WPROWADZENIE DO
KINEMATYKI
MANIPULATORÓW
ROBOTÓW
WPROWADZENIE DO
KINEMATYKI
MANIPULATORÓW
ROBOTÓW
Rozważa się manipulatory robotów z parami
obrotowymi i postępowymi (V klasy)
Fig. 4 -1
Figure 4-1 Two different 2-jointed manipulators. (a)
two rotational joints (RR), (b) two linear joints (LL).
(a)
(b)
Rysunek 4-1 Dwa dwuczłonowe manipulatory: (a) z
dwoma parami obrotowymi, (b) z dwoma parami
postępowymi.
Rozważa się manipulator robota dwuogniwowego z
parami obrotowymi, pokazany na rysunku
Fig. 4 -2
Figure 4-2 A two-dimensional
2 degree-of-freedom
manipulator (type RR).
Rysunek 4-2 Płaski manipulator o 2
stopniach swobody ( z dwoma parami
obrotowymi)
Położenie dowolnego punktu dowolnego członu
w przestrzeni (konfiguracji) ( w rozważanym
przypadku na płaszczyźnie) można określić
jako funkcję:
2
1
,
j
P
lu
b
y
x
P
w
,
Promienie-wektory członów (ogniw) manipulatora
są funkcjami
1
1
1
1
1
sin
,
cos
L
L
r
2
1
1
2
1
2
2
sin
,
cos
L
L
r
[w ten sposób zdefiniowano ‘dodatni’ kąt obrotu
członu (ogniwa) jako przeciwny do ruchu
wskazówek zegara]
współrzędne
kartezjańskie
chwytaka
są
w
rozważanym przypadku równe
2
1
2
1
1
cos
cos
L
L
x
2
1
2
1
1
sin
sin
L
L
y
Niejednoznaczność położenia interesującego nas
punktu manipulatora robota pokazano na rysunku
Fig. 4-3
Figure 4-3 The arm at point P(x,y), indicating
two possible configurations to achieve the
position.
Rysunek 4-3 Dwie możliwe konfiguracje
położenia ramienia robota dla zadanego
punktu P(x,y).
Wykorzystując
podstawowe
tożsamości
trygonometryczne, czyli
B
A
B
A
B
A
sin
sin
cos
cos
)
cos(
A
B
B
A
B
A
cos
sin
cos
sin
)
sin(
współrzędne kartezjańskie chwytaka wynoszą
2
1
2
2
1
2
1
1
sin
sin
cos
cos
cos
L
L
L
x
2
1
2
2
1
2
1
1
sin
cos
cos
sin
sin
L
L
L
y
Podnosząc obie strony ostatnich równości do
kwadratu oraz dodając je do siebie, otrzymuje się
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
cos
L
L
L
L
y
x
Definiując kąty α i β tak jak na rysunku (Fig. 4-4)
(Fig. 4-4)
Figure 4-4 Solving for the joint angles.
Rysunek 4-4 Rozwiązanie w przypadku kątów.
otrzymuje się
1
2
2
2
1
cos
sin
tan
L
L
L
x
y
tan
Wykorzystując kolejna tożsamość trygonometryczną
B
A
B
A
B
A
tg
tg
1
tg
tg
)
tg(
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
sin
cos
sin
cos
tg
yL
L
L
x
xL
L
L
y
Znając długości L
1
i L
2
można wyznaczyć kąty
ogniw, w położeniu x i y w przestrzeni roboczej
otrzymuje się
Rozważa się z kolei trzyogniwowy (trójczłonowy)
manipulator robota pokazany na rysunku
(Fig. 4-5)
Figure 4-5 The two-dimensional 3 degree-
of-freedom manipulator with orientation
(type RR:R).
Rysunek 4-5 Płaski trzy-
ogniwowy
manipulator
z
trzema parami obrotowymi.
3
2
1
3
2
1
2
1
1
cos
cos
cos
L
L
L
x
3
2
1
3
2
1
2
1
1
sin
sin
sin
L
L
L
y
3
2
1
Rozwiązanie otrzymuje się podobnie jak w
przypadku poprzednim ustalając położenie x
3
i y
3
jako
cos
3
3
L
x
x
sin
3
3
L
y
y
Ustalając zatem położenie połączenia 3 problem
wyznaczenia kątów θ
1
i θ
2
sprowadza się do zadania
już rozwiązanego w przypadku manipulatora
dwuogniwowego
Fig. 4-6 A three-dimensional
4
degree-of-freedom
manipulator (type TRL:R)
Na rysunku (Fig. 4-6) pokazano manipulator o
czterech stopniach swobody, czyli o ruchliwości
równej cztery
.
Rys.
4-6
Trójwymiarowy
manipulator
o
4
stopniach
swobody (o parach wykonujących
kolejno translacje, obrót, wysuw i
obrót).
Położenie robota w przestrzeni możliwości położeń
przegubu P można zdefiniować następująco
cos
cos
cos
4
L
L
x
cos
cos
sin
4
L
L
y
sin
sin
4
1
L
L
L
z
Ustalając położenie punktu P(x,y,z) oraz kąt ψ,
można znaleźć dowolną konfigurację ogniw
manipulatora. Wykorzystując położenie przegubu
P
4
(x
4
,y
4
,z
4
), można przykładowo wyznaczyć:
cos
cos
4
4
L
x
x
cos
sin
4
4
L
y
y
sin
4
L
z
z
A zatem wartości L,
oraz θ można wyznaczyć następująco
2
1
4
2
4
2
4
1
L
z
y
x
L
L
L
z
1
4
sin
L
y
4
cos