Pakiety Matematyczne

Pakiety

Matematyczne

Dr inż. Małgorzata

Kotulska

A5 – pok. 208, tel. 320 2897

E-mail: kotulska@pwr.wroc.pl

Konsultacje:

poniedziałek 14-15

Środa 11.30-13

M A T L A B

M A T H E M A T IC A

M A P L E

M A T H C A D

IN N E ...

P a k ie ty M a te m a tyc z n e

Programowanie

symboliczne

Programowa

nie

numeryczne

SCILAB

inne

darmowe

Literatura

1. B. Mrozek, Z. Mrozek, „Matlab 5.x, Simulink

2.x – poradnik użytkownika”, Wyd. PLJ

Warszawa.

2. J. Brzózka, L. Dorobczyński, „Programowanie

w Matlabie”, Mikom, Warszawa 1998.

3. A. Zalewski, R. Cegieła, „Obliczenia

numeryczne i ich zastosowania”, Nakom 1997.

4. D. Hanselman, B. Littliefield, „Mastering

Matlab 6, A

Comprehensive

Tutorial and

Reference, Prentice Hall, 2001.

5. D. J. Higham, N. J. Higham, „Matlab Guide,

SIAM, Philadelphia.

Jak powstawał Matlab

• Lata 70

– Univ. New Mexico (USA),

Cleve Moler,

MAT

rix

LAB

oratory (za pomocą

Fortranu), wspomaganie zajęć z algebry

• 1984 –

nowa edycja (na bazie C)

• 1987

– Math Works Inc., Matlab 3.0, ulepszony

interpreter, grafika

• 1992 –

Matlab 4.0, system pod Windows,

animacje, GUI, macierze rzadkie

• 1997 –

Matlab 5.0, programowanie obiektowe,

macierze wielowymiarowe, hipertekstowy HELP,

nowe narzędzia ODE

• 2000 –

Matlab 6.0, współpraca z Javą, PDE

CZYM JEST MATLAB?

 Matlab to pakiet przeznaczony do

wykonywania obliczeń numerycznych
oraz graficznej prezentacji wyników.

 Interpreter skryptowy.
 Dostępny jest na różnych platformach

sprzętowych oraz systemowych (np..
Windows, Macintosh).

 Podstawową strukturą danych w

Matlabie jest macierz.

Kiedy Matlab ?

1. Interaktywny język wysokiego

poziomu. Przejrzysty kod.

2. System do obliczeń

numerycznych
operuje na tablicach
(macierzach) danych

3. Optymalizacja czasochłonnych

operacji tablicowych

4. Język skryptowy –

interpretowany (możliwość
kompilacji poprzez jęz. C).
Bogate (darmowe) biblioteki –
otwarty kod, dowolny system
operacyjny).

5. Możliwość łączenia z funkcjami

w C/C++, klasy Javy

Najważniejsze

zastosowania Matlaba –

„toolboxy”

• CHEMOMETRICS
• COMMUNICATIONS
• CONTROL SYSTEM

• FINANCIAL

• FREQUENCY DOMAIN SYSTEM

IDENTIFICATION

• FUZZY LOGIC

Najważniejsze

zastosowania Matlaba –

„toolboxy”

• HIGHER-ORDER SPECTRAL ANALYSIS

• IMAGE PROCESSING

• LINEAR MATRIX INEQUALITY CONTROL
• MAPPING
• MODEL PREDICTIVE CONTROL
 -ANALYSIS and SYNTHESIS
• NAG FOUNDATION

Najważniejsze

zastosowania Matlaba –

„toolboxy”

• SPLINE
• SYMBOLIC MATH, EXTENDED SYMBOLIC

MATH

• SYSTEM IDENTIFICATION

• WAVELET

• QFT CONTROL DESIGN
• REAL-TIME WORKSHOP
• ROBUST CONTROL

PRACA Z PAKIETEM MATLAB

•

trybie bezpośrednim

– typowy tryb

roboczy, umożliwiający prowadzenie dialogu

pomiędzy użytkownikiem a pakietem na

zasadzie: pytanie-odpowiedź. Użytkownik

wpisuje polecenia bezpośrednio do okna

poleceń

•

trybie pośrednim

– umożliwiającym

szybkie i efektywne wykonanie obliczeń i

prezentację wyników za pomocą

uruchomienia programu napisanego w

języku pakietu Matlab, czyli tzw. Skryptu

(zwanego również m-plikiem, np.

moj_skrypt.m).

>> moj_skrypt <ENTER>

POLECENIA

 Po wydaniu polecenia i naciśnięciu klawisza

Enter Matlab natychmiast wyświetla jego

wynik.

