Ile rozwiązań może
mieć układ równań?

Opracowanie: Beata Szabat

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Przypomnienie.
Przy rozwiązywaniu równań liniowych z jedną

niewiadomą możemy wyróżnić następujące

przypadki:

1.

równanie spełnia każda liczba- równanie jest

wtedy nazywane tożsamościowym i ma

nieskończenie wiele rozwiązań;

2.

równanie nie spełnia żadna liczba- równanie jest

nazywane sprzecznym i nie ma rozwiązania;

3.

równanie spełnia jedna liczba – równanie jest

nazywane oznaczonym i ma jedno rozwiązanie.

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Przyjrzyj się następującemu układowi:

Czy znasz takie liczby, których różnica jednocześnie jest

równa 1 i równa 2?

Oczywiście nie ma takiej pary liczb, która spełniałaby ten

układ.

Taki układ nie ma rozwiązania i go nazywamy

sprzecznym.















2

1

y

x

y

x

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Przyjrzyj się następującemu układowi:

Czy widzisz związek między tymi równaniami?
Każda para liczb, która spełnia pierwsze

równanie spełnia również równanie drugie.

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i

nazywa się układem nieoznaczonym.

Uwaga!

Nie oznacza to jednak, że każda para spełnia

ten układ.















6

3

3

2

y

x

y

x

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Przykłady rozwiązań układu:

Niech x=1, to 1-y=2, stąd y=-1

x=5, to 5-y=2, stąd y=3
y=0, to x-0=2, stąd x=2.

Zauważ, że dla dowolnie wybranej

niewiadomej, drugą spełniającą

równanie można odpowiednio dobrać















6

3

3

2

y

x

y

x

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Rozwiązaniami układu
są między innymi:















6

3

3

2

y

x

y

x

































2

0

3

5

1

1

x

y

y

x

y

x

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Jak rozpoznać, że układ równań jest sprzeczny?
Po czym rozpoznać, że układ jest nieoznaczony?
Rozwiązanie układów:





































2

1

2

)

1

(

/

1

y

x

y

x

y

x

y

x

1

0





































6

3

3

6

3

3

6

3

3

)

3

(

/

2

y

x

y

x

y

x

y

x

0

0

Równanie sprzeczne

Równanie
nieoznaczone

Ile rozwiązań może mieć układ
równań?

Podsumowanie:
Ze względu na ilość rozwiązań

wyróżniamy układy:

-

oznaczone- ma jedno rozwiązanie;

-

nieoznaczone- ma nieskończenie wiele
rozwiązań;

-

sprzeczne – nie mają rozwiązania.

Zadania