prof. dr. hab. Jerzy Wolanin
Tel. [phone].
Budynek 2, pokój 236

Analiza Ryzyka

w Inżynierii Bezpieczeństwa

Literatura

• Jerzy Wolanin „Wstęp do teorii bezpieczeństwa obywateli

.

Ochrona

ludności na czas pokoju”. Warszawa 2004

• Praca zbiorowa. „Mapy Terytorialnego Rozkładu Ryzyka”

Politechnika Warszawska WMEiL , Szkoła Główna
Służby

Pożarniczej IBC. Warszawa 2004

• A. M. Hasofer „Risk Analysis in Building Fire Safety

Engineering” Elsvier 2007

• A.H.S. Ang W.H. Tang „Probability Concepts in Engineering

Planing

and Design”

• D. Vose „Risk Analysis

A quantitative guide

”

Rozwój

Rozwój

przestrzeni

przestrzeni

cywilizacyj

cywilizacyj

nej

nej

Przestrzeń naturalna

Przestrzeń

cywilizacyjna

Przestrzeń cywilizacyjna nigdy całkowicie nie

Przestrzeń cywilizacyjna nigdy całkowicie nie

zastąpi przestrzeni naturalnej.

zastąpi przestrzeni naturalnej.

Bezpieczeństwo jako dobro publiczne

Bezpieczeństwo - jest to stan (lub proces) otoczenia

cywilizacyjnego i środowiska naturalnego dowolnej
społeczności lokalnej (szeroko rozumianej).

Stan (lub proces) ten określany jest przez poziom

całościowego ryzyka w nich występującego

.

Bezpieczeństwo ( dwie składowe):

- bezpieczeństwo eksperckie,

- poczucie bezpieczeństwa.

Społeczno – techniczne

technologiczne

pożary
wycieki
toksyczne uwolnienia
zawalenia konstrukcji
utrata dóbr
wybuchy
zanieczyszczenia

kwaśne deszcze
chemiczne
atmosferyczne

transportowe

powietrzne
morskie
naziemne

infrastruktury krytycznej

dystrybucja wadliwych towarów
awaria sieci komputerowej
przerwy w usługach ( np..

energetycznych)

przerwy w dostawach mediów

Podział katastrof ze względu na źródła -
drzewo katastrof

Katastrof
y

Hybrydowe

Naturalne

Źródła podziemne

trzęsienia ziemi
tsunami
wybuchy wulkanów

Źródła naziemne

osuwiska ziemi
lawiny: śnieżne, błotne, kamieni

Zjawiska meteorologiczne i hydrologiczne

wichury

:cyklony,

tajfuny

,huragany

tornada (trąby powietrzne)
burze śnieżne i gradowe
zalewowe morskie fale
powodzie
pożary lasów

Zjawiska briologiczne

epidemie
plagi

cywilizacyjne

Zalanie gminy na terenie zalewowym.
Wyrąb lasów, powodujący osuwiska.
Budowa obiektów na trasach lawin.

Wojenne i kryzysowe

konflikty międzynarodowe
konflikty narodowe

Kryteria

Pytania

Równość

Czy Ci, którzy są odpowiedzialni za tworzenie ryzyka

płacą za jego redukcje? Czy równo podzielono koszty ,

winny nie jest człowiek?

Czas

Czy uzyska się efekty tej opcji jeżeli szybko zostanie

zrealizowana?

Przełożenie

Czy zastosowanie tej opcji prowadzi do dalszej redukcji

ryzyka podjętych przez innych?

Koszty

Czy opcja ta jest najbardziej efektywna?

Efektywność

administracyjna

Czy łatwo jest administrować wybraną opcją, czy też

wyniki będą nieistotne z powodu trudności w

administrowaniu?

Ciągłość efektów

Czy efekty wybranej opcji będą długotrwałe, czy też

ledwie krótkoterminowe?

Dopasowanie

Na ile wybrana opcja pasuje do innych już

zaadoptowanych?

Legalność

Czy na danym poziomie adm. Można zastosować opcję

legalnie?

Skutki

ekonomiczne

Jaki wpływ na finanse będzie miał wybór opcji?

Wpływ na

środowisko

Jaki będzie wpływ opcji na środowisko?

Tworzenie ryzyka

Czy wybór opcji samo nie stworzy innego ryzyka?

Reakcja ludzi i grup

nacisku

Czy w wyniku przyjęcia opcji prawdopodobne są

reakcje przeciwne do wdrożenia?

Wolność osobista

Czy wybrana opcja pozbawia kogokolwiek praw?

Kryteria rozstrzygnięć

Kryteria rozstrzygnięć

Dlaczego ryzyko?

• Brak dokładnej wiedzy o sposobie rozwoju zagrożenia z

powodu braku wiedzy o zjawiskach i ich powiązaniach.

• Stosowane przybliżenia modeli, opisujących zagrożenia.
• Brak danych statystycznych (ale

uwaga ! jeśli nawet

dysponujemy takimi danymi to mamy wiedzę o historii a nie o
przyszłości).

• Stosowanie urządzeń zabezpieczających nie gwarantuje stu

procentowego bezpieczeństwa gdyż:
a. urządzenia mogą być niesprawne
b. sprawne urządzenia nie zareagują ( zły montaż)

• Reakcja człowieka na zagrożenie nie jest jednoznacznie

określona.

Narzędzia analizy ryzyka:

• Rachunek prawdopodobieństwa i

statystyka.

• Deterministyczne fizyczno- matematyczne

modelowanie zagrożeń.