 Umieszczenie po poleceniu średnika spowoduje

wykonanie obliczeń, ale bez zwracania wyniku.

 Polecenie powinno się mieścić w jednym

wierszu.

 Kilka poleceń w jednym wierszu oddzielamy od

siebie przecinkami lub średnikami.

Charakterystyka M-plików

Skrypty
• Nie posiadają

argumentów
wejściowych, ani
wyjściowych

• Operują na danych w

przestrzeni roboczej

• Wygodne, kiedy często

należy wykonać
sekwencję tych samych
poleceń

Funkcje
• Mogą posiadać

argumenty wejściowe
i wyjściowe

• Wewnętrzne zmienne

są lokalne dla funkcji

• Wygodne do

rozszerzenia
MATLABA o własne
aplikacje

POMOC SYSTEMOWA

Uzyskanie informacji o funkcjach

Matlaba:

1. >>help

nazwa_funkcji

2. Help Desk-podręcznik opracowany

w postaci stron HTML.

LICZBY

 Stałopozycyjne-z opcjonalnym użyciem znaku

+ lub – oraz kropki dziesiętnej;

 Zmiennopozycyjnej - z użyciem znaku e lub E

poprzedzającego wykładnik potęgi 10, np.

1e2=100;

 Do zapisu części urojonej liczb zespolonych używa

się stałej i lub j.

UWAGA

: Domyślnie Matlab traktuje wszystkie liczby

jako zespolone (ostrożnie z pierwiastkowaniem)

ZMIENNE

 Nazwa zmiennej musi rozpoczynać się literą i

może składać się z dowolnej liczby liter, cyfr i

znaków podkreślenia.

 Pakiet Matlab nie wymaga deklarowania

zmiennych ani określenia ich rozmiaru (można,

w uzasadnionych wypadkach - b. duże

macierze).

 Aby sprawdzić wartość istniejącej już zmiennej,

należy w wierszu poleceń wpisać jej nazwę.
Np.

>>A



Matlab rozróżnia duże i małe litery

 Standardowe polecenia pakietu pisane są

zawsze małymi literami.

DEFINIOWANIE MACIERZY

(WEKTORA)

 Elementy w wierszu macierzy muszą być

oddzielane spacją lub przecinkami;

A=[1 3 4;3 4 5]; B=[1,2;7,8];
C=[3:7]; D=[2:0.1:15];

 Średnik lub znak nowego wiersza kończy

wiersz macierzy i powoduje przejście do

następnego;

 Cała lista elementów musi być ujęta w

nawiasy kwadratowe.

ODWOŁANIA DO FRAGMENTÓW

MACIERZY

 x(j:k) – elementy wektora wierszowego

x o numerach od j do k

 A(i,:) – wszystkie elementy w wierszu i

macierzy A

 A(i,j:l)- wszystkie elementy w wierszu i

macierzy A o numerach od j do l

 A(i:k,j:l)-wszystkie elementy w

kolumnach od j do l wierszy od i do l

A=[17,0,-9;30,-2,38]

A(A>1)

ans =

WYŚWIETLANIE MACIERZY I ICH

ROZMIARÓW

 disp(A)-wyświetla zawartość macierzy A w

oknie poleceń;

 size(A)-wyświetla rozmiar dwuwymiarowej

macierzy A (liczbę wierszy i kolumn) w

postaci dwuelementowego wektora

wierszowego;

 [n m]=size(A)-przypisuje zmiennej n liczbę

wierszy, a zmiennej m liczbę kolumn;



n=size(A,1)-przypisuje zmiennej n

liczbę wierszy macierzy A;



m=size(A,2)-przypisuje zmiennej m

liczbę kolumn macierzy A;



length(x)-zwraca długość wektora x lub

dłuższy z wymiarów macierzy.

FUNKCJE GENERUJĄCE I

PRZEKSZTAŁCAJĄCE MACIERZE

 eye(n)-tworzy macierz jednostkową nxn;
 ones(n)-tworzy macierz nxn o

elementach równych 1;

 zeros(n)-macierz zerowa nxn;
 rand(n)-macierz nxn wypełniona

liczbami pseudolosowymi z przedziału

<0,1> o rozkładzie jednostajnym;

randn(n)-macierz nxn wypełniona

liczbami pseudolosowymi o rozkładzie

normalnym ze średnią 0 i wariancją 1.

