IV Tutorial z Metod
Obliczeniowych

Interpolacja i

aproksymacja

Karol Daszkiewicz
Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo

Interpolacja - wstęp

Celem interpolacji jest wyznaczenie wartości funkcji
na zadanym przedziale [a,b], gdy znane są jej
wartości tylko na brzegach przedziału oraz dla
pewnej liczby punktów z tego przedziału.

Interpolacja - wstęp

- interpolację stosuje się dla niewielkiej

liczby punktów pomiarowych

- najczęściej wykorzystuje się kilka

funkcji

przybliżających,

gdyż

znalezienie jednej funkcji dla większej
liczby punktów jest trudne lub wręcz
niemożliwe

- poszukiwana funkcja interpolacyjna

lub funkcje interpolacyjne muszą
przechodzić przez wszystkie punkty
pomiarowe

Interpolacja - zastosowanie

- interpolacja służy najczęściej do

wyznaczenia wartości funkcji w
punktach pośrednich

- pozwala

zastąpić

skomplikowany

wzór funkcjami prostszymi np.
liniowymi

- w praktyce inżynierskiej interpolacja

jest stosowana przy obróbce wyników
badań doświadczalnych, np. przy
zagadnieniach

identyfikacji

właściwości materiałowych

Rodzaje interpolacji

Przeprowadzenie interpolacji wymaga
przyjęcia pewnej z góry założonej
postaci

poszukiwanej

funkcji.

W

zależności od tej postaci najczęściej się
stosuje interpolacje:

wielomianową

Newtona

(liniowa,

kwadratowa, sześcienna …)

wielomianową Czebyszewa

wielomianową Hermite’a

wielomianową Lagrange’a

trygonometryczną

(np.

szeregami

Fouriera)

Zagadnienie interpolacyjne

Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Interpolacja kwadratowa

Interpolacja kwadratowa

Interpolacja kwadratowa

Interpolacja kwadratowa

Interpolacja kwadratowa

Interpolacja Newtona dla

wielomianu dowolnego stopnia

( )

(

)

(

) (

)

(

)

0

1

0

0

1

1

-

= +

-

+ +

-

-

-

K

L

n

n

F x

b b x x

b x x

x x

x x

Interpolacja Newtona dla

wielomianu dowolnego stopnia

( )

0

0

b

f x

=

[

]

1

1

0

,

b

f x x

=

[

]

2

2

1

0

, ,

b

f x x x

=

M

[

]

1

1

0

,

, , ,

n

n

n

b

f x x

x x

-

=

K

Interpolacja Newtona dla

wielomianu dowolnego stopnia

Gdzie funkcje z nawiasami kwadratowymi
oblicza się z zależności rekurencyjnych:

( )

( )

,

i

j

i

j

i

j

f x

f x

f x x

x x

-

�

�=

�

�

-

,

,

, ,

i

j

j

k

i

j

k

i

k

f x x

f x x

f x x x

x x

�

� �

�

-

�

� �

�

�

�=

�

�

-

M

[

]

[

]

[

]

1

1

1

2

0

1

1

0

0

,

, ,

,

, ,

,

,

,

n

n

n

n

n

n

n

f x x

x

f x

x

x

f x x

x x

x

x

-

-

-

-

-

=

-

K

K

K

Interpolacja sześcienna

Interpolacja sześcienna jest szczególnym
przypadkiem interpolacji Newtona dla n=3:

( )

(

)

(

) (

) (

)

0

1

0

3

0

1

2

= +

-

+ +

-

-

-

K

F x

b b x x

b x x

x x x x

Interpolacja sześcienna

( )

0

0

b

f x

=

[

]

1

1

0

,

=

=

b

f x x

[

]

2

2

1

0

, ,

=

=

b

f x x x

[

]

3

3

2

1

0

, , ,

=

=

b

f x x x x

[

]

3

2

1

, ,

=

f x x x

[

]

2

1

,

=

f x x

[

]

3

2

,

=

f x x

Interpolacja – treść zadania

POLECENIE:

Posługując się gotowym algorytmem interpolacji lub
aproksymacji funkcji znaleźć podane w treści zadania
wartości zadanej funkcji.

1.Na podstawie algorytmu podanego w skrypcie
napisać funkcję interpolującą lub aproksymującą.
2.Współrzędne zadanych i poszukiwanych punktów
zapisać w zbiorze dane1.m
3.Napisać program wczytujący zbiór z danymi, a
następnie posługując się zdefiniowaną funkcją
wyznaczyć wartości funkcji w zadanych punktach.
4.Sporządzić wykres przedstawiający funkcję z
zaznaczonymi punktami zadanymi i wyliczonymi .

Interpolacja – algorytm

rozwiązania

Wczytanie danych w programie:

Na laboratorium
dane należy
wczytywać z pliku
dane1.m.

Wyznaczenie brzegów
przedziału [minx,maxx].
Wczytanie do zmiennej n
liczby punktów
poszukiwanych.

Interpolacja liniowa – algorytm

rozwiązania

Obliczenie współrzędnych poszukiwanych
punktów:

Zaimplementowanie do
programu wzoru:

Sprawdzenie czy
punkt należy do
przedziału
[minx,maxx].