• Stochastyczne modelowanie zagrożeń.
• Ilościowe metody oceny ryzyka.
• Półilościowe metody oceny ryzyka.
• Jakościowe metody oceny ryzyka.

Co to jest ryzyko?

Ryzyko jest to współzależność możliwości
wystąpienia zagrożenia i skutków, które
wywołuje jego wystąpienie.

Inżynierska definicja ryzyka:

R(t) = p (t) x C (t)

gdzie R – ryzyko, t czas (rok), p – prawdopodobieństwo
wystąpienia zdarzenia niekorzystnego, C skutki tego zdarzenia

RYZYKO

=

RYZYKO EKSPERCKIE

+

SPOŁECZNE

SPOŁECZNE

WZBURZENIE

WZBURZENIE

„

„

postrzeganie jest

postrzeganie jest

rzeczywistością”

rzeczywistością”

Ryzyko Całkowite

Obliczenie ryzyka wybuchu (Ryzyko Eksperckie)

Społeczne Wzburzenie
(postrzeganie zagrożenia
wybuchu)

Kryteria

oceny

Postrzeganie ryzyka

Jako niższe

Jako wyższe

Źródło

Naturalne

Cywilizacyjne

Dobrowolność

Dobrowolne

Niedobrowolne

Ujawnienie

Natychmiastow

e

Opóźnione

(nieuchwytne)

Dotkliwość (liczba

osób zagr.)

„Rutynowe”

Katastrofalne

Wpływ

Dające się

sterować

Niedające się

sterować

Korzyść

Oczywista

Nieoczywista

Obycie z ryzykiem

Znane

Nieznane

Konieczność

Niezbędne

Zbyteczne

(luksus)

Częstotliwość

Częste

Rzadkie (losowe)

Kryteria oceny ryzyka i jego postrzeganie

Co nam mówi statystyka

Miara Ryzyka

(nawet ona ma charakter polityczny)

•Ryzyko indywidualne

Możliwość (wartość oczekiwana) śmierci

człowieka w ciągu roku, w wyniku awarii

technicznej, stale znajdującego się w strefie

zagrożenia.

•Ryzyko Grupowe

Możliwość (wartość oczekiwana) śmierci co

najmniej kilku ludzi, w ciągu roku, w wyniku

awarii technicznej.

•Wartość oczekiwana

Średnia liczba (ofiary) ofiar śmiertelnych rocznie.

Indywidualne Ryzyko Śmierci

• Tytoń

5*10

-3

• Drogi(1999)

8*10

-5

• Pioruny

5*10

-7

• Użądlenia

2*10

-7

• Powodzie

1*10

-7

• Katastrofa lotnicza2*10

-8

• Awaria chemiczna 6*10

-9

Kryteria ryzyka akceptowalnego

W krajach o dużym ryzyku powodzi np. w Holandii przyjmuje się, że
w miastach ryzyko indywidualne śmierci nie może być większe niż 10

-

6

.

Mamy więc:
IR < β 10

- 4

I tak dla ryzyka niedobrowolnego β = 0.01,
dla ryzyka dobrowolnego z indywidualną korzyścią β = 100,
dla rowów i grobli wartość β waha się między 1 a 0.1.
W przypadku ryzyka grupowego korzysta się z zależności:

SR = 1 – F

N

< C

i

/ n

α

tutaj F

N

– prawdopodobieństwo powstania powodzi, C

i

- stała

określająca granicę tolerowanego prawdopodobieństwa dla przyjętej
i- tej wartości, n oznacza liczbę ofiar zaś α charakteryzuje kąt
nachylenia profilu ryzyka, zwykle przyjmuje się, że wartość α wynosi
2.

Ryzyko indywidualne śmierci IR

Prawdopodobieństwo śmierci
w ciągu roku

1.0
0

10

-2

10

-4

10

-6

10

-8

Alpinizm,

choroba

jazda
samochodem

Latanie samolotem

przemysł

Przyczyny śmierci

Akceptowalność ryzyka

d

o

b

ro

w

o

ln

o

ść

b

e

zp

o

śr

e

d

n

ia

k

o

rz

y

ść

Współczynnik β

(czynnik polityczny)

duża

mała

tak

nie

β =
10

β = 1

β =0.1

β= 0.01

Ryzyko grupowe SR

(rowy i groble)

Prawdopodobieństwo
P(x>n)

1.0
0

10

-2

10

-4

10

-6

10

-8

1

10

100

1000 10000

100000

liczba ofiar (skala log.)

Profil ryzyka powodzi

C

i

= 100

C

i

= 4

SR = 1 – FN < Ci / n

α

Zjawisko BLEVE

Zjawisko BLEVE

Zjawisko BLEVE

Ryzyko - Aksjomaty

• Ryzyko zawsze jest różne od zera.
• Nie ma skutków o wartości zero.
• Istnieje konieczność określenia
kryteriów ryzyka.
• Istnieje konieczność akceptacji

ryzyka reliktowego.

Zależność ryzyka od czasu przy prawidłowym zarządzaniu

Granica
ALARP

Minimalny akceptowalny
poziom bezpieczeństwa

Maksymalny
poziom bezp.

Wielkość bezpieczeństwa

Wartość ryzyka

Dolna granica utrzymania ryzyka

Malejące bezpieczeństwo wraz ze wzrostem ryzyka.
Obszar zarządzania ryzykiem NARP

Ryzyko akceptowalne

Obszar ryzyka nietolerowalnego

Obszar ryzyka zaniedbywalnego

Obszar zarządzania
bezpieczeństwem

Identyfikacja zagrożeń

Analiza
częstotliwościo
wa

Analiza
skutków

Ocena ryzyka

Redukcja
ryzyka

NIE

TAK

Koniec

Akceptowalno
ść
ryzyka ?

