SYMBOL NEWTONA
PERMUTACJE
SILNIA
Dla n>1 symbol n! (czyt: n silnia) oznacza
iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n.
n!=1·2·3·4·……·n
Przyjmujemy, że:
0!=1
1!=1
2!=2
3!=1·2·3=6
4!=1·2·3·4=24
5!=1·2·3·4·5=120
6!=1·2·3·4·5·6=720
7!=1·2·3·4·5·6·7=5040
8!=1·2·3·4·5·6·7·8=40320
9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9=362880
10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800
4!=1·2·3·4=24
4!=3! ·4=24
5!=1·2·3·4·5=120
5!=3!·4·5=120
5!=4!·5=120
6!=5!·6=720
6!=4!·5·6=720
6!=3!·4·5·6=720
8!=4!·5·6·7·8=40320
8!=5!·6·7·8=40320
8!=6!·7·8=40320
8!=7!·8=40320
PRZYKŁADY:
SYMBOL NEWTONA
Jeżeli k≤n to wyrażenie (czytamy: n nad k)
nazywamy symbolem Newtona.
PRZYKŁADY:
PERMUTACJE
Permutacją n-elementową zbioru n-
elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy
ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego
zbioru.
Permutacje n-elementowe oznaczamy: P
n
P
n
=n!
Ćw.1. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce?
P
6
=6!=1·2·3·4·5·6=720
Odp.: Sześć osób można ustawić na 720 sposoby.
Ćw.2. Na ile sposobów można ustawić liczby: 1,2,3,4, aby
stworzyć liczby czterocyfrowe?
P
4
=4!=1·2·3·4=24
Odp.: Można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe.
Ćw.3. W gonitwie bierze udział 11 koni. Ile jest wyników
zakończenia gonitwy? (zakładamy, że każdy koń
dobiegnie
do mety i żadne dwa nie przebiegną razem).
P
11
=11!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11= 39916800
Odp.: Jest 39916800 wyników zakończenia gonitwy.
Ćw.4. Na ile sposobów może usiąść 5 osób na ławce tak,
aby
KASIA i BASIA będące w tej grupie siedziały obok
siebie:
a)w dowolnej kolejności
b)w kolejności BASIA-KASIA
Ad.a)
Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności:
K B _ _ _
_ K B _ _
_ _ K B _
_ _ _ K B
4·2! ·3!=4·2·6=48
Ad.b)
Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności:
B K _ _ _
_ B K _ _
_ _ B K _
_ _ _ B K
4·3!=4·6=24
Odp.: Pięć osób może usiąść na 48 w pierwszym i 24
sposoby
w drugim przypadku.
Kasia i Basia mogą się między sobą
zmieniać na 2! sposoby; pozostałe 3 osoby
zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok
przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób.
Basia i Kasia nie mogą się zmieniać między
sobą, pozostałe 3 osoby zmienią się na 3!
sposoby. Schemat obok przedstawia 4
możliwe ustawienia 5 osób.
Ćw.5. Cyfry 5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość
możliwych ustawień cyfr w liczbie jeżeli:
a)liczby stoją na dowolnym miejscu
P
4
=4!=1·2·3·4=24
b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8
P
3
=3!=1∙2∙3=6
c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra
5
P
2
=2!=2
d) na początku są liczby parzyste
2!∙2!=4
Ćw.6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr
2,3,4,5,6
w których otrzymana liczba jest:
a)dowolna pięciocyfrowa
P
5
=5!=1∙2∙3∙4∙5=120
b)parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4
lub 6)
3∙4!=3∙24=72
c)nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub
5)
2∙4!=2∙24=48
d)podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra
5)
P
4
=4!=1∙2∙3∙4=24