Obliczenie numeru najmniejszego
elementu większego od
poszukiwanego punktu

Potrzeba stworzenia funkcji
interpolacyjnej !!!

Interpolacja kwadratowa – algorytm

rozwiązania

Obliczenie współrzędnych poszukiwanych
punktów:

Sprawdzenie czy
punkt należy do
przedziału
[minx,maxx].

Obliczenie numeru najmniejszego
elementu większego od
poszukiwanego punktu

Uruchomienie funkcji interpolującej dwumian, przekazanie do niej
współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów
poszukiwanych.

Interpolacja kwadratowa – algorytm

rozwiązania

Funkcja interpolująca dwumian():

Wykorzystanie w funkcji dwumian() wcześniej
zaprezentowanych wzorów:

( )

2

0

1

2

f x

a

a x a x

= +

+

0

0

1

1

2

1

n

n

n

a

b bx

b x x

-

-

= -

+

1

1

2

1

2

n

n

a

b b x

b x

-

= -

-

2

2

a

b

=

Interpolacja

sześcienna – algorytm

rozwiązania

Obliczenie współrzędnych poszukiwanych
punktów:

Sprawdzenie czy punkt
należy do przedziału
[minx,maxx].

Obliczenie numeru najmniejszego
elementu większego od
poszukiwanego punktu

Uruchomienie funkcji interpolującej cub, przekazanie do niej
współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów
poszukiwanych.

Interpolacja –

algorytm

rozwiązania

Funkcja interpolująca cub():

Wykorzystanie w funkcji cub() wcześniej zaprezentowanych
wzorów:

( )

0

0

b

f x

=

[

]

1

1

0

,

=

=

b

f x x

[

]

2

2

1

0

, ,

=

=

b

f x x x

[

]

3

3

2 1

0

, , ,

=

=

b

f x x x x

[

]

3

2

1

, ,

=

f x x x

[

]

2

1

,

=

f x x

[

]

3

2

,

=

f x x

Interpolacja kwadratowa – algorytm

rozwiązania

Sporządzenie wykresu:

- wypisanie wyników w Command
Window

Narysowanie punktów danych oraz wyliczonych z
interpolacji

Dla interpolacji liniowej łatwo można narysować
przebieg funkcji, gdyż wystarczy połączyć dane w
zadaniu punkty.

Interpolacja – wynik rozwiązania metodą

numeryczną

dla interpolacji liniowej

Aproksymacja - wstęp

Celem aproksymacji jest wyznaczenie przybliżonego
przebiegu funkcji dla danego zbioru punktów, w
których znane są wartości funkcji (np. punkty
pomiarowe).

Aproksymacja - wstęp

- aproksymację

stosuje

się

dla

znacznej

liczby

punktów

pomiarowych

- w aproksymacji poszukuje się jednej

funkcji przybliżającej, która nie musi
przechodzić przez wszystkie punkty
pomiarowe

- wobec tego w każdym punkcie

pomiarowym pojawia się różnica
(błąd) między wartością pomierzonej
funkcji

a

wartością

funkcji

aproksymującej

Aproksymacja – kryteria błędów

W aproksymacji poszukuje się takiej
funkcji przybliżającej, dla której błąd
przybliżenia punktów pomiarowych
będzie najmniejszy.

Najczęściej stosowane kryteria błędów:
- kryterium minimum sumy błędów
-

kryterium

minimum

wartości

bezwzględnej błędów

-kryterium

minimum

błędu

maksymalnego

-kryterium

minimum

sumy

kwadratów błędów

Aproksymacja – kryteria błędów

Dla liniowej funkcji aproksymującej:

0

1

= +

+

y a

a x e

Kryteria obliczania błędu:

0

1

= -

-

i

i

i

e

y a

a x

Definiowane są następująco:

Minimum sumy błędów:

(

)

0

1

1

1

n

n

i

i

i

i

i

e

y a

a x

=

=

=

-

-

� �

Minimum sumy wartości bezwzględnych błędów:

0

1

1

1

n

n

i

i

i

i

i

e

y a

a x

=

=

=

-

-

�

�

Kryterium minimum błędu maksymalnego (tzw.
Kryterium „minimax”):

1 2

min(max( , , , ))

n

e e

e

K

Aproksymacja – kryteria błędów

Minimum sumy kwadratów – metoda najmniejszych
kwadratów:

(

)

2

2

0

1

1

1

n

n

r

i

i

i

i

i

S

e

y a

a x

=

=

=

=

-

-

� �

Kryterium te jest najczęściej stosowane, ze względu
na otrzymywaną najbardziej pożądaną postać funkcji
przybliżającej.