Identyfikacja scenariuszy

Opis obiektu

Zarządzanie ryzykiem pożarowym obiektów

Matryca Ryzyka

Skutki

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

Drogi
Upadki
Palenie
Narty

...

Użądlenie
Piorun
..

Wybuch
Chmura
Toksyczna
Kat. Lotnicza
(Powodzie)

Głód
Epidemie
Wstrząsy Ziemi
Powodzie
..

Małe

Duże

A

wareness and

P

reparedness for

E

mergencies at

L

ocal

L

evel

Świadomość i

Przygotowanie na

Wypadek Sytuacji

Kryzysowych

na Poziomie Lokalnym

Ryzyko - projekcja przyszłości na

teraźniejszość

Ryzyko

Przyszłość

Poziom
ALARP

„Społeczeństwo dużego

ryzyka”:

1.

Zwiększone tempo życia.

2.

Słabe zarządzanie fabrykami i dużymi
systemami.

3.

Brak świadomości, brak planów, brak
kooperacji.

„Społeczeństwo małego

ryzyka”:

1.

Planowanie ma związek ze
świadomością ryzyka.

2.

Obiekty stwarzające ryzyko są
eliminowane.

3.

Źródła ryzyka sa redukowane, istnieje
prewencja.

4.

System ratowniczy jest ciągle
doskonalony.

1

2

3

4

5

Analiza Ryzyka (APELL)- Centrum

Handlowe

Opis systemu

Opis sytuacyjny:
Centrum Handlowe eksploatuje dwóch właścicieli. Składa
się ono ze sklepu meblowego, supermarketu, kiosku
spożywczego., domu towarowego, magazynu drewna i
budynku

administracyjnego

(przemysłowego).

Dom

Towarowy i Magazyn Drewna oddzielone są palną ścianką.
Charakterystyka obiektów ze względu na możliwe
skutki:
Kiosk spożywczy 25 – 50 osób, sklep meblowy 20 – 80
osób, supermarket 150 – 500 osób, dom towarowy 40 –
120, skład drewna 20 – 50 osób. Na osiedlu
zamieszkującym otoczenie Centrum mieszka 500 osób zaś
w szkole może przebywać ok.. 1200 uczniów.
Centrum Handlowe otaczają trzy ulice: Al.. Niebezpieczna
7000 samochodów na dobę, Aleja Szkolna 5500 s/dobę.
Jest 400 miejsc postojowych.

Strefy ryzyka – izotrety

Indywidualne ryzyko śmierci

10

-8

10

-7

10

-6

Analiza Ryzyka (APELL)- Centrum

Handlowe

Identyfikacja zagrożeń

Dom Towarowy:
Wybuch, pożar - 300 butli x 1kg LPG, 1000 l rozpuszczalników,
3000 litrów palnych farb.
Wyciek zanieczyszczenie środowiska - 6000 l farb na bazie wody i
inne wyżej wymienione farby.

Skład Drewna:
Wybuch pożar – 300 m

3

drewna w tym drewno impregnowane

plastikowe pokrycia dachowe, butle LPG 300 x (6 – 11 l), butle z
acetylenem 500 x (20– 40) l
Skład drewna posiada system kanalizacji podłączony do ogólnego
systemu, prowadzącego do rzeki.

Analiza Ryzyka (APELL)- Centrum

Handlowe

Analiza częstotliwościowa

Klasyfikacja

Pożary raz na 1 - 10 lat

4

Wybuchy raz na 10 – 100 lat

3

Wycieki raz 1 – 10 lat

4

Zanieczyszczenia raz 1- 10 lat

4

Analiza Skutków:
Wszystkie wyżej przedstawione zagrożenia oddziałują na:
Ludzi : personel obydwu i innych firm, klientów,
mieszkańców, uczniów i kierowców - skutki poważne C
Mienie: budynki otaczające Centrum, towary, pojazdy na
parkingu i przejeżdżające – skutki ograniczone B
Środowisko: stacja uzdatniania wody, nieczyszczenie
powietrza, wody i systemu odprowadzania ścieków A

Analiza Ryzyka (APELL)- Centrum

Handlowe

Szacowanie ryzyka

1

Mniej niż raz
na 1000 lat

2

Raz na 100 –
1000 lat

3

Raz na 10 –
100 lat

4

Raz na 1 -10 lat

5

więcej niż
raz do roku.

E

katastrofic

zne

D

b. poważne

C

poważne

B

ograniczo

ne

A

nieistotne

skutki

Częstot
.

Szacowanie ryzyka

1

Mniej niż raz
na 1000 lat

2

Raz na 100 –
1000 lat

3

Raz na 10 –
100 lat

4

Raz na 1 -10 lat

5

więcej niż
raz do roku.

E

katastrofic

zne

D

b. poważne

C

poważne

B

ograniczo

ne

A

nieistotne

skutki

Częstot
.

