, pojemność
kondensatora zależy
tylko od wymiarów
geometrycznych (a, b, l)
oraz przenikalności
elektrycznej próżni.

Na podstawie prawa Gaussa można również
wykazać, że pole elektryczne wewnątrz walca , dla
r < a jest równe zeru, bo ładunki kondensatora
znajdują się na powierzchniach walca. Natomiast na
zewnątrz kondensatora, dla r > c, pole znika, bo
całkowity ładunek zamknięty wewnątrz powierzchni
Gaussa

+Q - Q = 0

(30)

(31
)

Energia pola

elektrycznego

Wszystkie układy ładunków mają pewną

elektryczną energię potencjalną U, równą
pracy W, która musi być dostarczona na
utworzenie ich z pojedynczych ładunków. Aby
rozdzielić dwa różnoimienne ładunki trzeba
wykonać pracę. Praca ta jest zmagazynowana w
układzie i może być zwrócona, jeżeli pozwolimy na
ponowne zbliżenie ładunków.

W przypadku kondensatorów możemy sobie

wyobrazić, że jakiś czynnik zewnętrzny wyciąga
elektrony z okładki dodatniej i przesuwa je na
elektrodę ujemną. Potrzebna do tego energia
pochodzi ze

źródła (bateria lub

zasilacz)

dołączonego do

kondensatora (magazyn

energii).

Opis procesu magazynowania

energii

W czasie t z jednej okładki na drugą został

przeniesiony ładunek q’(t). Różnica potencjałów po
czasie t wynosi V(t). Aby przenieść dodatkową
ilość ładunków dq’ trzeba wykonać dodatkową
pracę dW.

dW Vdq

q

C

dq





'

'

Jeżeli proces będzie trwał tak długo, aż przeniesiony
zostanie cały ładunek Q, to całkowita praca
wyniesie wówczas

(32
)

(33
)

W

dW

q

C

dq

Q

C

Q











'

'

0

2

1

2

Na podstawie zależności Q = CV możemy również
napisać:

W U

CV

 

1

2

2

(34)

Wzór słuszny dla
dowolnego
kondensatora

W kondensatorze płaskim natężenie pola ma we w
wszystkich punktach taką samą wartość. Wobec
tego gęstość energii u, musi też być stała i dla
kondensatora płaskiego próżniowego o wymiarach S
i d wynosi:

2

0

2

2

1

2

1



















d

V

Sd

CV

Sd

U

u



(35
)

Dielektryki

Prawo Gaussa dla

dielektryków

+ + + + + + + +
+ +

- - - - - - - - - - - -
-

+ + + + + + +
+ + +

- - - - - - - - - - - -
-

- - - - - - - - - - - -
- -

+ + + + + + +
+ + +

Kondensator płaski bez dielektryka i z
dielektrykiem

Dielektryki są ciałami, które nie przenoszą

ładunków elektrycznych. Natomiast zewnętrzne pole
elektryczne powoduje niewielkie przesunięcie ładunków.
Cząsteczki niektórych dielektryków mają trwały moment
dipolowy (dielektryki polarne), zewnętrzne pole
działa na dipole i powoduje uporządkowanie tych dipoli.
W dielektrykach niepolarnych moment dipolowy może
pojawić się po umieszczeniu dielektryka w polu
elektrycznym przez indukcję.

- + + - -
+ +
+ - - + -
- + - +

- + - + - +
+ - + - +
- - + - + -
+ - +- + -
+ - +- + -
+

-
-
-
-

+
+
+
+

E

0

= 0

E

0

E

0

E

E

’

E

0

- pole elektryczne zewnętrzne, E

’

- pole wytworzone

przez ładunki powierzchniowe, E - pole wypadkowe.

Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym
kondensatora powoduje oddziaływanie pola z
ładunkami dielektryka, zmiany natężenia tego pola,
różnicy potencjałów i pojemności kondensatora. Do
opisu zjawisk nie wystarcza tylko jeden wektor
natężenia pola, stosuje się więc jeszcze wektor
indukcji elektrostatycznej D i wektor polaryzacji P.

+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _

- - - - - - - - - - - - - - -

- - -

+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + +

D



0

E

P

Indukcja
elektrostatyc
zna

Pole
elektryczn
e

Polaryzacja

E - jest wektorem pola elektrycznego.

D - wektor indukcji elektrycznej (wektor
przesunięcia), linie indukcji łączą ładunki
elektryczne swobodne

P - polaryzacja, wektor równy
indukowanemu elektrycznemu momentowi
dipolowemu na jednostkę objętości

D = 

0

E +

P

(36)

Jeżeli dielektryk umieszczony jest w w polu

elektrycznym, to pojawiają się indukowane ładunki
powierzchniowe, które prowadzą do osłabienia
pierwotnego pola wewnątrz dielektryka. To osłabienie
pola elektrycznego ujawnia się w postaci zmniejszenia
różnicy potencjałów. Zgodnie ze wzorem

(26),

zachowane będą zależności między natężeniem pola
kondensatora bez dielektryka E

0

i z dielektrykiem E

oraz różnicą potencjałów kondensatora płaskiego V

0

bez dielektryka i z dielektrykiem.