Rodzaje aproksymacji

W zależności od przyjętego sposobu
oszacowania

błędu

aproksymacji,

wyróżnia się trzy rodzaje aproksymacji:

aproksymacja

interpolacyjna

–

sprowadza się do interpolacji jedną
funkcją całego przedziału

aproksymacja

jednostajna

–

aproksymacja w której jako kryterium
minimalizacji błędów przyjmuje się
kryterium minimax

aproksymacja średniokwadratowa –
metoda najmniejszych kwadratów

Aproksymacja – metoda

najmniejszych kwadratów

Aproksymacja

średniokwadratowa

jest

najczęściej

stosowanym

sposobem

aproksymacji. Posiada wiele wariantów, tutaj
przyjęto wariant liniowy metody. Żądamy w
niej, aby zostało spełnione kryterium
minimum sumy kwadratów błędów.
Jeśli wartości funkcji dane są
w punktach
, to szukamy funkcji
aproksymującej jako kombinacji liniowej
pewnych funkcji :

Gdzie: l – liczba funkcji aproksymujących jest dużo
mniejsza

od

n – liczby punktów, w których dana jest wartość
funkcji.

1

2

, , ,

n

y y

y

K

1

2

, , ,

n

x x

x

K

( )

( )

( )

1 1

2 2

l l

y a f x

a f x

a f x

=

+

+ +

K

( )

( )

1

, ,

K

l

f x

f x

Aproksymacja – metoda

najmniejszych kwadratów

1

2

, , ,

K

l

a a

a

( )

( )

( )

1 1

2 2

i

i

i

i

l l

i

y

y a f x

a f x

a f x

D = -

-

-

-

K

( )

2

2

1

1

1

min

=

=

=

�

�

= D =

-

=

�

�

�

�

�

�

�

n

n

l

i

i

k k

i

i

i

k

H

y

y

a f x

Aproksymacja – metoda

najmniejszych kwadratów

Minimum wariancji H możemy obliczyć
przyrównując jej pochodną do zera:

Otrzymujemy

układ

l

równań

o

l

niewiadomych

( )

( )

1

1

2

0 dla 1, 2, ,

=

=

�

�

��

�

=

-

-

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

K

n

l

i

k k

i

j

i

i

k

j

H

y

a f x

f x

j

l

a

1

, ,

K

l

a

a

( ) ( )

( )

1

1

,

1, 2, ,

=

=

=

=

=

=

�

�

K

n

jk

kj

k

i

j

i

i

n

j

i

j

i

i

A

A

f x f x

B

y f x

k j

l

1

1, 2, ,

=

=

=

�

K

l

jk k

j

k

A a

B

j

l

Gdzie:

Aproksymacja – metoda

najmniejszych kwadratów

1

A a B

a A B

-

�

�

�=

�

=

Ocena dokładności aproksymacji

Ocena dokładności aproksymacji

Wariancja H wyraża średnią arytmetyczną
kwadratów odchyleń (błędów) wartości funkcji
od obliczonej wartości średniej funkcji w
poszukiwanych punktach.

1

( )

i

n

y

f x

=

�

(

)

2

( )

t

i

S

f x

y

=

-

�

gdzie:

jest wartością średnią funkcji w punktach
poszukiwanych.
Ponieważ wariancja rośnie wraz ze wzrostem n,
stosuje się średnią wartość wariancji – tzw.
odchylenie standardowe:

1

t

y

S

n

s =

-

Ocena dokładności aproksymacji

(

)

2

( )

( )

r

i

i

S

f x

F x

=

-

�

1

r

xy

S

n

s

=

-

1

t

r

t

S S

r

r

rozwiązaniedokładne

S

-

=

= �

Ocena dokładności aproksymacji

2

t

r

t

S S

r

S

-

=

Aproksymacja – algorytm

rozwiązania

Wczytanie danych w programie:

Na laboratorium
dane należy
wczytywać z pliku
dane1.m.

Zmienna m jest zwiększana o jeden ponieważ
wielomian n stopnia ma n+1 niewiadomych
współczynników

Aproksymacja – algorytm

rozwiązania

Obliczenie elementów pomocniczych
macierzy A i B:

Sprawdzenie czy użytkownik wczytał
wystarczającą liczbę punktów do
zdefiniowania wielomianu stopnia m-1

Obliczenie elementów
macierzy A i B zgodnie z
poniższymi wzorami:

Potrzeba stworzenia oddzielnej funkcji
aproksymacyjnej !!!

( ) ( )

( )

1

1

,

1, 2, ,

=

=

=

=

=

=

�

�

K

n

jk

kj

k

i

j

i

i

n

j

i

j

i

i

A

A

f x f x

B

y f x

k j

l

Aproksymacja – algorytm

rozwiązania

1

\ '

a=A

'

( )

'

a A B

B inv A B

-

=

�

� =

�

Aproksymacja – algorytm

rozwiązania

Obliczenie na podstawie funkcji aproksymującej
wartości funkcji w punktach poszukiwanych :

Narysowanie wykresu funkcji aproksymującej z
zaznaczeniem punktów danych i poszukiwanych:

Prezentacja została wykonana na podstawie

skryptu:

METODY NUMERYCZNE W MECHANICE

KONSTRUKCJI z przykładami w

programie MATLAB

prof. dr hab. inż. Paweł Kłosowski
dr inż. Andrzej Ambroziak

Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej

Dziękuje za uwagę