Matryca ryzyka badanego terenu

Wybrane metody

półilościowej i ilościowej analizy ryzyka

Podatność to całościowe zagrożenie społeczności lokalnej

wraz z jej ekspozycją na to zagrożenie

Ryzyko stanowi współzależność zagrożeń, na które

narażona jest społeczność i jej podatności na te

zagrożenia

Podatność

Odporność +
Wrażliwość

RYZYKO

Zagrożenia +

Podatność

Skutki

Miara

Straty

UCHWYTNE

NIEUCHWYTNE

Śmierć

Liczba ludzi

Straty ekonomiczne ludzi aktywnych zawodowo, koszty pochówku i

odnowy

Społeczne i

psychologiczne

skutki na

pozostałą część

społeczności

Ranni

Liczba rannych i stopień poranienia

Leczenie, czasowe straty wynikające z przerwy działalności ekonomicznej,

możliwości opieki medycznej w stosunku do sytuacji normalnej

Społeczne i

psychologiczne,

ból i rehabilitacja

Rozerwanie więzów

społecznych

Liczba przesiedlonych i bezdomnych osób

Czasowe zamieszkanie, prace związane z odbudową, produkcja

Psychologiczne i

społeczne więzy,

spójność,

moralność

społeczna

Zniszczenie służb i

zabudowy

Zniszczone służby, przemieszczenie,

stopień zniszczeń

Niewygoda i szkody „użytkowników” służb, koszty przemieszczeń i napraw

Niepokój

związany ze

stratami w

służbach

Zniszczenie mienia

prywatnego

Rodzaj mienia, stopień i lokalizacja

zniszczeń

Koszty przemieszczeń i napraw

Straty kulturowe,

obniżenie się

poziomu

samowystarczaln

ości

Zerwanie więzów

ekonomicznych

Straty liczb dni roboczych, wielkość

produkcji, straty handlowe

Straty wartości produkcji

Konkurencyjność,

reputacja,

zwiększenie

podatności

Zniszczenie

środowiska

Zasięg i rodzaj

Koszty oczyszczania i napraw

Skutki zubożenia

środowiska,

ryzyka związane

ze zdrowiem,

ryzyka

przyszłych

katastrof,

zwiększenie

podatności

Parametry opisujące potencjalne skutki zagrożeń

Decyzyjne strategie w sprawach ryzyka (Jonas Roosberg Dadi Thoorsteinsson)

Strategia

Przykład zastosowania

Transfer (usunięcie)

Istnieje wiele sposobów przechowywania, transportu
lub przetwarzania substancji niebezpiecznych lub o
ile jest to możliwe zastosowanie ich mniej
niebezpiecznych substytutów.

Sprzedaż (ubezpieczenia)

Zakupienie ubezpieczenia od skutków zdarzeń
niekorzystnych., w tym pożarów, wybuchów

Eliminacja

Analiza koszt efekt może wykazać nieopłacalność
transportu,

przechowywania,

przetwarzania

substancji

niebezpiecznych,

zostaje

one

wówczaswyeliminowane

Redukcja

Obniżenie poziomu ryzyka poprzez obniżenie
prawdopodobieństwa lub/i skutków.

Akceptacja

Analiza koszt efekt wykazuje opłacalność ryzyka.

Zaniedbanie

Udziałowcy zaniedbują ryzyko ignorując je.

DZIAŁANIE

SCENARIUSZE (prawdopodobieństw

zainfekowania ludzi)

znikomo małe

małe

średnie

duże

Nie robić nic

0

20

50

100

Mała interwencja

5

10

40

80

Średnia interwencja

10

20

35

70

Duża interwencja

40

42

45

50

Elementy teorii gier

Matryca Kosztów

DZIAŁANIE

SCENARIUSZE (prawdopodobieństw

zainfekowania ludzi)

znikomo małe

małe

średnie

duże

Nie robić nic

0

10

15

50

Mała interwencja

5

0

5

30

Średnia interwencja

10

10

0

20

Duża interwencja

40

32

10

0

Matryca Żalu

Ilościowe metody analizy

ryzyka

Podstawowe pojęcia z rachunku

prawdopodobieństwa

Załóżmy, że mamy przestrzeń zdarzeń, tworzących podzbiór
zbioru Ω na tej przestrzeni określamy funkcję rzeczywistą P,
która spełnia trzy aksjomaty:
AKSJOMAT I dla każdego A zbioru borelowskiego:

P (A) ≥ 0

AKSJOMAT II prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe
jest jedności:

P(Ω) = 1

AKSJOMAT III dla każdego ciągu A

1

, A

2

…zdarzeń parami

rozłącznych tj. A

i

∩ A

j

= Φ dla i, j =1, 2…. i ≠ j prawdziwa jest

równość:

Funkcję P spełniającą te aksjomaty nazywamy rozkładem
prawdopodobieństwa. Argumentami tej funkcji są zdarzenia,
zaś wartościami liczby zawarte między 0 a 1.
Inaczej mówiąc, każdemu zdarzeniu losowemu
przyporządkowana jest liczba od 0 do 1.













1

)

(

)

1

(

i

i

i

A

P

A

i

P 

Jednym z elementów analizy ryzyka jest znalezienie
tej liczby

P(A) = ?

gdzie A zidentyfikowane zagrożenie

.

A

1

A

2

A

i

P (A

i

)

R

0

1

A

j

?

Diagramy Venn’a

Diagramy Venn’a obrazują wzajemne relacje zdarzeń w
przestrzeni zdarzeń.

Zupełna przestrzeń zdarzeń Ω

A

A’

Diagram ilustrujący zdarzenie A i zdarzenie A’
(to ostatnie nazywamy nie A lub dopełnieniem A)

Warto zauważyć, że:

a) A U A’= Ω

b) A ∩ A’= Φ

Niech zdarzeniem A będzie pożar, wówczas zdarzeniem A’ jest każde zdarzenie
oprócz pożaru wówczas relację (a) czytamy przestrzeń zupełną zdarzeń stanowią
pożary lub zdarzenia niebędących pożarami. Z diagramu również wynika własność
(b), część wspólna zdarzeń będących pożarami i niebędących pożarami
(miejscowe zagrożenia) jest zbiorem pustym

Diagramy Venn’a

Zdarzenia A oraz B są:
zdarzeniami rozłącznymi tj. nie mają części wspólnej A ∩ B =Φ
suma zdarzeń A U B jest podzbiorem zbioru Ω, jest więc
zdarzeniem i można zapisać następująco: A U B Ω. Zdarzenia
w przypadku sumy zbiorów zdarzeń są to zdarzenia, które należą
do zbioru A lub zbioru B.