E

E

V

V

0

0



= 

(37)

+
+

_ _

+
+

_ _

V

0

V

V < V

0

+ + + + + + +
+ + +

- - - - - - - - - - - -
-

- - - - - - - - - - - -
- -

Jeżeli wprowadzamy płytkę dielektryczną do
kondensatora naładowanego, to pojawia się siła
wciągająca płytkę do wnętrza, związane jest to też
ze stratą energii kondensatora.

Zastosujmy teraz prawo Gaussa do

kondensatora z dielektrykiem.

+ + + + + + +
+ + +

Powierzchnia Gaussa
(przekrój
prostopadłościanu)
obejmująca ładunki
swobodne na okładce i
indukowane w
dielektryku.

Gdy w kondensatorze nie ma dielektryka, to
zgodnie z

(3)

q

S

E

S

d

E









0

0

0









Natężenie pola wówczas wynosi

E

q

S

0

0





Po wprowadzeniu dielektryka, pojawia się ładunek
indukowany i zaznaczona na rysunku powierzchnia
Gaussa obejmuje ładunki swobodne q i
indukowane q’,

E

q

S

q

S









0

0

'

(36)

natężenie pola E wtedy

(37
)

Równanie

(37)

wiąże natężenie pola E

0

z

E

'

0

0

q

q

ES

dS

E

















(38)

Wstawiając to do równania

(37)

otrzymujemy

q

S

q

S

q

S







0

0

0





'

(39)

i

(40
)

Jeżeli uwzględnimy to w prawie Gaussa o postaci

(3a)

, otrzymamy inną jego postać, opisującą

kondensatory z dielektrykami.







q

S

d

E









0

(41
)







0

0

q

E

E











q

S

d

D





(42
)

Strumień indukcji elektrostatycznej 

D

przechodzący przez powierzchnię zamkniętą,
zwaną powierzchnią Gaussa, obejmującą
wewnątrz ładunki swobodne równy jest sumie
tych ładunków.

Tak sformułowane prawo Gaussa uwzględnia już
tylko sumę ładunków swobodnych na okładkach
kondensatora oraz związany z nimi strumień 

D

wektora indukcji elektrostatycznej D.



0

E = D

Wektor indukcji
elektrostatyczn
ej

(43
)

Prawo Gaussa dla
dielektryków

Przykład 3.

Płaski kondensator powietrzny został naładowany
do różnicy potencjałów V

0

i odłączony od źródła

zasilania. Powierzchnia płyt tego kondensatora
wynosi S, a odległość między nimi d. Pomiędzy
okładki wsunięto następnie dielektryk o stałej
dielektrycznej , tak że połowa przestrzeni między

nimi jest wypełniona.

d
S







0



0

V

0

Znaleźć pojemność kondensatora po wsunięciu
dielektryka i zmianę energii elektrostatycznej W. Co

się stało z jej ubytkiem?

C

0

C

Po odłączeniu kondensatora od źródła zasilania,

ładunek zgromadzony na okładkach pozostanie nie
zmieniony.

Q = C

0

V

0

gdzie

C

0

jest pojemnością kondensatora

bez dielektryka. Można to zapisać również jako

Q

S

d

V





0

0

Różnica potencjałów między okładkami

zmniejszy się po wsunięciu dielektryka, ale w obu
częściach kondensatora będzie taka sama, co
oznacza, że

E

1

d = E

2

d

i

E

1

= E

2

.

E

1

i

E

2

- są to natężenia pola w kondensatorze,

odpowiednio w części bez dielektryka i z
dielektrykiem. Na podstawie prawa Gaussa możemy
zapisać związek między między natężeniem pola E

1

i

E

2

a powierzchniową gęstością ładunków 

1

, 

2

,

również dla obu części kondensatora.

(a)

E

E

1

1

0

2

2

0













Na podstawie równań a, b i c, dostajemy układ
równań:

(b)

(c)

Z układu tego wyliczamy gęstości
powierzchniowe ładunków 

1

, 

2

.

S

S

Q

S

d

V

2

2

1

2

0

0

1

0

2

0

















 



(d)















1

0 0

2

0 0

2

1

2

1









V

d

V

d

(

)

(

)

Następnie obliczamy różnicę potencjałów V
kondensatora po wsunięciu dielektryka.

V E d

d

V









1

1

0

0

2

1







Wsunięcie dielektryka
spowodowało
przesunięcie ładunków
na okładkach
kondensatora.

(e
)

(d)

Pojemność kondensatora C możemy obliczyć
traktując go jako dwa równolegle połączone
kondensatory - C

1

i C

2

.

C C

C

Q

V

Q

V

S

V

S

V

S

d

















1

2

1

2

1

2

0

2

2

1

2









(

)

Energia kondensatora W wynosi

Na tej podstawie obliczamy zmianę energii
kondensatora

W

SV

d

S

d

V

S

d

V































0

0

2

0

2

0

2

0

0

2

2

1

2 2 1

4

1

2 1

(

)

(

)

(

)

(

)

Ubytek energii zużywany jest na
polaryzację wsuwanego dielektryka.

W

CV



1

2

2

(e)

(f)