 A=diag(x)-macierz przekątniowa A ze

składnikami wektora x na głównej

przekątnej;

 x=diag(A)-utworzenie wektora x z

elementów znajdujących się na głównej

przekątnej macierzy A;

 inv(A)-utworzenie macierzy odwrotnej do

 repmat(A,n,m)-utworzenie macierzy przez

powielenie podmacierzy A m razy w

poziomie i n razy w pionie;

 reshape(A,n,m)-utworzenie macierzy o n

wierszach i m kolumnach z elementów

branych kolejno kolumnami z macierzy A;

 rot90(A)-obrócenie macierzy A o 90 stopni

w kierunku przeciwnym do wskazówek

zegara;

 tril(A)-utworzenie z macierzy A macierzy

trójkątnej dolnej;

 triu(A)- utworzenie z macierzy A macierzy

trójkątnej górnej.

size(A)

ans =

2 2

length(A)

ans =

Zmiana kształtu macierzy

C=reshape(A,2,3)

C =

1 2 0

3 4 6

Funkcje logiczne badające własności

elementów macierzy

any(X) –

czy którykolwiek element niezerowy?

all(X)

– czy wszystkie niezerowe

isinf(X)

finite(X)

I=find(X)

MACIERZE WIELOWYMIAROWE

 Matlab dopuszcza definiowanie macierzy

wielowymiarowych. Odwoływanie się do

elementów takich macierzy wymaga liczby

indeksów większej niż 2.

 Pierwszy indeks-wiersz macierzy (wymiar

1);

 Drugi indeks-kolumna macierzy (wymiar 2);
 Trzeci indeks-strona macierzy (wymiar 3)
 Czwarty indeks-książka macierzy (wym. 4);
 Piąty indeks-tom macierzy (wym.5);
 itd.;

METODY TWORZENIA TABLIC

WIELOWYMIAROWYCH

1) przez indeksowanie;
2) przez zastosowanie funkcji (ones, zeros,

randn, repmat-tworzy tablice

wielowymiarową wypełnioną jednakowymi

wartościami);

3) przez zastosowanie funkcji cat

(konkatenacja, scalanie tablic);

4) cat(dim,A,B) scala dwie macierze A i B

zgodnie z podanym wymiarem dim;

5)  cat(2,A,B) oznacza to samo co [A, B];
6)  cat(1,A,B) oznacza to samo co [A; B];
7)  B=cat(dim,A,B,C,...) scala macierze A, B,C,...

zgodnie z podanym wymiarem dim;

PRZYKŁAD

• Na rysunku widoczna jest

macierz trójwymiarowa o

rozmiarze 2x3x2 (2

wiersze i 3 kolumny na

każdej stronie, 2 strony);

• >>D(:,:,1)=[1 3 0; 5 7 2]
% str.1;
• >>D(:,:,2)=[4 7 8; 1 0 5]
• % str.2;

str

wiersze

TYPY DANYCH

Matlab dopuszcza użycie sześciu
podstawowych typów danych:

Double-liczby podwójnej precyzji; podstawowy

typ danych dla zmiennych MATLAB-a (wszystkie

obliczenia w Matlabie są prowadzone w trybie

podwójnej precyzji dla zmiennych numerycznych

i łańcuchowych);

DOMYŚLNY

2. Char-znaki i łańcuchy znaków; łańcuch znakowy

definiuje się za pomocą apostrofów i

przechowywany jest w pamięci w postaci

wektora liczb całkowitych reprezentujących kody

ASCII poszczególnych znaków;

3. Sparse - dotyczy dwuwymiarowych macierzy rzadkich

podwójnej precyzji; (macierz rzadka to taka macierz,

w której zapamiętywane są tylko elementy niezerowe;

redukuje to zapotrzebowanie pamięci);

4. Cell-typ komórkowy; elementy tablic komórkowych

mogą zawierać inne tablice;

5. Struct-typ strukturalny; tablice strukturalne odwołują

się do nazw pól, które mogą zawierać inne tablice;

6. Uint8-typ przeznaczony do efektywnego

wykorzystania pamięci, integer ze znakiem lub bez

(uint); możliwe są takie operacje, jak zmiana

wymiarów lub kształtu tablicy, ale niedozwolone są

żadne operacje matematyczne;

Funkcje zamiany

: i = int8(x) i = int16(x) i = int32(x)

i = int64(x) uint8(x) ......

Oprócz wymienionych typów istnieje typ

UserObject

, który jest

typem definiowanym przez użytkownika.

LISTA ŚCIEŻEK

• Lista ścieżek to lista katalogów, do

których Matlab ma dostęp. Polecenie
„path”

• Jest zdefiniowana w pliku pathdef.m,

znajdującym się w podkatalogu
toolbox\local katalogu z Matlabem.

• Można ją wyświetlać lub zmieniać

poleceniem path.