A

B

Ω



Diagramy Venn’a

A ∩ B czytamy zdarzenie A i B jest to iloczyn zdarzeń, lub jeżeli
są zbiory zdarzeń mówimy, że elementy zbioru zdarzeń A oraz B,
czyli też zdarzenia należą do zbioru A i do zbioru B.

A

B

A ∩ B

Ω

Diagramy Venna

prawdopodobieństwo warunkowe

A

B

A ∩ B

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A wynosi:

P ( B I A ) =P ( A ∩ B ) / P ( A )

Geometrycznie można to zinterpretować jako stosunek „pól” części wspólnej do „pola” zdarzeń A

Jeżeli zdarzenia są niezależne to P (B I A) = P ( B ) co oznacza, że prawdopodobieństwo zdarzenia B
nie zależy od A, ale od razu ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe widać, że w takich przypadkach

P (A ∩ B ) = P ( B) x P (A )

Wybrane operacje na zbiorach

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa zbiory zawierają tę samą

próbkę zdarzeń wybraną z przestrzeni zdarzeń.
Stąd:
A U Φ = A w szczególności A ∩ Φ =Φ (sumą zdarzeń „pożarowych” oraz

zdarzenia niemożliwego są zdarzenia „pożarowe”, iloczynem zdarzeń pożarowych i

zdarzenia niemożliwego – częścią wspólną – jest zdarzenie niemożliwe)
i dalej dla przestrzeni wszystkich zdarzeń Ω mamy:
A U Ω =Ω
oraz
A ∩ Ω =A,
Dla dopełnienia zbiorów mamy:
A U A’ = Ω,
A ∩ A’ = Φ,
A’’ =A
Prawo przemienności:
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
Prawo łączności:
(AUB)UC = AU(BUC)
(A ∩ B) ∩ C =A ∩ (B ∩ C) lub dla wygody zapisu (A B )C =A( B C)
Prawo rozdzielczości:
(A U B) ∩ C = A ∩ C U B ∩ C lub dla wygody zapisu AC U BC
(AB) C =A (BC)
Również

A U A =A oraz A ∩ A = A

Wzór De Morgan’a:

(A U B) ’ = A’ ∩ B’

Prawo de Morgan’a przykład - drogi ewakuacyjne –

ryzyko blokady

Drogi ewakuacyjne z budynku podczas pożaru, ewakuacji powodziowej, czy też po

prostu drogi drożne oznaczono A, B, C i D . Niech A’, B’, C, D’ oznacza
niedrożność tych dróg. Wówczas możemy :

1. dostać się z punktu 1 lub 2 do punktu 4 gdy:

AUB ∩ C

, z prawa de Morgan’a

mamy:

(A’ ∩ B’UC’)’

2. dostać się z punktu 1 lub 2 do punktu 5 gdy:

A U B ∩C ∩D,

z prawa de

Morgana mamy:

(A’∩ B’UC’UD’)’

A

B

C

D

1

2

3

4

5

Pewne własności funkcji prawdopodobieństwa

1.Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się 0.

P( Φ) = 0

Dowód: mamy Φ=Φ υ Φ υ Φ….., a więc P(Φ ) = P(Φ υ Φ υ Φ υ…)
Uwzględniając fakt, że zdarzenie niemożliwe jest rozłączne same ze sobą tj. Φ ∩ Φ

= Φ stąd na podstawie aksjomatu III mamy
P(Φ ) = P(Φ) + P(Φ ) +P(Φ ) + P(Φ) +…. Ponieważ funkcja P jest nieujemna,

aksjomat 1, to tylko suma zer może równa się 0.
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wyraża się wzorem:

Dowód: ponieważ

więc

ale

mamy więc

stąd

ale P( Ω ) = 1 otrzymujemy ostatecznie poszukiwane

równanie.

)

(

1

)

(

_









P

P

























)

(

)

(

)

(

















P

P

P



)

(

)

(

)

(













P

P

P

)

(

)

(











P

P



Własności prawdopodobieństwa c.d.

Niech Ω = {ω

1

,ω

2

,…). Dla zdarzeń jednoelementowych określamy funkcję P w taki sposób, że:

P({ω

i

}) = p

i

gdzie p

i

≥ 0 oraz wielkość p

i

ze

względu, że P spełnia aksjomaty I – III nazywamy prawdopodobieństwem.

Jeżeli Ω ={ω

1

,ω

2

,….ω

N

} i wszystkie zdarzenia ω są elementarne i

równoprawdopodobne, to P({ω

1

}) = P({ω

2

}) =…= P({ω

N

})=1/N

Zdefiniujmy zdarzenie A = {ω

1

,ω

2

,…ω

n

} zawarte w Ω. To z faktu, że zdarzenia

elementarne są rozłączne oraz ze spełnienia aksjomatów
I – III możemy zapisać następującą zależność:
P( A ) = P({ω

1

,ω

2

,…ω

n

} = P({ω

1

}) + P({ω

2

}) +…+ P({ω

n

}) = n/N

Wzór podany po raz pierwszy przez Laplace’a jest klasyczną definicją
prawdopodobieństwa. Liczbę n nazywamy liczbą zdarzeń sprzyjających
(wystąpieniu) zdarzeniu A. W przypadku analizy częstotliwościowej wartość n/N
nazywamy częstotliwością względną.

1





i

i

p

Analiza ryzyka kolizji pociągu z
pojazdem

Załóżmy, że mamy 1000 niestrzeżonych przejazdów kolejowych. Statystyki wypadków z
ostatnich 10 lat ujęte zostały w poniższej tabeli:

Tabela

Czas
zdarzenia

Dzień
( D)

Noc (N)

Rodzaj zdarzenia

(Z)

Uderzenie w pociąg
(R)

Uderzenie przez pociąg
(S)

30
20

60
20

Prawdopodobieństwo tego, że w następnym roku dojdzie do kolizji na danym
przejeździe wynosi:
P (Z) = 130/(10x1000) = 0.013.
Prawdopodobieństwo tego, że uderzenie przez pociąg zdarzy się w ciągu dnia wynosi:
P (SD) = 60/90 =2/3
Niech 50% uderzeń w pociąg kończy się śmiercią człowieka zaś w przypadku uderzenia
przez pociąg takich przypadków jest 80%. Wówczas prawdopodobieństwo, że następny
wypadek będzie śmiertelny , a więc ryzyko śmierci wynosi:
P (R ) = 50/130 =0.385 natomiast P (R†) = 0.385x0.5 = 0.193
P (S) = 80/130 = 0.615 natomiast P (S†) = 0.615x0.8 = 0.492
P (†) = 0.193 +0.492 = 0.685

Analiza ryzyka kolizji pociągu z pojazdem

(inna ilustracja – drzewo zdarzeń)

P = 1

Rodzaj
kolizji

P (R )= 0.385

Jakakolwiek kolizja
na
wszystkich
przejazdach w
ciągu 10 lat

P (S) = 0.615

Ofiary śmiertelne

P(†) = 0.5

TAK

TAK

NIE

P(†) =0.8

NIE

P (NIE) =0.5

P (NIE) = 0.2

Prawdopodobieństwo
subscenariusza

Skutki
ofiary

0.193

TAK

0.193

NIE

0.492

Tak

0.122

NIE

Ryzyko śmierci w czasie kolizji równa się sumie dwóch subscenariuszy TAK i
wynosi:

R(†) = 0.685

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi P (NIE†) = 0.315

Drzewo błędów dla zdarzenia rozprzestrzeniania się dymu poza strefę pożaru.

Drzewo zdarzeń

Metoda Drzew Połączonych -„Kokarda” zdarzeń - Bow-

tie

zdarzenie krytyczne

(powódź, rozprzestrzenianie się
obłoku toksycznego, osunęcie
ziemi)

Wszystko to, co prowadzi

do zdarzenia kr.

Wszystko to, co występuje po

zdarzeniu kr.

Drzewo Błędów

-

Z

d

a

rz

e

n

ia

I

n

ic

ju

ją

ce

S

ku

tk

i

Drzewo

Zdarzeń

Możliwości Działania

Zlikwiduj przyczyny

Zbuduj Bariery

Sytuacja kryzysowa - kto ma ratować7000 osób rannych przy 600 zabitych?

Rozkłady

Wartości
p(x)

Wartości
p(x)

f(x) gęstość
prawdopodobieńst
wa

x

i

x

x

p

i

(x

i

)

Rys. 7.1.2 a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej typu skokowego b)
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej typu ciągłego

a)

dystrybuanta rozkładu dyskretnego b) profil ryzyka rozkładu dyskretnego

1

1

1

1

prawdopodobieństwo

prawdopodobieństwo

prawdopodobieństwo

prawdopodobieństwo

a)

dystrybuanta rozkładu ciągłego

b)

profil ryzyka rozkładu ciągłego

skutki

skutki

skutki

skutki

Rys.7.1.3 Dystrybuanty i profile ryzyka dla rozkładów ciągłych a oraz b i dla

rozkładów dyskretnych c oraz d.

Ddystrybuanty i profile

Profile ryzyka

bez jakichkolwiek działań

zabezpieczenia techniczne

techniczne i nietechniczne zabezpieczenia

Prawdopodobieństwo
logP(x>n)

1/5

1/10

1/25

1/100

1/500

1/1000

1/10000

1

10 100

1000

Bez jakichkolwiek działań

Maks. możliwości systemu drenażowego

Maks. możliwości zabezpieczeń technicznych

Awaria wałów i i małych zapór

Awaria dużych zapór

Z zabezpieczeniami technicznymi

Z zabezpieczeniami technicznymi i nietechnicznymi

logn

Porównanie profilu ryzyka IR (

śmierc

i) z roku 2000 do przewidywanego w 2040

(Holandia)

Rozkład Poisson’a

Funkcja prawdopodobieństwa Poisson’a zmiennej losowej X
dana jest wzorem:















!

)

(

x

x

X

P

x

e





dla x =
1,2,3…..

oraz

P (X =x) = 0

dla pozostałych wartości x

gdzie λ średnia wartość ilości zdarzeń w określonym przedziale
czasu.

Warto wiedzieć, że jeżeli X

1

oraz X

2

są zmiennymi losowymi o rozkładzie

Poisson’a tzn. X

1

~ P(λ

1

) oraz X

2

~ P(λ

2

) to Y = X

1

+ X

2

też jest rozkładem

Poisson’a z parametrem λ=

λ

1

+ λ

2

to jest Y~ P(λ

1

+ λ

2

)

Wprowadzając częstość występowania zdarzenia α
przypadającą na jednostkę czasu (np. na 1 rok), to
wielkość λ można zapisać λ = αt

Rozkład Poisson’a

e

x

x

X

P

x











!