PODSTAWOWE FUNKCJE I STAŁE

MATEMATYCZNE

Funkcja

opis

sin(z), cos(z), tan(z), cot(z)

Sinus, cosinus,

tangens, cotangens;
argument funkcji w

radianach;

asin(z), acos(z), atan(z),

acot(z)

Funkcje

cyklometryczne; wynik
w radianach;

sinh(z), cosh(z), tanh(z),

coth(z)

Funkcje hiperboliczne;

argument w radianach;

sqrt(z)

Pierwiastek z ; z<0 –
wynik zespolony;

exp(z)

log(z)

ln(z); z<0 – wynik
zespolony;

log2(z)

log

z; z<0 – j.w.

abs(z)

wartość bezwzględna
lub moduł liczby

zespolonej;

angle(z)

argument liczby
zespolonej;

real(z), imag(z)

część rzeczywista i
urojona liczby z

conj(z)

liczba zespolona
sprzężona;

complex(x,y)

utworzenie liczby
zespolonej;

ceil(z)

zaokrąglenie liczby w
górę;

floor(z)

zaokrąglenie liczby w

dół;

fix(z)

zaokrąglenie liczby

dodatniej w dół, ujemnej
w górę;

round(z)

zaokrąglenie do

najbliższej liczby
całkowitej;

rem(x,y); mod(x,y)

reszta z dzielenia x

przez y;

sign(x)

funkcja signum;

FUNKCE OPERUJĄCE NA WEKTORACH

(na MACIERZACH podane wcześniej)

max(x)

największy element wektora

min(x)

najmniejszy element
wektora x;

sum(x)

sumę elementów wektora x;

prod(x)

iloczyn elementów wektora
x;

mean(x)

średnia arytmetyczna
elementów wektora x;

length(x)

długość wektora

STAŁE MATEMATYCZNE

stałe

opis

przybliżenie wartości

eps

względna dokładność

zmiennoprzecinkowa;

i lub j

pierwiastek z liczby –1;

Inf lub

inf

nieskończoność (ang. Infinity); jest

rezultatem operacji, która przekracza

zakres arytmetyki komputera,
np.dzielenie przez 0;

NaN lub

nan

nie liczba; jest wynikiem matematycznie

niezdefiniowanych operacji;



1. Sekwencjonowanie i ekspresja DNA

(genomika)

2. Ekspresja i struktura białek

(proteomika)

3. Modelowanie szlaków metabolicznych w

komórce (metabolika)

4. Modelowanie metodami

dynamiki

molekularnej (MD)

Monte Carlo

lub

innymi

– cząstek lub układów

biologicznych

Przykładowe kierunki

Genomika porównawcza - gałąź

„computational biology”

która analizuje genom.

Genomika porównawcza

- gałąź

„computational biology”

która

analizuje

genom.

„Computational biology” - gałąź

biologii która stosuje podejście

informatyczne do

rozwiązywania problemów

biologicznych

„Computational biology”

- gałąź

biologii

która stosuje podejście

informatyczne do

rozwiązywania

problemów

biologicznych

Bioinformatyka - gałąź informatyki

rozwiązująca problemy

biologiczne

Bioinformatyka

gałąź

informatyki

rozwiązująca problemy

biologiczne

Genomika porównawcza – stosuje

analizę porównawczą do

ustalenia sekwencji genomu

Genomika porównawcza

– stosuje

analizę porównawczą do

ustalenia sekwencji genomu

„Computational biology” –

umożliwia lepsze zrozumienie

obiektu biologicznego (enzym,

szlak metaboliczny, organellum,

komórka)

„Computational biology”

–

umożliwia lepsze

zrozumienie

obiektu biologicznego (enzym,

szlak metaboliczny, organellum,

komórka)

Bioinformatyka - dostarcza

nowych narzędzi: algorytmy,

struktury baz danych, narzędzia

wizualizacji, itd.

Bioinformatyka

- dostarcza

nowych narzędzi:

algorytmy,

struktury baz danych, narzędzia

wizualizacji, itd.

Współczesna wiedza o

procesach wewnątrz-

komórkowych jest

STATYCZNA

Przykład: znany genom SARS

nic nie wiadomo o cyklu życia

wirusa.

Konieczne zastosowanie

modelowania / technik

komputerowych

Wynik

modelowania/stosowania

technik informatycznych

• Zrozumienie złożonych danych

pochodzących z eksperymentów

biomedycznych

• Identyfikacja głównych cech regulujących

zachowaniem całego systemu

• Badanie procesów dynamicznych (szlaki

metaboliczne, energetyka serca, aktywacja

odpowiedzi immunologicznej, itd.)

• Farmakoterapia celowa

Document Outline