)

(

)

(

dla x = 1, 2 3…
E (X) =λ
σ

=

(λ)

1/2

Ujmując rzecz formalnie proces Poisson’a oparty jest na następujących

założeniach:

1. Zdarzenie jest losowe mogące powstać w każdej chwili czasu i w każdym

punkcie przestrzeni.

2. Pojawienie (a) się zdarzenia w określonym przedziale czasu lub określonym

miejscu jest statystycznie niezależne w tym przedziale lub w każdym innym
niepokrywającym się interwale.

3. Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w małym przedziale czasu Δτ

jest proporcjonalne do tego przedziału i może być zapisane następująco αΔτ,
gdzie α jest średnią wartością, oznaczającą częstotliwość przypadającą na
jednostkę czasu. Wartość α ta jest stała.

4. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch lub więcej zdarzeń w czasie Δτ jest

zaniedbywalnie małe.

Mamy więc

Rozkład Poisson’a

(przykład ryzyko śmierci)

Niech X będzie liczbą pożarów (powodzi) powodujących śmierć

co najmniej jednego człowieka rocznie o średniej liczbie tego

typu pożarów (powodzi) w ciągu roku równej 4.
1.Jakie jest prawdopodobieństwo (grupowe ryzyko śmierci) wystąpienia

6 pożarów (powodzi) tego typu w ciągu roku?

P (X=6) = e

-4

(4

6

/6!) = 0.1042

2. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia 12 pożarów (powodzi) w

ciągu 2 lat?

P(X=12) = e

-8

(8

12

/12!) = 0.0481

3. Jakie jest prawdopodobieństwo co najmniej jednego pożaru

(powodzi) w ciągu dwóch lat?

P (X ≥ 1) = 1 – P (X =0) = 1 – e

-8

(8

0

/0!) = 0.9997

Rozkład expotencjalny

(elementy teorii niezawodności)

Rozkład expotencjalny jest rozkładem ciągłym z gęstości
prawdopodobieństwa określona wzorem:

f (x) = λ e

-λx

dla x ≥ 0

f (x) = 0

dla pozostałych wartości x

E (x) = 1/λ
Var (x) = 1/ λ

2

Przykład

Niech budynek będzie zabezpieczony pięcioma barierami
ograniczającymi
rozwój pożaru. Czas życia barier niech wynosi T i charakteryzuje się
expotencjalny
rozkładem o parametrze λ = 1/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze na
koniec
8 roku dana bariera będzie jeszcze funkcjonowała?

2

.

0

5

1

)

8

(

8

5

















d

T

P

e

Okres nawrotu

(rozkład geometryczny)

Problem

Rozważmy prawdopodobieństwo wystąpienia dużej powodzi i jego
związek z okresem nawrotu

na danym terenie

. Niech

prawdopodobieństwo takiej powodzi wynos

i p=0.0.1

Jeżeli powódź

pierwszy raz wystąpiła po T latach to oznacza, że przez (T – 1)
powódź o tych rozmiarach nie występowała. Ponieważ wystąpienie
powodzi w każdym roku jest zmienną losową niezależną to
prawdopodobieństwo nie wystąpienia dużej powodzi przez t-1 lat
wynosi

P = q

t-1

gdzie q == 1 - p
a więc prawdopodobieństwo, że po czasie t pierwszy raz wystąpi duża
powódź wynosi:

P( T= t ) = p q

t-1

Powyższy wzór określa rozkład geometryczny (Jest to szczególny
przypadek rozkładu Bernoulie’go. Liczbę przedziałów czasowych do
wystąpienia zdarzenia pierwszy raz (w naszym przypadku liczbę lat –
przedział czasowy 1 rok) nazywamy czasem pierwszego
wystąpienia zdarzenia

Czas nawrotu

(rozkład geometryczny)

Podział na przedziały czasowe w tym przypadku są statystycznie niezależne co
oznacza, że czas pojawienia się zdarzenia po raz pierwszy jest taki sam jak
między dwoma następującymi po sobie zdarzeniami tego samego rodzaju. Z
tego wynika, że czas pierwszego wystąpienia zdarzenia jest
równocześnie czasem nawrotu
i podlega rozkładowi geometrycznemu.
Obliczmy średni czas nawrotu:

)

.......

3

2

1

(

)

(

1

2

1

























t

t

q

q

p

tpq

T

E

T

Ponieważ q = (1 – p) < 1 to ciąg w nawiasie jest ciągiem zbieżnym , którego
granica wynosi:
1/(1-q)

2

= 1/p

2

. Podstawiając

granicę ciągu zamiast wyrażenia w nawiasie

otrzymuje się:

p

T

1





Dla prawdopodobieństwa p = 0.01 czas nawrotu wynosi 100 lat.
Czas nawrotu jest średnim czasem zmiennej losowej T.

Modelowanie Skutków

Obrazek z powodzi

Równania bilansowe

1.Równania zachowania masy dymu w pożarze

(pomieszczenie z otworem wentylacyjnym):

z

G

G

d

z

V

d

d

c

m

1









gdzie ρ

m

- średnia gęstość gazów pożarowych kg/m

2

, V

c

- objętość

pomieszczenia m

3

, z– masowa gęstość zadymienia kg/kg (stosunek masy

dymu-gazów cząstek stałych i cieczy do masy powietrza), G

1

– strumień

masy dymu wypływającego z pomieszczenia kg/s, G

d

– strumień dymu

powstałego w wyniku spalania kg/s.
Tutaj również G

d

= ψL

d

gdzie ψ masowa szybkość spalania danego

materiału kg/kg, zaś L

d

dymotwórczość danego materiału

Inżynieria bezpieczeństwa pożarowego

- ewakuacja

początek
pożaru

czas

detekcja

.alar
m.

reakcja

rozp.
ewak.

czas
ewak.

kryt.
czas ewak.

Dopuszczalny czas bezpiecznej ewakuacji

Wymagalny czas ewakuacji

Czas alarmowania

Czas detekcji

Czas rozp.

Czas reakcji

Czas przemieszczania

Deterministyczne modelowanie pożaru

(przykład )

Obliczenie dopuszczalnego czasu bezpiecznej ewakuacji:

z

G

G

d

z

V

d

d

c

m

1









z

G

G

G

V

d

c

m

1

1

1

1

ln









gdzie ρ

m

- średnia gęstość gazów pożarowych kg/m

3

, V

c

- całkowita

objętość pomieszczenia m

3

, z- masowe stężenie dymu kg/kg,G

d

-

masowy strumień kreacji dymu kg/s, G

1

- masowy strumień gazów

wypływających z pomieszczenia kg/s.

Niech G

d

i G

1

są wielkościami stałymi wówczas

:

Określamy z

kr.

jako kryterium ewakuacji, następnie określamy, ze

wzoru wyżej, dopuszczalny czas bezpiecznej ewakuacji

DCBE



)

1

(

1

1

e

G

G

V

G

z

c

m

d











Probabilistyczne modelowanie pożaru

z

G

G

G

V

d

c

m

1

1

1

1

ln









Ale wielkość G

1

/G

d

jest zmienną losową, a więc czas krytyczny też

będzie zmienną losową.
Dla zadanego stężenia krytycznego z

kr

można określić rozkład

czasów krytycznych.
Oznaczmy G

1

/G

2

przez G. Niech G będzie zmienną losową o

rozkładzie normalnym. Mamy wówczas:

G = μ

G

+ σ

G

Probabilistyczne modelowanie pożaru

(cd)

Zdefiniujmy funkcję prawdopodobieństwa δ o standardowym
rozkładzie normalnym N(0,1), ze średnią wartością μ = 0 i
odchyleniem standardowym σ = 1.

σ = 1

-3.719 0 3.719

-

P

=0.0001

1.0

0.5

e

x

x

f

2

2

1

2

1

)

(







Gęstość
prawdopodobieństwa

δ

f (x)

Φ(- x) = 1 – Φ(x)

gdzie Φ dystrybuanta

Probabilistyczne modelowanie pożaru

(cd)

G = μ

G

+ δ σ

G

Korzystając z losowania liczb pseudolosowych odczytujemy wartości
funkcji δ podstawiamy do powyższego wzoru, otrzymując wartość G.
Otrzymaną wartość G podstawiamy do wzoru na wielkość czasu
krytycznego



Wyliczamy czas krytyczny, a następnie czynności
powtarzamy. W ten sposób otrzymujemy histogram czasów
krytycznych.

6 7 8 9 10 11 12 13
14

min

n

100

250

500

450

440

300

230

70

N = 2040

P (n≤ 7 min) = 350/2040 =
0.17

Probabilistyczne modelowanie

pożaru

(cd)

obliczmy czas ewakuacji:

τ

ew

=

τ

al.

+ τ

roz.

+ τ

rea.

+ τ

ru.

Każdy z tych czasów jest zmienną losową. Suma ich jest zmienną losową.
Załóżmy, że zmienną losową jest tylko czas ruchu. Tak więc czas ewakuacji dany
jest wzorem:

τ

w

= T + τ

ru.

Ale τ

ru.

= s/v gdzie s droga ewakuacji zaś v prędkość ruchu. Prędkość ruchu jest

zmienną losową i postępując jak poprzednio można określić rozkład czasu
ewakuacji. Niech T = 2 min., zaś histogram dla ostatniej osoby ewakuowanej τ

ew

taki jak poniżej

1 2 3 4 5 6 7 8 9
min

n

200

500

250

50

40

N = 1040
P(n>5min) =1 – 950/1040 =
0.086

Probabilistyczne modelowanie

pożaru

(cd)

Prawdopodobieństwo tego, że warunki krytyczne powstaną wcześniej
niż do siedmiu minut wynosi:

p

war.kr.

= 0.17

Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna osoba nie zdąży się
ewakuować nie wcześniej niż po upływie 5 minut wynosi:

p

ewak.

=

0.086

Prawdopodobieństwo śmierci w pożarze co najmniej jednej osoby
wynosi:

p

śm.

= 0.17x 0.086 = 0.015

Prawdopodobieństwo powstania pożaru w mieszkaniu w przeliczeniu
na jednego mieszkańca w ciągu roku wynosi:

p

poż.

= 0.003

Indywidualne ryzyko śmierci w mieszkaniu w wyniku pożaru wynosi:

P = p

poż.

.

x p

śm.

= 0.003 x 0.015 = 0.000045 (4.5 10

-5

)

Bleve-Fl�ssiggastankwagen-VU-Autobahn.MPG

Niepewność

Modelowa

Deterministyczna/

stochastyczna

Identyfikacja zdarzeń niekorzystnych

Identyfikacja zagrożeń/

Określenie scenariuszy

Szacowanie częstotliwości/
prawdopodobieństw

Szacowanie skutków

Szacowanie ryzyka

Niepewność

kompletności

Pamiętaj

Ryzyko istnieje
zawsze